Libro proporcionado por el equipo Le Libros Visite nuestro sitio y descarga esto y otros miles de libros http://LeLibros.org/ Descargar Libros Gratis, Libros PDF, Libros Online ¿Puede un sistema comprenderse a sí mismo? Si esta pregunta se refiere a la mente humana, entonces nos encontramos ante una cuestión clave del pensamiento científico. Y de la filosofía. Y del arte. Investigar este misterio es una aventura que recorre la matemática, la física, la biología, la psicología y muy especialmente, el lenguaje. Douglas R. Hofstadter, joven y ya célebre científico, nos abre la puerta del enigma con la belleza y la alegría creadora de su estilo. Sorprendentes paralelismos ocultos entre los grabados de Escher y la música de Bach nos remiten a las paradojas clásicas de los antiguos griegos y a un teorema de la lógica matemática moderna que ha estremecido el pensamiento del siglo XX: el de Kurt Gödel. Todo lenguaje, todo sistema formal, todo programa de ordenador, todo proceso de pensamiento, llegan, tarde o temprano, a la situación límite de la autorreferencia: de querer expresarse sobre sí mismos. Surge entonces la emoción del infinito, como dos espejos enfrentados y obligados a reflejarse mutua e indefinidamente. Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle, es una obra de arte escrita por un sabio. Versa sobre los misterios del pensamiento e incluye, ella misma, sus propios misterios. Por ello su traducción ha supuesto también una larga, azarosa y laboriosa aventura que el propio autor ha vivido y que relata en un prólogo especialmente escrito para esta versión española. Douglas R. Hofstadter Gödel, Escher, Bach un Eterno y Grácil Bucle Metatemas - 14 Para M. y D. Visión panorámica Parte I: GEB Introducción: Ofrenda músico-lógica. El libro se abre con la historia de la Ofrenda Musical de Bach. Este hizo una visita inesperada al Rey Federico el Grande de Prusia, y se le solicitó que improvisara con base en un tema presentado por el monarca. Sus improvisaciones constituyeron el fundamento de aquella gran obra. La Ofrenda Musical y su historia forman un tema sobre el cual yo “improviso” a través del libro entero, dando lugar así a una suerte de “Ofrenda Metamusical”. Se hace alusión a la autorreferencia y a la interacción entre diferentes niveles, en Bach; esto conduce a una mención de nociones paralelas, presentes en los dibujos de Escher y en el Teorema de Gödel. Como antecedente de este último, se incluye una breve introducción a la historia de la lógica y de las paradojas. A su vez, esto lleva al razonamiento mecánico y a las computadoras y al debate sobre si es posible la Inteligencia Artificial. Cierro este tramo con una explicación de los orígenes del libro: en particular, del cómo y el porqué de los diálogos. Invención a tres voces. Bach compuso quince invenciones a tres voces. En este diálogo a tres voces, la Tortuga y Aquiles —los principales protagonistas ficticios de los diálogos— son “inventados” por Zenón (tal como ocurrió en realidad, con la finalidad de ilustrar la paradoja de Zenón acerca del movimiento). Es muy breve y se limita a dar el tono de los diálogos venideros. Capítulo I: El acertijo MU. Se plantea aquí un sistema formal simple (el sistema MIU), y se requiere del lector que resuelva un acertijo, con el objeto de que adquiera familiaridad con los sistemas formales en general. Se introduce cierta cantidad de nociones fundamentales: cadena, teorema, axioma, regla de inferencia, derivación, sistema formal, procedimiento de decisión, acción dentro/fuera del sistema. Invención a dos voces. Bach también compuso quince invenciones a dos voces. Este diálogo a dos voces no fue escrito por mí, sino por Lewis Carroll, en 1895. Carroll tomó a la Tortuga y a Aquiles prestados de Zenón, y yo a mi vez los tomé de Carroll. El tópico es la relación entre el razonamiento, el razonamiento acerca del razonamiento, el razonamiento acerca del razonamiento acerca del razonamiento, y así sucesivamente. Esto traza un paralelo, en cierta forma, con las paradojas de Zenón sobre la imposibilidad del movimiento, destinadas a mostrar, mediante la utilización de la retrogradación infinita, que el razonamiento es imposible. Es una bella paradoja y se la vuelve a citar en diversas ocasiones en el transcurso del libro. Capítulo II: Significado y forma en matemática. Es presentado otro sistema formal (el sistema mg), aún más simple que el sistema MIU del Capítulo I. En un comienzo, parece carecer de significación, pero súbitamente sus símbolos se revelan como poseedores de significado, en virtud de la forma de los teoremas en que aparecen. Esta