Springer-Lehrbuch Eberhard Freitag Funktionentheorie 2 Riemann´sche Flächen Mehrere komplexe Variable Abel´sche Funktionen Höhere Modulformen 2., überarbeitete Aufl age Eberhard Freitag Mathematisches Institut Universität Heidelberg Heidelberg, Deutschland ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-45306-9 ISBN 978-3-642-45307-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-45307-6 Mathematics Subject Classifi cation (2010): 30,31,32 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografi e; detaillierte bibliografi sche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufb ar. Springer Spektrum © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009, 2014 DiesesWerk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. 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Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.springer-spektrum.de fu¨r Hella Einleitung DiesesBuchistfu¨rLesergedacht,welchemitdenGrundzu¨genderelementaren Funktionentheorie, wie sie u¨blicherweise in einer einfu¨hrenden Vorlesung u¨ber dieses Gebiet behandelt werden, vertraut sind. Daru¨berhinaus ist es nu¨tzlich, mitderTheoriederelliptischenFunktionenundderelliptischenModulfunktio- nenvertrautzusein. DieseTheoriensindbeispielsweiseindemvomAutorund Koautor Rolf Busam verfassten Lehrbuch Funktionentheorie“ —im folgen- ” den mit [FB] zitiert— ausfu¨hrlich behandelt worden. Viele Verweise werden sich auf dieses Buch beziehen. Ziel dieses Bandes ist es, eine neue Epoche der klassischen Funktionen- theorie darzustellen, welche entscheidend durch Riemann gepr¨agt worden ist. Ungef¨ahr die H¨alfte dieses Bandes, Kapitel I bis IV, ist der Theorie der Rie- mann’schen Fl¨achen gewidmet. Die Theorie der Riemann’schen Fl¨achen ist eine neue Grundlegung der Funktionentheorie auf h¨oherer Ebene. Gegenstand des Interesses sind analy- tische Funktionen wie in der elementaren Funktionentheorie. Doch wird der Begriff der analytischen Funktion jetzt allgemeiner gefaßt. Definitionsberei- che analytischer Funktionen sind nun nicht mehr ausschließlich offene Teile der Ebene oder Zahlkugel, sondern allgemeinere Fl¨achen. Solche Funktionen treten automatisch auf, wenn man den g√esamten Funktionsverlauf einer a pri- ori mehrdeutigen Funktion wie f(z) = z4+1 durch eine einzige eindeutige Funktion erfassen will. Der natu¨rliche Definitionsbereich dieser Funktion f wird sich als eine zweibl¨attrige U¨berlagerung der Zahlkugel erweisen, welche die Gestalt eines Torus hat. An diesem Beispiel wird andeutungsweise sichtbar, daß man in der Theorie derRiemann’schenFl¨achenmittopologischenProblemenzuk¨ampfenhat. Der Begriff Topologie“ taucht hier in zweierlei Bedeutung auf: ” Zum ersten ist Topologie in der heutigen mathematischen Welt ein uni- verselles sprachliches Mittel, um Fragen der Konvergenz und Stetigkeit in m¨oglichst breitem Rahmen ansprechen zu k¨onnen. Diesem Zweck dient der Begriff des topologischen Raumes und der daraus abgeleiteten Begriffe wie offene Menge“, abgeschlossene Menge“, Umgebung“, Stetigkeit“, Kon- ” ” ” ” ” vergenz“, Kompaktheit“, um einige wichtige anzusprechen, so wie ja schon ” dieMengenlehre einallgemeingu¨ltigesVerst¨andigungsmittelinderMathematik darstellt. Da der Leser unseres Buches mittlerweile weitergehende mathema- tische Erfahrungen gesammelt hat, kann davon ausgegangen werden, daß er mitderTopologiealssprachlichemMittelvertrautgewordenist. AusGru¨nden