Mahir B. Sayir | Jurg Dual | Stephan Kaufmann Ingenieurmechanik 1 Mahir B. Sayir | Jiirg Dual | Stephan Kaufmann Ingenieurmechaniki Grundlagen und Statik 2., durchgesehene und korrigierte Auflage Mit 231 Abbildungen, 47 Aufgaben und zahlreichen Beispielen STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet uber <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. Mahir B. Sayir, geb. 1940, studierte an der Abteilung Maschinenbau der TU Istanbul. Er doktorierte an der ETH Zurich bei Professor Ziegler und wurde am 1. Januar 1969 zum Assistenzprofessor fur Mechanik gewahit und 1976 zum ordentlichen Professor befordert. Im Jahre 1985 war er „Lady Davis Visiting Professor" am Technion in Haifa, Israel, und 1987 wurde er als „Russel Springer Honour-Professor" des „Department of Mechanical Engineering" der University of California nach Berkeley eingeladen. Von 1988 bis 2003 war er einer der drei Rektoren von CISM (International Center for Mechanical Studies) in Udine (Italien). Seine anfangliche theoretische Forschung begann er 1976 auch mit experimentellen Aspekten zu erganzen und vor allem auf dynamische Probleme zu richten. Er ist seit 2005 emeritiert. Jurg Dual, geb. 1957, studierte von 1976 bis 1981 an der ETH Zurich Maschinenbau, anschliessend Master of Science und Master of Engineering Abschluss in Mechanical Engineering an der UC Berkeley, USA. Nach dem Doktorat an der ETH Zurich bei Professor Sayir arbeitete er als Visiting Assistant Professor an der Cornell University in Ithaca, USA. 1989 kehrte er an die ETH Zurich zuruck, zuerst als Assistenzprofessor, dann 1998 als ordentlicher Professor. Seine Forschungsschwerpunkte liegen im Bereich von Schwingungen und Wellen, dem mechanischen Verhalten von Werkstoffen, sowie der Mikro- und Nanosystemtechnik. Stephan Kaufmann, geb. 1954, studierte theoretische Physik an der ETH Zurich. Fur das Doktorat bei Professor Brauchli wechselte er an das Institut fur Mechanik der Abteilung Maschinenbau. Heute ist er Senior Scientist und Dozent am Zentrum fur Mechanik der ETH. Seine Arbeitsschwerpunkte sind Fach- didaktik und Computereinsatz in Forschung und Unterricht. 1. Auflage 2004 2., durchgesehene und korrigierte Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Harald Wollstadt | Ellen Klabunde Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media, www. vi e wegte ubner.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Telle ist urheberrechtlich geschutzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbe- sondere fur Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden durften. Umschlaggestaltung: KunkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Morlenbach Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8351-0018-3 Vorwort Das vorliegende Werk ist der erste Band einer dreibandigen Serie: Der erste Band be- fasst sich mit Grundlagen und Statik, der zweite mit der Festigkeitslehre und der drit- te mit der Dynamik. Diese Dreiteilung entspricht auch dem stofflichen Inhalt einer dreisemestrigen Vorlesungsreihe, welche die Autoren fur verschiedene Ausbildungs- gange an der ETH Zurich anbieten. Die technische Mechanik ist einerseits Grundlagenfach fur fast alle Ingenieure: Fur Studierende aus den Bereichen Maschinenbau, Verfahrenstechnik, Bau-, Elektro- und Umweltingenieurwesen wird es in den ersten Jahren der Hochschulausbildung unter- richtet. Anderseits gilt die Mechanik als die Mutter der modemen Physik: In den Zeiten von Newton und Leibniz Ende des 17. Jahrhunderts wurden parallel zur Entwicklung der physikalischen Modelle auch die dazu notwendigen Begrifife und Theorien der Ma thematik (z.B. Differentialrechnung) entwickelt. Die Erklarung von Vorgangen wie der Bewegung der Gestime war eindriickliches Beispiel, welche Moglichkeiten diese neuen Werkzeuge boten, und hat zu einem Triumphzug der