Lars Grüne | Oliver Junge Gewöhnliche Differentialgleichungen Bachelorkurs Mathematik Herausgegeben von: Prof. Dr. Martin Aigner, Prof. Dr. Heike Faßbender, Prof. Dr. Jürg Kramer, Prof. Dr. Peter Gritzmann, Prof. Dr. Volker Mehrmann, Prof. Dr. Gisbert Wüstholz Die Reihe ist zugeschnitten auf den Bachelor für mathematische Studiengänge. Sie bietet Studierenden einen schnellen Zugang zuden wichtigsten mathematischen Teilgebieten. Die Auswahl der Themenentspricht gängigen Modulen, die in einsemestrigen Lehrveranstaltungen abgehandelt werden können. Die Studierenden lernen Begriffe,Strukturen und Methoden und können das Wissen mit tiefer gehendenErläuterungen und Übungen intensivieren. Die Lehrbücher geben eine Einführung in ein mathematisches Teilgebiet. Sie sind im Vorlesungsstil geschrieben und benutzerfreundlich gegliedert. Beim Bachelor bauen viele Vorlesungen, die bisher für höhere Semester gehalten wurden, nun schon auf den Grundvorlesungen auf. Daher werden einführende Lehrbücher mit einer überschaubaren Stoffauswahl notwendig. Die Reihe gibt eine solide Grundausbildung in Mathematik und leitet zum selbständigen mathematischen Denken an. Ergänzend werden auch fachübergreifende Kompetenzen vermittelt. www.viewegteubner.de Lars Grüne | Oliver Junge Gewöhnliche Differentialgleichungen Eine Einführung aus der Perspektive der dynamischen Systeme STUDIUM Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. Prof. Dr. Lars Grüne Universität Bayreuth Mathematisches Institut Universitätsstraße 30 95447 Bayreuth [email protected] Prof. Dr. Oliver Junge Technische Universität München Zentrum Mathematik Boltzmannstraße 3 85747 Garching [email protected] 1. Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner |GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Susanne Jahnel Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung:KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0381-8 Vorwort Dieses Buch bietet eine kompakte Einfu¨hrung in die Theorie der gew¨ohnlichen Differentialgleichungen aus dem Blickwinkel der dynami- schenSysteme.Zielistes,sowohldieKernaussagenderklassischenTheo- rie zu vermitteln, als auch einen Einblick in zahlreiche verwandte und darauf aufbauende Themen zu geben. Die Darstellung ist dabei so kon- kret wie m¨oglich gehalten. Das Buch gliedert sich in zwei Teile. Im ersten Teil wird die grund- legende Theorie linearer und nichtlinearer Differentialgleichungen – Exi- stenz und Eindeutigkeit, Darstellung und Regularit¨at von L¨osungen – mit ausfu¨hrlichen Beweisen und vielen Beispielen behandelt. Neben ei- nem Kapitel mit ausgew¨ahlten Techniken zur analytischen L¨osung von Differentialgleichungen findet sich dabei auch ein einfu¨hrendes Kapitel zur numerischen Integration von Anfangswertproblemen, um die Rele- vanz dieser Methoden in der Praxis zu betonen. Diese beiden Kapitel werden erg¨anzt durch zwei einfu¨hrende Anh¨ange zu den Paketen maple und matlab, die zum Experimentieren anregen sollen. Auf der zum Buch geh¨origen Web-Seite http://www.dgl-buch.de stehen neben den in den beiden Anh¨angen beschrieben Worksheets und M-Files weitere Programme zur Verfu¨gung, die sich auch zur Verwendung in Vorlesun- geneignen.InsbesondereseidabeidasPendel-Demonstrationsprogramm pendel anim.m erw¨ahnt, mit dem die L¨osungen des linearen und des nichtlinearenPendel-ModellsaufverschiedeneWeiseanimiertdargestellt werden k¨onnen, vgl. Abbildung 0.1. Viele im Buch erl¨auterten Konzepte k¨onnen hiermit experimentell nachvollzogen werden. Der zweite Teil des Buches beginnt mit Kapitel 7 und ist