GUSTAV DOETSCH HANDBUCH DER LAPLACE-TRANSFORMATION BANDill LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN MATHEMATISCHE REIHE· BAND 10 HANDBUCH DER LAPLACE-TRANSFORMATION BANDill ANWENDUNGEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION 2. ABTEILUNG VON GUSTAV DOETSCH ORD. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT FREIBURG I. BR. Springer Basel AG 1956 ISBN 978-3-0348-4036-1 ISBN 978-3-0348-4108-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-4108-5 Nachdruck verboten. Alle Rechte vorbehalten, insbesondere das der Obersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm © Springer Basel AG 1956 Ursprting1ich erschienen bei Birkhăuser Verlag Base1 1956. Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1956 5 Vorwort Der vorliegende Band III bildet mit dem früher erschienenen Band II ein Ganzes, was auch äusserlich dadurch zum Ausdruck kommt, dass die Teile und Kapitel ansebliessend an die von Band II weiternumeriert sind. Gegenüber der früheren Darstellung in meiner Monographie <<Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation>> von 1937 hat sich auch in diesem Band der Stoff auf allen Gebieten stark ausgeweitet. Manches ist ausführlicher dargestellt, anderes ganz neu hinzugekommen, wie die Kapitel über partielle Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten, Kompatibilitätsbedingungen für Randwertprobleme, Differenzengleichungen, Integralgleichungen im unendlichen Intervall, verschie- dene mit Laplace-Transformation lösbare Integralgleichungen und ganze Funk- tionen vom Exponentialtypus. Letztere bieten ein schier unerschöpfliches Feld für Anwendungen der Laplace-Transformation, und die dargestellten Unter- suchungen möchten zu weiteren Forschungen auf diesem Gebiet anregen. Bei den Funktionalgleichungen sei besonders auf die Differenzengleichungen verwiesen, deren Behandlung mit Laplace-Transformation hier zum erstenmal in Buchform vollständig dargestellt ist. An Hand der Theorie der Kettenleiter, der Schrittregler und ähnlicher Probleme ist in letzter Zeit in der Technik ein neues Interesse an den Differenzengleichungen erwacht, und für die hier vorliegenden Fragen dürfte insbesondere das 22. Kapitel brauchbare Methoden liefern. Bei den partiellen Differentialgleichungen ist die Distributionstheorie noch nicht verwendet. Einerseits lagen bei Abfassung des Manuskripts die grund- legenden Arbeiten von L. ScHwARTz und J. L. LIONS über die Benutzung der Distributionstheorie in dem Gebiet <• Laplace-Transformation und partielle Dif- ferentialgleichungen>> noch nicht vor, andererseits haben gerade diese Arbeiten gezeigt, dass die Durchführung nicht ohne einen beträchtlichen Apparat möglich und keineswegs so einfach ist, wie manche Bearbeiter des Grenzgebiets zwischen Mathematik und Physik sich das vorzustellen scheinen. Wie schon im Vorwort zum II. Band angekündigt, hoffe ich die Laplace-Transformation und die Diffe- rentialgleichungen auf dem Boden der Distributionstheorie in einem gesonderten Band darstellen zu können, wenn diese Dinge hinreichend ausgereift sind und es sich herausgestellt hat, welche der heute vorliegenden Begründungen der Distri- butionstheorie sich am besten für diesen Zweck eignet. Zu dem Stil des nunmehr fertig vorliegenden Werkes möchte ich bemerken, dass ich mich immer bemüht habe, sowohl dem reinen Mathematiker (hinsichtlich der Strenge) als auch dem Praktiker (hinsichtlich der Verwendbarkeit der Resul- tate) gerecht zu werden. Besonders mit Rücksicht auf den letzteren sind alle Ergebnisse so formuliert, dass sie ohne zeitraubendes Nachschlagen auf vorher- gehenden Seiten unmittelbar benützt werden können. Am Schluss von Band III sind in einem Nachtrag zu Band I einige seit dem Erscheinen dieses Bandes gefundene theoretische Eigenschaften der Laplace- Transformation zusammengestellt, von denen es wünschenswert erschien, dass sie möglichst bald allgemein bekannt würden. Teilweise werden sie bereits in Band III verwendet. 