Springer-Lehrbuch Eberhard Freitag Funktionentheorie 2 Riemann’sche Fla¨chen Mehrere komplexe Variable Abel’sche Funktionen Ho¨here Modulformen 123 Prof.Dr.EberhardFreitag Universita¨tHeidelberg MathematischesInstitut ImNeuenheimerFeld288 69120Heidelberg [email protected] ISSN0937-7433 ISBN978-3-540-87896-4 e-ISBN978-3-540-87899-5 DOI10.1007/978-3-540-87899-5 SpringerHeidelbergDordrechtLondonNewYork DieDeutscheNationalbibliothek verzeichnet diesePublikation inderDeutschenNationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetu¨berhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. MathematicsSubjectClassification(2000):30,31,32 (cid:2)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2009 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschu¨tzt. Die dadurch begru¨ndeten Rechte, insbesondere die der U¨bersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung,derMikroverfilmungoderderVervielfa¨ltigungaufanderenWegenundderSpeicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfa¨ltigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesistauchimEinzelfallnurindenGrenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zula¨ssig. Sie ist grundsa¨tzlich vergu¨tungspflichtig. ZuwiderhandlungenunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwa¨renunddahervonjedermann benutztwerdendu¨rften. Einbandentwurf:WMXDesignGmbH,Heidelberg Printedonacid-freepaper SpringeristTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia(www.springer.com) fu¨r Hella Einleitung DiesesBuchistfu¨rLesergedacht,welchemitdenGrundzu¨genderelementaren Funktionentheorie, wie sie u¨blicherweise in einer einfu¨hrenden Vorlesung u¨ber dieses Gebiet behandelt werden, vertraut sind. Daru¨berhinaus ist es nu¨tzlich, mitderTheoriederelliptischenFunktionenundderelliptischenModulfunktio- nenvertrautzusein. DieseTheoriensindbeispielsweiseindemvomAutorund Koautor Rolf Busam verfassten Lehrbuch Funktionentheorie“ —im folgen- ” den mit [FB] zitiert— ausfu¨hrlich behandelt worden. Viele Verweise werden sich auf dieses Buch beziehen. Ziel dieses Bandes ist es, eine neue Epoche der klassischen Funktionen- theorie darzustellen, welche entscheidend durch Riemann gepr¨agt worden ist. Ungef¨ahr die H¨alfte dieses Bandes, Kapitel I bis IV, ist der Theorie der Rie- mann’schen Fl¨achen gewidmet. Die Theorie der Riemann’schen Fl¨achen ist eine neue Grundlegung der Funktionentheorie auf h¨oherer Ebene. Gegenstand des Interesses sind analy- tische Funktionen wie in der elementaren Funktionentheorie. Doch wird der Begriff der analytischen Funktion jetzt allgemeiner gefaßt. Definitionsberei- che analytischer Funktionen sind nun nicht mehr ausschließlich offene Teile der Ebene oder Zahlkugel, sondern allgemeinere Fl¨achen. Solche Funktionen treten automatisch auf, wenn man den g√esamten Funktionsverlauf einer a pri- ori mehrdeutigen Funktion wie f(z) = z4+1 durch eine einzige eindeutige Funktion erfassen will. Der natu¨rliche Definitionsbereich dieser Funktion f wird sich als eine zweibl¨attrige U¨berlagerung der Zahlkugel erweisen, welche die Gestalt eines Torus hat. An diesem Beispiel wird andeutungsweise sichtbar, daß man in der Theorie derRiemann’schenFl¨achenmittopologischenProblemenzuk¨ampfenhat. Der Begriff Topologie“ taucht hier in zweierlei Bedeutung auf: ” Zum ersten ist Topologie in der heutigen mathematischen Welt ein uni- verselles sprachliches Mittel, um Fragen der Konvergenz und Stetigkeit in m¨oglichst breitem Rahmen ansprechen zu k¨onnen. Diesem Zweck dient der Begriff des topologischen Raumes und der daraus abgeleiteten Begriffe wie offene Menge“, abgeschlossene