modemen Wissenschaft durch die folgenden Jahrhunderte bis in die heutigen Tage gefiihrt. Fixr die Studierenden von heute gilt es genau diesen Vorgang nachzuvollziehen: Die Realitat durch ein physikalisches Modell mit Hilfe der Mathematik abzubilden und damit einer Losung zuganglich zu machen. Dieser Schritt ist auch heute fur Studie rende ein Quantensprung! Sie haben zwar eine Vielzahl von Hilfsmitteln zur Verfii- gung, mtxssen aber diese Gedankengange in kurzer Zeit begreifen und selbst anwen- den konnen. Das vorliegende Buch versucht den Studierenden diesen Schritt am Beispiel der Me chanik Grundlagen und der Statik zu erleichtem. Die Grundbegrifife werden dabei aus der Leistung der Kraflegruppe am erstarrten und virtuell bewegten System hergeleitet. Die damit erreichte Betonung des Prinzips der virtuellen Leistungen in der Statik ent spricht nicht nur der Lagrange'schen Auffassung, sondem auch jener der modemen Berechnungsmethoden wie der Methode der Finiten Elemente, welche entweder das oben erwahnte Prinzip direkt anwenden oder Energiesatze verwenden, die daraus hergeleitet sind. Das Buch steht dabei in der Tradition der ETH Zurich, die auf Prof Dr. H. Ziegler zurlxckgeht. In einem Kompromiss zwischen mathematischer Strenge und physikalischer Intuition werden die wesentlichen Konzepte und Methoden eingefiihrt. Es wurde bewusst dar- auf verzichtet, in diesem friihen Stadium der Ausbildung Computerprogramme einzu- setzen, damit sich die Studierenden auf die Mechanik konzentrieren konnen. Es bleibt im Verlauf von Studium und Karriere noch gentxgend Gelegenheit, sich in solche Pro- gramme zu vertiefen - und diese Vertiefung erfolgt spater umso leichter, je solider die entsprechenden Grundlagen aufgebaut wurden. Die wesentlichen Gedankengange in der mathematischen Modellbildung sind auch auf andere Fachgebiete iibertragbar: Die Systemabgrenzung ist fur thermische Syste- me genauso wichtig wie fiir mechanische. Auch der Aufbau der Theorie auf Defmiti- onen und Postulaten folgt in alien Gebieten dem gleichen Muster. Die Voraussetzungen aus der Mathematik sind Vektorrechnung, Differential- und In- tegralrechnung. Sie werden so verwendet, dass bei einer abgestimmten parallel ge- fiihrten Mathematikvorlesung die aus der Mittelschule noch unbekannten Begrifife kurz nach ihrer Einfiihrung am Beispiel der Mechanik vertieft und anschaulich ver- standen werden konnen. Aus der Mittelschule wird im Wesentlichen die Vektorrech nung vorausgesetzt. Das Buch enthalt am Schluss jedes Kapitels eine Anzahl von Aufgaben. Die Losun- gen sowie weitere aktuelle Informationen zum Buch konnen auf der folgenden Websi te eingesehen werden: http://www.zfin.ethz.cli/mechanik-buecher/ Wir danken den Studierenden und Assistierenden, die durch Fragen, Korrekturen und Anregungen zu diesem Buch beigetragen haben. Zu danken ist auch dem Teubner Verlag, der das Buch in einer ansprechenden und trotzdem giinstigen Form herausge- bracht hat. Moge es noch vielen Generationen von Studierenden dazu dienen, Neugier und Freude an den vielfaltigen mechanischen Vorgangen in unserer Umgebung zu wecken! Zurich, im Juni 2004 Mahir B. Sayir, Jiirg Dual, Stephan Kaufmann Bemerkungen zur 2. Auflage Die freundlichen Riickmeldungen zur ersten Auflage verdanken wir ganz herzlich. Bin spezieller Dank geht an Prof Dr. Edoardo Mazza fiir viele wertvolle Hinweise und finchtbare Diskussionen. Dies 2. Auflage haben wir zur Verbesserung verschiedener Kleinigkeiten genutzt. Zurich, im Mai 2008 Mahir B. Sayir, Jiirg Dual, Stephan Kaufmann Inhaltsverzeichnis Einleitung 11 I Grundlagen 13 1 Bewegung eines materiellen Punktes 13 1.1 Bezugskorper und Koordinaten 14 1.2 Kartesische Koordinaten 15 1.3 Zylindrische Koordinaten 17 1.4 Spharische Koordinaten 20 1.5 Vektorielle Darstellung der Bewegung 21 2 Geschwindigkeit 24 2.1 Vektorfunktion