Roshdi Rashed Histoire de l’analyse diophantienne classique Scientia Graeco-Arabica herausgegeben von Marwan Rashed Band 12 De Gruyter Histoire de l’analyse diophantienne classique D’Abu¯ Ka¯mil a` Fermat par Roshdi Rashed De Gruyter ISBN 978-3-11-033685-6 e-ISBN 978-3-11-033788-4 ISSN 1868-7172 LibraryofCongressCataloging-in-PublicationData ACIPcatalogrecordforthisbookhasbeenappliedforattheLibraryofCongress. BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschen Nationalbibliografie;detailliertebibliografischeDatensindimInternet überhttp://dnb.dnb.deabrufbar. (cid:2)2013WalterdeGruyterGmbH,Berlin/Boston DruckundbuchbinderischeVerarbeitung:Hubert&Co.GmbH&Co.KG,Göttingen (cid:2)(cid:2)GedrucktaufsäurefreiemPapier PrintedinGermany www.degruyter.com PRÉFACE L’histoire de l’analyse indéterminée – diophantienne – classique est l’exemple typique d’une histoire non linéaire. Diophante d’Alexandrie, qui lui a prêté son nom, n’a pas à proprement parler étudié l’analyse indétermi- née, même s’il en a entrevu certains aspects. C’est plus tard que son livre, les Arithmétiques, est intervenu dans cette histoire, après la fondation de l’analyse indéterminée : la première fois au IXe siècle et la seconde à partir de la fin du XVIe siècle. Il fallait en effet au préalable que l’algèbre fût fondée comme discipline distincte de la géométrie et de l’arithmétique, discipline à la fois algorith- mique et démonstrative, pour que le projet de l’analyse indéterminée pût être conçu et élaboré dans ce même style théorique. C’est donc dans cet ordre que se présente son histoire : il y eut d’abord al-Khwārizmī et son Algèbre, avant que son successeur Abū Kāmil (seconde moitié du IXe siècle), qui voulait donner de nouvelles frontières à l’algèbre, puisse penser l’analyse indéterminée. Il l’a conçue comme un nouveau chapitre de l’algèbre qui, à la différence de l’algèbre d’al-Khwārizmī où l’on traite des problèmes déterminés, porte sur les problèmes indéterminés. À partir d’Abū Kāmil et jusqu’au XVIIIe siècle au moins, on trouve dans tout traité substantiel d’algèbre un chapitre consacré à l’analyse indéterminée, ou diophantienne. Deux événements cruciaux, perçus comme tels par les mathématiciens, ont marqué les débuts de l’analyse indéterminée. Le premier est intrinsèque à l’algèbre : à la fin du Xe siècle, al-Karajī a forgé un nouveau projet, arith- métiser l’algèbre, pour la réalisation duquel il a mené la première étude des polynômes et des équations polynomiales. Le second événement est la tra- duction en arabe de sept livres des Arithmétiques de Diophante. Les algé- bristes ont puisé dans cette traduction matériaux et méthodes et ont déve- loppé et réorganisé l’analyse indéterminée rationnelle qu’ils avaient héritée d’Abū Kāmil. C’est le point de départ d’une tradition de recherche en ana- lyse diophantienne rationnelle, en arabe d’abord puis en latin. En même temps, d’autres mathématiciens, certes familiers de l’algèbre, ont cependant choisi de lire certaines parties des Arithmétiques au moyen des normes et des méthodes de l’arithmétique. Ces mathématiciens – à partir d’al- Khujandī et d’al-Khāzin – ont développé l’autre versant de l’analyse indé- VI Préface terminée : l’analyse diophantienne entière et la théorie des nombres. Avec cette nouvelle recherche, on assiste cette fois à l’émergence d’une seconde tradition, qui traversera plusieurs siècles. Sans que l’histoire se répète à l’identique, on observe à partir de la fin du XVIe siècle deux phénomènes semblables à ceux que nous venons de décrire. À partir des Arithmétiques retrouvées (les six livres grecs) les algé- bristes, comme Bombelli, renouvellent la recherche en analyse diophan- tienne rationnelle alors que Bachet de Méziriac, et surtout Fermat, tout en poursuivant l’étude de ce même domaine, s’attachent à l’analyse diophan- tienne entière et à la théorie des nombres. C’est précisément Fermat qui inaugure un nouveau commencement de cette analyse diophantienne entière, en orientant toujours davantage ses recherches vers l’étude des for- mes quadratiques binaires. Là est le commencement moderne de l’analyse diophantienne, laquelle sera poursuivie et développée par Euler, Lagrange et Legendre. Notre projet, on l’a compris, est moins de réunir dans un livre les nou- veaux résultats que de restituer les traditions mathématiques qui les portent. Dans cette perspective, on examinera des contributions dont les unes sont inconnues, d’autres méconnues, d’autres encore déjà étudiées avec compé- tence et talent, et qui toutes sont l’œuvre des plus grands mathématiciens entre le IXe et le XVIIe siècle, entre Abū Kāmil et Fermat. Ce livre se situe entre deux autres. Dans le premier, Les Arithmétiques de Diophante : lecture historique et mathématique1, nous étudions tous les problèmes résolus par Diophante dans les dix livres qui nous sont parvenus des Arithmétiques – six en grec et quatre en arabe. On y suit pas à pas l’analyse menée par Diophante, ses méthodes et ses résultats. Le livre aujourd’hui présenté prolonge pour ainsi dire le premier puisqu’on y étudie l’intégration de l’ouvrage de Diophante dans l’histoire de l’analyse indé- terminée pendant les huit siècles où les Arithmétiques furent actives et fécondes. Dans le second livre, D’al-Khwārizmī à Descartes : Études sur l’histoire des mathématiques classiques2, on présente des recherches sur l’histoire de l’algèbre, de la géométrie, de la géométrie infinitésimale, etc. On verra que cette étude de l’analyse diophantienne classique le complète. 1 R. Rashed et C. Houzel, Les Arithmétiques de Diophante : lecture historique et mathématique, Berlin, Walter de Gruyter, 2013. 2 R. Rashed, D’al-Khwārizmī à Descartes : Études sur l’histoire des mathéma- tiques classiques, Paris, Hermann, 2011. Préface VII Cette fois encore, c’est avec grand plaisir que je dis toute ma gratitude à Christian Houzel qui m’a fidèlement accompagné dans l’élaboration de ce livre et m’a fait profiter de sa lecture et de ses critiques. Les erreurs et les faiblesses sont bien sûr les miennes. Je remercie vivement Madame Aline Auger qui, avec scrupule et compétence, a préparé le manuscrit à l’impression et composé les index. Roshdi Rashed Bourg-la-Reine, mars 2013 SOMMAIRE PRÉFACE .............................................................................................................. V CHAPITRE I : L’ALGÈBRE ET LE COMMENCEMENT DE L’ANALYSE DIOPHANTIENNE RATIONNELLE 1. Analyse de Diophante et analyse diophantienne .................................................. 