HomologieSinguliereDesEspacesFibres Jean-PierreSerre TheAnnalsofMathematics,2ndSer.,Vol.54,No.3.(Nov.,1951),pp.425-505. StableURL: http://links.jstor.org/sici?sici=0003-486X%28195111%292%3A54%3A3%3C425%3AHSDEF%3E2.0.CO%3B2-X TheAnnalsofMathematicsiscurrentlypublishedbyAnnalsofMathematics. YouruseoftheJSTORarchiveindicatesyouracceptanceofJSTOR'sTermsandConditionsofUse,availableat http://www.jstor.org/about/terms.html.JSTOR'sTermsandConditionsofUseprovides,inpart,thatunlessyouhaveobtained priorpermission,youmaynotdownloadanentireissueofajournalormultiplecopiesofarticles,andyoumayusecontentin theJSTORarchiveonlyforyourpersonal,non-commercialuse. Pleasecontactthepublisherregardinganyfurtheruseofthiswork.Publishercontactinformationmaybeobtainedat http://www.jstor.org/journals/annals.html. EachcopyofanypartofaJSTORtransmissionmustcontainthesamecopyrightnoticethatappearsonthescreenorprinted pageofsuchtransmission. 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L'intérêt de cette étude est double: d'une part, Marston Morse1 1251 a montré que, si X est un espace de Riemann, les propriétés homologiques de 12 sont étroitement liées aux propriétés des géodésiques tracées sur X; et, d'autre part, on peut, avec Hurewicz [18],utiliser fl pour donner une définition récurrente des groupes d'homotopie de X et, par suite, tout renseignement sur les groupes d'homologie de 12 entraînera une meilleure connaissance des groupes d'homotopie de X. Mais l'étude directe de l'homologie de 12 s'était avérée difficile, et n'avait gukre pu être menée à bien que dans le cas où X est une sphère. Nous utilisons ici une méthode indirecte, suggérée par la relation ~~(12=) T,+~(X)q,u i consiste à considérer 12 comme la fibre d'un espace fibré E qui est contractile, la base étant l'espace X donné. En appliquant alors à E la théorie homologique des espaces fibrés développée par ,J. Leray, on obtient des relations étroites liant l'homologie de fl et celle de X, relations que l'on peut appliquer avec succès aux deux problèmes cités plus haut. La théorie homologique utilisée ici étant la théorie singulière (seule adaptée aux problèmes homotopiques), il nous a fallu montrer que la théorie de Leray était valable dans ce cas, et pour cela, il nous a fallu en refaire complètement la partie topologique. Notre exposé ne nécessite donc pas la lecture préalable des mémoires de Leray sur le sujet. Le contenu des divers chapitres est le suivant: Le Chapitre 1 contient les notions préliminaires iqdispensables, essentiellement la notion de suite spectrale (1221, [19]) des groupes différentiels filtrés. On y trouvera un exposé "abstrait" de la transgression et de la suspension; la première notion avait été introduite tout d'abord par Chern, Hirsch et Koszul dans le cas de certains espaces fibrés, la seconde par Eilenberg-MacLane dans le cas des complexes K(T;q). On y trouvera également un bref apercu de la théorie des revêtements due à Cartan-Leray (dans le cas particulier des revêtements universels). Le Chapitre II établit les propriétés de la suite spectrale d'homologie (singu- lière) des espaces fibrés. Il faut d'abord choisir une nouvelle définition de l'homo- logie singulière, qui utilise les cubes à la place des simplexes, ce qui est fait au 11-1. Le point essentiel, une fois la filtration définie, consiste à prouver que le l Les crochets renvoient à la Bibliographie, placée à la fin de ce mémoire. 