Menge“, Umgebung“, Stetigkeit“, Kon- ” ” ” ” ” vergenz“, Kompaktheit“, um einige wichtige anzusprechen, so wie ja schon ” dieMengenlehre einallgemeingu¨ltigesVerst¨andigungsmittelinderMathematik darstellt. Da der Leser unseres Buches mittlerweile weitergehende mathema- tische Erfahrungen gesammelt hat, kann davon ausgegangen werden, daß er mitderTopologiealssprachlichemMittelvertrautgewordenist. AusGru¨nden derGeschlossenheitwurdendennochineinemeinfu¨hrendenAbschnitt(I.0)die Grundbegriffe dieser Sprache knapp aber vollst¨andig zusammengestellt, wobei auf die einfachen Beweise meist verzichtet wurde. Einleitung VII Ein zweiter Aspekt der Topologie ist, daß sie eine mathematische Disziplin zur Untersuchung nichttrivialer geometrischer Probleme darstellt. Es ist bei- spielsweise ein wichtiger geometrischer Sachverhalt, daß jede kompakte und orientierbare Fl¨ache hom¨oomorph zu einer Kugel mit p Henkeln ist. Die Zahl p ist eine topologische Invariante der Fl¨ache, welche ihren topologischen Typ bestimmt. Dieser Satz spielt in der Theorie der Riemann’schen Fl¨achen eine wichtige Rolle. Topologische S¨atze von echt mathematischer Substanz werden in diesem Buch vollst¨andig bewiesen. Neben der erw¨ahnten Klassi- fizierung kompakter orientierbarer Fl¨achen geh¨ort hierzu auch ein Abriß der U¨berlagerungstheorie,insbesonderedieTheoriederuniversellenU¨berlagerung. Die Entwicklung der Topologie h¨angt u¨brigens stark damit zusammen, daß sie bei der Theorie der Riemann’schen Fl¨achen sowohl als sprachliches Mittel große Vorteile brachte, als auch echte geometrische Probleme in dieser Theorie auftreten. Einer der H¨ohepunkte der Theorie der Riemann’schen Fl¨achen ist, daß durch sie ein Beweis des Jacobi’schen Umkehrproblems erm¨oglicht wurde und eintiefesVerst¨andnisfu¨rdasUmkehrtheoremerreichtwurde. DasUmkehrthe- orem wird in diesem Band vollst¨andig beweisen. In ¨ahnlicher Weise, wie bei der Umkehrung elliptischer Integrale mero- morphe Funktionen mit zwei unabh¨angigen Perioden auftreten —sogenannte elliptische— Funktionen, treten bei der Umkehrung von Integralen algebrai- scher Funktionen meromorphe Funktionen von mehreren komplexen Variablen z ,...z auf,welche2punabh¨angigePeriodenhaben. SolcheFunktionennennt 1 p man abelsche Funktionen. Das Umkehrtheorem leitet eine neue mathematische Entwicklung ein. Zu seinem Verst¨andnis ist es zwingend erforderlich, den Begriff der meromor- phen Funktion mehrerer komplexer Variabler einzufu¨hren, und man ben¨otigt hierzueineGrundlegungderFunktionentheoriemehrererkomplexerVer¨ander- licher. ErstdanachkannmandenBegriffderabelschenFunktion einfu¨hrenund eine Theorie abelscher Funktionen entwickeln, welche die Theorie der ellipti- schenFunktionenverallgemeinert. EinHauptresultatdieserTheoriewirdsein, daß der K¨orper der abelschen Funktionen endlich erzeugt ist. Er ist ein alge- braischerFunktionenk¨orpervomTranszendenzgradm≤p. AndersalsimFalle p=1 ist der Transzendenzgrad im Falle p>1 nur unter sehr einschr¨ankenden Bedingungen gleich p. Die Riemann’schen Periodenrelationen mu¨ssen erfu¨llt sein. Diese Relationen sind fu¨r die bei der Umkehrung algebraischer Integrale auftretendenabelschenFunktionenerfu¨llt. NichtnurausdiesemGrundistder Fall m=p der eigentlich interessante. Beim Studium der Mannigfaltigkeit aller Gitter L ⊂ C st¨oßt man auf die elliptischen Modulfunktionen. In derselben Weise geben die abelschen Funk- tionen den Anlaß zu einer Theorie der Modulfunktionen mehrerer Ver¨ander- licher. Das letzte Kapitel dieses Buches enth¨alt eine m¨oglichst einfach gehal- tene Einfu¨hrung in diese Theorie. VIII Einleitung Dieses Buch