1 2. Abº Kæmil(cid:1): l’analyse diophantienne comme chapitre de l’algèbre ..................... 2 2.1. Équations et systèmes d’équations du second degré .................................... 5 2.2. Analyse diophantienne rationnelle du premier degré ................................... 29 2.3. Analyse diophantienne entière du premier degré ......................................... 33 2.4. Conclusion .................................................................................................. 35 3. Al-Karajî(cid:1): une nouvelle organisation de l’analyse diophantienne rationnelle ...... 36 3.1. Équations indéterminées du second degré ................................................... 40 3.2. Systèmes d’équations indéterminées du second degré ................................. 58 4. L’analyse diophantienne rationnelle après al-Karajî : al-Samaw’al ...................... 75 CHAPITRE II : L’ANALYSE DIOPHANTIENNE ENTIÈRE DU SECOND DEGRÉ Introduction ............................................................................................................ 79 1. Al-Khæzin : Les triangles rectangles numériques et les nombres congruents ....... 85 2. Al-Sijzî et Abº al-Jºd (Xe siècle) ........................................................................ 97 2.1. Al-Sijzî(cid:1): géométrie des entiers et induction complète finie.......................... 98 2.2. Abº al-Jºd ibn al-Layth............................................................................... 102 3. Fibonacci : Le Liber Quadratorum ..................................................................... 110 4. Les congruences : Ibn al-Haytham, al-Khilæ†î et al-Yazdî ................................... 119 4.1. Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson .................................................... 119 4.2. Al-Yazdî et la solution de l’équation x12+x22+º+x2n= x2........................ 125 CHAPITRE III : LES PROBLÈMES IMPOSSIBLES EN NOMBRES RATIONNELS ET LES PROBLÈMES INACCESSIBLES 1. La découverte des problèmes impossibles ........................................................... 131 2. Problèmes impossibles et problèmes inaccessibles : la collection d’Ibn al-Khawwæm ......................................................................... 137 3. Analyse diophantienne et analyse logico-philosophique ..................................... 157 CHAPITRE IV: L’ANALYSE DIOPHANTIENNE, DE BOMBELLI À FERMAT I. L’ANALYSE DE DIOPHANTE : DE BOMBELLI À BACHET ........................ 163 1.1. Diophante retrouvé : Bombelli, Gosselin, Stevin ......................................... 165 1.1.1. Rafael Bombelli ................................................................................... 165 1.1.2. Guillaume Gosselin de Caen ................................................................ 167 1.1.3. Simon Stevin ....................................................................................... 171 1.2. François Viète : une nouvelle orientation de l’analyse de Diophante ........... 174 X Sommaire 1.3. Bachet de Méziriac : réactivation de l’analyse indéterminée ........................ 205 II. FERMAT 2.1. La formation d’un projet : les traditions croisées .............................................. 218 2.1.1. L’année 1636 ........................................................................................... 221 2.1.2. Les recherches en théorie des nombres à partir des années 1636-1640 ...... 225 2.2. L’analyse diophantienne rationnelle ................................................................. 240 2.2.1. Les doubles équations .............................................................................. 241 2.2.2. La triple équation ..................................................................................... 250 2.2.3. Équations indéterminées du troisième et quatrième degré ......................... 253 2.3. Les recherches en analyse diophantienne entière et en théorie des nombres : 1640-1659 ......................................................................................................... 261 2.3.1. La descente infinie ................................................................................... 263 2.3.2. Les extensions de la méthode de la descente ............................................. 273 2.3.3. Le théorème de [Pell]-Fermat ................................................................... 290 2.3.4. Le projet achevé ....................................................................................... 303 NOTES COMPLÉMENTAIRES 1. Deux problèmes inaccessibles ............................................................................ 311 I. Équation x4 + a = y2, a entier, d’al-Karajî ....................................................... 311 II. Équation y3 = ax2 + bx d’al-Samaw’al ............................................................ 317 2. Frenicle : méthode de la descente infinie ............................................................ 321 APPENDICE: Ibn al-Khawwæm, FaÒl fî dhikr al-masæ’il allatî læ yumkin an yu’tæ bi-jawæb wæÌida minhæ ............................................................................ 323 INDEX DES NOMS PROPRES ............................................................................. 327 INDEX DES CONCEPTS ...................................................................................... 330 INDEX DES TRAITÉS .......................................................................................... 335 INDEX DES MANUSCRITS ................................................................................. 338 OUVRAGES CITÉS .............................................................................................. 339