Reiner KreiBig Ulrich Benedix Hohere Technische Mechanik Lehr- und Ubungsbuch Springer-Verlag Wien GmbH Prof. Dr.-Ing. Reiner KreiBig Dr.-Ing. Ulrich Benedix Institut fiir Mechanik Technische Universităt Chemnitz Chemnitz, Bunelesrepublik Deutschlanel Das Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die elaelurch begriineleten Rechte, insbesonelere elie eler Dbersetzung, eles Nachelruckes, eler Entnahme von Abbilelungen, eler Funksenelung, eler Wieelergabe auf photomechanischem oeler ăhnlichem Wege unel eler Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Proelukthaftung: Sămtliche Angaben in eliesem Fachbuch (wissenschaftlichen Werk) erfolgen trotz sorgfăltiger Bearbeitung unel Kontrolle ohne Gewăhr. Insbesonelere Angaben iiber Dosie rungsanweisungen unel Applikationsformen miissen vom jeweiligen Anweneler im Einzelfall anhanel anelerer Literaturstellen auf ihre Richtigkeit iiberpriift werelen. 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ISBN 978-3-211-83813-6 ISBN 978-3-7091-6135-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-7091-6135-7 Vorwort Die vorliegende Einfuhrung in die Hohere Technische Mechanik basiert auf einer Lehrveranstaltung fur Studenten des Maschinenbaus, die wir seit zirka 10 Jahren an der Technischen Universitat Chemnitz halten. Sie ist auf Probleme der linea ren Elastizitatstheorie beschrankt. Ihr Ziel besteht in der Schlief&ung der Lucke zwischen den Grundlagen der Mechanik deformierbarer Festkorper als Teilgebiet der Technischen Mechanik und einem der wichtigsten numerischen Verfahren, der Methode der finiten Elemente (FEM). Damit werden die erforderlichen Vor kenntnisse fUr eine Vertiefung der FEM zur Verfugung gestellt. 1m 1. Kapitel erfolgt die Behandlung einiger Grundbeziehungen der Tensor rechnung. Ihre Anwendung ermoglicht eine kompakte Darstellung des weiteren Inhalts. Auf&erdem ist die Kenntnis des Tensorkalkiils eine notwendige Voraus setzung fUr das Verstandnis von Ergebnissen der theoretischen Ingenieurwissen s chaft en , zu denen auch die FEM-Handbucher gehOren. Das 2. Kapitel enthalt die stoffunabhangigen und die stoffabhangigen Grund lagen der linearen Elastizitatstheorie. Dabei konnte auf die Erlauterung solcher Probleme wie der Transformation der Koordinaten des Spannungs-und des Ver zerrungstensors bei Drehung des Basissystems und der Hauptachsentransforma tion verzichtet werden, weil diese bereits in einem allgemeinen Zusammenhang (1. Kapitel) erklart wurden. Die Randwertprobleme der linearen Elastizitatstheorie und ihre analytische Losung fur spezielle FaIle sind Gegenstand des 3. Kapitels. Hier besteht das vorrangige Ziel darin, die notwendigen Voraussetzungen fUr die richtige Anwen dung kommerzieller Software zu schaffen. Schwerpunkte sind die Formulierung von Randbedingungen und das Erkennen von Gradienten der Feldgrof&en z. B. infolge grof&er Querschnittsanderungen und konzentrierter Lasteintragungen. In dies em Kontext ist auch die EinfUhrung des rotationssymmetrischen Problems im Allgemeinen sowie des zugehorigen Verschiebungsrandwertproblems im Be sonderen zu verstehen. Am Anfang des 4. Kapitels werden Prinzipe der Mechanik