425 426 JEAX-PIERRE SERRE terme El de la suite spectrale est isomorphe au groupe des chaînes de la base à coefficients dans le groupe d'homologie de la fibre. Ceci exige certaines con- structions de cubes singuliers, qui sont toujours possibles pourvu que l'espace vérifie le théorème de relèvement des homotopies pour les polyèdres. Aussi cette dernière propriété est-elle prise ici comme définition des espaces fibrés. Le Chapitre III indique les premières applications de ce qui précbde à divers cas particuliers. Signalons notamment la Prop. 5 qui est la clé de plusieurs résultats intéressants pour la suite, ainsi que la Prop. 3. Les autres résultats sont dus à J. Leray [24] (dans le cadre de la théorie de Cech). Le Chapitre IV, consacré aux espaces de lacets, a un double but. D'un c6té il donne des résultats généraux, intéressants en eux-mêmes (tel le th. de Hopf, la simplicité en toute dimension, etc) qui sont appliqués au n07et au n08à des problèmes de géodésiques, et d'autre part, il prépare la voie à l'étude des groupes d'homotopie qui fait l'objet du chapitre suivant. Parmi les résultats du premier type, signalons une démonstration très simple du fait que, sur tout espace de Riemann compact connexe, il existe une infinité de géodésiques joignant deux points distinct donnés (résultat qui n'était guère connu que dans le cas des sphères). Le Chapitre V indique une méthode permettant, dans une certaine mesure, de calculer les groupes d'homotopie d'un espace dont on connait les groupes d'homologie. On en tire aisément le fait que les groupes d'homotopie ont un nombre fini de générateurs si et seulement s'il en est de même des groupes d'homologie (au moins lorsque l'espace est simplement connexe). Nous attaquons aussi le problème du calcul des groupes d'homotopie des sphères: ici, il est com- mode de séparer les difficultés en effectuant des calculs à coefficients dans des corps de caractéristiques variées. Le cas de la caractéristique nulle peut être traité complètement, et montre que les *,(Sn) sont finis sauf nn(Sn) et n4,-i(Szn) (n quelconque). En caractéristique p, par contre, nous nous bornons à trouver le premier groupe d'homotopie de S, (après le n-ème) dont l'ordre soit divisible par p: c'est x,+zp-a(&) (au moins si n est impair). Le Chapitre VI indique très brièvement comment la méthode précedente, appliquée mais en sens inverse, aux groupes d'Eilenberg-MacLane, permet d'obtenir très rapidement des résultats, dont certains étaient connus mais de démonstration difficile. Les résultats essentiels de ce mémoire ont été résumés dans trois notes aux Comptes-Rendus [28]. Je ne terminerai pas cette introduction sans exprimer AM. H. Cartan toute la reconnaissance que je lui dois pour l'aide qu'il n'a cessé de m'apporter dans mon travail, tant, par l'intermédiaire du Séminaire qu'il dirige depuis trois ans, que par de nombreux et profitables contacts directs. C'est notamment grâce à son aide (et à celle de J-L I<oszul qui voudra bien trouver ici mes remerciements) que j'ai pu transposer la théorie de Leray en homologie singulière et asseoir . . ainsi sur une base solide les calculs purement heuristiques que je faisais jil*clii'alors. Outre cette contribution particulièrement importante, je lui dois nombreuses améliorations dans les résultats, l'exposition, et la rédaction. i~~~ Qu'il me soit permis de remercier aussi MM. A. Borel, N. Bourbaki, S. Eilen- berg, J. Leray pour l'aide, les encouragements, et les conseils, variés mais égale- ment efficaces, qu'ils m'ont prodigués. hla reconnaissance va également à M. A. Denjoy qui a bien voulu présider le jury auquel j'ai soumis cette thèse. CHAPITRE1. L.4 NOTION DE SUITE SPECTRALE. nOl.L a suite spectrale d'un groupe différentiel à filtration croissante. n02. Cas d'un groupe gradué. n03. La transgression et la siispension. n04. Une suite exacte. n05. La suite spectrale-Cas de la cohomologie. n06. La suite spectrale attachée au revêtement universel d'un espace. CHAPITREII. HO~IOLOGEITE COHOMOLOGIE SISGCLIÈRES DES ESPACES FIBRÉS nOl. Homologie singulière cubique. n02. Espaces fibrés; définition et premières propriétés. n03. Le système local formé par l'homologie de la fibre. n04. Filtration du complexe singulier de E. n05. Calcul du terme El. n06. Calcul du terme 232. n07. Propriétés de la suite spectrale d'homologie. n08. La mite spectrale de cohomologie. n09. Propriétés de la suite spectrale de cohomologie. nO1O. Transformation du second terme des suites spectrales d'homologie et de cohomologie. nOll.D émonstration du Lemme 4. n012. Démoristration du Lemme 5. n013. Démonstration du Lemme 3. CHAPITREIII. APPLICATIONDSE ~4 SUITE SPECTRALE DES ESPACES FIBRÉS. nOl.P remière application. n02. Caractéristique d'Euler-Poincaré des espaces fibrés. n03. Fibrations des espaces euclidiens. n04. Cce suite exacte. nos. Suite exacte de Gysin. nOG. Suite exacte de Wang. n07. Vn théorème de Leray-Hirsch. CHAPITREI V. LES ESPACES DE LACETS. nQl. Les espaces de lacets. n02. Le théorhme de Hopf. n03. Simplicith des H-espaces. n04. Fibrations des espaces de chemins. 