Alma Mater Studiorum Universita` di Bologna · FACOLTA` DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea Triennale in Matematica GRUPPI E ALGEBRE DI LIE Tesi di Laurea in Algebra Relatore: Presentata da: Chiar.mo Prof. Castronuovo Niccol`o Fioresi Rita Sessione II Anno Accademico 2010/2011 “Vi `e una bellissima teoria, dovuta all’originalissimo matematico norvegese Sophus Lie (1842-1899), che conduce a un trattamento completo della teoria locale dei gruppi continui.” Roger Penrose, La strada che porta alla realt`a. Introduzione In questa tesi introdurremo le nozioni di gruppo e di algebra di Lie, cercando in particolare, di dare una loro interpretazione geometrico-differenziale. I due concetti, introdotti dal matematico norvegese Sophus Lie (1842-1899) per studiare i gruppi di trasformazione continui, sono oggi molto studiati in teoria della rappresentazione e in analisi, oltre che di per s´e. Inoltre hanno trovato, nel ventesimo secolo, un grandissimo numero di applicazioni fondamentali, soprattutto alla fisica delle particelle. Nel primo capitolo definiremo i gruppi e le algebre di Lie in modo astratto; le de- finizioni di queste due strutture sono algebriche e, inizialmente, appaiono indipendenti l’una dall’altra. Si daranno inoltre alcuni esempi fondamentali. Nel secondo capitolo si chiarira` il rapporto esistente tra un gruppo di Lie e la sua algebra di Lie, definita come i campi vettoriali invarianti a sinistra su questo gruppo. Questa algebra coincide con lo spazio vettoriale tangente al gruppo nell’elemento neutro e come esempio vedremo le algebre di Lie di alcuni dei gruppi introdotti nel primo capi- tolo. I tre teoremi di Lie, poi, renderanno piu` chiara questa corrispondenza: questi, infatti, ci danno una corrispondenza biettiva tra sottogruppi e sottoalgebre, inoltre ci dicono che un isomorfismo tra le algebre induce un diffeomorfismo locale tra i gruppi e ci assicurano che, data un’algebra di Lie g, esiste sempre un gruppo G tale che g = Lie(G), cio`e G ha proprio g come algebra associata. Nel terzo capitolo si definir`a l’algebra inviluppante universale di un algebra di Lie, si spiegheranno le sue proprieta` algebriche e si dimostrer`a il teorema di Poincar´e-Birkhoff- Witt, che ne d`a una base a partire da una base dell’algebra di Lie. Otterremo come conseguenza che l’algebra di Lie si immerge nella sua algebra inviluppante universale. Questo risultato `e fondamentale in teoria della rappresentazione. Si fara` poi vedere che, dato un gruppo di Lie con la sua algebra, esiste un isomorfismo tra l’algebra inviluppante universale e gli operatori differenziali invarianti a sinistra sul gruppo, estendendo quanto visto nel secondo capitolo. 1 Indice 1 Gruppi di Lie e Algebre di Lie 3 1.1 Gruppi di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Algebre di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Campi vettoriali e operatori differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 L’algebra di Lie associata a un gruppo di Lie 12 2.1 Campi vettoriali invarianti a sinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 L’algebra di Lie di un gruppo di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 I tre teoremi di Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Algebra inviluppante universale 18 3.1 L’algebra inviluppante universale di un gruppo di Lie . . . . . . . . . . . 18 3.2 L’algebra inviluppante universale di un’algebra di Lie . . . . . . . . . . . 