behandelt. Ihnen schlief&t sich die Beschreibung des Ritzschen Verfahrens zur Erzeugung von Na herungslOsungen an. Diese Vorgehensweise bildet in leicht modifizierter Form den Zugang zur Methode der finiten Elemente. Fur die Darstellung der Grund lagen der FEM und deren Anwendung auf das 4-Knoten-Rechteck-Element als einfaches Beispiel wird die hier vorteilhaftere Matrixnotation eingesetzt. VI Der Anhang enthiilt zahlreiche Ubungsaufgaben zu allen Kapiteln mit rela tiv ausfiihrlichen Losungen und dient sowohl der Anwendung der theoretischen Grundlagen als auch der Ausbildung gewisser Fertigkeiten. Mit Ausnahme eini ger klassischer Beispiele wie der eingespannten Rechteckscheibe, der gelochten Scheibe unter Zug oder der durch eine Einzelkraft belasteten Halbebene handelt es sich urn eigene Aufgaben. An ihrer Entwicklung war der ehemalige Mitarbei ter an der Professur Festkorpermechanik Herr Dr.-Ing. E. Bohnsack beteiligt, dem an dieser Stelle gedankt sei. Herrn Dr.-Ing. Uwe-Jens Gorke gebiihrt ein herzlicher Dank fiir die kritische Korrekturlesung und seine Verbesserungsvorschliige. Dem Lehrbuchcharakter entsprechend, wurde den Kapiteln lediglich eine Auswahl weiterfiihrender Literatur angefiigt. Reiner Kreii6ig, Ulrich Benedix Inhalt sverzeichnis 1 Einfiihrung in die Tensorrechnung 1 1.1 Motivation 1 1.2 Tensor begriff 1 1.3 Tensorkoordinatentransformation 5 1.4 Tensoralgebra ..... 8 1.4.1 Tensoraddition 8 1.4.2 Tensormultiplikation 9 1.5 Hauptachsentransformation fur symmetrische Tensoren zweiter Stufe 12 1.6 Tensorfelder, Differenzialoperationen 14 1.7 Flachenvektor, Gauf&scher Integralsatz 16 2 Grundgleichungen der linearen Elastizitiitstheorie 19 2.1 Stoffunabhangige Gleichungen . 19 2.1.1 Vorbemerkung .... 19 2.1.2 Statische Grundlagen 19 2.1.2.1 Spannungsvektor, Spannungstensor 19 2.1.2.2 Impulssatz ... 23 2.1.2.3 Drehimpulssatz. 25 2.1.2.4 Gleichgewichtsbedingungen 27 2.1.3 Geometrische Grundlagen ..... 28 2.1.3.1 Bewegung, Verschiebung 28 2.1.3.2 Verzerrung, Rotation .. 29 2.1.3.3 Kompatibilitatsbedingungen 33 VII VIII 2.2 Stoffabhiingige Gleichungen .............. . 35 2.2.1 Begriindung der Notwendigkeit stoffabhiingiger Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Linearelastisches Materialverhalten . 35 2.2.3 Thermoelastizitat .......... . 38 2.2.4 Orthotropie, transversale Isotropie, Isotropie 39 3 Analytische Losung des Randwertproblems der linearen Elastizitatstheorie 43 3.1 Motivation .......... . 43 3.2 Randwertprobleme der Iinearen Elastizitatstheorie ...... . 43 3.3 SpannungsformuIierung bei Isotropie 46 3.3.1 Ebener Spannungszustand . 46 3.3.2 Ebener Verzerrungszustand 48 3.4 Verschiebungsformulierung ..... 50 3.4.1 Grundgleichungen der Elastizitatstheorie in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . 50 3.4.2 Das axialsymmetrische Problem. . . . . 53 3.4.2.1 Definition, Grundgleichungen . 53 3.4.2.2 Ebener Spannungszustand . 54 3.4.2.3 Ebener Verzerrungszustand . 56 3.5 Das Prinzip von de Saint Venant ...... . 57 4 Allgemeine Losungsmethoden 59 4.1 Prinzipe der Mechanik .... 59 4.1.1 Prinzip der virtuellen Verschiebungen 59 4.1.2 Prinzip vom Minimum des elastischen Gesamtpotenzials ...... . 