6 Vorwort Das Literaturverzeichnis bringt die in Band II und III zitierten Arbeiten, aber auch inzwischen erschienene Beiträge zu dem Stoff von Band I. Arbeiten von Autoren, die bereits in Band I genannt wurden, sind ansebliessend weiter- numeriert. Die Literaturverzeichnisse von Band I und 111 zusammen umfassen über 500 Titel. Bei Abschluss des ganzen Werkes möchte ich meinem Verleger, Herrn Dr. h.c. Albert Birkhäuser, nochmals für seine Bereitwilligkeit, ein so umfangreiches Un- ternehmen durchzuführen, und für die sorgfältige Drucklegung und vorzügliche Ausstattung meinen Dank aussprechen. Freiburg i. B., GusTAV DoETSCH Riedbergstrasse 8 Im April 1956. Bezeichnungen und Verweise Die in Band I, S. 13, 14 angeführten Bezeichnungen werden auch in Band 111 benutzt. Da die Kapitel von Band II und III durchnumeriert sind, wird bei Verweisen auf Paragraphen dieser Bände die Bandnummer nicht angegeben. Band II ent- hält das 1. bis 16. Kapitel, Band 111 das 17. bis 32. Kapitel der «Anwendungeu. Daher ist z. B. 6. 3 (= 6. Kap., § 3) in Band II, 26.2 (= 26. Kap., § 2) in Band 111 zu finden. Bei Verweisen auf Band I und auf einzelne Seiten von Band II wird die Bandnummer durch eine römische Zahl gekennzeichnet. Satz 2 [I 6. 3] bedeutet also Satz 2 in Band I, 6. Kap., § 3, und II, S. 79 bedeutet Band II, S. 79. 7 Inhaltsverzeichnis IV. TEIL Partielle Differential~leichun~en 17. Kapitel. Allgemeines über partielle Differentialgleichungen und ihre Integration vermittels Laplace-Transformation . . . 13 § 1. Rand- und Anfangswertprobleme und der Sinn der Randbedingungen . . . 13 § 2. Die der Laplace-Transformation zugänglichen Probleme . . . . . . . . . 16 § 3. Allgemeine Richtlinien für die Lösung eines Rand- und Anfangswertproblems vermittels E-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 18. Kapitel. Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstan- ten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 § 1. Die Wärmeleitungs- oder Diffusionsgleichung (Parabolischer Typ) 22 1. Der Wärmeleiter ohne innere Quellen und mit verschwindender Anfangs- temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2. Der Wärmeleiter mit verschwindenden Randtemperaturen . . . . 27 3. Der unendlich lange Wärmeleiter. . . . . . . . . . . . . . . 29 § 2. Die Ein- oder Vieldeutigkeit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung 31 § 3. Die Wellengleichung und die Telegraphengleichung (Hyperbolischer Typ) 38 1. Einschaltvorgang. . . . . . . . . . 41 2. Ausschwingvorgang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 § 4. Die Potentialgleichung (Elliptischer Typ) . . . . . . . . . . . . . . 51 § 5. Eine Differentialgleichung mit gebietsweise verschiedenen konstanten Koef- fizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 § 6. Die Verwendung der komplexen UmkehrformeL . . . . . . . . . . . 58 19. Kapitel. Partielle Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten . 62 § 1. Eine Gleichung mit Koeffizienten, die von den nichttransformierten Vari- ablen abhängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 § 2. Eine Gleichung mit Koeffizienten, die von der transformierten Variablen abhängen (Singuläre Fokker-Plancksche Gleichung) . . . . . . . 64 20. Kapitel. Eindeutigkeltssätze und Kompatibilitätsbedingungen für die Rand- und Anfangswerte . . . . . . . . . . 70 § 1. Die in der E-Transformation liegenden Möglichkeiten zur Ableitung von Eindeutigkeitssätzen und Kompatibilitätsbedingungen . . . . . . . 70 § 2. Eindeutigkeitssatz und Lösbarkeitsbedingungen für ein Randwertproblem in einer speziellen Klasse von Lösungen . . . . . . . 71 § 3. Kompatibilitätsbedingungen für den elliptischen Typ . . 75 § 4. Kompatibilitätsbedingungen für den parabolischen Typ . 76 § 5. Kompatibilitätsbedingungen für den hyperbolischen Typ 77 8 Inhaltsverzeichnis 21. Kapitel. Huy~enssches und Eulersches Prinzip 79 § 1. Das Huygenssche Prinzip . . . . . . . . . . 79 § 2. Das Eu! ersehe Prinzip. . . . . . . . . . . . 82 § 3. Die Beziehung zwischen der Erzeugung transzendenter Relationen durch das Huygenssche und Eutersehe Prinzip und der Erzeugung durch die .~!-Trans- formation. Der Zusammenhang mit der Theorie der Halbgruppen . . . . . 84 V. TEIL Differenzen~leichun~en 22. Kapitel. Gewöhnliche Differenzengleichun~en im Originalraum 91 § 1. Allgemeines über Differenzengleichungen . . . . . . . . 91 § 2. Die lineare Differenzengleichung unter Anfangsbedingungen . . . 93 Beispiel: Elektrischer Kettenleiter . . . . . . . . . . . . . . 103 § 3. Die Differentialdifferenzengleichung in einer unabhängigen Variablen 105 23. Kapitel. Gewöhnliche Differenzengleichungen im Bildraum 107 § 1. Analytische Lösungen einer Differenzengleichung . . . . . . 