byns www.ieeeturkiye.wordpress.com adına yüklenmiş olup toplumları geliştiren bilginin herhangi bir şekilde ulaşılaşılamaz olmasını kabullenemeyen kişi veya kişiler tarafından upload edilmiştir.saygılarımzla.. ONSOZ Ru kitap, GENEL MATEMATiK-2 adh kitabtrmzdaki problernlerin cozurn 1 erini icermektedir. Kitap, Uzayda Vektorler, Dogru ve Diizlem Denklemleri, Vektor Degcrli Fonksiyonlar, Cok Degiskenli Fonksiyonlar, Cok Katlt Integraller. Egrisel inte- gra] ve Yuzey Integralleri konulannm problem cozumlerini kapsadigmdan bu . ., konulan iccrcn Gcncl Matematik, Analiz, Ytiksek Matematik , Ileri Matematik ve Calculus dersleri icin de bir yardirnci kaynaktir. Cozumler cok kisa bir sure icinde tarafimdan yapildigmdan, bazi islem hata- laruun olabilecegini pesincn kabul eder, bu konuda uyanlarda bulunacak mes lektas ve ogrencilere ~imdiden tesekkuru bir bore bilirim. Kitabm tum ogrenen ve ogretenlere yararh olrnasi dilegiyle, ------------------- Prof. Dr. MustafaB aler !!!DİKKAT!!! Fotokopi çekip çalışmak isteyenler soru numaraları kırmızı olduğundan gözükmemektedir.Bu yüzden daha koyu bir şekilde çıkartırsanız:"Hangi sorunun cevabı la bu." Şeklinde bir soruyla karşılaşmazsınız. Gözlerimizi kapayıp, yalnız yaşadığımızı varsayamayız. Ülkemizi bir çember içine alıp dünya ile ilgilenmeksizin yaşayamayız. Tersine gelişmiş,uygarlaşmış bir ulus olarak uygarlık alanının üzerinde yaşayacağız: bu yaşam ancak bilim ve fenle olur. bilim ve fen nerede ise oradan alacağız ve ulusun her bireyinin kafasına koyacağız. Bilim ve fen için bağ ve koşul yoktur. (1922; S.D. I ) K.ATATÜRK www.ieeeturkiye.wordpress.com adına yüklenmiş olup toplumları geliştiren byns i<;iNDEKiLER bilginin herhangi bir şekilde ulaşılaşılamaz olmasını kabullenemeyen kişi veya kişiler tarafından upload edilmiştir.saygılarımzla.. r __ 1_ _ VEKT0RLER, DOGRU VE D0ZLEM DENKLEMLERI Di.izlemde Vektorler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I Uzayda Vektorler 8 Uzayda Dogru Denklernleri 18 Duzlem Denklern leri 23 VEKTOR DEGERLi FONKSIYONLAR Vektor Degerli Fonksiyonlar . Vektor Degerli Fonksiyonlann Limit ve Surekliligi .35 Vektor Degerli Fonksiyonlann Turevi 40 Vektor Degerli Fonksiyonlarm intcgrali .40 13 COK DEGi$KENLi FONKSIYONLAR ., Tamm Kumesi, Limit ve Sureklilik 52 Kismi Tiirevler 59 Zincir Kuralt 72 Kapah Olarak Tarumlanan Fonksiyonlartn Turevi 7 3 Yonln Turevler 88 Kisrni Tiirevlerin Geometrik Anlanu 88 1ki Degiskenli Fonksiyonlann Taylor Acilum 88 Maksimum ve Minimumlar 98 14 (:OK KATLI INTEGRALLER iki Kath lntegraller 126 lki Kath lntegrallerin Uygulamalan 138 0 ~ Kati I t ntegraller .155 -0~ Kath Integrallerin Uygularnalan 165 EGRISEL iNTEGRALLER Egrisel Integrallcr l 86 Egrisel Integrallerin Uygulamalan 199 16 VUZEY INTEGRALLERI Reel Degerli Fonksiyonlann Ytlzey Integralleri 2 IO Ikinci yc~it Yuzey Integralleri 2 'IO Yuzey Integrallerinin Temel Teorernleri 217 Yuzcy Intcgrallcrinin Uygulamalan 224 byns www.ieeeturkiye.wordpress.com adına yüklenmiş olup toplumları geliştiren bilginin herhangi bir şekilde ulaşılaşılamaz olmasını kabullenemeyen kişi veya kişiler tarafından upload edilmiştir.saygılarımzla.. 