Wolfram Koepf Hijhere Analysis mit DERIVE Aus dem Programm ____________ _ Computeralgebra w. Koepf, A. Ben-Israel und R. P. Gilbert Mathematik mit DERIVE N. Blachmann Mathematica griftbereit E. Heinrich und H.-D. Janetzko Das Mathematica Arbeitsbuch N. Blachmann Maple grit1bereit (in Vorbereitung) E. Heinrich und H. D. Janetzko Das Maple Arbeitsbuch (in Vorbereitung) ________________ ~eweg ~ Wolfram Koepf Hiihere Analysis mit DERIVE Mit zahlreichen Abbildungen, Beispielen und Ubungsaufgaben sowie Mustersitzungen mit DERIVE I I Vleweg Adresse des Autors: Dr. habil. Wolfram Koepf Konrad-Zuse-Zentrum flir Informationstechnik Heilbronnerstr.10 10711 Berlin e-mail [email protected] Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Koepf, Wolfram: Hohere Analysis mit DERIVE: mit zahlreichen Abbildungen, Beispielen und Ubungsaufgaben sowie Mustersitzungen mit DERIVE / Wolfram Koepf. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg,1994 ISBN-13: 978-3-528-06594-2 e-ISBN-13: 978-3-322-83118-7 001: 10.1007/978-3-322-83118-7 Aile Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 1994 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann International. Das Werk einschliel3lich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung aul3erhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuliissig und strafbar. Das gilt ins besondere flir Vervielfiiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf siiurefreiem Papier v Vorwort Dies ist der zweite Tell des im Rahmen meiner Analysis-Vorlesungen am Fachbereich Mathematik der Freien Universitat Berlin entstandenen Materials, das den Band Koepf, W., Ben-Israel, A. und Gilbert, R. P. Mathematik mit DERIVE Vieweg-Verlag, Braunschweig-Wiesbaden, 1993 ISBN 3-528-06549-4 fortsetzt. Bei Verweisen auf Satze, Definitionen, Beispiele usw. aus dem Buch Ma thematik mit DERIVE ist die entsprechende Nummer mit einer vorgestellten ,,1." angegeben. Ferner ist zum einfacheren Auffinden die jeweilige Seitenzahl ebenfalls zitiert. Das vorliegende Buch behandelt den fiblichen Kanon der mehrdimensionalen Ana lysis, wie er an einer deutschen Hochschule im Rahmen des zweiten und teilweise des dritten Semesters durchgenommen wird, mit dem Unterschied, daB wieder das Computeralgebrasystem DERIVE als didaktisches Hilfsmittel eingesetzt wird. Die Analysis-Vorlesung habe ich vom Sommersemester 1992 bis zum Sommersemester 1993 abgehalten, nachdem ich mich im Rahmen eines Forschungsstipendiums der Alexander von Humboldt-Stiftung zusammen mit Robert P. Gilbert (University of Delaware, USA) und Adi Ben-Israel (Rutgers-University, USA) fUr ein Jahr an der University of Delaware mit der Einbindung von DERIVE in die Mathematikausbil dung beschaftigt hatte. Ferner wurde mein Projekt in den Jahren 1990-1992 von der FNK (Standige Kommission fUr Forschung und wissenschaftlichen Nachwuchs) der FU. Berlin gefordert. DERIVE vereinigt graphische Fahigkeiten, die der Bearbeitung mit Papier und Blei stift ganzlich versagt bleiben, mit bemerkenswerten numerischen und symbolischen Rechenfahigkeiten, die haufig fiber die Moglichkeiten einer Handberechnung weit hinausgehen, und ist dabei kinderleicht zu bedienen. Hat man bereits die eindimen sionale Analysis mit DERIVE unterrichtet, konnen sich die Studenten dieser Fahig keiten nun bereits recht professionell bedienen, was die Verstandlichmachung vieler mehrdimensionaler Konzepte sehr erleichtert, ob nun durch dreidimensionale Gra phiken, durch numerische oder durch symbolische Rechnungshilfestellungen. Ich