Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias F´ısicas e Matem´aticas Departamento de Matem´atica Introdu¸c˜ao aos Espa¸cos Vetoriais de Dimens˜ao Infinita Francielle Hinckel Orientador: Profo. Dr. Danilo Royer Floriano´polis - SC 2009 Francielle Hinckel Introdu¸c˜ao aos Espa¸cos Vetoriais de Dimens˜ao Infinita Trabalho acadˆemico de gradua¸c˜ao apresentado a` disciplina Trabalho de Conclusa˜o de Curso II, do Curso de matem´atica - Habilita¸ca˜o Licen- ciatura, do Centro de Ciˆencias F´ısicas e Matema´ticas da Universidade Federal de Santa Catarina. Floriano´polis - SC 2009 Agradecimentos Ao professor e orientador Danilo Royer, pelo seu apoio na elabora¸ca˜o deste trabalho. Aos professores Gustavo Adolfo Torres Fernandes da Costa e Rosimary Pereira, por terem aceito o convite para participar da Banca Examinadora. Ao meu marido Marciel e ao meu filho Vitor, pela compreens˜ao e pelo incentivo, durante toda a gradua¸ca˜o. A minha fam´ılia, amigos e todos aqueles que contribu´ıram para esta realiza¸ca˜o, em espe- cial aos meus colegas e aos professores coordenadores do LEMAT. A todos, muito obrigado! “Dentro de minhas limita¸c˜oes pessoais e de minha condi¸c˜ao individual, eu fa¸co diferen¸ca, todos fazemos...” Lya Luft Sum´ario Introdu¸c˜ao 7 1 Espa¸cos Vetoriais 8 1.1 Espa¸cos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Subespa¸cos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Base de Hammel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Existˆencia de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Espa¸cos Normados 24 2.1 Espa¸cos Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Base de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Transforma¸co˜es Lineares 36 3.1 Defini¸ca˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Transforma¸co˜es Lineares limitadas e cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 Resultados para espa¸cos de dimens˜ao infinita 44 4.1 Continuidade de Transforma¸co˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2 Nu´cleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3 Unicidade da extens˜ao de uma Transforma¸c˜ao Linear definida nos vetores de uma base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Considerac¸˜oes Finais 52 Apˆendice 53 Referˆencias 55 6 Introdu¸c˜ao Neste trabalho de conclusa˜o de curso, faremos um estudo de propriedades dos espac¸os vetoriais de dimensa˜o infinita. Para tanto, inicialmente estudaremos alguns resultados importantes da teoria dos espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita, e num segundo momento, verificaremos a validade destes, quando passamos a considerar espa¸cos de dimens˜ao in- finita. Esse ´e o contexto deste trabalho, comparar algumas propriedades dos espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita com as dos espa¸cos de dimensa˜o infinita. Durante todo o trabalho real¸caremos os conceitos e resultados abordados atrav´es de exemplos, com o objetivo de tornar mais claro ao leitor o assunto apresentado. Tamb´em tivemos a preocupa¸ca˜o de demonstrar com detalhes a maioria dos teoremas, afim de que a leitura deste material seja auto-suficiente para a compreens˜ao do conteu´do abordado. Por fim, apresentaremos um breve resumo deste trabalho. A definic¸˜ao de espa¸cos vetoriais, subespa¸cos, bem como os conceitos e propriedades ba´sicas sobre a teoria dos espa¸cos vetoriais, sera˜o vistos no primeiro cap´ıtulo deste tra- balho. Neste tamb´em, ´e demonstrado o primeiro teorema de ˆenfase do trabalho, no qual afirmamos que todo espa¸co vetorial admite uma base de Hammel. No segundo cap´ıtulo estudaremos uma classe de espac¸os vetoriais que nos permitir´a um maior aprofundamento no estudo de propriedades de espa¸cos vetoriais de dimens˜ao infinita, os chamados espac¸os normados. O cap´ıtulo seguinte, sera´ dedicado ao estudo das transforma¸co˜es lineares, aplica¸co˜es entre espa¸cos vetoriais que preservam as duas opera¸co˜es alg´ebricas dos espa¸cos vetoriais. Uma classe importante destas aplica¸co˜es sa˜o as limitadas, sendo este um crit´erio simples para a continuidade destas aplica¸co˜es, como veremos com mais detalhes no desenvolvi- mento deste cap´ıtulo. Al´em disso, demonstraremos que para espa¸cos com dimensa˜o finita, todas as transforma¸co˜es lineares sa˜o cont´ınuas. Para finalizar, no quarto cap´ıtulo vamos apresentar algumas propriedades que diferem quanto ao fato da dimens˜ao do espa¸co vetorial considerado na transforma¸ca˜o linear ser de dimensa˜ofinitaouinfinita. Dentreelas,podemosdestacarabijetividadedestasaplicac¸˜oes. Se por um lado, para espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita basta analisar apenas um dos conceitos, injetividade ou sobrejetividade, por outro lado, quando a dimensa˜o ´e infinita, isto n˜ao sera´ o suficiente. 