Hendrik Kasten Denis Vogel Grundlagen der ebenen Geometrie Grundlagen der ebenen Geometrie Hendrik Kasten · Denis Vogel Grundlagen der ebenen Geometrie Hendrik Kasten Denis Vogel Mathematisches Institut Mathematisches Institut Universität Heidelberg Universität Heidelberg Heidelberg, Deutschland Heidelberg, Deutschland ISBN 978-3-662-57620-5 ISBN 978-3-662-57621-2 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-57621-2 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Verantwortlich im Verlag: Annika Denkert Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany Vorwort DasvorliegendeBuchistausunseremgemeinsamenSkriptzurVorlesung„Einfüh- rungindieGeometrie“entstanden,diewirseit2008regelmäßiginHeidelberglesen. EssolleineaufdenmathematischenAnfängervorlesungenaufbauendeEinführung in die axiomatische Geometrie geben. Diese ist ein wundervolles Betätigungsfeld für die Studierenden, denn sie können das mathematische Argumentieren an ei- ner Theorie üben, die sehr anschaulich und ihnen aus der Schule bereits vertraut ist. Trotzdem lauern hier unserer Erfahrung nach einige Fallstricke: In den Übun- gen zu unseren Vorlesungen haben wir beobachtet, dass Studierende gelegentlich Schwierigkeiten hatten, anschaulich entwickelte graphische Beweise korrekt aus- zuformulieren, oder zusätzliche Fälle übersahen, die von ihren Zeichnungen nicht wiedergegebenwurden.AusdiesemGrundhabenwirunsbemüht,dieBuchinhalte mitderselbenGründlichkeitundPräzisionundmitdenselbenMethodenauszuarbei- ten,wiesieindenAnfängervorlesungenvermitteltwerden.UnserZielwarhierbei einegleichermaßengutzugänglichewiewissenschaftlichexakteDarstellung. ImKontextderebenenGeometrieistunsdieFragenachdemZusammenhangund dem Wechselspiel zwischen axiomatischer und analytischer Geometrie sehr wich- tig. Häufig werden diese Zugänge voneinander getrennt vermittelt, was bei vielen Studierenden zu dem Glauben führt, sie hätten nur wenig miteinander zu tun. Um darzulegen,dasssievielmehrzweiSeitenderselbenMedaillesind,verwendenwir viel Mühe auf die Herleitung des von uns als „Hauptsatz für euklidische Ebenen“ bezeichnetenSatzes,derbesagt,dassjedeeuklidischeEbeneisomorphzureuklidi- schenStandardebeneist.NachBeweisdesHauptsatzesstehenunssowohlsynthe- tischealsauchanalytischeArgumentezurVerfügung.Wirverwendenimweiteren VerlaufdannauchArgumentebeiderArten,sowieesunsanderjeweiligenStelle geeignetererscheint. VielPlatzhabenwirauchdemNachweisdafüreingeräumt,dassdasPoincaré’sche Kreismodell des hyperbolischen Ebene ein gültiges Beispiel für eine nichteuklidi- scheGeometrieist.Auchhierhabenwir,unseremLeitprinzipderGründlichkeitund Präzisionfolgend,versucht,einedetaillierteundlückenloseDarstellungzugeben. v vi Vorwort Exemplarisch seien hierzu die das Thema vorbereitenden Ausführungen zur Win- keltreuederInversionamKreisgenannt. Aufgrund der Vielzahl interessanter Fragestellungen in der ebenen Geometrie war es uns nicht möglich, alle Themen gleichermaßen zu behandeln. Bei der Stoffaus- wahl haben wir dem axiomatischen Aufbau der ebenen Geometrie und den damit unmittelbarzusammenhängendenFragenVorranggegeben. AndieserStellemöchtenwirnochaufeineBesonderheitunsererNotationhinwei- sen: Da wir die Axiome der euklidischen Ebene sukzessive einführen, würde es ohne weitere Klarstellung ein gewisses Maß an Recherche erfordern, herauszufin- den,welcheAxiomeindenBeweiseinerkonkretenAussageeingegangensind.Zur ErhöhungderÜbersichtlichkeithabenwirdaherKurzschreibweiseneingeführt,die es erlauben, sofort abzulesen, unter Voraussetzung welcher Axiome eine Aussage bewiesen wurde. Einen Überblick über diese Kurzschreibweisen gibt das Abkür- zungsverzeichnis. Abschließend möchten wir einige Bücher erwähnen, an denen wir uns als Dozen- ten