Gáspár Csaba, Horváth Zoltán, Lukács Antal SZE-MTK, Matematika és Számítástudomány Tanszék Analízis és differenciálegyenletek 2013 Műszaki és természettudományos alapismeretek tananyagainak fejlesztése a mérnökképzésben Pályázati azonosító: TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0054 IMPRESSZUM (cid:13)c COPYRIGHT: Gáspár Csaba, Horváth Zoltán, Lukács Antal Széchenyi István Egyetem, Mu˝szaki Tudományi Kar, Matematika és Számítástudomány Tanszék Lektor: Dr. Bolla Marianna, egyetemi docens, Budapesti Mu˝szaki és Gazdaságtudományi Egyetem Mechanika Intézet, Sztochasztika Tanszék (cid:13)c Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerzo˝ nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjesztheto˝, megjelentetheto˝ és elo˝adható, de nem módosítható. ISBN 978-963-7175-91-6 Kiadó: Széchenyi István Egyetem, Mu˝szaki Tudományi Kar Támogatás: Készült a TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0054 számú, "Mu˝szaki és természettudományos alapismeretek tananyagainak fejlesztése a mérnökképzésben" címu˝ projekt keretében. Kulcsszavak: analízis, komplex számok, konvergencia, számsorozatok, végtelen sorok, egyváltozós valós függvények, differenciálszámítás, Taylor-sorok, primitív függvény, Riemann-integrál, közönséges differenciálegyenletek Tartalmi összefoglaló: A jegyzet fejezetei: alapveto˝ fogalmak és összefüggések, komplex számok, sorozatok, sorok, valós függvények, differenciálszámítás, Taylor-sorok, primitív függvények és Riemann-integrál, közönséges differenciálegyenletek. A jegyzet feltételezi a szokásos középiskolai matematika ismeretét, de arra nem épít. Mindegyik fejezet utolsó leckéje a fejezet témakörébe vágó feladatokat tartalmaz. Ugyanitt megtalálhatók a megoldások is (levezetésekkel, útmutatásokkal együtt). A feladatok elo˝tt "Elleno˝rzo˝ kérdések" cím alatt tesztfeladat-sorozat is található. Technikai megjegyzések a jegyzet használatához. Ez a tananyag egy elektronikus jegyzet. 2013-ban, a megjelenés évében annyira elterjedtek az elektronikus tartalomfogyasztásra alkalmas eszközök, hogy bátran feltételezhetjük: az egyetemisták túlnyomó többsége rendelkezik saját számítógéppel, tablet-géppel vagy elektronikus könyvolvasóval. A tananyag elektronikus formája sok elo˝nnyel rendelkezik a nyomtatotthoz képest: • Aktív tartalmak: az elektronikus változatban belso˝ kereszthivatkozások, külso˝ linkek, mozgóképek, stb. helyezheto˝k el. A tartalomjegyzék fejezetszámai, az egyenlet- és ábrasorszámok automatikusan belso˝ linket jelentenek, így biztosítják a kényelmes és gyors belso˝ hivatkozást, de a Szerzo˝ tetszo˝leges helyre tud akár a dokumentum belsejébe, akár egy külso˝ webhelyre mutató linket elhelyezni, ami a szokásos klikkentéssel aktivizálható. • Rugalmasság: a nyomtatott könyv statikus, míg az elektronikus jegyzet esetében könnyu˝ hibajavításokat, frissítéseket alkalmazni. • Ero˝forrás-takarékosság, környezetvédelem: az elektronikus formában való terjesztés sokkal kisebb terhelést jelent a környezetre, mint a nyomtatott. Különösen igaz ez, ha a tananyagban sok a színes ábra. A használt fájlformátum: PDF. A Portable Document Format az Adobe által kifejlesztett formátum, mely igen széles körben elterjedt. Sok helyro˝l szerezhetünk be programot, mely a PDF fájok olvasására alkalmas. Ezek egy része azonban nem tartalmazza a teljes szabvány minden elemét, ezért speciális tartalmak nem, vagy nem pontosan jelenhetnek meg, ha nem az Adobe olvasóját, az AdobeReader-t használjuk. (Letöltheto˝ innen.) A legtöbb megjeleníto˝program