revelación es la primera penetración importante en la significación: se trata de su profunda vinculación con el isomorfismo. Diversos temas relacionados con la significación son tocados aquí: verdad, demostración, manipulación simbólica y el elusivo concepto de “forma”. Sonata para Aquiles solo. Un diálogo que imita las Sonatas de Bach para violín solo. Aquí es Aquiles el único que habla, puesto que se trata de la transcripción de una conversación telefónica, pero sólo de lo dicho en uno de sus extremos, no del otro, donde se encuentra la Tortuga. La charla versa sobre los conceptos de “figura” y “fondo” en diversos contextos: por ejemplo, en las obras de Escher. El diálogo mismo da lugar a una muestra de tal distinción, ya que los parlamentos de Aquiles forman una “figura”, en tanto que los de la Tortuga —implícitos en los de Aquiles— forman un “fondo”. Capítulo III: Figura y fondo. La distinción pictórica entre figura y fondo es comparada con la distinción entre teoremas y no teoremas en el terreno de los sistemas formales. La pregunta “¿una figura contiene necesariamente la misma información que su fondo?” lleva a la distinción entre conjuntos recursivamente enumerables y conjuntos recursivos. Contracrostipunctus. Este diálogo cumple un papel central en el libro, pues contiene una serie de paráfrasis de la construcción autorreferencial de Gödel y de su Teorema de la Incompletitud. Una de las paráfrasis del Teorema reza: “Hay, para todo fonógrafo, un disco que éste no puede hacer escuchar”. El título del diálogo entrecruza las palabras “acróstico” y "contrapunctus”; esta última es una expresión latina, utilizada por Bach para hacer referencia a las fugas y cánones que integran su Arte de la fuga. Se hacen algunas alusiones explícitas a esta obra. El diálogo mismo esconde algunas elaboraciones acrósticas. Capítulo IV: Coherencia, completitud y geometría. El diálogo precedente es explicado en la medida de lo posible en esta etapa. Nos vuelve a remitir al problema de cómo y cuándo los símbolos de un sistema formal adquieren significación. A fin de ilustrar la elusiva noción de “términos indefinidos” se narra la historia de las geometrías euclidiana y no euclidiana, Ello, a su vez, nos plantea la noción de coherencia, con respecto a diferentes, y posiblemente “opuestas”, geometrías. A través de esta discusión se esclarece el concepto de términos indefinidos y se examina la vinculación de éstos con los procesos de percepción y de pensamiento. Pequeño laberinto armónico. Está basado en la pieza de Bach, para órgano, del mismo nombre. Es una introducción juguetona a la noción de estructuras recursivas, esto es, autoincluidas. Contiene relatos en el interior de relatos. La narración enmarcadora, en lugar de finalizar de acuerdo a las expectativas, queda abierta, de modo que el lector no obtiene una resolución. Uno de los relatos internos se ocupa de la modulación musical, en particular de una composición para órgano que finaliza en una tonalidad errónea, de modo que el oyente no obtiene una resolución. Capítulo V: Estructuras y procesos recursivos. La noción de recursividad es presentada dentro de contextos muy diversos: patrones musicales, patrones lingüísticos, estructuras geométricas, funciones matemáticas, teorías físicas, programas de computadora y otros. Canon por aumentación interválica. Aquiles y la Tortuga tratan de resolver la interrogación: “¿Qué contiene más información, un disco o el fonógrafo que lo ejecuta?”. Este extraño problema aparece cuando la Tortuga describe un determinado disco que, cuando es ejecutado por una serie de distintos fonógrafos, produce dos melodías enteramente diferentes: B-A-C-H y C-A- G-E. Ocurre, sin embargo, que ambas melodías son, en un sentido peculiar, la “misma”. Capítulo VI: La localización de la significación. Un amplio examen de la manera en que la significación se distribuye entre el mensaje codificado, el decodificador y el receptor. Los ejemplos presentados incluyen cadenas de ADN, inscripciones aun sin descifrar de antiguas tabletas y discos fonográficos en viaje por el espacio. Se postula la existencia de relación entre la inteligencia y la significación “absoluta”. Fantasía cromática y furia. Un breve diálogo con muy escasa similitud, fuera del título, respecto a la Fantasía cromática y fuga, de Bach. Se ocupa del modo adecuado de manipular oraciones con la finalidad de preservar la verdad y aborda específicamente la cuestión de si existen reglas para la utilización de la palabra “y”. Este diálogo tiene mucho en común con el de Lewis Carroll. Capítulo VII: El cálculo proposicional. Se sugiere aquí que