orientiert und die wir sehr zu schätzen gelernt haben. Das sind die Bücher vonBorsuk-Szmielew[BS],Greenberg[Gre],Kay[Kay],Koecher-Krieg[KK]und Martin[Mar].AußerdemmöchtenwirunsbeiunserenKollegenbedanken,dieim LaufederJahredazubeigetragenhaben,dieVorlesungstetigzuverbessern.Genannt seien hier Ralf Butenuth, Michael Caspari, Peter Gräf, Andreas Ott und Johannes Schmidt.ZuguterLetztbedankenwirunsbeimSpringer-Verlagundinsbesondere beiFrauDenkertfürdietolleZusammenarbeit. Heidelberg,April2018 HendrikKasten DenisVogel Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung..................................................... 1 1.1 EuklidsElemente........................................... 1 1.2 DieanalytischeGeometrie ................................... 4 1.3 HilbertsGrundlagenderGeometrie ........................... 5 2 Inzidenzgeometrie.............................................. 7 2.1 Inzidenzebenen ............................................ 7 2.2 AffineEbenen ............................................. 12 2.3 ProjektiveEbenen .......................................... 18 2.4 DerZusammenhangzwischenaffinenundprojektivenEbenen..... 21 2.5 DasDualeinerprojektivenEbene............................. 26 2.6 AffineundprojektiveSchnittpunktsätze........................ 31 Übungsaufgaben ................................................ 39 3 Hilbertebenen ................................................. 43 3.1 DieAnordnungsaxiome ..................................... 43 3.2 DieKongruenzaxiomefürStrecken ........................... 56 3.3 DieKongruenzaxiomefürWinkel............................. 61 3.4 Ergänzungswinkel,GegenwinkelundrechteWinkel ............. 73 3.5 OrthogonalitätundParallelität................................ 76 3.6 DerKongruenzsatzfürDreiecke .............................. 82 3.7 MittelsenkrechteundWinkelhalbierende ....................... 86 3.8 Innen-undAußenwinkelimDreieck .......................... 89 3.9 Kreise .................................................... 93 Übungsaufgaben ................................................ 97 4 DerHauptsatz .................................................101 4.1 DasVollständigkeitsaxiom...................................101 4.2 EuklidischeEbenen.........................................105 4.3 DieDreiecksungleichung ....................................106 4.4 Parallelprojektionen ........................................109 vii viii Inhaltsverzeichnis 4.5 Streckenmaße..............................................118 4.6 Ähnlichkeitsabbildungen ....................................125 4.7 Koordinatensysteme ........................................135 4.8 DerBeweisdesHauptsatzes..................................144 Übungsaufgaben ................................................150 5 EuklidischeGeometrie..........................................155 5.1 DreieckeindereuklidischenStandardebene ....................155 5.2 KreiseindereuklidischenStandardebene ......................164 5.3 DieInversionamKreis......................................180 5.4 SchnittpunktsätzeindereuklidischenStandardebene.............201 Übungsaufgaben ................................................207 6 GeometrischeKonstruktionen ...................................211 6.1 GeometrischeKonstruierbarkeitsprobleme......................211 6.2 KonstruktionenmitZirkelundLineal..........................214 6.2.1 Regelmäßigen-Ecke .................................225 6.2.2 DieWinkeldreiteilung ................................235 6.2.3 DieWürfelverdopplung...............................236 6.2.4 DieQuadraturdesKreises.............................237 6.3 DerZirkelundderSatzvonMohr-Mascheroni ..................238 6.4 DasLinealundderSatzvonPoncelet-Steiner ...................250 Appendix ......................................................262 Übungsaufgaben ................................................265 7 NichteuklidischeGeometrie .....................................267 7.1 HyperbolischeEbenen ......................................268 7.2 HyperbolischeGeometrie....................................290 7.3 EineelliptischeEbene.......................................302 7.4 ElliptischeGeometrie .......................................313 Übungsaufgaben ................................................323 Literaturverzeichnis ................................................327 Sachverzeichnis ....................................................329 Abkürzungsverzeichnis DiefolgendenKurzschreibweisendienendazu,dieFormulierungendervonunsge- zeigtenResultatezuvereinfachenundleichtererkennbarzumachen,welcheAxio- meindiejeweiligenBeweiseeingehen. (aff) SeiA=(P;G)eineaffineEbene. (E) SeiE=(R2;GR;?;(cid:24)=;’)dieeuklidischeStandardebene. (E) Sei(P;G;?;(cid:24)=;’)eineeuklidischeEbene. (H ) SeiH =(P ;G ;? ;(cid:24)= ;’ )dasPoincaré’scheKreismodell. k k k k k k k (H) Sei(P;G;?;(cid:24)=;’)eineHilbertebene. (H+P) Sei (P;G;?;(cid:24)=;’) eine Hilbertebene, in der das Parallelenaxiom (P)gilt. (H+V) Sei (P;G;?;(cid:24)=;’) eine Hilbertebene, in der das Vollständigkeits- axiom(V)gilt. (I) Sei(P;G)eineInzidenzebene. (I+A) Sei(P;G)eineInzidenzebene,diezusammenmitderAnordnung? dieAnordnungsaxiomeerfüllt. (I+A+K) Sei (P;G) eine Inzidenzebene, die zusammen mit der Anordnung ?dieAnordnungsaxiomeundzusammenmitderRelation(cid:24)=aufS dieKongruenzaxiomefürStreckenerfüllt. (Koord) SeixeinStrahlmitAnfangspunktO,seigdieeindeutigbestimmte Gerade, die den Strahl x enthält, und sei H eine Seite von g. Des Weiterenseie2S. (proj) SeiP=(P;G)eineprojektiveEbene. ix Kapitel 1 Einleitung DieGeometriederEbeneistnichtnureinesderältestenTeilgebietederMathematik, siehatüberJahrtausendeauchimmerwiedermaßgeblichzurWeiterentwicklungder MathematikhinzurheutigenmodernenWissenschaftbeigetragen.Indenfolgenden Kapiteln sprechen wir die Geschichte der Geometrie nur selten an und führen die jeweiligenTheoriendirektinmodernerWeiseein.AndieserStellewollenwirdaher eine,wennauchsehrknappe,historischeEinordnunggeben;fürdetailliertereDar- stellungen verweisen wir auf die zu diesem Thema sehr umfassende Fachliteratur, sieheetwa[Her],[MB]und[Vol]. 1.1 EuklidsElemente UmdasJahr325vorunsererZeitrechnungverfassteEuklidseinimOriginalnicht erhaltenesberühmtesWerkDieElemente,indemerdieArbeitenetwavonPytha- goras,TheaetetusundEudoxoszusammenfassteundverbesserte.Dieswardaserste große Lehrbuch der Mathematik und für viele hundert Jahre in seinen vielfältigen ÜbersetzungeneineStandardreferenz.DasersteBuchderElementewidmetsichder EinführungderebenenGeometrieundgiltalserstesBeispieleinerexaktenmathe- matischen Theorie, da die meisten Aussagen durch festgelegte Schlussweisen auf einenVorratanGrundannahmenzurückgeführtwerden.Wirwerdenunsindiesem BuchmitebendiesemProblembefassen,wennauchvoneinemmodernerenStand- punktaus,undwollendaherandieserStellezunächsteinenkurzenBlickindaser- steBuchderElementewerfen.GrundsätzlichlässtsichdiesesinvierTeilegliedern: Definitionen, Postulate, Axiome und Propositionen. Die Abgrenzung dieser Teile untereinanderwirdvondenBearbeiternderjeweiligenAusgabenaberdurchausun- terschiedlichgehandhabt.WirerläuterndiejeweiligenBegriffeundentnehmendie NummerierungundFormulierungderindiesemAbschnittangegebenenTextstellen beispielshalberderAusgabe[Dou]vonIoannPeterzDouausdemJahr1618.Letz- © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018 H. Kasten und D. Vogel, Grundlagen der ebenen Geometrie, 1 https://doi.org/10.1007/978-3-662-57621-2_1