428 JE.%S-PIERRSEERRE no;. L'espace fibré des chemins d'origine fixée. n06. Quelques résultats généraux sur l'homologie des espaces de lacets. nOi.A pplication au calcul des variations (théorie de Morse). n08. Appjication au calcul des variations: les géodésiques transversales à deux SOUJ-variétés. n09. Homologie et cohomologie de l'espace des lacets siir une sphère. CHAPITREV. GROUPESD'HOMOTOPIE. nOl.M éthode générale. n02. Premiers résultats. no3. Finitude des groupes d'homotopie des sphères de dimension impaire. n04. Calculs auxiliaires. n05. Le premier groupe d'homotopie d'une spht'rc de dimension impaire qui est non nul modulo p. nOG. Variétés de Stiefel et sphères de dimension paire. CHAPITREVI. LES GROUPES D'EILEK~ERG-~IIS.E\C. L nOl.I ntroduction. n02. Résultats généraux. n03. Le théorème de Hopf. APPENDICES.ur l'homologie de certains revêtements. 1. La suite spectrale d'un groupe différentiel à filtration croissante DÉFISITION. Soit ('4, d) un groupe différentiel, c'est à dire un groupe abélien 1' muni d'un endomorphisme d de carré nul. On dit qu'une famille de sous- groupes (9")(p entier positif ou négatif) définit sur A une filtration croissalzte si les conditions suivantes sont remplies: U,Ap = A; A" CA"&'; d(ilP) C A". On convient de compléter la définition des A" en posant il-m= O et A+" = A. Soit x e -4; appelons w(a) la borne inférieure des entiers p tels que z e il". L'application :c ~ ( xv)érifie évidemment les propriétés suivantes: 4 Rbciproquement, si 1'011 se donne une fonction w(x) sur A, à valeurs entiPres (- .-- compris), qui vérifie les deus propriétes précédentes, elle définit une jiltrulion crozssarîte sur il. -Yotations (r désignera un entier positif) : C? : ensemi~led es élbrnents de il"dont le bord est dans A"-'. B:: ensemble ties éli-mcnts tlc L4''qiii sont i~ordsd J61éments de A~". Cm: ensemble des éléments de A" qui sont des cyclcs. B:: ensemble des éléments de ;lx'qui sont des bords. Tous ces ensembles sont des sous-groupes de A", v4rinant les relatioils d'in- clusion suivantes : On notera également que d(C?-') = B?. DÉFISITIONDES EB. + c:/(c:'-;' Kous poserons: EB = BrP1). + (c ::: La différentielle d applique Cf dans CB-' et RE,) dans BK;. Elle définit donc, par passage au quotient, un homomorphisme: + + cZ)'(CS Le noyau de d," est: (C:'+l Bf-1). + + (CS L'image de d:+' est: B:>);'(c~ Br-1). En comparant ces deux résultats, on voit qiie d:'od:+' = O; en outre le yuo- tient du noyau de dB par l'image de dB" est: Interprétation des résultats precédents: la szsite spectrale. xp Posons ET = E,P (dans toute la suite, le signe désignera une somme directe); les h': définissent sur ET une structure graduée: les éléments de E: sont dits de degré filtrant p; les applications d:' définissent sur ETune différe.lztielle d, homogène et de degré -r ais à vis dis degré $filtrant. La suite des groupes dif- férentiels gradués (ET)( r = 0, 1, . . . ) est dite suite spectrale attachée au groupe différentiel filtré A. Le groupe d'i~omologie de E', pour la différentielle d, , calculé en ET, est isomorphe à EGl, nous venons de le voir. On a donc: . H(Eo) = El ; H(E1) = Ez ; ... ; H(E,) = ; etc. On a: EO = A"/A~-'.On voit donc que Eo est la somme directe des quotients successifs Ap/Ap-';on l'appelle le groupe gradzsÉ associé au groupe filtré A. La différentielle do applique EO dans lui-même; elle est obtenue par passage au quotient à partir de la différentielle d de A (ce qui est possible, puisque AP et Ap-l sont stables pour cl). 