derGeschlossenheitwurdendennochineinemeinfu¨hrendenAbschnitt(I.0)die Grundbegriffe dieser Sprache knapp aber vollst¨andig zusammengestellt, wobei auf die einfachen Beweise meist verzichtet wurde. Einleitung VII Ein zweiter Aspekt der Topologie ist, daß sie eine mathematische Disziplin zur Untersuchung nichttrivialer geometrischer Probleme darstellt. Es ist bei- spielsweise ein wichtiger geometrischer Sachverhalt, daß jede kompakte und orientierbare Fl¨ache hom¨oomorph zu einer Kugel mit p Henkeln ist. Die Zahl p ist eine topologische Invariante der Fl¨ache, welche ihren topologischen Typ bestimmt. Dieser Satz spielt in der Theorie der Riemann’schen Fl¨achen eine wichtige Rolle. Topologische S¨atze von echt mathematischer Substanz werden in diesem Buch vollst¨andig bewiesen. Neben der erw¨ahnten Klassi- fizierung kompakter orientierbarer Fl¨achen geh¨ort hierzu auch ein Abriß der U¨berlagerungstheorie, insbesonderedieTheoriederuniversellenU¨berlagerung. Die Entwicklung der Topologie h¨angt u¨brigens stark damit zusammen, daß sie bei der Theorie der Riemann’schen Fl¨achen sowohl als sprachliches Mittel große Vorteile brachte, als auch echte geometrische Probleme in dieser Theorie auftreten. Einer der H¨ohepunkte der Theorie der Riemann’schen Fl¨achen ist, daß durch sie ein Beweis des Jacobi’schen Umkehrproblems erm¨oglicht wurde und eintiefesVerst¨andnisfu¨rdasUmkehrtheoremerreichtwurde. DasUmkehrthe- orem wird in diesem Band vollst¨andig beweisen. In ¨ahnlicher Weise, wie bei der Umkehrung elliptischer Integrale mero- morphe Funktionen mit zwei unabh¨angigen Perioden auftreten —sogenannte elliptische— Funktionen, treten bei der Umkehrung von Integralen algebrai- scher Funktionen meromorphe Funktionen von mehreren komplexen Variablen z ,...z auf,welche2punabh¨angigePeriodenhaben. SolcheFunktionennennt 1 p man abelsche Funktionen. Das Umkehrtheorem leitet eine neue mathematische Entwicklung ein. Zu seinem Verst¨andnis ist es zwingend erforderlich, den Begriff der meromor- phen Funktion mehrerer komplexer Variabler einzufu¨hren, und man ben¨otigt hierzu eine Grundlegung der Funktionentheorie mehrerer komplexer Ver¨ander- licher. ErstdanachkannmandenBegriffderabelschenFunktion einfu¨hrenund eine Theorie abelscher Funktionen entwickeln, welche die Theorie der ellipti- schen Funktionen verallgemeinert. Ein Hauptresultat dieser Theorie wird sein, daß der K¨orper der abelschen Funktionen endlich erzeugt ist. Er ist ein alge- braischerFunktionenk¨orpervomTranszendenzgradm≤p. AndersalsimFalle p=1 ist der Transzendenzgrad im Falle p>1 nur unter sehr einschr¨ankenden Bedingungen gleich p. Die Riemann’schen Periodenrelationen mu¨ssen erfu¨llt sein. Diese Relationen sind fu¨r die bei der Umkehrung algebraischer Integrale auftretendenabelschen Funktionen erfu¨llt. Nicht nur ausdiesem Grund ist der Fall m=p der eigentlich interessante. Beim Studium der Mannigfaltigkeit aller Gitter L ⊂ C st¨oßt man auf die elliptischen Modulfunktionen. In derselben Weise geben die abelschen Funk- tionen den Anlaß zu einer Theorie der Modulfunktionen mehrerer Ver¨ander- licher. Das letzte Kapitel dieses Buches enth¨alt eine m¨oglichst einfach gehal- tene Einfu¨hrung in diese Theorie. VIII Einleitung Dieses Buch ist somit eine Wiederholung von [FB] auf h¨oherer Ebene. Der gew¨ohnlichenCauchy-Weierstrass’schenFunktionentheorieentsprechendie Theorie der Riemann’schen Fl¨achen und gewisse Grundelemente der