Gottfried Barthel Friedrich Hirzebruch Thomas Höfer Geradenkonfigurationen und Algebraische Flächen Aspects of Mathematics AspektederMathematik Herausgeber: Klas Diederich Vol. E1: G. Hector / U. Hirsch, I ntroduction to the Geometry of Foliations, Part A Vol. E2: M. Knebusch/M. Koister, Wittrings Vol. E3: G. Hector / U. Hirsch, I ntroduction to the Geometry of Foliations, Part B Vol. E4: M. Laska, Elliptic Curves over Number Fields with Prescribed Reduction Type Vol. E5: P.Stiller, Automorphic Forms and the Picard Number of an Elliptic Surface Vol. E6: G. Faltings/G. Wüstholz et al., Rational Points (A Publication of the Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn) Vol. E7: W.Stoll, Value Distribution Theory for Meromorphic Maps Vol. E8: W. von Wahl, The Equations of Navier-Stokes and Abstract Parabolic Equations Vol. E9: A. Howard/P.-M. Wong (Eds.), Contributions to Several Complex Variables Vol. E10: A.J.Tromba, Seminar on New Results in Nonlinear Partial Differential Equations (A Publication of the Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn) Vol. E11: M. Yoshida, Fuchsian Differential Equations (A Publication of the Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn) Band D1: H. Kraft, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie Band D2: J. Bingener, Lokale Modulräume in der analytischen Geometrie 1 Band D3: J. Bingener, Lokale Modulräume in der analytischen Geometrie 2 Band D4: G. Barthel / F. Hirzebruch /T. Höfer, Geradenkonfigurationen und Algebraische Flächen (Eine Veröffentlichung des Max-Planck-Instituts für Mathematik, Bonn) Gottfried Barthel Friedrich Hirzebruch Thomas Höfer Geradenkonfigurationen und Algebraische Flächen Eine Veröffentlichung des Max-Planck-Instituts für Mathematik, Bonn Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig IWiesbaden CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Barthel, Gottfried: Geradenkonfigurationen und algebraische Flächen: e. Veröff. d. Max-Planck-Inst. für Mathematik, Bonn / Gottfried Barthel; F riedrich H irzebruch; Thomas Höfer. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1987. (Aspekte der Mathematik: D;4) ISBN 978-3-528-08907-8 ISBN 978-3-322-92886-3 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-92886-3 NE: Hirzebruch, Friedrich:; Höfer, Thomas:; Aspects of mathematics / D Dr. Gottfried Barthel ist Professor für Mathematik an der Universität Konstanz. Dr. Drs.h.c. Friedrich Hirzebruch ist Professor für Mathematik an der Universität Bonn und Direktor des Max-Planck-Instituts für Mathematik, Bonn. Dr. Thomas Höfer ist Hochschulassistent für Mathematik an der Universität Bonn. AMS Subject Classification (1986): 14.20, 20.65, 20.72, 32.40, 50.70, 50.90, 53.80, 57.xx. Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann. Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1987 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. ISSN 0179-2148 ISBN 978-3-528-08907-8 Vorwort Ein großer Fortschritt in der Theorie der algebraischen Flächen waren 2 der Beweis der Ungleichung cl :s; 3 c2 für die Chernschen Zahlen einer komplex-algebraischen Fläche vom allgemeinen Typ durch Y. Miyaoka und Sh. -T. Yau und die Erkenntnis, daß die Gleichheit cl2 = 3 c2 unter diesen Flächen genau diej enigen charakterisiert, deren universelle Überlagerung der zweidimensionale komplexe Ball ist. Man hat also in diesen Fällen eine Situation, die dem Uniformisierungssatz für alge braische Kurven (Riemannsche Flächen) vom Geschlecht g ~ 2 entspricht. Wegen der großen Bedeutung dieses gerade 10 Jahre alten Resultates ist es interessant, durch direkte algebraisch-geometrische Konstruktionen cl Flächen vom allgemeinen Typ mit = 3c2 zu finden, oder auch solche, deren Chernquotient c12/c2 dem Maximum 3 möglichst nahe kommt; expli zite Beispiele für solche Flächen sind nämlich bislang nur recht sel ten aufgetreten. Das vorliegende Buch enthält viele solcher Beispiele; mit den hier vorgestellten Methoden kann man noch weitere algebraische Flächen mit interessanten Eigenschaften konstruieren. 