430 JE.\S-PIEIIRE SERRE D'après ce qui précède, on a: E; = H(A~!A~-'). La différentielle dl nppliqiie E:' dans +if-'; elle coincide avec 1'ho:nomorpliisme bord a :H(-4'/il '-') -+ ~ ('-'/A~~-'4) de b suite exacte d'homologie du "triple" (AP,A ~-',A pW2). . Le terme E, x, Par analogie avec la définition des Er,on définit le terme E, = I?: (groupe terminal de la suite spectrale) en posant: + E: = C:/(C:- ' BZ). L'intérêt de cette définition est que, d'une part, on peut considérer le terme Ex comme une limite des termes E, (nous préciserons ceci au no suivant), et que, d'autre part, E, est intimement lié à H(A).Il fournit donc une sorte de transi- tion entre les (E,) et H(Ll). Pour préciser ce dernier point, soit DP l'image de H(A7 dans H(A) par l'ap- plication identique de A" dans A. On a donc: Dp = C;/B:. + 11 suit de là: Dp/DP-' = C:/(C:-' BZ) = E2. Autrement dit, si l'on considère H(A) comme filtré par les DP, le groupe It, n'est autre plce le groupe gradué associé au groupe jîltré H(d). np Remarquons toutefois que, même si A" = O, or1 n'a pas nécessairement n, DP = O; au no suivant, nous donnerons ilne condition suffisante pour qu'il en soit ainsi. No;e. Les définitions qui pr6cèdent ne sont que les traductions, dans un lan- gage adapté à l'homologie, des notions introduites par J. Leray [23] et J.-L. Koszul [20]. On peut d'ailleurs obtenir les résultats de ce no à partir de ceus de Leray par un simple changement de notation: il suffit de remplacer p par -p. Cette théorie peut s'étendre en majeure partie aiix "théories axiomatiques de l'homologie". Voir B ce sujet un exposé de S. Eilenberg ([Ci], Exp. VIII). 2. Cas d'un groupe gradué Nous supposerons à partir de maintenant que le groupe A est gradué, c'est-à- dire est somme directe de soi*s-groupes "A (n entier positif ou négatif); on supposera de plus que d est de degré -1 \ris a ris de cette graduation (autrement dit, d("A) C "-'A), et que la filtration est compatible avec la graduation, c'est-à-dire que chaque A" est somme directe de ses intersections avec les "A. NOUSp oserons A"'" ""tqIiliA'', et nous désignerons par El,(A) le n-ème groupe d'homologie de A. Graduation des termes de la suite spectrale. L'existence d'une graduation sur A permet de définir des graduations sur les divers groupes introduits au no précédent. Sous noterons C,PtqB, Ptq,C 2'q,B z'q, DPsqles sous-groupes de C:, . , Dp formés des éléments homogènes et de degré p + q. Chaque CP, . .. , LIP est somme directe des Crvq, ,DPiqpour -a < q < +m. + + + On pose de même: EJsq= BPI)(O 5 r 5 m). . Les Er,qgraduent E,P Le terme Er de la suite spectrale est donc bigradué par les E:'q; p est dit degré jiltrant, q degré complémentaire. Il y a avantage à + introduire aussi le degré p q, ou degré total (il ~orrespondau degré de A). Les propriétés de degré des différentielles d, sont les suivantes: d, diminue le degré jiltrant de r unités, d, diminue le degré total de 1 unité, - d, augmente le degré complémentaire de r 1 unités. Une hypothèse supplémentaire. Nous ferons dans toute la suite l'hypothèse suivante: (@)-Si x # O est un élément homogène de A, O S w(x) 5 deg. x. En d'autres termes: la jiltration et le degré sont positifs, et la filtration est inférieure au degré. Une autre formulation est: A"'' = "A et APtq= O si p < O. Conséquences de l'hypothèse (@). On a tout d'abord E;'' = O si p OU q < O. Il s'ensuit que E,Psq= O pour p ou q < O, et r quelconque. Ceci est encore vrai pour E, ,comme on le voit tout de suite. Puisque ELqq= on en conclut que LI-'"'+' = O et D"" = H,(A). On a donc la suite de composition de H(A): En particulier, on voit que r), DP = 0. PROPOSITI1O. NSi ln condition (a) est remplie, on a: Si r > p, les éléments de Erqqsont tous des cycles pour d, ,puisque d, diminue le degré filtrant de r unités et que E:'t = O pour s < O. De meme, si r - 1 > q, aucun élément #O de E,pqqn'est un bord pour d, rxisque d, augmente le degré - complémentaire de r - 1 unités. Il s'ensuit que Er'q = E" = Reste