19 Bibliografia 29 2 Capitolo 1 Gruppi di Lie e Algebre di Lie In questo capitolo vogliamo introdurre le nozioni di gruppo di Lie e di algebra di Lie e fare qualche esempio saliente. 1.1 Gruppi di Lie Un gruppo di Lie `e una varieta` (differenziabile o analitica) con una struttura di gruppo le cui operazioni (moltiplicazione e inversa) sono compatibili con la struttura di variet`a. Definizione 1.1. Un gruppo di Lie reale `e un gruppo topologico G munito di una strut- tura di variet`a differenziabile (risp. analitica) tale che le operazioni di gruppo G×G → G e G → G (a,b) (cid:55)→ a·b a (cid:55)→ a−1 siano entrambe differenziabili (risp. analitiche). Analogamente un gruppo di Lie complesso `e un gruppo topologico munito della struttura di varieta` complessa e tale che le operazioni di gruppo risultino olomorfe. Definizione 1.2. Dati due gruppi di Lie reali (risp. complessi) G e H, un morfismo di gruppi di Lie `e un omomorfismo differenziabile o analitico, vale a dire un’applicazione f : G → H che sia un omomorfismo per la struttura di gruppo (f(ab) = f(a)f(b)) e un’applicazione differenziabile o analitica (risp. olomorfa) per la struttura di varieta` di G e H. 3 1.1 Gruppi di Lie 4 Osservazione 1.3. I gruppi di Lie con i loro morfismi costituiscono una categoria. Esempi 1.4. • Dato uno spazio vettoriale V finito dimensionale su R o su C, esso `e un gruppo di Lie. Infatti V possiede una struttura di varieta` analitica e le operazioni di moltiplicazione e di inversa sono analitiche. Per esempio, gli spazi vettoriali Rn e Cn, sono gruppi di Lie con l’operazione +. Anche M (R), il gruppo delle matrici n×n, essendo un R-spazio vettoriale, `e un n gruppo di Lie. Infatti tramite l’identificazione: M (R) → Rn2 n A = (a ) (cid:55)→ (a ,...,a ,a ,...,a ) ij 11 1n 21 nn possiamo dare a M (R) la topologia euclidea di Rn2. n • Consideriamo GL(n,R), il gruppo delle matrici invertibili reali n × n. Nella va- rieta` delle matrici M (R), GL(n,R) `e un aperto in quanto f : M (R) → R t.c. n n A (cid:55)→ det(A) `e continua e GL(n,R) = f−1(R \ {0}). Questo fornisce a GL(n,R) una struttura di variet`a in modo naturale. Inoltre le funzioni prodotto riga per colonna e inversa sono analitiche. Questo ci dice che GL(n,R) `e effettivamente un gruppo di Lie reale. Analogamen- te GL(n,C), il gruppo delle matrici invertibili complesse n × n, risulta essere un gruppo di Lie complesso. • Consideriamo il gruppo SL(n,R), il gruppo delle matrici invertibili di determinan- te 1. Questo `e un sottogruppo di GL(n,R) chiuso, in quanto SL(n,R) = f−1(1) dove f `e definita come sopra. Per vedere che `e un gruppo di Lie si puo` usare il seguente risultato classico di geometria differenziale. Teorema 1.5 (Teorema della summersione). Siano X e Y due variet`a differenzia- bili analitiche con dimX ≥ dimY. Sia ψ : X → Y una applicazione differenziabile. Sia x ∈ X e y = ψ(x). Se (dψ) : T X → T Y `e suriettivo, allora ψ−1(y) `e una x x ψ(x) sottovariet`a di X e T ψ−1(y) = Ker(dψ) . x x Tutti i dettagli del teorema e la relativa dimostrazione si possono trovare in [5] (pag. 175, cap. 3) oppure in [6] (pag. 21, cap. 1). 