2 Während Y. Miyaoka die Ungleichung Cl :s; 3c2 mit algebraisch-geome- trischen Mitteln beweist, gehören der Beweis der Ungleichung durch Sh. -T. Yau und die dadurch ermöglichte Charakterisierung der Ball quotienten, die in diesem Buch eine so große Rolle spielen, in die komplexe Differentialgeometrie; der entscheidende Existenzsatz für Kähler-Einstein-Metriken beruht auf der Lösung von nicht-linearen par tiellen Differentialgleichungen. Nun hat die Theorie der algebraischen Flächen von dieser Seite her überhaupt neue wichtige Impulse erhalten: S.K. Donaldson hat mit Methoden aus der Theorie nicht-linearer parti eller Differentialgleichungen und der Modulräume ihrer Lösungen neue Invarianten für vierdimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeiten VI und damit auch für algebraische Flächen eingeführt, viele klassische Probleme gelöst und zahlreiche andere Arbeiten angeregt. Durch diese Ergebnisse steht die Theorie der algebraischen Flächen wieder im Vor dergrund des Interesses, und bei dieser Aktualität kann vielleicht ein Buch mit Beispielen recht nützlich sein. Die hier untersuchten Flächen erhalten wir hauptsächlich als "Kummer Überlagerungen" zu Geradenkonfigurationen in der komplex-proj ektiven Ebene. Diese Überlagerungen der projektiven Ebene sind entlang einer Menge von Geraden lokal mit der Ordnung n ~ 2 verzweigt. Die Chern schen Zahlen (der minimalen Desingularisierungen) dieser Flächen sind dann durch die kombinatorischen Invarianten der Geradenkonfiguration bestimmt. Wenn wir nun die Miyaoka-Yau-Ungleichung c12:s 3c2 anwenden, so erhalten wir wiederum Ungleichungen für diese kombinatorischen Invarianten, aus denen sich überraschenderweise Sätze über Geraden konfigurationen in der Ebene (und durch Dualisierung auch über Punkt konfigurationen) ergeben, die sich bisher nicht auf elementarem Wege beweisen lassen. Eine besonders schöne Anwendung dieser Sätze stammt von L.M. Kelly [1986] (siehe 3.3,H). J-P. Serre hatte 1966 die folgende Frage ge stellt: Gibt es im affinen 3-dimensionalen komplexen Raum eine end liche Menge M von Punkten, die nicht in einer Ebene liegt, so daß die Verbindungsgerade von zwei Punkten von M stets einen weiteren Punkt von M enthält? L. M. Kelly stellte fest, daß die Frage zu verneinen ist, falls in der komplex-projektiven Ebene folgendes gilt: Wenn eine endliche Menge von Geraden, die sich nicht alle in einem Punkt treffen, keinen Doppelpunkt besitzt, dann gibt es zumindest: einen Punkt, durch den genau drei der Geraden laufen. Diese Aussage der ebenen Elementargeometrie folgt aber wie oben beschrieben aus der Miyaoka-Yau-Ungleichung. An dieser Stelle sei eine Warnung zur Terminologie angebracht: Ein end liches System von Geraden in der Ebene wird in der englischsprachigen Literatur "arrangement of lines" genannt. Leider kennen wir dafür kein brauchbares deutsches Wort, so daß wir stattdessen immer von "Konfigu rationen von Geraden" gesprochen haben. Nun hat aber der Begriff einer "Konfiguration" in der klassischen proj ektiven Geometrie eine ganz spezifische Bedeutung, die mit der hier gebrauchten nicht übereinstimmt VII (siehe 2.1,H). Wir hoffen, daß dies nicht zu Mißverständnissen führen wird. Über die erwähnten Flächen und die Anwendungen auf Geradenkonfigura tionen hielt ich im akademischen Jahr 1981/82 eine