Fundamentos da Mecânica dos Sólidos e das Estruturas Paulo de Mattos Pimenta Professor Titular do Departamento de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo São Paulo 2006 À Ciça e ao Leandro Prefácio Este é o texto de apoio às aulas das disciplinas de pós-graduação sobre Fundamentos da Teo- ria das Estruturas e de Análise Não-linear de Estruturas ministradas pelo autor no Departa- mento de Engenharia de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo desde 1985. Embora se deseje transformá-lo em um livro, ele, contudo, deve ainda ser considerado provi- sório. Ele ainda não inclui referências bibliográficas, o número de figuras, de exemplos e de exercícios é pequeno, alguns capítulos ainda nem foram completados. Modificações e com- plementações têm sido introduzidas todos os anos na tentativa de melhorá-lo. Para isso, su- gestões, correções e contribuições por parte do leitor são bem-vindas. Pede-se, pela mesma razão, compreensão e boa vontade aos alunos que o utilizarem. O texto é conceitual e contém muita matemática, requerendo esforço e persistência dos alu- nos. Procurou-se apresentar os tópicos matemáticos de forma mais operacional, ou seja, de forma simples e intuitiva, sem rigorismo. É um texto para Engenheiros, não para Matemáti- cos. Por isso, como motivação, um capítulo introdutório às Estruturas Civis foi elaborado. No entanto, o texto pode servir muito bem a Engenheiros Estruturais de outras áreas como a Me- cânica, Automotiva, Naval e Aeronáutica. É a opinião do autor que estes conceitos são indis- pensáveis para a formação de um Engenheiro de Estruturas completo, que possa compreender os trabalhos mais recentes nesta área, efetuar pesquisas tanto para o Mestrado como para o Doutorado nas áreas de Mecânica dos Sólidos e de Estruturas e ser responsável pelo desen- volvimento de novas tecnologias. Recomenda-se antecipadamente aos alunos, assim como aos demais leitores, que façam uma revisão da Matemática do curso de graduação com ênfase em matrizes, determinantes, cálculo diferencial e integral de funções de uma ou mais variáveis reais. A quantidade de informação disponibilizada aos alunos aqui é avassaladora. Por isso, recomenda-se que os alunos estudem com afinco semanalmente a matéria apresentada. É fácil o aluno perder o pé. Da mesma for- ma, recomenda-se que os alunos elaborem sempre os exercícios deste texto e os sugeridos em aula. Nos capítulos iniciais os Fundamentos Matemáticos necessários à compreensão da Mecânica dos Sólidos e das Estruturas são apresentados. Uma introdução à Álgebra Linear é elaborada no Capítulo 2, dando importância aos seus aspectos operacionais. A Álgebra Linear é crucial para o entendimento dos conceitos de vetor e de tensor que permeiam toda a Mecânica dos Sólidos e das Estruturas. Os Princípios da Mecânica dos Sólidos ficam muito mais claros com a utilização desta ferramenta matemática. Formulações no espaço tridimensional ficam enor- memente facilitadas com o seu emprego. Como todo novo conhecimento, o aprendizado inici- al é sempre árduo. No entanto, o esforço é recompensado pelo ganho operacional e pela ele- gância alcançada na notação. A seguir, no Capítulo 3, à luz dos elementos de Álgebra Linear, são então revistos e estendidos alguns resultados de Cálculo Diferencial e Integral aplicados à Análise Tensorial, dando novamente mais relevância ao aspecto operacional. No Capítulo 4, um breve estudo das Equações Diferenciais Ordinárias e Parciais é oferecido ao leitor com o intuito de complementar seu background matemático. O Capítulo 5 é uma introdução ao Cál- i culo Variacional, que é condição sine qua non para o entendimento das formulações integrais da Mecânica dos Sólidos e das Estruturas, as quais são empregadas na forma de teoremas tão importantes como o Teorema dos Trabalhos Virtuais