Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Graduac¸˜ao em Matem´atica Introdu¸c˜ao aos Grupos de Lie e `as Variedades Diferenci´aveis por Conrado Damato de Lacerda sob a orientac¸˜ao de Dr. Eliezer Batista Trabalho de Conclus˜ao de Curso apresentado ao Curso de Graduac¸˜ao em Matem´atica da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenc¸˜ao do t´ıtulo de Bacharel em Matem´atica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica Florian´opolis, 3 de dezembro de 2007 Resumo O objetivo deste trabalho ´e discutir os fundamentos da Teoria dos Grupos de Lie. Em primeiro lugar, analisamos cuidadosamente uma classe especial de grupos, a dos lineares, e para ela apresentamos diversos resultados que, mais tarde, ser˜ao generalizados para o contexto mais amplo. Em seguida, damos uma introduc¸˜ao suficientemente auto-contida a respeito de variedades diferenci´aveis para que possamos, por fim, apresentar os Grupos Lie e estudar as suas propriedades b´asicas. Dois apˆendices s˜ao fornecidos ao final do traba- lho: um sobre o Teorema da Func¸˜ao Inversa, e o outro sobre A´lgebras de Lie abstratas. Agradecimentos Gostaria de dedicar algumas linhas para agradecer `as pessoas que, ao longo dos u´ltimos anos, mostraram o seu apoio `a minha escolha de carreira profis- sional e que exerceram (e exercem) grande influˆencia sobre mim, como futuro matem´atico e como ser humano. Aos meus pais, Jos´e e L´ıgia, por sempre me oferecerem as condic¸˜oes ne- cess´arias e o apoio incondicional para o desenvolvimento das minhas aptid˜oes e afinidades. Aos meus av´os, tantos para citar, com quem sempre aprendi muito. Em especial, ao meu avˆo Roberto Mu¨ndell de Lacerda, que quando contei que resolvera estudar Matem´atica exclamou: “Que inveja!”. Ao meu primo Fernando, que me mostrou, pela primeira vez, o que era a Matem´atica. A` Andr´ea, de quem sou primo. Aos meus amigos e colegas, especialmente ao Leonardo e `a Monique. A todos os professores com quem estudei; em especial, aos professores Gus- tavo Adolfo Torres Fernandes da Costa, Eliezer Batista (que orientou meus estudos durante trˆes dos quatro anos do curso), Oscar Ricardo Janesch e Ruy Exel Filho pelo papel de destaque que tiveram na minha formac¸˜ao. A`s professoras Carmem Suzane Comitre Gimenez, por coordenar o Curso de Matem´atica de maneira impec´avel, e Elisa Zunko Toma, por ser uma das principais culpadas por eu ter escolhido a carreira da Matem´atica. Aos funcion´arios da Secretaria do Curso de Matem´atica, em especial `a Silvia e `a Iara, e do Departamento de Matem´atica. Sum´ario Introduc¸˜ao i Nota¸c˜ao e Terminologia iii 1 Grupos Lineares 1 1.1 A Func¸˜ao Exponencial e EDOs Lineares . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 O Logaritmo de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Grupos Lineares e suas A´lgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Um Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5 A Representac¸˜ao Adjunta de um Grupo Linear . . . . . . . . . . 31 1.6 A Diferenciabilidade de exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 SL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 O Referencial de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2 Variedades Diferenci´aveis 57 2.1 Estruturas Diferenci´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2 Func¸˜oes Diferenci´aveis e Vetores Tangentes . . . . . . . . . . . . 67 2.3 O Fibrado Tangente e Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . 79 2.4 A Diferencial de uma Aplicac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Curvas Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.5 Mais Sobre Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3 Grupos de Lie 105 3.1 Definic¸˜oes e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.2 A A´lgebra de Lie de um Grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . 111 3.3 De Volta aos Grupos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Considera¸c˜oes Finais 129 A O Teorema da Fun¸c˜ao Inversa 131 B A´lgebras de Lie 139 Referˆencias 151 Lista de Figuras 2.1 A projec¸˜ao estereogr´afica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2 Transic¸˜ao de cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.3 Aplicac¸˜ao diferenci´avel entre variedades. . . . . . . . . . . . . . 68 2.4 Demonstrac¸˜ao do lema 2.2.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.5 Um campo vetorial numa variedade. . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.1 O transporte de Xg por d(Lhg−1). . . . . . . . . . . . . . . . . . 112