11 VEKT0RLER, DOGRU_VE D0ZLEM DENKLEMLERi D0ZLEMDEVEKT6RLER VEKTORLER VE VEKTORLERiN ~~iTLiGi = Kartezyen, dtlzlemde u (a, b) biciminde verilen her bir sirah iki- lisine bir vektor denir. a ve h sayilanna da u vekttiriiniin bile- JI senleri adi verilir, b P (a,b) v = (c, d) olsun, u = v -¢:::> a = c ve b = d . 0 a x EKTORLERiN TOPLANMASI A = u = (a, b) ve v tc, d) iki vektor olsun. Build vektorun toplarm c t~ + ., = (o + f, b + d) vek torudur. a B y -u ';;;;. (-a, -b) vektortrne ti= (a, h) vektorttnun ter i denir. -u ile u aym buytlkltikte fakat zit yonlu iki vektordur .. u ile r vektorunun farki u - v := u + ( -v ) biciminde tammlarur, Buna gore, u - v = (a, b) + (-c, -d) = (a - c, b - d) vektoru olacaktu. tors vcktor byns \ ·:KTORLERi. BiR SAYI iU~ ('ARPIIVII = u (ll, b) vektorunun l reel sayisr 'ile carpnru AU=(Aa, 'Ah) vcktorudur. uovr BiR VEKTOHUN y b ----------------------7: (a .b) fl= (a, b) vektorurrun boyu /.'.'~ / : /(x;/ i I! ,, 11 = 'IJ, a2 + b2 \;/11 l: i/ sayisidrr. a x niRtM VEKTORLER Boyu 1 birim olan vektore bir nrim vekt "i denir. Bu taruma gore su onerme dogrudur : u bir birim vektordur ~ II u II = l dir. reel sayisidir, Bu islerne lit i\: carpm 1 veya n •kla c;,trp1 , da denir. PARALEL VE DiK VEKT()llL.ER u I/ 1· C? -Il l ;:.: : -" :: •'1 , ~ u ile v, sifrrdan Iarkh iki vektor olsun. u .L v (.::;} u v 0. ::= 2 www.ieeeturkiye.wordpress.com adına yüklenmiş olup toplumları geliştiren bilginin herhangi bir şekilde ulaşılaşılamaz olmasını kabullenemeyen kişi veya kişiler tarafından upload edilmiştir.saygılarımzla.. byns • DUzlemde UektHrler PROBLEmLER • UektHrlerin Skaler tarp1m1 • Dik ue Paralel Uektorler 1. Sekilde u, l!, w vektorleri ABC A 5. /) c li\geninin kenarlan tarafindan belir- tilmistir, (a) w vckrorunu. u ile r. (b) ! vektorunu u ile w cinsinden yazunz, 2. ~ckil<le ABCD paralelkenardir. y p AP= A1 AB. AQ = 1i.2 AC, AR="-:,. AD oldugunda, Q 0 x olacagnu gostcriniz. Yukndaki ~ekilde M noktasi lPQ] dogru parcasmm 011a noktasidir. 6. u = (2, -1 ), v = (-1, l) vektorleri icin J c= 2 (a+ b) u + v. 1t - 11, 3u - 2v, -4u . 511 oldugunu gosteriniz. vektorlerini bulunuz. 3. A 7. Bitirn noktasi B(3, -11) olan AB= (2 , 5) vektoriintin A baslangic noktasiru bulunuz. 8. Asagrdak] vcktorlcrin boyunu (hliyi.iklti~i.inli)h esaplayi- ruz, a= (4, 12) c = (--6, -8) m=(l,-1) Sckildc G, kcnarortaylann kcsim noktasidir, GA+GB +GC=O b = { 5, 12) d =a (3, 0) oldugunu gosteriniz. 4. '). (9, 12) =a 3 (x, y) + 2 (3. 