e na formulação de métodos aproxima- dos de solução como o Método dos Elementos Finitos. Trata-se de uma parte da Matemática que geralmente não é abordada em cursos de graduação de Engenharia. Nos quatro capítulos seguintes os fundamentos da Mecânica dos Sólidos Deformáveis são apresentados. No Capítulo 6, expõe-se a Cinemática dos Sólidos Deformáveis, utilizando-se o ferramental matemático do Capítulo 2 em toda a sua potencialidade. No Capítulo 7, os Princí- pios da Mecânica são reapresentados ao leitor, inicialmente para os pontos materiais, a seguir para os sólidos rígidos e finalmente para os sólidos deformáveis. No Capítulo 8 a Estática e Dinâmica dos Sólidos são descritas. O conceito de tensão é discutido com profundidade e as Equações do Movimento e do Equilíbrio são deduzidas. No Capítulo 9, uma introdução à Te- oria das Equações Constitutivas é elaborada, completando os conhecimentos básicos necessá- rios para a compreensão da moderna Mecânica dos Sólidos e das Estruturas. Nos capítulos finais diversas aplicações da Mecânica dos Sólidos Deformáveis são apresenta- das, como a Teoria Linear da Elasticidade, a Teoria Não-linear da Elasticidade, a Teoria da Plasticidade, a Teoria da Viscoelasticidade e a Teoria da Estabilidade. É óbvio que tais apli- cações são expostas em caráter preliminar, não se almejando uma apresentação completa so- bre o assunto. Elas servem para ilustrar o poder da Mecânica dos Sólidos na resolução de pro- blemas da Teoria das Estruturas. Devo o meu agradecimento aos alunos que me ajudaram a preparar este texto, em particular com figuras, exercícios, correções e sugestões. Sem ser exaustiva, a lista de meus credores contém o Eduardo de Moraes Barreto Campello, o Elivaldo Elenildo da Silva, o Evandro Ros- si Dasambiagio e o Hudson Chagas dos Santos. Aproveito o ensejo para agradecer ao CNPq, que tem me apoiado com uma bolsa de Pesqui- sador, em nível 1, desde 1996, e ao Professor Peter Wriggers, chefe da cadeira de Mecânica Estrutural e Computacional da Universidade de Hannover, que me proporcionou dois estágios como Professor Visitante em 2002. Esta cadeira é sucessora da Cadeira de August Ritter, co- nhecido dos alunos de Resistência dos Materiais pelos seus trabalhos no século XIX sobre o cálculo de treliças. Agradeço também aos Professores Balthasar Novak e Wolfgang Ehlers da Universidade de Stuttgart, respectivamente do Instituto de Projeto de Estruturas Leves e do Instituto de Mecânica Estrutural, que me convidaram para um estágio de pós-doutorado nesta renomada instituição. Sou também grato aos governos brasileiro e português que, através da CAPES e do ICCTI têm apoiado a mim e ao Professor Sérgio Proença da Escola de Engenha- ria de São Carlos em um convênio internacional entre a Universidade de São Paulo e o Insti- tuto Superior Técnico da Universidade Técnica de Lisboa. Este convênio tem financiado está- gios a diversos alunos e professores de ambos os países. Em particular, agradeço ao Professor Teixeira de Freitas que tão bem tem-me acolhido em Lisboa. Nestes estágios tive a paz neces- sária para preparar esta revisão. Paulo de Mattos Pimenta Hannover, Stuttgart, Lisboa e São Paulo, fevereiro de 2006 ii Índice Prefácio i Índice iii 1 As Estruturas da Engenharia 9 1 Sólidos e estruturas 9 2 Estruturas civis 10 2.1 Notas históricas 10 2.2 Propriedades dos Materiais Estruturais Civis 25 2.3 O Projeto Estrutural Civil 27 3 Estruturas mecânicas 29 2 Elementos de Álgebra Tensorial 31 1 Espaços Vetoriais 31 2 Espaços Afins 32 3 Dimensão e Base 33 4 Componentes 34 5 Convenção da Somatória 35 6 Espaços Vetoriais Euclidianos 36 7 Bases Ortonormais 39 8 Formas Lineares 41 9 Operadores Vetoriais 42 10 Tensores de Segunda Ordem 47 11 Formas Bilineares e Formas Quadráticas 51 12 Produto Escalar entre Tensores de Segunda Ordem 