ist somit eine Wiederholung von [FB] auf h¨oherer Ebene. Der gew¨ohnlichenCauchy-Weierstrass’schenFunktionentheorieentsprechendie Theorie der Riemann’schen Fl¨achen und gewisse Grundelemente der Funktio- nentheoriemehrererVer¨anderlicher. AnstellederTheoriederelliptischenFunk- tionen tritt die Theorie der abelschen Funktionen und an die der elliptischen Modulfunktionen die Theorie der Siegel’schen Modulfunktionen. Es wurde versucht, jeweils m¨oglichst elementar vorzugehen und alle Hilfs- mittel vollst¨andig zu entwickeln. Dies bedingt auch kleine Exkurse in die Al- gebra. Dem Koautor des ersten Bandes, Herrn Busam, m¨ochte ich fu¨r seine Hilfe bei der Erstellung von Abbildungen und den allgemeinen Grundlagen herzlich danken. Inhalt Kapitel I. Riemann’sche Fl¨achen 1 0. Topologische Grundbegriffe 3 1. Der Begriff der Riemann’schen Fl¨ache 13 2. Das analytische Gebilde 28 3. Die Riemann’sche Fl¨ache einer algebraischen Funktion 36 Kapitel II. Harmonische Funktionen auf Riemann’schen Fl¨achen 52 1. Die Poisson’sche Integralformel 54 2. Stabilit¨atseigenschaften harmonischer Funktionen bei Grenzu¨bergang 58 3. Das Randwertproblem fu¨r Kreisscheiben 61 4. Die Formulierung des Randwertproblems auf Riemann’schen Fl¨achen und die Eindeutigkeit der L¨osung 66 5. Die L¨osung des Randwertproblems mit Hilfe des alternierenden Verfahrens von Schwarz 73 6. Die normierte L¨osung des Außenraumproblems 79 Anhang zu 6. Abz¨ahlbarkeit Riemann’scher Fl¨achen 7. Konstruktion von harmonischen Funktionen mit vorgegebener Singularit¨at; der berandete Fall 90 8. Konstruktion von harmonischen Funktionen mit logarithmischer Singularit¨at; die Green’sche Funktion 95 9. Konstruktion von harmonischen Funktionen mit vorgegebener Singularit¨at; der positiv berandete Fall 99 10. Ein Lemma von Nevanlinna 102 11. Konstruktion von harmonischen Funktionen mit vorgegebener Singularit¨at; der nullberandete Fall 113 12. Die wichtigsten Spezialf¨alle der Existenzs¨atze 118 13. Anhang zu Kapitel II. Der Satz von Stokes 120 Kapitel III. Uniformisierung 142 1. Der Uniformisierungssatz 145 2. Grobe Klassifikation Riemann’scher Fl¨achen 153 3. Der Satz von Picard 161 X Inhalt 4. Anhang A. Die Fundamentalgruppe 166 5. Anhang B. Die universelle U¨berlagerung 172 6. Anhang C. Der Monodromiesatz 183 Kapitel IV. Kompakte Riemann’sche Fl¨achen 187 1. Meromorphe Differentiale 187 2. Kompakte Riemann’sche Fl¨achen und algebraische Funktionen 195 3. Die Triangulierung einer kompakten Riemann’schen Fl¨ache 208 Anhang zu §3. Die Riemann-Hurwitz’sche Verzweigungsformel 4. Kombinatorische Schemata 215 5. Randverheftungen 222 6. Die Normalform kompakter Riemann’scher Flachen 226 7. Differentiale erster Gattung 236 Anhang zu §7. Der Polyedersatz 8. Erste Periodenrelationen 244 Anhang zu §8. Stu¨ckweise Glattheit 9. Der Riemann-Roch’sche Satz 251 10. Weitere Periodenrelationen 261 11. Das abelsche Theorem 268 12. Das Jacobi’sche Umkehrproblem 277 Anhang zu §12. Stetigkeit der Wurzeln Anhang zu Kapitel IV 287 13. Multikanonische Formen 287 14. Die Dimension des Vektorraums der Modulformen 293 15. Die Dimension des Vektoraums der Modulformen zu Multiplikatorsystemen 303 KapitelV. Analytische Funktionen mehrerer Variabler 308 1. Elementare Eigenschaften analytischer Funktionen mehrerer Variabler 308 2. Mehrfache Potenzreihen 310 3. Analytische Abbildungen 319 4. Der Weierstraß’sche Vorbereitungssatz 326 5. Darstellung meromorpher Funktionen als Quotienten analytischer Funktionen 336 6. Alternierende Differentialformen 347 Kapitel VI. Abelsche Funktionen 358 1. Gitter und Tori 358 2. Hodge-Theorie des reellen Torus 363