fokussiert auf Themen aus der Theorie der Dynamischen Systeme und Anwendun- gen. Hier soll insbesondere deutlich werden, in welcher Weise die grund- legenden Aussagen und Techniken des ersten Teils helfen, Modelle rea- ler Systeme detailliert zu analysieren. Die Kapitel zur Stabilit¨atstheorie vi VORWORT Phasenportrait 1.5 6 1 4 0.5 2 0 (xt)2 0 −0.5 −2 −1 −4 −1.5 −6 −1 0 1 −2 0 2 x(t) 1 Loesungskomponenten abhaengig von t 6 4 ((xtt)), x12−022 −4 −6 3 4 5 6 7 t Abbildung 0.1: Das Programm pendel anim.m fu¨hren auf Fragen der Steuerungs- bzw. Regelungstheorie hin, die ins- besondere in den Ingenieurwissenschaften von zentralem Interesse sind. Die Kapitel u¨ber Verzweigungen und Attraktoren fu¨hren das Thema im HinblickaufdieA¨nderungvonSystemparameternbzw.allgemeinereSta- bilit¨atskonzepte fort. Im Kapitel u¨ber Hamilton-Systeme erarbeiten wir Basiswissen zu dieser in der Mechanik, Physik und Chemie so wichtigen Systemklasse, das im abschließenden Kapitel aufgegriffen wird, in dem Modellierung und Analyse mit gew¨ohnlichen Differentialgleichungen ex- emplarisch anhand dreier Anwendungsbeispiele durchgefu¨hrt wird. Hinweise fu¨r Dozenten Das Buch ist so strukturiert, dass ein Kapitel in etwa dem Stoff ei- ner Vorlesungswoche mit vier Wochenstunden entspricht. Es ist daher m¨oglich, das Buch direkt als Vorlage fu¨r eine vierstu¨ndige Vorlesung mit 13 Semesterwochen zu verwenden. Da auch wir selbst aber eher selten so vorgehen,istesunswichtig,dennochRaumfu¨rindividuelleSchwerpunk- tezulassen.Gru¨ndehierfu¨rgibtesviele:EineDozentin,dievielWertauf ausfu¨hrliche Erl¨auterungen von Beweisen legt, wird in den Grundlagen- kapiteln m¨oglicherweise mehr Zeit ben¨otigen, w¨ahrend ein Dozent, der DANKSAGUNG vii die anwendungsorientierten Aspekte betont, diesen Teil schneller abhan- delt und dafu¨r mehr Zeit auf die Beispiele verwendet. Eine praxisorien- tierte Vorlesung kann die Anh¨ange u¨ber maple und matlab, die anson- sten in den U¨bungen behandelt oder den Studierenden zum Selbststu- dium empfohlen werden k¨onnen, in die Vorlesung integrieren und dafu¨r Beweise nur skizziert vorstellen oder einzelne Abschnitte oder Kapitel weglassen. In einem Curriculum, in dem eine Vorlesung u¨ber numeri- sche Methoden fu¨r Differentialgleichungen zum Kanon geh¨ort, kann das Kapitel 6 ausgelassen oder stark geku¨rzt werden; wenn andererseits der Existenz- und Eindeutigkeitssatz bereits in der grundlegenden Analysis- Vorlesung behandelt wird, kann er hier sicherlich auch recht kurz abge- handelt werden. Und nicht zuletzt gibt es an vielen Hochschulen Kurse u¨ber Differentialgleichungen, die nur drei oder zwei Wochenstunden vor- sehen, so dass Ku¨rzungen des Stoffes unumg¨anglich sind. Um solche Schwerpunktsetzungen und Ku¨rzungen so einfach wie m¨oglich zu machen, haben wir die Voraussetzungen fu¨r die einzelnen Kapitel in Abbildung 0.2 grafisch dargestellt. Ein Pfeil von Kapitel x zu Kapitel y bedeutet dabei, dass Kapitel x Stoff enth¨alt, der in Kapitel y ben¨otigt wird. Dies bedeutet natu¨rlich nicht, dass alle Definitionen und Resultate dieser Kapitel dort gebraucht werden. Wenn also die vollst¨andige Behandlung eines vorhergehenden Kapitels aus Zeitgru¨nden nicht m¨oglich ist, empfiehlt es sich, genauer zu pru¨fen, welche Teile tats¨achlich ben¨otigt werden. Insbesondere gilt dies fu¨r die Anwendungsbeispiele in Kapitel 13, die bei entsprechender Auf- bereitung auch parallel zum aktuell behandelten Stoff in eine Vorlesung integriert werden k¨onnen. Die Anh¨ange zu maple und matlab sind in Abbildung 0.2 nicht beru¨cksichtigt, weil