52 13 Produto Vetorial 54 13.1 Relação de Euler 57 13.2 Relação de Nanson 57 14 Rotações 57 15 Tensores Simétricos 58 15.1 Autovalores e Autovetores 59 15.2 Decomposição espectral de um tensor simétrico 61 15.3 Máximos e mínimos da forma quadrática associada 62 16 Tensores de Terceira Ordem 64 17 Tensores de Quarta Ordem 66 3 Elementos de Cálculo Diferencial 71 1 Funções 71 2 Diferenciais e Derivadas 71 3 Extremos 74 3.1 Condições Necessárias para Extremos 74 3.2 Condições para mínimos locais 75 4 Convexidade 76 5 Elementos de análise tensorial 78 5.1 Campos tensoriais 78 5.2 Operadores Diferenciais 79 5.3 Integrais de Volume 81 iii 4 Elementos de Equações Diferenciais 84 1 Equações Diferenciais Ordinárias 84 1.1 Introdução 84 1.2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem 87 1.3 Solução de EDO's Lineares de Primeira Ordem 90 1.4 Solução de SEDO's Lineares de Primeira Ordem 96 2 Equações Diferenciais Parciais 102 2.1 Introdução 102 2.2 Classificação de EDP’s quase-lineares de 2ª ordem 105 2.3 Equação de Euler 107 2.4 Problemas de Valor no Contorno 109 2.5 Método das Diferenças Finitas 110 5 Elementos de Cálculo Variacional 113 1 Funcionais 113 2 Variações 119 2.1 Funcionais de primeira ordem 121 2.2 Funcionais de segunda ordem 122 2.3 Equação de Euler-Lagrange 124 3 Extremos 125 3.1 Condições Necessárias para Extremos 126 3.2 Condições necessárias e suficientes para mínimos locais 130 4 Convexidade 131 6 Cinemática dos Sólidos Deformáveis 133 1 Meio Contínuo 133 2 Movimento de um Sólido Deformável 133 3 Fibras 136 3.1 Estiramento de uma fibra 138 3.2 Alongamento de uma fibra 138 4 Tensores das Deformações 139 4.1 Tensor das deformações de Green 139 4.2 Outros tensores das deformações 141 5 Distorção 143 6 Membranas 144 7 Deformação Volumétrica 145 8 Tensor das Rotações 146 9 Velocidades e Acelerações 147 10 Movimento de Corpo Rígido 148 11 Pequenas Deformações 148 11.1 Máximo e mínimo alongamento 150 11.2 Máxima distorção 150 12 Pequenas Rotações 154 7 Princípios da Mecânica dos Sólidos 156 1 Princípios da Mecânica Newtoniana 156 1.1 Primeiro Princípio ou Princípio do Espaço Absoluto 156 1.2 Segundo Princípio ou Princípio do Tempo Absoluto 156 1.3 Terceiro Princípio ou Princípio das Forças 159 1.4 Quarto Princípio ou Princípio da Inércia 159 1.5 Quinto Princípio ou Lei da Conservação da Massa 159 1.6 Sexto Princípio ou Princípio Fundamental da Dinâmica 160 1.7 Sétimo Princípio ou Princípio da Ação e Reação 160 2 Princípios da Mecânica dos Sólidos Rígidos 162 2.1 Primeiro Princípio 162 2.2 Segundo Princípio 162 2.3 Terceiro Princípio 163 2.4 Quarto Princípio ou Princípio da Inércia 164 2.5 Quinto Princípio ou Lei da Conservação da Massa 164 iv 2.6 Sexto Princípio ou Leis de Euler 166 2.7 Sétimo Princípio 167 3 Princípios da Mecânica dos Sólidos Deformáveis 167 3.1 Primeiro Princípio 167 3.2 Segundo Princípio 167 3.3 Terceiro Princípio 167 3.4 Quarto Princípio ou Princípio da Inércia 168 3.5 Quinto Princípio ou Lei da Conservação da Massa 168 3.6 Sexto Princípio ou Leis de Euler 169 3.7 Sétimo Princípio 169 8 Estática e Dinâmica dos Sólidos Deformáveis 170 1 Tensões 170 1.1 Tensor das Tensões de Cauchy 170 1.2 Tensores de Kirchhoff 179 1.3 Tensores Energeticamente Conjugados 180 1.4 Taxas de Tensionamento 182 2 Equações Globais do Movimento e do Equilíbrio 183 2.1 Equações Globais do Movimento 183 2.2 Equações Globais do Equilíbrio 183 3 Equações Locais do Movimento e do Equilíbrio 183 3.1 Equações Locais do Movimento 183 3.2 Equações Locais do Equilíbrio 184 4 Linearidade Geométrica 185 9 Teoria dos Materiais 188 1 Introdução 188 2 Princípios da Teoria dos Materiais 188 2.1 Princípio do Determinismo 188 2.2 Princípio da Localidade 189 2.3 Princípio da Objetividade 189 3 Modelos Básicos 191 4 Modelos Materiais Unidimensionais 193 4.1 Modelo