Springer-Lehrbuch Springer Berlin Heidelberg New York Barcelona Hongkong London Mailand Paris Tokio Wilhelm Forst Dieter Hoffmann Fu nk tionentheorie erkunden mit Maple® Springer Professor Dr. Wilhelm Forst Universitiit Ulm Abteilung Numerik 89069 Ulm Deutschland e-mail: [email protected] Professor Dr. Dieter Hoffmann Universitiit Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Fach D 198 78457 Konstanz Deutschland e-mail: [email protected] Mathematics Subject Classification (2000): 97-01, 30-01, 32-01 Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme Forst, Wilhelm: Funktionentheorie erkunden mit Maple / Wilhelm Forst; Dieter Hoffmann. -Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Tokio: Springer, 2002 (Springer- Lehrbuch) ISBN 978-3-540-42543-4 ISBN 978-3-540-42543-4 ISBN 978-3-642-56376-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-56376-8 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der VervielfaItigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine VervielfaItigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulăssig. Sie ist grundsătzlich vergiitungs pflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. http://www.springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002 Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2002 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dail solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wăren und daher von jedermann benutzt werden diirften. Satz: Datenerstellung durch den Autor unter Verwendung eines TEX-Makropakets Einbandgestaltung: design & production GmbH, Heidelberg Bindearbeiten: Stiirtz AG, Wiirzburg SPIN: 10850588 40/3142Ck -5 43 2 1 o Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \' . . . . . . . . . . . . Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . I.X . . . . . . . . . . . . . 1 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . . . 1.1 Historisches.... .. .. ...... .... .......................... 1 1.2 Definition und Modelle komplexer Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Arithmetische Einführung der komplexen Zahlen .. . . . 4 Die komplexen Zahlen als Unterring der 2x2-Matrizen 5 Die komplexen Zahlen als Restklassenring . . . . . . . . . . . 6 Geometrische Einführung der komplexen Zahlen. . . . . . 6 1.3 Elementare Operationen und Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Argument, geometrische Veranschaulichung. . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Wurzeln................................... .... ....... . 11 1.6 Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion. " 12 Maple Worksheets zu Kapitell . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . .] -. . . . . 2 Topologische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . 39. . . . . . . 2.1 Konvergenz von Folgen ........... .. ... ...... .... ... ... " 39 2.2 Topologische Begriffe für Mengen und Punkte ....... .... . " 41 2.3 Stetigkeit und Grenzwert ......... .... ...... ....... .... " 43 Grundeigenschaften stetiger Abbildungen .......... " 44 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. . . . . . . . . Satz von Weierstraß ......... .... ........... .. .. " 45 2.4 Reihen und Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . 4. 6. . Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 . . . . . . . . . . Maple Worksheets zu Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . .5 . 1. . . . 3 Komplexe Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . 71. . . . . . 3.1 Definition und Grundregeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . .7 .1 . . . 3.2 Differentiation von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 .3 . . .. 3.3 Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzier- barkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . .7 .4 . . . . . . . . . Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen, Holomorphie 75 Konforme Abbildungen .. .......... .. ........... .. 76 3.4 Exponentialfunktion und Logarithmus ...... .......... .. .. 77 Allgemeine Potenzen ............ .. ......... ... .. " 80 Cos, Sin, Tan, tan und Umkehrfunktionen . . . . . . . .. .. 81 VI Inhaltsverzeichnis Maple Work heet zu Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 Kurven, Kurvenintegrale und Hauptsatz ..... ... .. ... ..... 101 4.1 Kurven ................................................ 101 4.2 Kurvenintegrale ...................... ... ........ .. ..... 