ha be DERIVE gegenfiber anderen Computeralgebrasystemen wie AXIOM, MACSYMA, MAPLE, MATHEMATICA oder REDUCE den Vorzug gegeben, da es auf jedem IBM kompatiblen PC laufi'ahig, recht preiswert und dabei besonders benutzerfreundlich ist. Hinzukommt, daB DERIVE nur bescheiden programmierfahig ist, mit dem Vor teil, daB man auch keine Zeit ffir eine Programmierausbildung verschwenden kann. Ich habe weiterhin die Erfahrung gemacht, daB Studentinnen und Studenten, die erst einmal Erfahrungen mit DERIVE gesammelt haben, dann auch keine oder nur geringe Schwierigkeiten haben, ein anderes Computeralgebrasystem anzuwenden. VI Vorwort In erster Linie ist das Buch fiir Mathematikstudenten an deutschen Hochschulen ge dacht. Es ermoglicht, den kanonischen Stoff durchzunehmen und den Studentinnen und Studenten gleichzeitig die intelligente Benutzung von DERIVE beizubringen. Dabei wurde die Benutzung von DERIVE nicht zum Selbstzweck, sondern als di daktisches Hilfsmittel eingesetzt. Wirklich rechenintensive Problemstellungen sind dann nicht von vornherein aussichtslos. Die im Buch integrierten DERIVE-Sitzungen habe ich als Dozent mit DERIVE vor gefiihrt. Dazu geniigen im Prinzip Folien mit der Bildschirminformation von DE RIVE. Besser ist natiirlich ein LCD-Display-Bildschirm, mit dem sich mit Hilfe eines Overheadprojektors der Computerbildschirm an die Wand projizieren laBt. Mit die ser Ausriistung konnen die DERIVE-Sitzungen direkt vorgefiihrt werden. In der Regel war eine der 5 wochentlichen Ubungsaufgaben zur expliziten Benut zung von DERIVE gedacht. Zur Behandlung der Ubungsaufgaben standen meinen Studentinnen und Studenten die PCs des Computer-Labors am Fachbereich Mathe matik zur Verfiigung. 1m iibrigen stellte sich heraus, daB nur sehr wenige Studentinnen und Studenten noch keine Beriihrung mit Computerprogrammen gehabt hatten und daB den mei sten die Arbeit mit DERIVE leicht fiel. Die Benutzung von Computeralgebraprogrammen wie DERIVE im Mathematikun terricht ist ein hochaktuelles Thema, wie folgende Beispiele zeigen: • In der Zeitschrift Didaktik der Mathematik und in weiteren didaktikorientier ten Zeitschriften wird dieses Thema seit einiger Zeit ausgiebig erortert. Ferner gab es etliche Tagungen zu dieser Fragestellung. Man siehe dazu z. B. die auf S. 191-194 zitierten Arbeiten. Aus der Fiille derartiger Veroffentlichungen ha be ich hauptsachlich die deutschsprachigen in meine Liste aufgenommen. • Ab 1994 wird viermal jahrlich die Zeitschrift The International DERIVE Jour nal erscheinen, die sich insbesondere der Einbindung von DERIVE in die ma thematische Ausbildung widmen wird. Der Autor dieses Buchs ist ein Mitglied des internationalen Herausgebergremiums. • Das osterreichische Unterrichtsministerium hat eine Lizenz von DERIVE fiir Osterreichs Gymnasien erworben, s. [Kutzler]. Daher mochte ich die Lektiire und den Einsatz dieses Buchs auch folgendem Perso nenkreis warmstens ans Herz legen: • Gymnasiallehrerinnen und -lehrer, die in ihrem Unterricht mit DERIVE arbei ten wollen und das Buch dazu als zusatzliches Unterrichtsmaterial verwen den, werden vielfaltige Anregungen fiir die Anwendung von DERIVE schopfen konnen. Ich empfehle die Vorstellung zum Stoff passender DERIVE-Sitzungen zusammen mit der Bearbeitung der mit dem Symbol <> versehenen Ubungs aufgaben. Einige davon verbinden in ausgezeichneter Weise mathematische Wissensvermittlung mit dem Einsatz von DERIVE. VII • Besonders interessierte Schtilerinnen und Schiiler der gymnasialen