Funktio- nentheoriemehrererVer¨anderlicher. AnstellederTheoriederelliptischenFunk- tionen tritt die Theorie der abelschen Funktionen und an die der elliptischen Modulfunktionen die Theorie der Siegel’schen Modulfunktionen. Es wurde versucht, jeweils m¨oglichst elementar vorzugehen und alle Hilfs- mittel vollst¨andig zu entwickeln. Dies bedingt auch kleine Exkurse in die Al- gebra. Dem Koautor des ersten Bandes, Herrn Busam, m¨ochte ich fu¨r seine Hilfe bei der Erstellung von Abbildungen und den allgemeinen Grundlagen herzlich danken. Inhalt Kapitel I. Riemann’sche Fl¨achen 1 0. Topologische Grundbegriffe 3 1. Der Begriff der Riemann’schen Fl¨ache 13 2. Das analytische Gebilde 28 3. Die Riemann’sche Fl¨ache einer algebraischen Funktion 36 Kapitel II. Harmonische Funktionen auf Riemann’schen Fl¨achen 55 1. Die Poisson’sche Integralformel 57 2. Stabilit¨atseigenschaften harmonischer Funktionen bei Grenzu¨bergang 61 3. Das Randwertproblem fu¨r Kreisscheiben 64 4. Die Formulierung des Randwertproblems auf Riemann’schen Fl¨achen und die Eindeutigkeit der L¨osung 69 5. Die L¨osung des Randwertproblems mit Hilfe des alternierenden Verfahrens von Schwarz 76 6. Die normierte L¨osung des Außenraumproblems 82 Anhang zu 6. Abz¨ahlbarkeit Riemann’scher Fl¨achen 7. Konstruktion von harmonischen Funktionen mit vorgegebener Singularit¨at; der berandete Fall 93 8. Konstruktion von harmonischen Funktionen mit logarithmischer Singularit¨at; die Green’sche Funktion 98 9. Konstruktion von harmonischen Funktionen mit vorgegebener Singularit¨at; der positiv berandete Fall 102 10. Ein Lemma von Nevanlinna 105 11. Konstruktion von harmonischen Funktionen mit vorgegebener Singularit¨at; der nullberandete Fall 116 12. Die wichtigsten Spezialf¨alle der Existenzs¨atze 121 13. Anhang zu Kapitel II. Der Satz von Stokes 123 Kapitel III. Uniformisierung 145 1. Der Uniformisierungssatz 148 2. Grobe Klassifikation Riemann’scher Fl¨achen 156 3. Der Satz von Picard 164 X Inhalt 4. Anhang A. Die Fundamentalgruppe 169 5. Anhang B. Die universelle U¨berlagerung 175 6. Anhang C. Der Monodromiesatz 186 Kapitel IV. Kompakte Riemann’sche Fl¨achen 190 1. Meromorphe Differentiale 190 2. Kompakte Riemann’sche Fl¨achen und algebraische Funktionen 198 3. Die Triangulierung einer kompakten Riemann’schen Fl¨ache 211 Anhang zu §3. Die Riemann-Hurwitz’sche Verzweigungsformel 4. Kombinatorische Schemata 218 5. Randverheftungen 225 6. Die Normalform kompakter Riemann’scher Flachen 229 7. Differentiale erster Gattung 239 Anhang zu §7. Der Polyedersatz 8. Erste Periodenrelationen 247 Anhang zu §8. Stu¨ckweise Glattheit 9. Der Riemann-Roch’sche Satz 254 10. Weitere Periodenrelationen 264 11. Das abelsche Theorem 271 12. Das Jacobi’sche Umkehrproblem 280 Anhang zu §12. Stetigkeit der Wurzeln Anhang zu Kapitel IV 290 13. Multikanonische Formen 290 14. Die Dimension des Vektorraums der Modulformen 296 15. Die Dimension des Vektorraums der Modulformen zu Multiplikatorsystemen 306 Kapitel V. Analytische Funktionen mehrerer Variabler 311 1. Elementare Eigenschaften analytischer Funktionen mehrerer Variabler 311 2. Mehrfache Potenzreihen 313 3. Analytische Abbildungen 322 4. Der Weierstraß’sche Vorbereitungssatz 329 5. Darstellung meromorpher Funktionen als Quotienten analytischer Funktionen 339 6. Alternierende Differentialformen 350 Kapitel VI. Abelsche Funktionen 361 1. Gitter und Tori 361 2. Hodge-Theorie des reellen Torus 366