1.1 Gruppi di Lie 5 • Analogamente si vede che: O(n,R) = {A ∈ M (R),ATA = AAT = I} gruppo ortogonale n SO(n,R) = {A ∈ O(n,R),detA = 1} gruppo speciale ortogonale U(n) = {A ∈ M (C),A†A = AA† = I} gruppo unitario n SU(n) = {A ∈ U(n),detA = 1} gruppo speciale unitario (dove A† denota l’aggiunto di A) sono gruppi di Lie reali e che O(n,C) = {A ∈ M (C),ATA = AAT = I} n SO(n,C) = {A ∈ O(n,C),detA = 1} SL(n,C) = {A ∈ M (C),detA = 1} n sono gruppi di Lie complessi (tutti considerati con l’operazione di prodotto fra ma- trici). • S1 pensato come i numeri complessi di modulo 1 muniti della moltiplicazione `e un gruppo di Lie (reale). Definizione 1.6. Dato un gruppo di Lie G, diremo che H `e un suo sottogruppo di Lie, quando H `e ancora gruppo di Lie con l’operazione ereditata da G ed `e una sottovarieta` della varieta` G. ´ Osservazione 1.7. E naturale domandarsi quanto la definizione di gruppo di Lie diffe- renziabile sia piu` debole di quella di gruppo di Lie analitico. In particolare se abbiamo un gruppo topologico munito di una struttura di variet`a Ck, 0 ≤ k ≤ ∞, e tale che le operazioni di gruppo siano pure Ck allora possiamo trovare per questo una struttura di variet`a analitica compatibile con quella Ck? Non `e difficile far vedere che se tale strut- tura esiste allora `e unica. Il problema dell’esistenza invece `e meno banale. Per k = ∞ o comunque abbastanza grande, un risultato classico di Schmidt garantisce l’esistenza di tale struttura. Per k = 0 la domanda precedente `e essenzialmente il quinto problema di Hilbert. La soluzione per gruppi compatti fu data da von Neumann nel 1933; la so- luzione del caso generale `e piu` recente e si deve a Gleason, Montgomery, Zippin e altri che provarono che qualunque sia k tale struttura analitica esiste. Tutti questi risultati si trovano in [1]. Quindi possiamo restringerci a considerare il caso analitico senza perdere in generalita`. Inaltreparole, d’orainpoi, supporremosemprediavereunastrutturadivarieta`analitica quando parliamo di gruppo di Lie. 1.2 Algebre di Lie 6 1.2 Algebre di Lie Vogliamo cominciare col definire le algebre di Lie in modo astratto come spazi vet- toriali su un generico campo K con una opportuna operazione interna. Sia K un campo di caratteristica (cid:54)= 2,3. Definizione 1.8. Una algebra di Lie `e un K − spazio vettoriale g sul quale `e definita un’operazione binaria bilineare [·,·] : g×g → g, detta bracket o parentesi di Lie, con le seguenti proprieta`: 1) [x,y] = −[y,x] ∀x,y ∈ g (proprieta` antisimmetrica). 2) [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]] = 0 ∀x,y,z ∈ g (identita` di Jacobi). Tutte le algebre di Lie che considereremo saranno finito dimensionali salvo specifico avviso. Definizione 1.9. Se g e s sono due algebre di Lie, una applicazione lineare τ : g → s si dice morfismo di algebre di Lie se preserva le bracket cio`e τ([x,y]) = [τ(x),τ(y)] ∀ x,y ∈ g. Esempi 1.10. • Si consideri uno spazio vettoriale finito dimensionale g su K. Se si pone [x,y] = 0 ∀x,y ∈ g si ottiene banalmente un’algebra di Lie. In questo caso si dice che g `e abeliana. • Si consideri uno spazio vettoriale finito dimensionale V su K. Se si considera lo spazio degli endomorfismi di V, denotato con End(V), e si pone [x,y] = x◦y−y◦x, ∀ x,y ∈ End(V) si ottiene un’algebra di Lie. Verifichiamo solo l’identit`a di Jacobi in quanto la bilinearita` e la proprieta` antisimmetrica sono ovvie. Siano x,y,z ∈ End(V), [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]] = x◦[y,z]−[y,z]◦x+y ◦[z,x]−[z,x]◦y +z ◦[x,y]−[x,y]◦z = x◦(y ◦z −z ◦y)−(y ◦z −z ◦y)◦x +y ◦(z ◦x−x◦z)−(z ◦x−x◦z)◦y +z ◦(x◦y −y ◦x)−(x◦y −y ◦x)◦z = x◦y ◦z −x◦y ◦z +x◦z ◦y −x◦z ◦y +y ◦z ◦x−y ◦z ◦x+y ◦x◦z −y ◦x◦z +z ◦y ◦x−z ◦y ◦x+z ◦x◦y −z ◦x◦y = 0. 