63 4.1.3 Prinzip der virtuellen Krafte 65 4.2 Das Verfahren von Ritz ... 67 4.3 Methode der finiten Elemente 70 4.3.1 EinfUhrung ..... . 70 4.3.2 Verschiebungsansatz. 71 4.3.3 Anwendung des Verfahrens von Ritz auf ein Element. 74 4.3.4 FEM fUr das Grundgebiet . . . . . . . . . . . . . . . . 76 IX 4.3.5 Das 4-Knoten-Rechteck-Element 79 4.3.5.1 Verschiebungsansatz .. 79 4.3.5.2 Elementsteifigkeitsmatrix 82 4.3.5.3 Element belast ungsvektor 84 4.3.5.4 Grobstruktur eines FEM-Programms 90 4.3.5.5 Ein Beispiel. . . . . . 91 Anhang Ubungsaufgaben mit Losungen 93 A.l Aufgaben zu Kapitel 1 93 A.2 Aufgaben zu Kapitel 2 113 A.3 Aufgaben zu Kapitel 3 127 A.4 Aufgaben zu Kapitel 4 154 Sachverzeichnis 171 Kapitell Einfiihrung in die Tensorrechnung 1.1 Motivation Der Tensorkalkiil stellt ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in der Physik sowie zunehmend in den theoretischen Ingenieurwissenschaften dar. Seine An wendung ermoglicht bei nur wenigen Rechenregeln eine kompakte Darstellung komplizierter Zusammenhange. Da z. B. in den Handbiichern fiir kommerzielle Software (Methode der finiten Elemente, der Randelemente u. a.) die konti nuumsmechanischen Grundlagen unter Verwendung dieses Kalkiils beschrieben werden, sind entsprechende Kenntnisse auch im Anwendungsbereich erforder lich. 1m Weiteren wird der dreidimensionale euklidische Raum R3 der Anschau ung zu Grunde gelegt. Beim Ubergang auf die Komponenten- und Koordina tendarstellung von Tensoren erfolgt eine Beschrankung auf die orthonormierte (kartesische) Basis. Au~erdem werden nur diejenigen Grundlagen erlautert, wel che fUr das Verstandnis der folgenden Kapitel erforderlich sind. Bei der Behandlung der "Allgemeinen Losungsmethoden" (Kapitel 4) wird parallel die Matrizenschreibweise verwendet. Deshalb werden im Kapitel 1 be stehende Zusammenhange mit der Matrizenrechnung beriicksichtigt. 1.2 Tensorbegriff Tensoren sind gerichtete, physikalische oder geometrische Gro~en. Die Anzahl n der den Tensor charakterisierenden Richtungen wird Sture genannt. 1 R. Kreißig et al., Höhere Technische Mechanik © Springer-Verlag/Wien 2002 2 1 Tensorrechnung Die symbolische Darstellung von Tensoren wird wie folgt vereinbart: a, A Tensor nullter Stufe Beispiele: Temperatur, Dichte Q, A. Tensor erster Stufe Beispiele: Verschiebung, Geschwindigkeit, Kraft, Moment 4 g" Tensor zweiter Stufe Beipiele: Spannung, Verzerrung 4 g" Tensor dritter Stufe Q(n), A.(n) Tensor n-ter Stufe Fur die Komponenten- und Koordinatenschreibweise im dreidimensiona len euklidischen Raum R3 wird die orthonormierte oder kartesische Basis (siehe Abb. 1.1) eingefuhrt, wobei zur Kennzeichnung der drei Basisvektoren die Ziffern 1, 2 und 3 anstelle von x, y und z dienen. ~1 Abb. 1.1: Orthonormiertes Basissystem Ein orthonormiertes Basissystem besteht aus drei zueinander orthogonalen Ein heitsvektoren. (1.1) Fur das Skalarprodukt der Basisvektoren mit i, j = 1, 2, 3 gilt unter Beachtung von (1.1) (1.2) mit dem Kronecker-Symbol I fUr i=j 8·· - { (1.3) 1) - 0 fUr i -=I j Bezuglich der Basis (1.1) besitzt ein Vektor die Komponentendarstellung (vgl. Abb. 1.2) (1.4)