einer skalaren Variable 25 2.2 Schnelligkeit und Geschwindigkeit 26 2.3 Ortsvektor und Geschwindigkeit 28 2.4 Komponenten der Geschwindigkeit 29 3 Zur Kinematik starrer Korper 35 3.1 Satz der proj izierten Geschwindigkeiten 3 6 3.2 Translation 38 3.3 Rotation 40 3.4 Kreiselung 45 3.5 Die allgemeinste Bewegung eines starren Korpers 47 3.6 Die ebene Bewegung eines starren Korpers 54 4 Krafte 65 4.1 Zum Kraflbegriff 65 4.2 Das Reaktionsprinzip 69 4.3 Innere und auBere Krafte 70 4.4 Verteilte Krafte, Kraftdichte 71 5 Leistung 75 5.1 Leistung einer Einzelkraft 75 5.2 Gesamtleistung mehrerer Krafte 78 5.3 Gesamtleistung von Kraften an einem starren Korper 79 II Statik 83 6 Aquivalenz und Reduktion von Kraftegruppen 83 6.1 Statische Aquivalenz 83 Inhaltsverzeichnis 6.2 Resultierende und Moment einer Kraftegruppe 85 6.3 Statische Aquivalenz bei speziellen Kraflegruppen 91 6.4 Kraftegruppen im Gleichgewicht 96 6.5 Reduktion einer Kraftegruppe 98 7 Parallele Krafte und Schwerpunkt 103 7.1 Kraftemittelpunkt 103 7.2 Linien-und flachenverteilte Krafte, Flachenmittelpunkt 106 7.3 Raumkrafte, Schwerpunkt, Massenmittelpunkt 110 8 Ruhelage und Gleichgewicht 114 8.1 Defmitionen 114 8.2 Berechnung von virtuellen Leistungen 118 8.3 Das Grundprinzip der Statik 119 8.4 Hauptsatz der Statik 120 9 Lagerbindungen und Lagerkrafte 124 9.1 Ebene Unterlagen, Standfestigkeit 124 9.2 Lager bei Balkentragem und Wellen 126 9.3 Vorgehen zur Ermittlung der Lagerkrafte 133 9.4 Bemerkungen 134 10 Statik der Systeme 141 10.1 Behandlung mit dem Hauptsatz 142 10.2 Behandlung mit dem Prinzip der virtuellen Leistungen 144 10.3 Statisch unbestimmte Systeme 147 11 Statisch bestimmte Fachwerke 152 11.1 Ideale Fachwerke, Pendelstiitzen 153 11.2 Knotengleichgewicht 15 5 11.3 Dreikrafteschnitt 15 8 11.4 Anwendung des Prinzips der virtuellen Leistungen 161 11.5 Raumliche Fachwerke 163 12 Reibung 169 12.1 Physikalische Grundlagen 169 12.2 Haftreibung 172 12.3 Gleitreibung 175 12.4 Gelenk- und Lagerreibung 176 12.5 Rollreibung 180 13 Seilstatik 184 13.1 Ruhelage des schweren Sells, Kettenlinie 185 13.2 Seilreibung 188 Inhaltsverzeichnis 14 Beanspruchung 191 14.1 Definition der Beanspruchung und Zerlegung 192 14.2 Ermittlung der ortlichen Verteilung der Beanspruchung 195 14.3 Differentialbeziehungen an geraden Stabtragem 204 14.4 Differentialbeziehungen an gekriimmten Stabtragem 207 Literaturauswahl 213 Sachwortverzeichnis 215 Einleitung Die Mechanik ist eine wissenschaftliche Disziplin, die sich mit der Lage und Gestalt- anderung von Korpem in Natur und Technik befasst, solche Anderungen mit Kraflen in Verbindung bringt und daraus wesentliche Voraussagen tiber die Bewegung und die Festigkeit der genannten Korper herleitet. Um zu streng formulierbaren, quantitativen Voraussagen zu gelangen, bedient sich die Mechanik idealisierter Modelle der Wirklichkeit, Beispiele dafiir sind die Begriffe des starren Korpers, der linearelastischen Werkstofife oder der linearviskosen Fliissig- keiten. Oft ergibt sich die Rechtfertigung fur die erwahnten Idealisierungen aus der Betonung einzelner physikalischer Aspekte und Eigenschaften, welche im gegebenen Problemkreis die entscheidende Rolle spielen. Beispielsweise kann die Bewegung der Erde im Sonnensystem durch ein Modell beschrieben und berechnet werden, in welchem unser Planet als starre Kugel mit sttickweise homogener Massenverteilung erscheint. Das Studium der Oberflachenwellen im Erdboden, welche bei einem Erdbeben entstehen, erfordert dagegen ein Modell der Erde als deformierbares Kontinuum, zum Beispiel als linearelastisches Material, oder, bei Erzeugung von bleibenden Deformationen, als elastisch-plastisches Medium. Die Gtite eines theoretischen Modells lasst sich letzten Endes aus dem systemati- schen Vergleich der mit ihm erzeugten quantitativen Voraussagen iiber