1.2 Algebre di Lie 7 Questa algebra di Lie si indica anche con gl(V) e si dice algebra di Lie generale lineare. In particolare considerando M (K) con la bracket definita come sopra: [x,y] = n xy −yx ∀x,y ∈ M (K) otteniamo l’algebra di Lie denotata con gl(n,K). n • Definiamo sl(n,K) := {A ∈ M (K),trA = 0} e so(n,K) := {A ∈ M (K),A = n n −AT}. Queste sono algebre di Lie con la stessa bracket definita sopra,ereditata da M (K). Per verificarlo basta mostrare che l’operazione [·,·] `e chiusa in sl(n,K) e n in so(n,K). Viste le proprieta` della traccia e della trasposta si ha che, date due matrici A,B n×n tali che A = −AT e B = −BT, −[A,B]T = −(AB −BA)T = −((AB)T −(BA)T) = −BTAT +ATBT = AB −BA = [A,B]. e, date due matrici matrici A,B n×n tali che tr(A) = 0 e tr(B) = 0, tr([A,B]) = tr(AB −BA) = tr(AB)−tr(BA) = tr(AB)−tr(AB) = 0. • Data un’algebra associativa B, se si pone come sempre [a,b] = ab−ba, ∀a,b ∈ B si ottieneun’algebradiLie. Laverificadelleproprieta``elastessadelcasoB =End(V). • Se g `e una algebra di Lie sul campo L con L ⊆ K, il K-spazio vettoriale g⊗ K ha L una unica struttura di algebra di Lie con la bracket data da: [X ⊗a,Y ⊗b] = [X,Y]⊗ab (X,Y ∈ g; a,b ∈ K). Denotiamo questa algebra di Lie con g e la chiamiamo estensione di g da L a K. K Si identifica g con la sua immagine in g tramite la mappa iniettiva :X (cid:55)→ X ⊗1, K X ∈ g. Definizione 1.11. Se L = R e K = C, chiamiamo g la complessificazione di g. C Definizione 1.12. Data un’algebra di Lie g, un suo sottospazio lineare h si dice sot- toalgebra di Lie di g se h `e ancora un’algebra di Lie con la stessa bracket di g o, in altri termini, se la bracket di g `e una operazione chiusa in h. 1.3 Campi vettoriali e operatori differenziali 8 1.3 Campi vettoriali e operatori differenziali Prima di procedere `e opportuno ricordare alcune definizioni e propriet`a di geometria differenziale che saranno utili anche nel seguito. Tutto quello che diremo per funzioni e varieta` C∞ vale anche nel caso analitico anche se le dimostrazioni possono cambiare, anche considerevolmente. Sia M una varieta` C∞ di dimensione m. Sia x ∈ M e sia A un aperto di M contenente x. Diremo che una funzione f : A → R `e differenziabile infinite vol- te su A e scriveremo f ∈ C∞(A) se per ogni carta locale (U,ϕ ) con U (cid:84)A (cid:54)= ∅, U f◦ϕ−1 : ϕ (U (cid:84)A) → R `e una funzione C∞. Due funzioni a valori reali definite attorno U U ad x sono dette equivalenti se coincidono su un intorno aperto di x. Le classi di equiva- lenza sono dette germi di funzioni C∞ in x. Data una funzione C∞ f definita attorno a x indichiamo il corrispondente germe con f e il valore comune delle sue funzioni in x x con f(x). L’insieme dei germi in x, detto spiga del fascio delle funzioni C∞, ha una naturale struttura di algebra su R; questa algebra `e denotata con D . x Ora, sia D∗ il duale algebrico dello spazio vettoriale reale D , cio`e lo spazio vettoriale x x reale delle mappe lineari D → R. x Definizione 1.13. Un vettore tangente a M in x `e un elemento v di D∗ che sia una x derivazione cio`e tale che: v(fg) = f(x)v(g)+g(x)v(f). L’insieme dei vettori tangenti a M in x `e un sottospazio R-lineare di D∗ denotato con x T M e chiamato spazio tangente a M in x. x Esempio 1.14. Sia M = Rn e x = 0. I vettori tangenti a M = Rn in 0 sono gli elementi di D∗ della forma 0 n (cid:18) (cid:12) (cid:19) (cid:88) ∂ (cid:12) a (cid:12) i 0 ∂x (cid:12) i i=1 con a ∈ R i Sia (U,ϕ) una carta locale, con U aperto contenente x su M e con funzioni coordinate x ,...,x . Allora, ∀ j ∈ (1,...,m), definiamo un vettore tangente (∂/∂x ) ponendo ∀ 1 m j x f ∈ C∞(U), (cid:18) ∂ (cid:12)(cid:12) (cid:19) ∂(f ◦ϕ−1) (cid:12) (f) = (ϕ(x)). x ∂x (cid:12) ∂ξ j j