Graded-commutative nonassociative algebras: higher octonions and Krichever-Novikov superalgebras; their structures, combinatorics and non-trivial cocycles. Thesis submitted in partial fulfilment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy (PhD) in Sciences April 2015 Marie KREUSCH Under the supervision of : Pierre LECOMTE, University of Liege Valentin OVSIENKO, University of Reims Author’s Contact Details Marie KREUSCH Geometry and algorithm theory University of Liege Grande Traverse, 12 4000 Liege 1 Belgium [email protected] Member of the Examination Committee Georges HANSOUL (Secretary of the Committee) Université de Liège (BEL) Pierre LECOMTE (advisor) Université de Liège (BEL) Pierre MATHONET (President of the Committee) Université de Liège (BEL) Sophie MORIER-GENOUD Université Pierre et Marie Curie (FR) Valentin OVSIENKO (co-advisor) Université de Reims Champagne-Ardenne (FR) Martin SCHLICHENMAIER Université du Luxembourg (LUX) iii Résumé Cette dissertation est divisée en deux parties. La première partie consiste en l’étude d’une série d’algèbres non commutatives et non associatives réelles Op,q (respectivement complexes On où p+q = n). Cette généralisation est similaire à celle de l’algèbre des quaternions en algèbres de Clifford. Intro- duites par Morier-Genoud et Ovsienko, ces algèbres ont une Zn2-graduation naturelle et sont caractérisées par une forme cubique sur le corps commu- tatif Z2. Nous établissons tous les isomorphismes possibles entre les algèbres Op,q préservant la graduation. La table de classification des algèbres Op,q est similaire à celle des algèbres de Clifford l , la différence majeure étant p,q C que les algèbres O0,n et On,0 sont exceptionnelles. Nous donnons aussi une périodicité des algèbres On et Op,q analogue à la périodicité sur les algèbres de Clifford l et l . n p,q C C Danslasecondepartie,nousétudionsles1-et2-cocyclesdessuperalgèbresde typeKrichever-Novikov(K-N).KricheveretNovikovontintroduitunefamille d’algèbres de Lie avec deux points marqués généralisant l’algèbre de Witt ainsi que son extension centrale appelée l’algèbre de Virasoro. Par la suite, Schlichenmaier a étudié les (super)algèbres de Lie de type K-N ayant plus de deux points marqués. En particulier, il a étendu la formule explicite des 2-cocyclesdeKricheveretNovikovaucasdesmultiplespointsmarqués. Nous donnons une construction explicite d’extensions centrales des superalgèbres de Lie de type K-N et nous déterminons un 1-cocycle à valeur dans l’espace dual. Dans le cas des superalgèbres de Jordan de type K-N reliées aux su- peralgèbres de Lie de type K-N, nous calculons un 1-cocycle à valeur dans l’espace dual. Mots clés: octonion, algèbre de Clifford, forme cubique binaire, algèbre de groupe tordue, algèbre non commutative et non associative, algèbre graduée, superalgèbre de Lie de type Krichever-Novikov, superalgèbre de Jordan, antialgèbre de Lie, cocycle non-trivial. v Le doctorat est un moment unique et intense d’apprentissage de la Recherche par la Recherche. Un combat de tous les jours, bien souvent solitaire, parsemé d’incertitudes et de questionnements mais aussi d’émerveillements et de ren- contres insolites. Il aura fallu un brin de folie pour se lancer dans cette aventure, de la résistance pour y faire face et beaucoup de ténacité pour en sortir. Mes remerciements visent en premier lieu mes deux promoteurs de thèse, Pierre Lecomte et Valentin Ovsienko. Le premier m’a donné l’opportunité de réaliser ce doctorat à Liège. Depuis 2010, il m’accompagne ainsi, au jour le jour, tant dans mes travaux de recherche que dans le cadre de mon assistanat. Le second, malgré la distance, a su témoigner d’une disponibilité permanente et d’un soutien inconditionnel, notamment tout au long de la rédaction de ce document. Durant ce doctorat, j’ai particulièrement apprécié la manière avec laquelle ils partagent leur passion de la recherche et de l’enseignement. Je souhaite également remercier Sophie Morier-Genoud, avec laquelle j’ai eu le plaisir de collaborer, ainsi que Martin Schlichenmaier, Pierre Mathonet et Georges Hansoul, qui ont accepté de faire partie de mon jury de thèse. Au fur et à mesure de mes recherches, de nombreux échanges de qualité avec mescollèguesetamisdoctorantsontcontribuéàfaçonnermavisiondesmath- ématiques et du monde. Mais plus encore, le doctorat m’a permis de rencon- trer une multitude de personnes dans les différents environnements de travail que j’ai fréquentés. À Liège et à Lyon principalement, mais également lors de conférences dans divers endroits d’Europe et aux Etats-Unis, ces nombreuses expériences de vie m’ont enrichie sur les plans professionnel et personnel Un doctorat est une tranche de vie qui ne se vit qu’une fois. Une expérience humaine que j’ai partagée avec les gens que j’aime. Mes pensées vont à mes parents, à mes deux sœurs, Sarah et Fanny, ainsi qu’à Magali, qui ont pu m’épauler à chaque instant. À Emilie, Là-bas. vii Contents Introduction 1 1 Algebras On and Op,q Generalizing the Octonions 5 1.1 Twisted group algebras over Zn2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 The algebras give solutions to the Hurwitz problem on square identities . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Graded algebras, generators and relations . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Nonassociative extension of Clifford algebras . . . . . . . . . . . 17 1.5 The algebras are determined by a generating cubic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Classification of the Algebras On and Op,q 25 2.1 Simplicity of the algebras On and Op,q . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Classification of the algebras Op,q . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Summary table for algebras Op,q compared to the Clifford algebras l . . . . . . . . . . . . . . 41 p,q C 3 Periodicity of the Algebras On and Op,q 45 3.1 Analogue of the Bott periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 A cubic form on Zn2 can be interpreted in term of a triangulated graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Construction of the periodicity through triangulated graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ix x Contents 4 Algebras of Krichever-Novikov type and Lie Antialgebras 65 4.1 Algebras of K-N type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Lie superalgebras of K-N type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.3 Lie antialgebras, a particular class of Jordan Superalgebras . . 79 5 One and Two Cocycles on Algebras of K-N type 87 5.1 Construction of a 2-cocycle on Lie algebras of K-N type . . . . 89 5.2 Lie superalgebras of K-N type and their central extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.3 Jordan superalgebras of K-N type and 1-cocycles with values in the dual space . . . . . . . . . . . . . 99 A Proofs of Lemmas 3.1 to 3.3 103 A.1 Proof of Lemma 3.1, the case n = 4k . . . . . . . . . . . . . . . 106 A.2 Proof of Lemma 3.2, the case n = 4k+2 . . . . . . . . . . . . 113 A.3 Proof of Lemma 3.3, the case n = 4k+1 . . . . . . . . . . . . . 116 A.4 Proof of Lemma 3.4, the case n = 4k+3 . . . . . . . . . . . . . 122 B Mathematica code 127 B.1 The cubic form α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 p,q B.2 The statistic s(p,q) of the algebras Op,q . . . . . . . . . . . . . 132 Bibliography 135