Oberstufe konnen mit Hilfe von DERIVE auch ein wenig Luft in der hoheren Mathe matik schnuppern, und sie werden sogleich ausgebildet in der Benutzung ei nes Mathematikprogramms, das vielleicht in Kiirze bereits die Taschenrechner ablosen wird. Schon jetzt gibt es DERIVE im Westentaschenformat, s. [Kutz ler]. • Schlie6lich bietet sich das Bu.ch fiir die Benutzung in der Mathematikausbil dung an Fachhochschulen an. Gerade hier, wo es auf eine praxisnahe Ausbil dung ankommt, kommt man an Mathematikprogrammen in der nahen Zukunft nicht vorbei. Zwar ist das Gesamtniveau des Buchs sowohl fiir Gymnasien als auch fiir Fachhoch schulen ohne Zweifel zu hoch, wenn man aber die Beweise wegla6t bzw. verkiirzt und sich auf die Benutzung von DERIVE konzentriert, kann das Buch gute Hilfe leisten. Hier seien einige Beispiele moglicher Unterrichtsprojekte aufgefiihrt, bei denen die Benutzung von DERIVE sehr hilfreich sein kann: • Mehrdimensionale Grenzwerte und stetige Fortsetzung, s. § 1.4. • Extrema von Funktionen zweier Variablen, s. § 2.4. • Polynomapproximation impliziter Funktionen und von Losungen gewohnlicher Differentialgleichungen, s. § 3.1, § 4.1, § 4.3 sowie [Koepf2]. • Iteration und Fixpunkte, s. § 3.2-§ 3.3. • Graphische Darstellung zweidimensionaler Kurven und Berechnung von Kur venlangen, s. Kapitel 5. • Anwendung des 'Transformationssatzes mehrdimensionaler Integrale, s. § 6.4. Nun ein paar Worte zur Gestaltung des vorliegenden Buchs: • Fiir Dezimaldarstellungen verwende ich den Dezimalpunkt statt des Dezimal kommas, zum einen, um eine mit Taschenrechner- oder Computerausgaben vertragliche DarsteUung zu gewahrleisten, zum anderen, um Verwechslungen bei Vektoren vorzubeugen. • Die Graphiken wurden mit dem Computeralgebrasystem MATHEMATICA er zeugt und die generierten POSTSCRIPT-Versionen habe ich noch einer pro grammiertechnischen Verfeinerung unterzogen. • Ubungsaufgaben, die besonders wichtig fiir das Verstandnis des behandelten Stoffs sind und im weiteren verwendet werden, soUten von jeder/m Lernenden bearbeitet werden und sind durch das Symbol gekennzeichnet. 0 VIII Vorwort • Besonders schwierige oder technische Ubungsaufgaben sind mit einem Stern (*) gekennzeichnet. Sie sind nur beim Einsatz des Buchs an Hochschulen ge dacht. • Ubungsaufgaben, die fur Handberechnung zu langwierig erscheinen, tragen das Symbol 0 und sollten mit DERIVE bearbeitet werden. Ich ermuntere aus drucklich dazu, auch andere Ubungsaufgaben - sofern nicht explizit anders gefordert - unter Zuhilfenahme von DERIVE zu li:.isen. Auch - oder gerade-, wenn die Losung mit DERIVE nicht immer auf Anhieb gelingen wird, ist der Lerneffekt graB: Bei der Bearbeitung jeder Ubungsaufgabe lernt der SchUler oder Student sowohl einen mathematischen SachverhaIt als auch etwas Neues zur Bedienung von DERIVE dazu. • Englische Ubersetzungen wichtiger mathematischer Fachausdrucke sind aIs FuBnoten angegeben, da Fachliteratur heutzutage meist auch von deutschen Autoren auf Englisch geschrieben wird. Zudem tragen aIle DERIVE Menus und Funktionen englische Namen. • Gleichungen, auf die verwiesen wird, sind durchnumeriert und recbts mit einer Gleichungsnummer versehen. Tritt eine Gleichungsnummer links auf, so han delt es sich um eine Gleichung, die bereits fruher vorkam und zur Erinnerung noch einmal aufgeschrieben wurde. • Das Ende von Beispielen, Definitionen usw. wird durch das ll-Zeichen angege ben, falls es nicht mit dem Beginn eines neuen Beispiels, einer neuen Definition usw. zusammenfaIlt. Das