Vorlesung an der Universität Bonn und im Jahr 1984 eine Vortragsreihe am Max-P1anck Instiut für Mathematik. Die Ergebnise veröffentlichte ich in einem Band der Reihe "Prospects of Mathematics", der I. R. Safarevic gewid met ist und 1983 erschien. Ich wies dort auch auf den Zusammenhang mit Arbeiten von P. De1igne und G.D. Mostow hin. In Gesprächen mit Mostow bei unserem Treffen in Israel 1981 hatte ich zum ersten Mal seine Untersuchungen mit De1igne kennengelernt, die erst viel später erschienen [1986]. In ihrer Arbeit betrachten sie in Anlehnung an klassische Resultate von E. Picard [1885] Überlagerungen der pro jektiven Ebene, die entlang des "vollständigen Vierecks", d.h. der aus den sechs Verbindungsgeraden von vier Punkten bestehenden Geraden konfiguration Al (6), verzweigt sind. Im Gegensatz zu der oben be schriebenen Situation können aber hier die Verzweigungsordnungen beliebig sein. Man sucht solche Überlagerungen, die "vom Ball kommen", d.h. die durch den komplex-zweidimensionalen Ball uniformisiert wer den. Die Uniformisierung kann dann durch die Lösungen einer hypergeo metrischen Differentialgleichung erfolgen (vg1. auch die Arbeiten von T. Terada). In der Dissertation von Thomas Höfer werden nun beliebige Geraden konfigurationen und beliebige Verzweigungs indices betrachtet. Ins besondere wird dort gezeigt, daß die Miyaoka-Yau-Gleichung cf = 3c2 (mit Korrekturtermen) bei A1(6) den endlich vielen Auswahlen von'Ver zweigungsindices entspricht, die zur hypergeometrischen Differential gleichung gehören, und es werden entsprechende Fälle bei anderen Gera denkonfigurationen untersucht. Gottfried Barthel hat meine Vorlesung und die Vortragsreihe aufge zeichnet. Das vorliegende Buch ist eine Synthese seiner Ausarbeitungen und der Dissertation von T. Höfer. Dabei sind die Kapitel 4 und 5 eine erweiterte Fassung von Teilen der Dissertation, während der Anhang G fast unverändert übernommen wurde. Die Kapitellbis 3 entsprechen meiner Vorlesung und meinen Vorträgen, jedoch mußte G. Barthel sehr viel Arbeit aufwenden, um eine schöne Darstellung und eine inhalt liche Abrundung zu erreichen. Ihm ist zu danken für die geometrische VIII Beschreibung und Untersuchung spezieller Geradenkonfigurationen, für viele Einzelheiten bei der Klassifikation der von mir betrachteten Überlagerungen mit konstanten Verzweigungs indices und für die Aufnahme schöner Anwendungen: etwa die oben erwähnten Untersuchungen von L.M. Kelly, das Versagen der Miyaoka-Yau-Ungleichung in Charakteristik p und Fragen zur "Geographie algebraischer Flächen" (Welche rationalen Zahlen treten als Chernsche Quotienten c12/c2 auf?) mit Ergebnissen von A. Sommese. In den Anhängen A und B hat G. Barthel algebraisch-geometrische und differentialgeometrische Grundlagen der Theorie algebraischer Flächen zusammenfassend dargestellt, um dem Leser das Studium des Hauptteils des Buches zu erleichtern. Die Hauptarbeit an dem Buch lag also bei meinen Koautoren. Sie haben gemeinsam an allen Teilen gearbeitet und aus meinen Vorlesungen und Vorträgen und der Dissertation von T. Höfer ein abgerundetes Ganzes gemacht. Ich möchte ihnen ganz herzlich für ihre große Mühe danken. F. Hirzebruch Bei der Arbeit an diesem Buch haben uns viele Leute mit Rat und Tat unterstützt. Wir bedanken uns herzlich bei Hans-Berndt Brinkmann, Jochen Brüning, Karl-Heinz Fieseler, Lothar Göttsche, Branko Grünbaum (besonders für die vielen Geradenkonfigurationen, die wir aus seinen Arbeiten abgezeichnet haben), Klaus Guntermann, Ludger Kaup, Ryoishi Kobayashi, Herbert Kurke, Martin Lübke, Irmgard Lux, Chris Peters, Giesela Schroff, Andrew Sommese, Wolf Weyrich, Masaaki Yoshida .. , Gottfried Barthel Friedrich Hirzebruch Thomas Höfer Inhaltsverzeichnis Vorwort. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Symbol verzeichnis XI Einführung Das Klassifikationsproblem. Ballquotienten und Proportionalitätssätze Kapitel 1 Konstant verzweigte Überlagerungen und Chernsche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .. 13 1.1 Regu lär konstant verzweigte Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 1.2 Singulär konstant verzweigte Überlagerungen und Regularisierung . . . . . . . .. 22 1.3 CHE RNsehe Zahlen und Proportionalitätsabweichung ................ 29 1.4 Zwei Ballquotienten als verzweigte Überlagerungen ABELscher Flächen . . . .. 36 1.5 Beispiel: Geradenkonfigurationen und die zugehörigen KUMME Rschen Über- lagerungen der projektiven Ebene 49 Kapitel 2 Geradenkonfigurationen: Kombinatorik und Beispiele ................... 53 2.1 Geradenkonfigurationen in projektiven Ebenen ..................... 54 2.2 Reelle und simpliziale Konfigurationen und Platonische Körper .......... 61 2.3 Beispiele komplexer Konfigurationen: Die H ESSE- und die CEV A-Konfigura- tionen ................................................ 71 2.4 Spiegelungsgruppen und Geradenkonfigurationen ................... 82 Kapitel 3 Geradenkonfigurationen und Kummersehe Überlagerungen der projektiven Ebene 105 3.1 Drei Beispiele von Ballquotientenflächen ......................... 106 3.2 Zur Klassifikation der Überlagerungsflächen ....................... 116 3.3 Ungleichungen für CHERNsche Zahlen und Kombinatorik von Geradenkon- figurationen ............................................ 132 3.4 Zur Geographie der CHERNschen Zahlen .............. . . . . . . . . . .. 143 Kapitel 4 Gewichtete Konfigurationen von Kurven und verzweigte Überlagerungen algebrai- scher Flächen .............................................. 159 4.1 Gewichtete Kurvenkonfigurationen, passende Überlagerungen, CHE RNsehe Zahlen und Proportional itätsberechnungen ........... . . . . . . . . . . . .. 159 4.2 Rationale Ausnahmekurven und negative Gewichte .................. 167 4.3 Elliptische Kurven und das Gewicht Unendlich ..................... 171 x Kapite/5 Gewichtete Geradenkonfigurationen, Proportionalität und Ballquotienten ..... . 177 5.1 Proportionalitätsbedingungen ................................ . 177 5.2 Konstante Geradengewichtung und isobare Konfigurationen 183 5.3 Existenz passender Überlagerungen ............................ . 190 5.4 Das vollständige Viereck: Proportionalität und hyperbolische Gewichtungen.. 195 5.5 Das vollständige Viereck: Spezielle proportionale Überlagerungen ..... . . .. 202 5.6 Die CEVA-Konfigurationen .................................. 206 5.7 Spiegelungsgruppen-Konfigurationen und Ballquotienten 210 Anhang A Algebraische Flächen A.1 I nvarianten und Klassifikation 219 A.2 Logarithmische Formen und Invarianten 235 Anhang B Differentialgeometrische Methoden B.1 Ballquotienten und CHERNsche Zahlen ......................... . 239 B.2 KÄH LE R-E I NSTE I N-Metriken und Ballquotienten ................. . 250 B.3 Kompaktifizierte Ballquotienten und logarithmische Proportionalität 260 Anhang C Topologische Konstruktionen C.1 Verzweigte Überlagerungen .................................. 269 C.2 Passende Überlagerungen zu gewichteten Kurvenkonfigurationen ......... 273 C.3 Die Fundamentalgruppe des Komplements einer Geradenkonfiguration ..... 275 C.4 Existenzuntersuchung mit Hilfe der Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . .. 279 C.5 ABE Lsche Überlagerungen .................................. 286 C.6 Passende Überlagerungen zu den Spiegelungsgruppen-Konfigurationen . . . . .. 289 Literaturverzeichnis 295 Sachwortverzeichnis 305