(cid:49) (cid:77)(cid:243)(cid:100)(cid:117)(cid:108)(cid:111) (cid:86)(cid:111)(cid:108)(cid:117)(cid:109)(cid:101)(cid:32)(cid:250)(cid:110)(cid:105)(cid:99)(cid:111) (cid:51)(cid:170)(cid:32)(cid:101)(cid:100)(cid:105)(cid:231)(cid:227)(cid:111) (cid:74)(cid:111)(cid:114)(cid:103)(cid:101)(cid:32)(cid:74)(cid:46)(cid:32)(cid:68)(cid:101)(cid:108)(cid:103)(cid:97)(cid:100)(cid:111)(cid:32)(cid:71)(cid:243)(cid:109)(cid:101)(cid:122) (cid:75)(cid:225)(cid:116)(cid:105)(cid:97)(cid:32)(cid:82)(cid:111)(cid:115)(cid:101)(cid:110)(cid:118)(cid:97)(cid:108)(cid:100)(cid:32)(cid:70)(cid:114)(cid:101)(cid:110)(cid:115)(cid:101)(cid:108) (cid:78)(cid:101)(cid:100)(cid:105)(cid:114)(cid:32)(cid:100)(cid:111)(cid:32)(cid:69)(cid:115)(cid:112)(cid:237)(cid:114)(cid:105)(cid:116)(cid:111)(cid:32)(cid:83)(cid:97)(cid:110)(cid:116)(cid:111) (cid:71)(cid:101)(cid:111)(cid:109)(cid:101)(cid:116)(cid:114)(cid:105)(cid:97)(cid:32)(cid:65)(cid:110)(cid:97)(cid:108)(cid:237)(cid:116)(cid:105)(cid:99)(cid:97)(cid:32)(cid:73) Geometria Analítica I Volume único - Módulo 1 Jorge J. Delgado Gómez (IMUFF) 3ª edição Kátia Rosenvald Frensel (IMUFF) Nedir do Espírito Santo (IMUFRJ) Apoio: Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira – Rio de Janeiro, RJ – CEP 20943-001 Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725 Presidente Masako Oya Masuda Vice-presidente Mirian Crapez Coordenação do Curso de Matemática UFF - Regina Moreth UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca Material Didático ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Departamento de Produção Jorge J. Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel EDITORA ILUSTRAÇÃO Nedir do Espírito Santo Tereza Queiroz Equipe CEDERJ COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO REVISÃO TIPOGRÁFICA CAPA INSTRUCIONAL Equipe CEDERJ Eduardo Bordoni Cristine Costa Barreto Fábio Muniz COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL PRODUÇÃO PRODUÇÃO GRÁFICA E REVISÃO Jorge Moura Patricia Seabra Ana Tereza de Andrade PROGRAMAÇÃO VISUAL Gláucia Guarany Marcelo Freitas Marcia Pinheiro COORDENAÇÃO DE AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO Débora Barreiros Copyright © 2007, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação. D352g Delgado Gómez, Jorge J. Geometria analítica I. v.único / Jorge J. Delgado Gómez. – 3.ed. Rio de Janeiro : Fundação CECIERJ, 2010. 284p.;21 x 29,7 cm. ISBN: 978-85-7648-373-1 1. Vetores. 2. Cônicas. 3. Seções cônicas. I. Frensel, Katia Rosenvald. II. Santo, Nedir do Espírito. III. Título. CDD: 516.3 2010/1 Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT. Governo do Estado do Rio de Janeiro Governador Sérgio Cabral Filho Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia Alexandre Cardoso Universidades Consorciadas UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO RIO DE JANEIRO Reitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho Reitor: Aloísio Teixeira UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL RIO DE JANEIRO DO RIO DE JANEIRO Reitor: Ricardo Vieiralves Reitor: Ricardo Motta Miranda UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO Reitor: Roberto de Souza Salles DO RIO DE JANEIRO Reitora: Malvina Tania Tuttman Geometria Analítica I Volume único SUMÁRIO Módulo 1 – Geometria Analítica Plana__________________________________ 7 Aula 1 – Vetores no Plano – Segmentos Orientados ________________________ 9 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 2 – Vetores no Plano – Operações _______________________________ 19 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 3 – A Reta e a Dependência Linear _______________________________ 33 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 4 – Produto Interno ___________________________________________ 49 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 5 – Produto interno – Aplicações _________________________________ 69 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 6 – Produto interno – Aplicações (continuação) ______________________ 79 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 7 – Simetrias e simetrias das cônicas ______________________________ 97 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 8 – Cônicas – Translação de sistemas de coordenadas ________________ 111 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 9 – Cônicas – Rotação de sistemas de coordenadas __________________ 123 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 10 – Regiões e inequações no plano _____________________________ 143 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 11 – Coordenadas polares ____________________________________ 161 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 12 – Equações paramétricas das cônicas __________________________ 181 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 13 – Apêndice: Parametrizações de curvas planas ___________________ 191 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 14 – Círculo _______________________________________________ 207 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 15 – Parábola ______________________________________________ 217 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 16 – Parábola – continuação __________________________________ 225 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 17 – Parábola – aplicações ____________________________________ 233 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 18 – Elipse ________________________________________________ 243 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 19 – Elipse – continuação _____________________________________ 253 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 20 – Hipérbole _____________________________________________ 263 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Aula 21 – Hipérbole – continuação __________________________________ 273 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo Mo´dulo 1 Geometria Anal´ıtica Plana Pr´e-requisitos. Geometria unaetaeterna estinmenteDeirefulgens. •Pr´e-Ca´lculo. AGeometria´eu´nica eeterna, brilhandonamentedeDeus. •GeometriaBa´sica. ConversationwiththeSiderealMessenger: cartaabertaaGalileoGalilei. Johannes Kepler Bibliografia. Ageometriacartesiana descobertaporPierre de FermateRen´e Descar- [1]Lehman,C.,Geometria Anal´ıtica. EditoraGlobo. tes, por volta de 1636, foi de grande importaˆncia na Matema´tica, permitindo [2]Lima,E.,Coordenadas estudar problemas da Geometria Cla´ssica por meio de m´etodos alg´ebricos e noPlano. SBM. reciprocamente, interpretar eresolvergeometricamente problemasalg´ebricos. Noentanto, emmeadosdos´eculo XIX,comec¸ouabusca porumm´etodo maissimples, quepermitisseobterinforma¸co˜esgeom´etricasapartirdeequac¸o˜es alg´ebricas, e obter as equa¸co˜es alg´ebricas de conceitos geom´etricos, de uma forma mais direta. Para isso foi fundamental o desenvolvimento da noc¸a˜o de vetor. Segundo os historiadores, os vetores surgiram informalmente no in´ıcio Bernard Placidus Johann dos´eculoXIX,naspublicac¸o˜es deBernard Bolzano. Em1804,Bolzanopubli- Nepomuk Bolzano 1781 - 1848, cou o livro Betrachtungen u¨ber einige Gegenst¨ande der Elementargoemetrie Praga, A´ustria (Reflexo˜es sobre algumas id´eias relativas a` Geometria Elementar). Nesse (HojeRepu´blicaTcheca). Filo´sofo,matem´aticoe livro, ele considera pontos, retas e planos como sendo noc¸o˜es primitivas e teo´logo, fezcontribui¸co˜es define operac¸o˜es entre eles. Este foi um grande progresso no sentido de abs- significativas a`Matema´tica. Asuateoriasobreoinfinito trair as propriedades inerentes a`s noc¸o˜es primitivas, que originaram a` noc¸a˜o matem´aticoantecipou-se `a de vetor. Neste Mo´dulo aprenderemos os fundamentos da geometria vetorial TeoriadeConjuntos Infinitos deGeorgeCantor. e veremos como utilizar o conceito de vetor no estudo da Geometria do plano http://www-groups.dcs. e do espac¸o. st-and.ac.uk/~history/ Mathematicians/Bolzano. html 7 CEDERJ Vetores no Plano - Segmentos Orientados MO´DULO1 - AULA1 Aula 1 – Vetores no Plano - Segmentos Orientados Objetivos • Definir os conceitos de orienta¸ca˜o, direc¸a˜o e mo´dulo de um segmento. Parasabermais... • Analisar a noc¸a˜o de equipolˆencia entre segmentos orientados. Sobreano¸ca˜odevetor eas • Apresentar a no¸ca˜o de vetor no plano. suasimplica¸co˜esno desenvolvimento da Matema´tica, consulte: http://www-groups.dcs. Em 1832, Giusto Bellavitis publicou uma obra sobre Geometria onde st-and.ac.uk/~history/ HistTopics/Abstract_ apareceu explicitamente a noc¸a˜o de vetor. linear_spaces.html Dados dois pontos A e B do plano, Bellavitis considerou os segmentos AB e BA, de extremidades A e B, como objetos distintos. Ele adotou esta convenc¸a˜o porque o segmento de reta limitado pelos pontos A e B, pode ser percorrido de duas maneiras distintas: partindo de A para chegar at´e B, ou partindo de B para chegar at´e A. Bellavitis classificou os segmentos orientados por meio de uma rela¸ca˜o que chamou equipolˆencia. Essa relac¸a˜o deu origem a` noc¸a˜o de vetor. Giusto Bellavitis 1803 - 1880, It´alia Nesta aula caracterizaremos a noc¸a˜o de equipolˆencia. Matema´ticoautodidata. Refinouoc´alculo Segmentos orientados baricˆentricodeM¨obiusesua teoriadevetores foimuito Daqui em diante, todos os elementos considerados (pontos, retas etc.), importanteno desenvolvimento da pertencem a um plano fixo. Geometria. http://www-groups.dcs. Designamos por AB o segmento de reta orientado percorrido de A para st-and.ac.uk/~history/ B. No segmento AB, o ponto A ´e chamado origem e o ponto B extremidade. Mathematicians/ Bellavitis.html Mesmo que os segmentos AB e BA representem o mesmo conjunto de pontos do plano (os pontos da reta que passa por A e B que est˜ao entre A e B, incluindo A e B), a sua orientac¸a˜o (isto ´e, o sentido de percurso) ´e contra´ria (ou oposta). Veja as figuras abaixo. Figura 1.1: Segmento de extremida- Figura 1.2: Percurso de A at´e B: Figura 1.3: Percurso de B at´e A: des A e B. segmento AB. segmento BA. 9 CEDERJ