0) esitligini saglayan x vc y K sayilanm bulunuz, 10. u + Y = i ve tt - v = j esitliklerini saglayan u ve v vek- torlcrini bulunuz. i:l 11. u = (8, -9) vcktoriinun a= (1. -3) vc b = (-2. I) vek- ABC ucgeninin agirhk merkezi G ve ii~gen duzlemin- torlerinin lineer blrlesimi olarak yazmiz. u vektornnttn de ahnan herhangi bir nokta K olsun, bu vektorlere gore bilesenlerini bulunuz. KA + KB + KC = 3 KG olacagmi gosteriniz. 3 www.ieeeturkiye.wordpress.com adına yüklenmiş olup toplumları geliştiren bilginin herhangi bir şekilde ulaşılaşılamaz olmasını kabullenemeyen kişi veya kişiler tarafından upload edilmiştir.saygılarımzla.. byns 12. Uznnlugu, (16, -12) vekturunun uzunlugunun yansi, yo- 20. Her a ve b vektorleri icin nii bu vektoriin yonilni.l.n tersi olan bir vektor bulunuz, u= II 011 a+II 011 s, r= II 011 b-]J bll a 13. A~a.g1daki vektorlcrle ayni yonlti hirer birim vektor vcktorlcrinin dik olacaklanru gostcriniz. . bulunuz. (a; (-8, ----0) (b) (5. 0) (C) 3i - 4j = II = 21. 11 n II 11. v II= 23 ve 11 u- rll 30 olduguna gore 14. A~agidaki vektorlerlc zit yonlu bircr birim vcktor bulunuz. II 1111 + ,, nedir? (a) {4, 3) (b) (0, 6) (C) Si+ lq 22. a + b + c = 0 bagmnsuu saglayan a, b, c birirn vcktorlcri 15. u=(2,3), v=(-1,5), w=(7.-9) vcktorlcri veriliyor, icln w;;;;: au+ bv ll.h+h.c+c.a esitligini saglayan a ve b sayilanru bulunuz. toplarmrn hesaplaymrz, , 16. Asagrdaki vektor ciftlerinin skalar carpunlanni hesaplayi- ruz. 23. II a II = 3, II /J II = 5 olduguna gdre t nin hangi tleger1eri (:.1) (2, 4); (1, -3) (h) (-4, -6); (-2, 5) icin ct+ th ile a th vektorleri birbirlerine dik olur? 17. Asagida boylan ve aralarmdaki acnun olcusu verilen vek- 24. a. b =a. c ve a -:;t. 0 ise b = c midir? liirlerin skalar Qarp1m nu bu]unuz. (al IHI =4. II rll = 6• e == 60° 25. Uzunlugu 2 birirn ve y011ii u = -i + 2j ile 7.1t yonlu ohm bir vektor bulunuz. (b) 11 ull = 2• II rll ~ 3, e:;; 1so0 (c) ll ull =5, II vii= 4, A= 180° / (d) 45° '-'...18. u = (4, 3). t' = (6, 8) vcktorlcri icin (u + v) (u - v} ~arp1mm1 hesaplayiruz. 19. u ilc v , 120 dcrccelik aci yapan iki vektor olsun, II « !I = 4, II r II = 3 olduguna gore asagrdakl ifadeleri hesapla yuuz. Bi.iyi.ikJi.igli IIFII == 30 Newton olan bir kuvvet, yatayla 45 (a) u , l' (e) v2 = r. v derecelik a~1 yapacak ~ekilde bir market arabasina etki et- rnektedir, Bu kuvvetin yatay ve dusey bilesenlerini bulunuz. (b) [u r v] (f) 11311+2~1 (C.) llu-vll lg) (2u - ,,)2 {d) u2 = U. U (11) (Ju+ 2v) . (3u - 2v) 4 byns Vcktiirlcr. Dogru re Diizlem Deuklemleri J Rl.mmJlll.Unnl.1JC..U..llJ..O:.U.l.1.tl.:~J.1JJ .isu: H _ - -~··· , ·-···--····-·--·····-· ···-- ., I. (a) u + v = w, / " •;/ (b) v = w - u I / = -1 2. 2c = a + b ::::::, c (a+b) 2 h 3. IOEI = IGDI olacak bicirndc, GD uzerinde hir E noktas: alalrm. GA=-GE dir, GB + GC = GE :::::} GB + GC = - GA :::::} GA+ GB + GC = 0. 4. KG+GA=KA KG +GB=KB + KG+GC=KC = 3 KG + G.