jól fogja kezelni az alapszöveget, ábrákat és linkeket, de gondok lehetnek a speciálisabb funkciókkal, pl. a beágyazott dokumentumok kezelésével, az aktív tesztek, kérdo˝ívek használatával. A jegyzet képernyo˝n való megjelenítésre lett optimalizálva. A jelenlegi általánosan elérheto˝ könyvolvasó hardverek mérete és felbontása kisebb, mint a nyomtatott könyveké és a számítógépek monitorai általában fektetett helyzetu˝ek. Ehhez igazítottuk a formátumot arra optimalizálva, hogy fektetett kijelzo˝n teljes képernyo˝s üzemmódban lehessen olvasni. Ehhez állítottuk be a karaktertípust és -méretet valamint azt is, hogy csak kis margót hagyunk, minél több pixelt biztosítva ezzel a tartalomnak. Azért, hogy teljes képernyo˝s üzemmódban is lehessen navigálni, a margón kis navigáló-ikonokat helyeztünk el, melyek a megszokott módon kezelheto˝k: • Lapozás elo˝re és hátra: a függo˝leges oldalak közepén elhelyezett, nyújtott nyilakkal. • Címoldalra ugrás: kis házikó szimbólum a bal felso˝ sarokban. • Vissza és elo˝reugrás a dokumentumban: két kicsi szimbólum a bal felso˝ részen. Ezek nem azonosak a lapozással, hanem a web-böngészo˝k vissza- és elo˝relépéséhez hasonlóan a hiperlinkeken való navigálást szolgálják. A jegyzet segítséget nyújt a tanulás ütemezésében. A megtanulandó tanagyag a szokásos fejezet-alfejezet felosztáson túl leckékre való bontást is tartalmaz. A leckék különbözo˝ számú alfejezetbo˝l állhatnak, de közös bennük, hogy a Szerzo˝ megítélés szerint egy lecke „együlto˝ helyben” megtanulható, azaz várhatóan 1–1,5 óra alatt feldolgozható. A leckék elején rövid leírás található a tárgyalt témakörökro˝l, a szükséges elo˝ismeretekro˝l, a végén pedig önelleno˝rzo˝ kérdések, melyek sok esetben a PDF fájlban (AdobeReader-rel) aktív tartalomként jelennek meg feleletkiválasztós teszt, számszeru˝ vagy képletszeru˝ kérdés formájában. Érdemes tehát leckénként haladni a tanulásban, mert ez segít az ütemezés tervezésében illetve a leckevégi elleno˝rzések segítenek annak eldöntésében, tovább szabad-e haladni vagy inkább ezt vagy az elo˝zo˝ leckéket kell újra elo˝venni. Tartalom 1. Bevezetés 1. lecke 2. Alapveto˝ fogalmak és összefüggések 2.1. Halmazelméleti alapok 2.2. Halmazok számossága 2.3. Teljes indukció. Nevezetes azonosságok és egyenlo˝tlenségek 2. lecke 2.4. Valós számok és számhalmazok 2.5. Feladatok 3. lecke 4. lecke 3. Komplex számok 3.1. A komplex számok bevezetése 3.2. A komplex számok algebrai alakja 3.3. A komplex számok trigonometrikus alakja 3.4. Hatványozás és gyökvonás 5. lecke 3.5. Algebrai egyenletek 3.6. Elleno˝rzo˝ kérdések 6. lecke 3.7. Feladatok 7. lecke 4. Valós számsorozatok 4.1. Sorozatok konvergenciája, alapveto˝ tételek 4.2. Korlátos sorozatok, monoton sorozatok 4.3. Cauchy-sorozatok 4.4. Speciális határértékek 8. lecke 4.5. Konvergenciasebességek összehasonlítása 4.6. Elleno˝rzo˝ kérdések 9. lecke 4.7. Feladatok 10. lecke 5. Végtelen sorok 5.1. Végtelen sorok, konvergenciájuk 5.2. Konvergenciakritériumok 5.3. Sorok Cauchy-szorzata 11. lecke 5.4. Az exponenciális sor és az exponenciális függvény 5.5. Elleno˝rzo˝ kérdések 12. lecke 5.6. Feladatok 13. lecke 6. Egyváltozós valós függvények 6.1. Alapfogalmak 6.2. Határérték és folytonosság 6.3. Folytonos függvények tulajdonságai 14. lecke 6.4. Kontrakciók és a Banach-féle fixponttétel 6.5. Néhány nevezetes határérték 15. lecke 6.6. Elemi függvények 6.7. Elleno˝rzo˝ kérdések 16. lecke 6.8. Feladatok 17. lecke 7. Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása 7.1. A differenciálhányados 7.2. A derivált kiszámítása 7.3. Néhány elemi függvény deriváltja 18. lecke 7.4. Implicit függvények deriválása 7.5. A differenciálszámítás középértéktételei és alkalmazásai 19. lecke 7.6. Magasabbrendu˝ deriváltak és szélso˝értékfeladatok 7.7. Newton–módszer nemlineáris egyenletek megoldására 7.8. Elleno˝rzo˝ kérdések 20. lecke 7.9. Feladatok 21. lecke 8. Taylor-sorok 8.1. Taylor-polinomok 8.2. Taylor- és Maclaurin-sorok, konvergenciájuk 8.3. Néhány függvény Maclaurin-sora 8.4. A komplex exponenciális függvény. A komplex számok exponenciális alakja 8.5. Elleno˝rzo˝ kérdések 22. lecke 8.6. Feladatok 23. lecke 9. Primitív függvény és Riemann-integrál 9.1. A primitív függvény 9.2. Tippek és trükkök a primitív függvény meghatározására 9.3. A Riemann-integrál 24. lecke 9.4. Az integrálszámítás középértéktétele és a Newton–Leibniz-tétel 9.5. Ívhossz és térfogat 25. lecke 9.6. Improprius integrál 9.7. Elleno˝rzo˝ kérdések 26. lecke 9.8. Feladatok 27. lecke 10. Közönséges differenciálegyenletek 10.1.A valóságtól a differenciálegyenletig. Példák. 10.2.Differenciálegyenletek és mellékfeltételek. Megoldhatóság 10.3.Néhány elso˝rendu˝ közönséges differenciálegyenlet megoldása 28. lecke 10.3.1. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek 10.3.2. Változóiban homogén differenciálegyenletek 10.3.3. Elso˝rendu˝ lineáris differenciálegyenletek 10.4.Másodrendu˝ lineáris differenciálegyenletek megoldása 29. lecke 10.5.Kezdeti érték feladatok közelíto˝ megoldása: az Euler-módszer 30. lecke 10.5.1. Az aszimptotikus stabilitás mego˝rzése. Az implicit Euler-módszer 10.6.Elleno˝rzo˝ kérdések 31. lecke 10.7.Feladatok 11. Ajánlott irodalom 1. Bevezetés A jegyzet a Széchenyi István Egyetem mérnöki BSC-szakos hallgatói számára készült, az analízis tárgy bevezeto˝ fejezeteit tartalmazza. Feltételezzük a szokásos középiskolai matematika ismeretét, de arra nem építünk: minden lényeges fogalmat definiálunk, és az állítások, tételek túlnyomó többségét be is bizonyítjuk. Kivételt csak a nagyon egyszeru˝ és a nagyon nehéz állítások képeznek: elo˝bbi esetben a bizonyításokat gyakorlásképp az Olvasónak javasoljuk elvégezni, míg utóbbi esetben a jegyzetben felépített matematikai eszköztár nem elegendo˝ a bizonyításra. A jegyzet fejezetei: alapveto˝ fogalmak és összefüggések, komplex számok, sorozatok, sorok, valós függvények, differenciálszámítás, Taylor-sorok, primitív függvények és Riemann-integrál, végül közönséges differenciálegyenletek. Ajegyzetleckékrevantagolva. Egy-egyleckeanyagátolyanösszefüggo˝,egytémakörhöztartozóanyagalkotja, melyet egyetlen alkalommal át lehet tekinteni. Természetesen ez nem jelenti azt, hogy a tanulás késo˝bbi fázisaiban a korábbi leckéket már nem kell újra és újra átfutni. Épp ellenkezo˝leg: sokszor a késo˝bbiek folyamán derül ki igazán egy-egy fogalom, tétel vagy módszer tulajdonképpeni jelento˝sége. Mindegyik fejezet utolsó leckéje a fejezet témakörébe vágó feladatokat tartalmaz. Ugyanitt megtalálhatók a megoldások is (levezetésekkel, útmutatásokkal együtt). Ezek tanulmányozása az anyag megértését nagyban elo˝segíti, de ez semmiképp nem pótolja egy önálló feladatgyu˝jtemény használatát. A feladatok elo˝tt „Elleno˝rzo˝ kérdések”címalattrövidebb-hosszabbtesztfeladat-sorozattalálhatóafejezetbenleírtismeretekelsajátításának gyors elleno˝rzésére. Kérjük a tisztelt Olvasókat, hogy véleményüket, megjegyzéseiket, észrevételeiket küldjék el a [email protected] e-mail címre. Eredményes felhasználást kívánnak a szerzo˝k: Dr. Gáspár Csaba, Dr. Horváth Zoltán, Lukács Antal