sie prim¨ar zur Behandlung in den U¨bungen oder zum Selbststudium gedacht sind. Sie setzen den Stoff der Kapitel 1–5 fu¨r die analytischen Methoden sowie von Kapitel 6 fu¨r die numerischen Methodenvoraus;willmanallerdingsnurdieBedienungdernumerischen Methodenerlernen,ohnevielWertaufdentheoretischenHintergrundzu legen, so kann man die Anh¨ange auch ohne Kapitel 6 lesen. Danksagung Wir m¨ochten an dieser Stelle den Herausgebern der Reihe Bache- lorkurs Mathematik des Vieweg+Teubner Verlags danken, ohne deren Anregung dieses Buchprojekt wahrscheinlich nicht begonnen worden w¨are. Großer Dank gebu¨hrt zudem Nils Altmu¨ller, Stefan Jerg, P´eter Koltai, Marcus von Lossow, Florian Mu¨ller, Sina Ober-Bl¨obaum, Ju¨rgen viii VORWORT Kapitel 1-4 Einfu¨hrung LineareDifferentialgleichungen L¨osungstheorie L¨osungseigenschaften Kapitel 5 Kapitel 6 Kapitel 7 Analytische Numerische Dynamische L¨osungen L¨osungen Systeme 3 12. Kapitel 8 Kapitel 9 fu¨r Stabilit¨atI Stabilit¨atII ur n Kapitel 12 Kapitel 11 Kapitel 10 Hamiltonsche Attraktoren Verzweigungen Diff’gleichungen Kapitel 13 Anwendungs- beispiele Abbildung 0.2: Voraussetzungen fu¨r die Kapitel Pannek und Karl Worthmann, die durch gru¨ndliches Korrekturlesen, vielf¨altigeAnregungenzurPr¨asentationdesStoffesundnichtzuletztdas Probel¨osen der U¨bungsaufgaben zum Gelingen des Buches entscheidend beigetragen haben. Fu¨r alle verbleibenden Fehler u¨bernehmen natu¨rlich allein wir die Verantwortung, sind aber dankbar fu¨r jeden Hinweis. Bayreuth Lars Gru¨ne Mu¨nchen, im Juni 2008 Oliver Junge Inhaltsverzeichnis Vorwort v Hinweise fu¨r Dozenten vi Danksagung vii Kapitel 1. Einfu¨hrung 1 1.1. U¨bungen 8 Kapitel 2. Lineare Differentialgleichungen 9 2.1. Autonome Systeme 10 2.2. Nichtautonome Systeme 18 2.3. Inhomogene lineare Systeme 22 2.4. U¨bungen 22 Kapitel 3. L¨osungstheorie 25 3.1. Umformung in eine Gleichung erster Ordnung 25 3.2. Anfangswertprobleme 26 3.3. Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz 29 3.4. Folgerungen aus dem Eindeutigkeitssatz 37 3.5. U¨bungen 39 Kapitel 4. L¨osungseigenschaften 41 4.1. Stetigkeit 41 4.2. Linearisierung und Differenzierbarkeit 46 4.3. U¨bungen 54 Kapitel 5. Analytische L¨osungsmethoden 57 5.1. Trennung der Variablen 58 5.2. Exakte Differentialgleichungen 61 5.3. Bernoulli Differentialgleichungen 66 5.4. Zweidimensionale autonome Systeme 68 5.5. U¨bungen 70 x INHALTSVERZEICHNIS Kapitel 6. Numerische L¨osungsmethoden 73 6.1. Gitterfunktionen 74 6.2. Einschrittverfahren 74 6.3. Runge-Kutta-Verfahren 77 6.4. Konvergenztheorie 79 6.5. Weitere Verfahren und Methoden 85 6.6. U¨bungen 89 Kapitel 7. Dynamische Systeme 91 7.1. Grundbegriffe 91 7.2. Der Satz von Hartman-Grobman 93 7.3. Spezielle L¨osungen 95 7.4. Spezielle Mengen 99 7.5. Der Satz von Poincar´e-Bendixson 100 7.6. U¨bungen 103 Kapitel 8. Stabilit¨at, Teil I: Grundbegriffe und Lineare Systeme 105 8.1. Stabilit¨at am Beispiel des Pendels 105 8.2. Definition 107 8.3. Stabilit¨at linearer homogener Differentialgleichungen 110 8.4. Anwendung: Stabilisierung linearer Kontrollsysteme 115 8.5. U¨bungen 118 Kapitel 9. Stabilit¨at, Teil II: Lyapunov-Funktionen und Nichtlineare Systeme 121 9.1. Lyapunov-Funktionen 121 9.2. Eine Lyapunov-Funktion fu¨r das Pendel 124 9.3. Existenz von Lyapunov-Funktionen fu¨r lineare Systeme 129 9.4. Stabilit¨at mittels Linearisierung 133 9.5. U¨bungen 135 Kapitel 10. Verzweigungen 137 10.1. Die Sattel-Knoten-Verzweigung 138 10.2. Zentrumsmannigfaltigkeiten 142 10.3. Die Hopf-Verzweigung 145 10.4. Globale Verzweigungen 147 10.5. U¨bungen 148