103 4.3 Hauptsatz .. .. ....... ..... ....... ... ........ ........ ... 105 Hauptsatz (Cauchyscher Integralsatz, 1. Fassung) ..... 106 Fundamentalsatz der Algebra ................. .... . 106 Hauptsatz (Cauchyscher Integralsatz, 2. Fassung) ..... 114 Maple Worksheets zu Kapitel 4 .......................... . 115 5 Cauchysche Integralformel und Folgerungen ... ........... 129 5.1 Integralformel .......................................... 129 5.2 Potenzreihenentwicklung ................................ 131 5.3 Holomorphiekriterien .. ... .. .. ..... .. .......... ....... .. 133 Satz von Morera ...... .... ..... ................ .. 133 Identitätssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 4. . . . . . . . . . 5.4 Integralformel für die Ableitungen ...... ....... ........... 136 Abschätzung für Ableitungen und Koeffizienten ...... 136 Satz von Liouville ................................ 137 Satz von Weierstraß 11 .................. .... ...... 138 Satz über Gebietstreue .. .. .. ............... ....... 139 Prinzip vom Maximum .. ...... .. ... ....... ........ 140 Differentiation unterm Integral ................. .... 141 Maple Worksheet zu Kapitel 5 .... ... .. .. ..... ..... ... ... 143 6 Der globale Hauptsatz ... ........ .... .............. .. ... .. 163 6.1 Umlaufzahl, Zyklen ..... .. .......... .. .. .... .. ...... .... 163 6.2 Der Hauptsatz für nullhomologe Zyklen ................... 168 Maple Work heets zu Kapitel 6 .. ..... .... ..... ...... .... . 171 Inhaltsverzeichni VII 7 Laurent-Reihen, i oUerte Singularitäten, Residuensatz ... . 1 1 7.1 Laurent-Reihen .......... ........................ .. .... 181 7.2 Isolierte Singularitäten .............. .. ........ .......... 185 Satz von Casorati-Weierstraß .. .. ......... .. ....... 188 Berechnungsmethoden für Residuen ................. 188 7.3 Residuensatz ...... .. ................................... 190 Berechnung von Integralen mit Hilfe von Residuen .... 190 7.4 Argumentprinzip und Anwendungen ...................... 197 Logarithmisches Residuum ........ ................ 197 Satz von Rouche .. .... ........................... 199 Routh-Kriterium ....................... ... ....... 200 Maple Worksheets zu Kapitel 7 .... .. .. .... ..... .......... 209 8 Konforme Abbildungen und ihre Anwendungen ........... 23 8.1 Möbius-Transformationen ............................... 235 8.2 Joukowski-Transformation ....................... ........ 245 8.3 Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem ........ 247 Komplexe Potentiale .................... .... .. .... 249 Mittelwerteigenschaft ............................. 251 Prinzip vom Maximum, Poissonsche Integralformel ... 252 Verpflanzungsprinzip ...................... .. ...... 254 Maple Work heet zu Kapitel 8 .. ...... ................... 257 9 Die r-Funktion ........................ .... ... ...... ... ... 2 1 9.1 Zur r-Funktion im Reellen ........... .. ........ .... ...... 281 9.2 Die Gammafunktion im Komplexen ....................... 286 9.3 Stirling-Formel ..................... ............... ..... 290 Maple Worksheet zu K apitel 9 ............ ....... ........ 293 10 Anhang zu Maple .......... ........ ... ... ... .. .... .. ...... 299 10.1 Ein erster Einstieg in Maple ........................ ..... 299 10.2 Der Befehl interface .................................... 306 10.3 Die Initialisierungsdatei .......... ... .. ........ ... ....... 308 10.4 Der Befehl transfarm .. ........ ... ......... ........... .. 309 10.5 Eigene Pakete definieren ... ............ ......... ......... 312 VIII Inhaltsverzeichnis Symbolverzeichni ............................................ 315 Namen- und Sachverzeichnis ........... ..... .. .... .. .... ... ... 317 Index zu Maple ... .. ... ..... .. ..... .... .... .. .. ............... 323 Literaturverzeichni ... ... .. ... ........... ... ...... ... .. .. .... 