las palabras tales como “y” pueden estar gobernadas por reglas formales. Una vez más son traídas a colación las nociones de isomorfismo y de adquisición automática de significación por los símbolos de un sistema de ese tipo. Al margen, todos los ejemplos de este capítulo son “zentencias”: sentencias, es decir, oraciones, tomadas de kōans zen. Esto es ex-profeso, y hecho con una punta de malignidad puesto que los kōans zen son relatos deliberadamente ilógicos. Canon Cangrejo. Diálogo basado en una composición del mismo nombre, incluida en la Ofrenda Musical. La denominación proviene del hecho de que los cangrejos (se supone) marchan hacia atrás. En este diálogo hace su primera aparición el Cangrejo. Desde el punto de vista del artificio formal y de la interacción entre niveles, éste quizá sea el diálogo más denso del libro. Profundamente entrelazados, aquí, encontramos a Gödel, Escher y Bach. Capítulo VIII: Teoría de los números tipográfica. Es formulada aquí una extensión del cálculo proposicional, llamada “TNT”. Dentro de TNT, se puede vehiculizar el razonamiento teórico-numérico a través de una rígida manipulación simbólica. Son consideradas las diferencias entre el razonamiento formal y el pensamiento humano. Una ofrenda MU. Este diálogo es anunciador de nuevos tópicos. Su tema ostensible es el budismo zen y los kōans, pero en realidad se trata de una discusión levemente velada acerca de la teoremidad y la no teoremidad, la verdad y la falsedad de las cadenas pertenecientes a la teoría de los números. Hay fugaces referencias a la biología molecular, particularmente al Código Genético. La afinidad con la Ofrenda Musical no es estrecha, salvo en el título y en el ejercicio de juegos autorreferenciales. Capítulo IX: Mumon y Gödel. Se hace el ensayo de comentar las curiosas ideas del budismo zen. Ocupa un lugar central, aquí, el monje zen Mumon, autor de acotaciones famosas acerca de muchos kōans, En cierto sentido, las ideas zen ofrecen una semejanza metafórica con ciertas nociones contemporáneas de la filosofía de la matemática. Luego de ser presentado este “ezenario”, es expuesta la idea gödeliana fundamental, la de la numeración Gödel, y se da un primer paso hacia el Teorema de Gödel. Parte II: E G B Preludio y… Este diálogo se ata con el siguiente. Ambos están basados en preludios y fugas de El clavecín bien temperado, de Bach. Aquiles y la Tortuga traen un regalo al Cangrejo, quien tiene un invitado: el Oso Hormiguero. El presente consiste en una grabación de El clavecín, que pasan de inmediato. Al escuchar un preludio, los reunidos comentan la estructura de preludios y fugas, lo cual lleva a Aquiles a preguntar cómo se oye una fuga, si como un conjunto, o como una suma de partes. Se trata del debate entre holismo y reduccionismo, pronto retomado en la Furmiga. Capítulo X: Niveles de descripción y sistemas de computadora. Son examinados diversos niveles de la observación de pinturas, de tableros de ajedrez y de sistemas de computadoras. Este último tema es luego estudiado en detalle, lo cual implica la descripción de lenguajes de máquina, lenguajes ensambladores, lenguajes compiladores, sistemas operativos, etc. La discusión gira después hacia sistemas compuestos de otros tipos, tales como los equipos deportivos, los núcleos, los átomos, el clima, etc. Surge el interrogante de cuántos niveles intermedios existen y, por cierto, de si tales niveles existen, en definitiva. … furmiga. Imitación de una fuga musical: cada voz entra diciendo lo mismo. El tema —holismo versus reduccionismo— es presentado a través de una imagen recursiva compuesta por palabras compuestas por palabras más pequeñas, etc. Las palabras que aparecen en los cuatro niveles de esta curiosa ilustración son “HOLISMO”, “REDUCCIONISMO” y "MU”. La conversación se desplaza hacia una amiga del Oso Hormiguero, Madame Cologne d’Or Migas, una colonia de hormigas dotada de conciencia. El tópico de la discusión son los diversos niveles de sus procesos de pensamiento. El diálogo oculta muchos artificios fugales. A modo de insinuaciones al lector, se hace referencia a artificios paralelos que aparecen en la fuga que los cuatro amigos están escuchando. Al final de la Furmiga retornan, considerablemente transformados, temas del Preludio. Capítulo XI: Cerebro y pensamiento. “¿Cómo los pensamientos pueden tener su apoyo en el hardware del cerebro?” es el tópico de este capítulo. Para comenzar, se lanza una mirada panorámica sobre las estructuras de pequeña y gran escala del cerebro. Después, se analiza especulativamente, y con cierto detalle, la relación entre conceptos y actividad neural.