à voir que l'on trouve ainsi le groupe EJg". Pour cela, il suffit de remarquer que, pour r assez grand, on a: On voit donc en quel sens on peut dire que Le groupe E, est la limite des groupes Er :pour un degré total n donné, il existe lin r assez grand pour que les groupes formés par les termes de degré total n de Er et de E, soient isomorphes. Le groupe diflrentiel R. Nous poserons R = A', R, = AosqR. est un sous-groupe gradué stable de A. On a E:" = HP(R).D'autre part, tous les éléments de ~ f ' ~2( 1r) sont des cycle'. poiii. (1, , piiiqqiie ri, tliininue le degré filtrant et que cch élén~eritss oiit dc degré filtrant mi ni mi in^. Il en résulte une suite ci'homomorphim~eic iir : En outre ces hr,iiiomoiphismes deviennent des iso~~zorph~smseus., di.s que + r > q 1, d'après la Prop. 1. On voit donc que 1:';' = F" s'iclentifie à un quotient de H,,;Ri (ce cjue l'on peut voir aussi directement, sur l'expression explicite de cec ~ ~ O I I Den~ Sfo nction des Crqqet des BI' '1. Mais d'autre part E:" D" C Ho(,1). On peut donc écrire la suite d'hornomorphisme.: le premier étant sur, le second biunivoque. Le composé n'est autre que l'homo- morphisme de H,(R) dans H,(;1) induit par l'injection: R -+ A. Le groupe difércnticl S. Posons El O = S,, , et S = Z,S,. Le groupe Sest identique au sou>-groupe de El formé de. éléments de degré complémentaire 0. Comme dl conqerve le degré complémentaire, il -'enhuit cliie S cst slable pour di, et constitue zri gi oi~pc tfiflérentiel giatliié. ., On a H,(S\i = Fi'O ; d'autre part, aiicuri élément # O de 1:: O n'e~tun borcl pour (1, (r 2 2 t piii-cliie (1, augmente le clcgi.6 complémentaire et que ce* élément\ sont (le r!cg:é cc)mplén~entairen iininlum. Il en rhulte une suite d'homomor- phismcs l)jiini\ (~c,iic:. ... +E3) O +]if10 = HP(,") En outic. cc. liomon~orphismest ont de.5 isoniorph2snlcs slci* dès que r est EE:~ :t.ycz grand. De Savon p1.écise (PIop, 1), on a = Em O; mais E;iO = Il'' " D"' ' = IIj,(.l\ fi'-' '. On peut donc écrire la suite d'homomorphismes: H,(d) i Ez +H,(S), le premier étant sui., le second biunivoque. Interprétons le produit de ces deus homomorphismes: Pour cela, rappelons que Er = C:i (CO-'" + Bi O). Comnle c!" = "il,oii a donc un homomorphisme canonirlile a:-4 S, qiii commute avec le bord et -+ définit un hoinomorphisn~ea,:H,(-4) i HP(&).Cet lion~omorphisrnea , e5t le composé en question. 11 résulte en particulier de ceci que l'image de ir, e5t 1:: O, et que son noyau e5t LIp-','. Sotc. Dans toutes les applications de la suite spectrale connues jusqu'h présent, le groupe 9que l'on filtre est un groupe gradué. Par contre, la condition (a) n'est en général remplit que dans les applications touchant de près ou de loin à la théorie des ebpace.: fihrés (par exemple, outre cet.te dernière qui fait l'objet dii chapitre suiv,int. la théorie des groupes d'opérateurs, oii bien celle des es- tensions de groupe. diycrets). IL ras le plus important où elle n'est pas remplie est la théorie (le IIorae. Dans le cas d'un espace fibre E de fibre F, base B, le groupe Ilest le groupe des chaînes de E, le groupe R celui des chaînes de F, le groupe S celui des chaînes de B. En outre, les homomorphismes canoniques R A S sont ceus induits -+ -+ par les applications continues F -+ E -+ B. 3. La transgression et la suspension Idegroupe A,! R. Considérons à nouveau l'application canonique: ,,.:AP,f=l CpiO -+ C1P<O/(~t-1+3 1BPO) = S, . Si p 2 1, cette application envoie Rp = Aotpdans Cl-1t1et définit donc, par passage au quotient, un homomorphisme: ~':A~'O/A-+O 'S~p ; en outre, si p 2 2, T' commute avec le bord et définit donc: + + Or Hp(A/R)= CQ'O/(C;'" ~ 1 'et~ H),(B ) = ~2'O/(Cip-'" BI"). Il suit de ni cPz:" là que le noyau de est égal à l'image de l'application canonique: -+ H,(A/R), et que l'image de ri est égale A: On peut résumer ceci en disant que la suite: est exacte, et que le composé: Hp(A/R)-+ E;" -+ E[,O = HP(&)n'est autre que a*f . Un diagramme. Considérons le diagramme (1)qui suit.