327 Einleitung Es gibt viele gute und auch sehr gute Bücher zur Funktionentheorie. Das vorliegende Buch versucht keineswegs, allein die Zahl solcher Bücher zu erhöhen; das Hauptziel wird aus dem Untertitel deutlich: "mit Maple er kunden ". Die Kombination einer soliden und ausgefeilten Einführung in die Funktionentheorie und zugehöriger Arbeitsblätter mit Maple vom Feinsten macht den besonderen Reiz dieses Buches aus. Maple wird so mit den In halten der Funktionentheorie verknüpft, daß der Schwerpunkt auf Erklärung und Visualisierung liegt, nicht als bloßes Anhängsel. Wir wollen Lernende, Lehrende und Praktiker gewinnen, ein solches Compu teralgebrasystem im ,Alltag' intensiv einzusetzen. Anwender können stärker für Themen wie Funktionentheorie gewonnen werden, wenn Verbindungen zur praktischen Rechnung erkennbar sind. Das dauernde Wechselspiel zwi schen Text und ,Maple-Worksheets', kurz MWSs, führt zu einer wesentlich besseren Durchdringung des Stoffes. Wir hoffen, daß etwas von unserer Begeisterung auf die Leser überspringt, und Lehrende neue Impulse für die Gestaltung ihrer Vorlesungen mitnehmen. Es wird eine allgemeine Einführung in die Funktionentheorie gegeben für Mathematiker, Physiker und Ingenieure - und allgemeiner für Studierende mit Mathematik als Nebenfach. Dabei haben wir durchaus auch Bachelor Studiengänge im Auge. T. NEEDHAM schreibt in [Nee], daß Mathematik oft so dargeboten werde wie Musik, bei der man nur Partituren liest, also sie weder spielt noch hört. Er betont die Kraft der Visualisierung gerade bei der Funktionentheorie. Bei uns wird zusätzlich gezeigt, wie man solche Dinge relativ leicht selbst machen kann. In der Funktionentheorie ist dies besonders geboten: Der Verlauf einer reell wertigen Funktion einer reellen Variablen kann gut durch den Graphen in der (x, y)-Ebene (Il~.2) veranschaulicht werden. Bei einer komplexwertigen Funkti on f einer komplexen Variablen z ist dies nicht ohne weiteres möglich, da dies auf den]R4 führen würde. Man behilft sich meist damit, daß man zwei Ebenen - eine z-Ebene und eine w-Ebene - heranzieht. In der ersten markiert man Punkte z, in der zweiten die zugeordneten Punkte w = f(z). Insbesondere durch die Bilder charakteristischer ,Kurven', die z durchläuft, bekommt man so eine gute Vorstellung von f. Unser Buch kann gewinnbringend für alle Studiengänge nach einer zwei semestrigen Einführung in die Analysis, also ab dem 3. Studiensemester herangezogen werden. Dem Lernenden werden mathematisch ,saubere' und x Einleitung leistungsfähige Methoden an die Hand gegeben, was die praktische Arbeit wesentlich erleichtert. Der Lehrende findet ein solides und ansprechendes Buch, das er zur Orientierung oder als Begleittext ohne Vorbehalte empfeh len kann. Gleich zu Beginn sei ausdrücklich gesagt: Vokabeln wie etwa ,Leser' sollten stets als ,Leser in und Leser' verstanden werden. Sprachliche Spielereien wie ,LeserInnen' oder ,der (die) Leser(in), und Ähnliches finden wir unschön und wenig sinnvoll. Auch wenn wir das nicht fortwährend betonen: Die weiblichen Leser des Buches sind uns herzlich willkommen. Das vorliegende Buch kann den Lemenden von Beginn an begleiten und Grundlage oder Ergänzung zu der Einführung in die Funktionentheorie im Grundstudium bieten. Es bietet eine gute Basis für die Beschäftigung mit weiterführenden oder allgemeineren Themen und vor allem für die vielfältigen Anwendungen. Das Buch kann dem Lehrenden, der die zu präsentierenden Themen und Methoden stärker heutigen computerunterstützten Möglichkeiten anpassen will, eine gute Hilfe und zuverlässiger Wegweiser sein. Wir haben uns immer wieder bemüht, dem Leser die Ideen nahezubringen, ihn zum Mitmachen zu animieren. Dies hat die Darstellung stark geprägt. Zu allen Themen finden sich im Text zahlreiche, meist vollständig durchge rechnete und mit Bedacht ausgewählte Beispiele. Die große Fülle der aus geführten Beispiele zeigt ausgiebig das "Wie ", der sonstige Text erläutert das" Warum". Die MWSs zeigen dann, wie man die Dinge mit einem Com puteralgebrasystem umsetzen kann. Sie geben vielfältige Anregungen zum selbständigen Experimentieren. Instruktive und sorgfältig ausgewählte Abbildungen tragen - auch schon im Textteil - zur Veranschaulichung des Stoffes bei und erleichtern so das Verständnis. Manche der Graphiken sind dabei von ästhetischem Reiz. Auf ein detailliertes Durchgehen der Gliederung des Buches verzichten wir. Das ausführlich gehaltene Inhaltsverzeichnis gibt vorweg genügend Übersicht. Ein erstes Durchblättern dürfte zur Lektüre des gesamten Buches verführen. Es seien nur einige Besonderheiten des Textes erwähnt: • Anders als in vielen sonstigen Lehrbüchern für das dritte Studiensemester wird der Stoff an dem orientiert, was in einem guten halben Semester - meist neben einer Einführung in die Gewöhnlichen Differentialgleichungen - machbar ist. • Exemplarisch werden Anwendungsbeispiele aus dem Ingenieurbereich un ter verschiedenen Aspekten angesprochen. • Der Satz von ROUCHE wird durch ausführliche Überlegungen zum ROUTH Kriterium ergänzt.