107 § 2. Die Differentialdifferenzengleichung in einer unabhängigen Variablen 113 24. Kapitel. Partielle Differenzen~leichungen . . . . . . . . . . . . 116 § 1. Ein Randwertproblem für eine partielle Differenzengleichung 116 § 2. Ein Randwertproblem für eine Differentialdifferenzengleichung in mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 VI. TEIL Inte~ralgleichun~en und Inte~ralrelationen 25. Kapitel. Inte~ral~leichun~en vom reellen Faltun~stypus im endlichen Intervall . . . . . . . . . . . . 133 § 1. Die lineare Integralgleichung zweiter Art 133 § 2. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 144 1. Das Erneuerungsproblem der Statistik 144 2. Die Entzerrung der Anzeige bei physikalischen Messinstrumenten. Der Zusammenhang zwischen Übergangsfunktion und Frequenzgang . 146 § 3. Die lineare Integralgleichung erster Art . . . . . . . . . 151 § 4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 1. Die Abcische Integralgleichung und Verallgemeinerungen 157 2. Integration und Differentiation nichtganzer Ordnung im Raum der Ori- ginalfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 § 5. Integral- und Integrodifferentialgleichungen höherer Ordnung . . . . . . 169 26. Kapitel. Integral~leichungen vom reellen Faltungstypus im unendlichen Intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 § 1. Die lineare Integralgleichung zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . 172 § 2. Die lineare Integralgleichung erster Art (Umkehrung der Integraltransforma- tionen vom Faltungstypus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Inhaltsverzeichnis 9 27. Kapitel. Funktionalrelationen mit reellen Faltungsintegralen, insbeson- dere transzendente Additionstheoreme . . . . . . . . 187 § 1. Allgemeine Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 § 2. Funktionen, deren E-Transformierte vom Typus s -- ß e -a<p(s) sind 188 § 3. Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 § 4. Besselsche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 § 5. Konfluente hypergeometrische Funktion, Hermitesche und Lagocrresche Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 28. Kapitel. Integralgleichungen vom komplexen Faltungstypus . 199 § 1. Die Integralgleichung erster Art in speziellen Funktionsräumen. Die Deri- vierte beliebiger Ordnung im Raum der E-Transformierten. . . 199 § 2. Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung . . . . . 0 204 29. Kapitel. Korrespondenz zwischen komplexen Faltungsintegralen von Bildfunktionen und Produkten ihrer Originalfunktionen 209 § 1. Funktionalrelationen mit komplexen Faltungsintegralen 209 CO CO § 2. Auswertung von I e-st F 2 (t) dt und I F 2 (t) dt durch ein komplexes Faltungs- o 0 integral über f(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 30. Kapitel. Verschiedene mit Laplace-Transformation lösbare Typen von Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 § 1. Transformation einer Integralgleichung erster Art in eine Integralgleichung mit bekannter Lösung o • • • • o • • • • • • • • • • • 215 § 2. Kerne, deren E-Transformierte Exponentialfunktionen sind . . . . . . . 217 § 3. Involutorische Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 § 4. Integralgleichungen, die eine Funktionaloperation darstellen, deren Abbild eine elementare Substitution ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 VII. TEIL Ganze Funktionen vom Exponentialtypus und endliche Laplace- Transformation 31. Kapitel. Die endliche Laplace-Transformation. 225 § 1. Die endliche Er-Transformation 225 § 2. Die endliche Eu-Transformation . . . . . . . 229 32. Kapitel. Ganze Funktionen vom Exponentlaitypus . 233 § 1. Darstellung einer ganzen Funktion vom Exponentialtypus als endliche Eu- Transformierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 § 2. Der quadratische Mittelwert m(x) für die endliche Eu-Transformierte mit einer Originalfunktion der Klasse L 2 . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 § 3. Der Zusammenhang zwischen dem \Vachstum einer ganzen Funktion vom Exponentialtypus und dem ihrer Ableitung . . . . . . . . . . . . . . 249 Nachträge zu Band I 253 Literarische und historische Nachweise 261 Bücher über die Laplace -Transformation 277 Literaturverzeichnis o 279 Sachregister . . . . 297 Berichtigungen zu Band II 29~1