messbare, cha- rakteristische GroBen mit den im gegebenen Vorgang tatsachlich gemessenen Werten bestimmen. In einigen Fallen fuhren relativ einfache Modelle zu erstaunlich genauer tjbereinstimmung von Theorie und Praxis. In anderen Fallen muss zwischen tJber- sichtlichkeit sowie Einfachheit des theoretischen Modells und Genauigkeit der tjber einstimmung ein optimaler Kompromiss gesucht werden. Die Schwingungen eines Eisenbahnwagens konnen beispielsweise vorerst mit einem Modell ana- lysiert werden, das den Wagen als starren Korper idealisiert, der auf linearelastischen masselo- sen Federn und auf linearviskosen Dampfern gelagert ist. Damit lassen sich einige tiefere Eigen- frequenzen des Eisenbahnwagens mit ausreichender Genauigkeit voraussagen. Will man jedoch diese und hohere Eigenfrequenzen moglichst breitbandig und effizient durch geeignete MaB- nahmen tilgen, so mtissen einerseits die Kontaktphanomene zwischen dem deformierbaren Rad und der deformierbaren Schiene und andererseits die Kopplung der Starrkorperbewegungen mit den Deformationen des Wagenkastens eingehender studiert und sowohl theoretisch als auch ex- perimentell ausgewertet werden. Larmbekampfung erfordert eine sinnvoUe zusatzliche Analyse der Wechselwirkung zwischen der Wagenstruktur mit der umgebenden Luft. Die Verwendung der mathematischen Methodik und Mittel zur physikalischen Mo- dellbildung erlaubt uns, die Mechanik axiomatisch aufzubauen. Das theoretische 12 Einleitung Modell wird durch Axiome und begrififsbildende Definitionen festgelegt. Die impli- ziten Eigenschaften des Modells folgen deduktiv als beweisbare Behauptungen (The- oreme). Die quantitativen Voraussagen iiber messbare GroBen konnen mathematisch zwingend durch Anwendung des Modells auf eine gegebene physikalische Situation hergeleitet werden. Die eigentliche Entwicklung der theoretischen Modelle der Mechanik erfolgte in den meisten Fallen keineswegs nach diesem strengen axiomatischen Aufbau, sondem er- forderte vom Forscher u.a. starke physikalische Intuition, phantasievolles induktives Denken, tiefen Sinn fur physikalisch-mathematische Asthetik. Obwohl wir im Folgenden aus didaktischen Griinden und um das Verstandnis der Materie zu erleichtem vor allem die axiomatische, deduktive Darstellung bevorzugen werden, sollte der Leser die kreativen Ideen hinter dem theoretischen Modell niemals aus den Augen verlieren. Er sollte sich vielmehr aktiv bemiihen, durch eine harmoni- sche Synthese von Induktion und Deduktion die Verbindung mit dem physikalischen Hintergrund der theoretischen Modelle stets aufrechtzuerhalten. Die Mechanik wird in verschiedene Gebiete aufgeteilt. So enthalt die Kinematik das rein geometrische Studium der Lage und Gestaltanderung materieller oder nicht mate- rieller Systeme ohne jeglichen Bezug auf Krafte. Die Statik untersucht die Krafte, insbesondere an ruhenden Systemen. Die Kinetik befasst sich mit der Verbindung zwischen Kraften und Bewegungen materieller Systeme, und die Dynamik ist eine Synthese von Kinematik und Kinetik. Die Mechanik deformierbarer Korper oder Kontinuumsmechanik stellt theoretische Modelle auf, welche das mechanische Ver- halten von deformierbaren festen Korpem, von Fltissigkeiten oder Gasen quantitativ beschreiben. Durch Berlicksichtigung der Temperatur ergibt sich hier femer ein ther- modynamisch erganztes Bild des Verhaltens reeller Korper. Die Kontinuumsther- momechanik stellt dementsprechend eine Synthese der Mechanik deformierbarer Korper, der Hydro- und Aerodynamik sowie der Thermodynamik dar. Nach einem einleitenden Teil tiber dynamische Gmndlagen, werden wir im Folgen den die Statik, die kontinuumsmechanischen Gmndlagen bei mhenden deformierba ren Korpem, deren einfache Anwendungen auf technisch wichtige Probleme und schlieBlich die Dynamik starrer und deformierbarer Korper behandeln.