7 Cap´ıtulo 1 Espa¸cos Vetoriais Neste cap´ıtulo, definiremos espa¸cos vetoriais e apresentaremos uma s´erie de exemplos, afim de tornar clara ao leitor essa estrutura. Al´em disso, discutiremos algumas de suas propriedades, como a existˆencia de bases para estes espa¸cos de qualquer dimens˜ao. Ao longo deste trabalho, K denotara´ o corpo R dos nu´meros reais ou o corpo C dos nu´meros complexos. 1.1 Espa¸cos Vetoriais Defini¸c˜ao 1.1.1. Seja V um conjunto n˜ao vazio, sobre o qual est˜ao definidas as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por escalar, isto ´e, ∀u,v ∈ V ⇒ u+v ∈ V e ∀u ∈ V,α ∈ K ⇒ αu ∈ V. O conjunto V com essas duas opera¸c˜oes ´e um Espa¸co Vetorial sobre um corpo K, se para quaisquer u,v,w ∈ V e α,β ∈ K, as seguintes propriedades sejam satisfeitas: 1. u+v = v+u (adi¸c˜ao ´e comutativa), 2. (u+v)+w = u+(v+w) (adi¸c˜ao ´e associativa), 3. existe um u´nico elemento 0 ∈ V tal que u+0 = 0+u = u (elemento zero), 4. para cada u ∈ V existe um u´nico elemento (−u) ∈ V com u + (−u) = 0 (inverso aditivo), 5. (αβ)u = α(βu) (multiplica¸c˜ao de escalares ´e associativa), 6. (α+β)u = αu+βu (multiplica¸c˜ao escalar ´e distributiva sob a adi¸c˜ao escalar), 7. α(u+v) = αu+αv (multiplica¸c˜ao escalar ´e distributiva sob a adi¸c˜ao vetorial), 8 8. 1u = u (onde 1 ´e identidade multiplicativa no corpo K). Exemplo 1.1.1. F(I,R)´e o conjunto de todas as fun¸c˜oes reais definidas em um intervalo I, F(I,R) = {f : I → R;f ´e fun¸c˜ao}. Sejam f e g fun¸c˜oes deste conjunto, definem-se a soma f +g : I → R por (f +g)(x) = f(x)+g(x), x ∈ I e o produto de f ∈ F(I,R) por α ∈ R como a fun¸c˜ao α.f : I → R dada por (α.f)(x) = α[f(x)], x ∈ I. Com estas opera¸c˜oes, o conjunto F(I,R) ´e um espa¸co vetorial sobre R, onde a fun¸c˜ao nula ´e o vetor nulo desse espa¸co. Exemplo 1.1.2. Seja P o conjunto dos polinˆomios com coeficientes reais, de grau menor n ou igual a n (incluindo o zero), ou seja, P = {p(x) = a xn +...a x+a ;a ∈ R e n ≥ 0}. n n 1 0 i O conjunto P ´e um espa¸co vetorial sobre R, onde as opera¸c˜oes s˜ao soma de polinˆomios n e multiplicac¸˜ao destes por nu´meros reais. Especificamente, sejam p(x) = a xr +...+a r 0 e q(x) = b xm +...+b dois elementos de P . Vamos assumir que r ≤ m. Definimos m 0 n ent˜ao a soma (p+q)(x) = b xm +...+b xr+1 +(a +b )xr +...+(a +b ). m r+1 r r 0 0 Al´em disso, se α ∈ R, o produto escalar de α ∈ R por p(x) ser´a, por defini¸c˜ao o polinˆomio (α.p)(x) = (αa )xr +...+(αa ). r 0 Exemplo 1.1.3. Seja R∞ o conjunto das sequˆencias infinitas u = (α ,α ,...,α ,...), de 1 2 n nu´meros reais. O elemento zero de R∞ ´e a sequˆencia 0 = (0,0,...,0,...), formada por infinitos zeros , e o inverso aditivo da sequˆencia u = (α ,α ,...,α ,...) ´e 1 2 n −u = (−α ,−α ,...,−α ,...). 1 2 n 9 As opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por um nu´mero real s˜ao definidas por: u+v = (α +β ,α +β ,...,α +β ,...) 1 1 2 2 n n λu = (λα ,λα ,...,λα ,...), ∀λ ∈ R. 1 2 n Com estas opera¸c˜oes, R∞ ´e um espa¸co vetorial. 1.2 Subespa¸cos Vetoriais Em muitas ocasi˜oes, ´e importante estudar dentro de um espac¸o vetorial V, subconjuntos W que continuem sendo espa¸cos vetoriais. Tais conjuntos sa˜o chamados de Subespa¸cos Vetoriais de V, o qual definiremos a seguir. Defini¸c˜ao 1.2.1. Seja V um espa¸co vetorial. Um Subespa¸co Vetorial (ou simplesmente um subespa¸co) de V ´e um subconjunto W ⊂ V com as seguintes propriedades: 1. 0 ∈ W; 2. ∀u,v ∈ W ⇒ (u+v) ∈ W; 3. ∀u ∈ W,α ∈ K ⇒ αu ∈ W. Observe que um subespa¸co W em um espa¸co vetorial V, ´e ele pro´prio um espac¸o veto- rial. Dado que, das propriedades 2 e 3 da defini¸ca˜o de subespa¸co, as operac¸˜oes de adi¸ca˜o de vetores e de multiplica¸ca˜o de vetor por escalar em V, ficam naturalmente definidas em W. Podemos destacar dois exemplos de subespa¸cos de um espa¸co V, chamados de triviais. O conjunto {0}, com o u´nico elemento 0, e o espa¸co inteiro V. Exemplo 1.2.1. Consideremos o conjunto F(I,R) definido no exemplo 1.1.1. Seja C(I,R) o conjunto formado pelas fun¸c˜oes reais definidas em um intervalo I, tal que essas fun¸c˜oes sejam cont´ınuas, C(I,R) = {f : I → R; f ´e cont´ınua}. Temos que C(I,R) ´e um subespa¸co de F(I,R). De fato, o vetor nulo do espa¸co F(I,R) ´e a fun¸ca˜o nula, que ´e uma fun¸ca˜o cont´ınua e portanto pertence a C(I,R). Al´em disso, se f e g sa˜o fun¸co˜es reais cont´ınuas, a soma 10