__A__+_G__B,_+__G...C KA+KB+KC 0 3 KG =KA+KB + KC 5. R noktasmdan AB kenanna RT, Q dan KQ paralelini eizelim. D i~ lj~f 1 l;cl l:BI A,IABI = =,> = =,> b = IAQI A2IACI JoCe l= IACI:::::} IACB I = lAq A2IABI =} c= B c1 aI + 1 olur, a= 11.11ABI oldugu verilmisti. APTR yamugunda e:::: b oldugundan I l l l l 1 A IABI = A IABI + A IABI ::;, X- =--::;:- = X- bulunur. 2 L 3 2 I 3 6. u + v = (2-l. -1+1) = ( 1,0), u- v = (2 + l,-1-1) = (3,-2). 3u - 2,, = (6, -3)- (-2, 2) = (6 + 2, -3~2) = (8,-5) --4u = f4.2. 4 (-1)] = (8, -4), 5" == ~5(-1), 5.1) = (-5, 5) 7. A(x,y),AB=(53-x, -Jl-y)=(2.5) => 3-x=2vc-11-y=5=}x::::l,y=-16 A(],-16) 5 byns I 'e ktiirler. nvgru l'C l>li:.fem Dcnklcmleti a. 11 a 11 = ~/16 + 144 = ,,..160 = -1./16.10 = 4-,/io, 11 h 11 = -hs + 144 = -/1@ = 13 11 c 11 = ,/36 +64 = \···100 = 10, II d II = -,/9+0 == a/9 = 3 llm 11= -/~ = -\/2, II n II = -v'2+14 = -,,:16 = 4 9. (9,12)=(3x+3y)+(6,0)=(3x+6,3y):::;,, 3x+6=9 ve 3y=12:::::}x=l, y=4 u+v=i} l I IO . :::;,, 2u= i+j vc 2v = i-j :::;,, u=1(i+j), v= -2(i-j) u- ,., = J - 11. u = xa + yb ==> (x , -3x) + (-2y, y) = (x-2y, -3x+y) = (8. -9) x-2y=8} ==> x = -2, y = -3 olur. u nun a vc b vektorerine gore bilesinleri (2, -3) tur, -3x+y= -9 J 1 ( 16 12 1-, u =--a= --_ - _ =(-8 6) -· 2 2 '2 ' IH=10, 13. (a) a+B,-6), u = a= 1 11~1 ~(-8,-6)=(-t-{ M 11:1(-k ( ( b) b = ( 5, 0), = 5, v = 5, 0) = { 1, OJ t-~ :r H J (c ) c = 3i-4j, = s, w = =-k(3.-4) = ( 11 14. 15. w = au+bv =} (7, -9) = a(2, 3) + b(-1,5):::::} (7, -9) = (2a-b. 3a+5b) ==> 2a- h =_ _7 } ==> a= 2, h = -3 3a+5b - 9 16. (a) (2,4),(1, -3) ""2 - 12 = -10 (b) (-4. -6).(-2. 5) = 8-,--- 30 = -22 17. (a) u.v=llnll lH cos60=4.6.' 2;;1;;;: 12 (b) n.v = 2.3-(- ~ )=-3/l u.v (c) u.v=5.4.(-l)=-2U (d) = 4.6.1 = 24 6 byns 18 ( u + v) .( u - v ) = u. u - v , v "" lluf - lfvll2 ;;;;; 25 - I 00 = - 7 S u.v=llull llvll 19 (a) cos8=4.3.(-~)=-6 llu +\'11 v) u.u lfuf + 11"11 2llnll llvllcos (b) 2 :::, (u + v).(u + = H .v + 2u.,, = 2 + 120° lluhll = 16 + 9+ 2.4.3.(-±) = 13 ==> = v·'13 llu-vl[ lluf +llvll llu-vJI (c) 2 = 2 -2u.v = 16 +9 +12 = 37::::} = \/37 = llnll2 = (d) n2 16, llvll2 (e) v2 = v .v = = 9 (/) ll2u + 3vll' = 4u2 +9v2 + 12u.v = 4.16 +9. 9 + 12.4.3{-~ J = 64+ 81- 72 = 73 => ll2u + 3vll = ,:73 (llblla+ llaJlb ).(llnllb + llblio) llall llblla.b-llbf ll ll -llnll llblla.b 20 u.v = = o.o+ 02b .h -llhf llaf IJ tl IM = + 02 2 ""0 ==> u.Lv 21. llu- vf = 900::::;, llull2 + llvll2 - 2u.v = 900 => 112 + 232 - 2u.,, = 900 ==) Zu.v = -250 r II u + v == u2 + v 2 + 2u. "' = 121 + 529 - 250 = 400 => llu + vii = 20 22. a.{a+b+c)=a.O => a2 + a.b +a.c = 0 ~ a.b + a.c =-1 b.(a+b+c)=b.O ==> b2 + a.b +b.c = 0 ~ a.b + b.c =-1 c.(a+h+c)=c.O ==> c2 + a.c -b,c = 0 ==> a.c + b.c =- I Bu esitlikler taraf tarafa toplarnrsa 2 (a.b + b.c + c.a) = -3 ==) a.b + b.c + c.a = -23 bulunur. 24. a=(l.1), b=(2 ,2). c:::::(3.3) icin a.b=a.c=O oldugu halde b s c dir. 2 . i) 2 . 4 . \' =-=-(-1+· 2 J ;-----.==-1+-=-J ,/5 ,JS ,/5 j \/2 - .)1 .-- 2(), F~=30.cos45°(-i)=-302i=-15·,./2i, FY=30.cos45°(-j)~-30 2-j=-15,/2.i F F y 7