Ende eines Beweises ist durch das D-Zeichen gekenn zeichnet. • Die Ausgaben von DERIVE sind teilweise versionsabhangig und ebenso von einigen Einstellungen abhangig. In diesem Licht mussen die angegebenen Aus gaben betrachtet werden. Sie konnen nicht unbedingt genau so reproduziert werden. Ich habe, sofern nicht anders angegeben, grundsatzlich die Standard einstellung bei der Version 2.58 verwendet. • Gegen Uberweisung von 20, - DM (Wolfram Koepf, Postbank Berlin, Bank leitzahl100 100 10, Kontonummer 40 26 21- 109, Verwendungszweck: Diskette "Hohere Analysis", 5.25 oder 3.5 Zoll, mit vollstandiger Adresse) kann beim Autor wieder eine Diskette bestellt werden, die aIle DERIVE-Sitzungen sowie die mit DERIVE bearbeiteten Ubungsaufgaben enthaIt. IX Ich mochte mich an dieser Stelle bei allen recht herzlich bedanken, die bei der Durchfuhrung des vorliegenden Buchprojekts mitgewirkt bzw. sie ermoglicht ha ben. Insbesondere bedanke ich mich bei der Alexander von Humboldt-Stiftung flir das zur Verfugung gestellte Feodor-Lynen-Forschungsstipendium, bei der FU Berlin fur die Forderung meines Forschungsprojekts Symbolische Programmierung sowie beim Fachbereich Mathematik der Freien Universitat Berlin fur die Zuweisung eines Forschungstutors. Berlin, am 10. Dezember 1993 Wolfram Koepf AXIOM@ ist ein eingetragenes Warenzeichen der "Numerical Algorithms Group Ltd." DERIVE@ ist ein eingetragenes Warenzeichen von "Soft Warehouse, Inc." MACSYMA@ ist ein eingetragenes Warenzeichen von "Macsyma Inc." MAPLE@ ist ein eingetragenes Warenzeichen von" Waterloo Maple Software" MATHEMATICA@ ist ein eingetragenes Warenzeichen von "Wolfram Research, Inc." POSTSCRIPT@ ist ein eingetragenes Warenzeichen von "Adobe Systems, Inc." MS-Dos@ ist ein eingetragenes Warenzeichen von "Microsoft Corp." PC-Dos@ ist ein eingetragenes Warenzeichen von "IBM Corp." x Inhaltsverzeichnis 1 Metrische Rliume und Stetigkeit 1 1.1 Konvergenz in metrischen Mumen , , , , , , , , 1 1.2 Topologie metrischer Raume, , , , , , , , , , , , 8 1,3 Stetige Funktionen zwischen metrischen Mumen 12 1.4 Stetigkeit von Vektorfunktionen mehrerer Variablen 16 2 Mehrdimensionale Differentiation 22 2,1 Partielle Differenzierbarkeit , , , , , , , , , , , , , 22 2,2 Differenzierbarkeit mehrdimensionaler Funktionen 31 2,3 Taylorsche Formel """", 41 2.4 Lokale Extrema , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 47 3 Implizite Funktionen und Iteration 53 3,1 Implizite Funktionen zweier Variablen 53 3,2 Iteration in metrischen Raumen , , , , 58 3,3 Implizite Funktionen mehrerer Variablen , 66 4 Gewohnliche Differentialgleichungen 72 4,1 Explizite Differentialgleichungen erster Ordnung 72 4,2 Elementare Losungstechniken , , , , , , , 79 4,3 Differentialgleichungen hOherer Ordnung , 91 5 Kurven im Rn 109 5,1 Parameterdarstellungen von Kurven 109 5,2 Kurven und Tangenten, , , , , , , , 113 5,3 Rektifizierbarkeit und Kurvenlange , 118 5.4 Funktionen mit beschrankter Variation, 125 5,5 Riemann-Stieltjes-Integrale , 128 5,6 Kurvenintegrale""""""" 133 6 Mehrdimensionale Integration 143 6,1 Integration fiber Quader , , , , , , , , , , , 143 6,2 Iterierte Integrale und der Satz von Fubini , 146 6,3 Integration fiber Jordan-mefibare Mengen 150 6.4 Der Transformationssatz , , , , , , , , , , , 159 7 Integralsatze 169 7,1 Der zweidimensionale Integralsatz von Gaufi , 169 7,2 Dreidimensionale Flachen , , , , , , , , , , 175 7,3 Der dreidimensionale Integralsatz von Gaufi 182 7.4 Der Satz von Stokes , , , , , , , , , , , , , 186