elástico de Hooke 193 4.2 Modelo plástico de Saint-Venant 194 4.3 Modelo viscoso de Newton 195 4.4 Modelo elastoplástico de Prandtl-Reuss 196 4.5 Modelo viscoelástico de Maxwell 197 4.6 Modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt 198 4.7 Modelo viscoelástico de três parâmetros 199 4.8 Modelos viscoelásticos de vários parâmetros 202 4.9 Modelo viscoplástico de Bingham 203 4.10 Modelo viscoplástico de Hohenemser-Prager 205 5 Equações Materiais Hiperelásticas 206 5.1 Classes de Materiais Hiperelásticos 206 5.2 Materiais Hiperelásticos Isótropos 208 5.3 Materiais Hiperelásticos Transversalmente Isótropos 209 5.4 Materiais Hiperelásticos Ortótropos 210 10 Teoria Linear da Elasticidade 213 1 Introdução: linearidade geométrica e física 213 2 Isotropia 214 2.1 Materiais hiperelásticos isótropos 215 2.2 Lei de Hooke generalizada 215 3 Compatibilidade 219 4 O Problema Estático da Teoria Linear da Elasticidade 221 4.1 Equações do Problema Estático da Teoria Linear da Elasticidade 221 4.2 Superposição dos Efeitos 222 4.3 Unicidade da Solução 223 4.4 Método dos Deslocamentos 224 v 4.5 Método dos Esforços 226 4.6 Princípio de Saint-Venant 228 4.7 Notação Técnica 228 4.8 Problemas Planos da Teoria Linear da Elasticidade 229 4.9 Função de Airy 232 4.10 Teoria da Torção Uniforme 233 5 O Problema Dinâmico da Teoria Linear da Elasticidade 239 5.1 Equações do Problema Dinâmico da Teoria Linear da Elasticidade 239 5.2 Superposição dos Efeitos 240 5.3 Método dos Deslocamentos 241 5.4 Ondas Elásticas 242 5.5 Vibrações Livres 242 11 Teoria Não-linear da Elasticidade 244 1 Introdução 244 2 Linearidade Geométrica 244 2.1 Elasticidade linear 244 2.2 Elasticidade não-linear 248 2.3 Solução de Problemas Quase-estáticos 251 3 Não-linearidade Geométrica 252 3.1 Problema Estático 252 3.2 Material elástico isótropo 255 3.3 Problema Quase-estático 257 3.4 Problema Tangente 257 3.5 Solução de Problemas Quase-estáticos 259 12 Formulações Integrais da Mecânica dos Sólidos 263 1 Formulações sob Não-linearidade Geométrica 263 1.1 Potência e Trabalho dos Esforços Externos 263 1.2 Potência e Trabalho dos Esforços Internos 264 1.3 Energia Cinética 265 1.4 Teorema das Potências 265 1.5 Teorema dos Trabalhos Virtuais 266 1.6 Potenciais 269 1.7 Energia Potencial e Energia Mecânica 270 1.8 Funcional misto de Hu-Washizu 272 1.9 Funcional híbrido-misto geral 272 1.10 Funcionais híbridos de compatibilidade 273 1.11 Teorias Estruturais 275 2 Formulações sob Linearidade Geométrica 276 2.1 Potência e Trabalho dos Esforços Externos 276 2.2 Potência e Trabalho dos Esforços Internos 277 2.3 Energia Cinética 277 2.4 Teorema das Potências 277 2.5 Teorema dos Trabalhos Virtuais 278 2.6 Potenciais 281 2.7 Energia Potencial e Energia Mecânica 282 2.8 Funcional misto de Hu-Washizu 284 2.9 Funcional híbrido-misto geral 285 2.10 Funcionais híbridos de compatibilidade 286 2.11 Teorema dos Trabalhos Virtuais Complementares 288 2.12 Teorema da Energia Potencial Complementar 289 2.13 Funcional misto de Hellinger-Reissner 291 2.14 Funcional híbrido-misto complementar 291 2.15 Funcionais híbridos de equilíbrio 292 2.16 Funcional Híbrido de Trefftz 294 2.17 Teorias estruturais sob linearidade geométrica 295 2.18 Método da Carga Unitária para Estruturas de Barras 309 2.19 Teoremas de Energia para Estruturas de Barras 314 vi 13 Métodos Diretos de Solução de Problemas Estáticos 317 1 Projeções e Resíduos Ponderados 317 1.1 Projeção Clássica 317 1.2 Resíduos Ponderados 319 1.3 Projeção Generalizada 320 2 Formulações Equivalentes na Teoria das Estruturas 321 2.1 Formulação Diferencial 322 2.2 Formulação Forte 322 2.3 Formulação Fraca 323 2.4 Formulação Variacional 324 3 Métodos Aproximados para Problemas Estáticos 325 3.1 Geração de Subespaços de Aproximação 325 3.2 Método de Ritz 325 3.3 Método dos Elementos Finitos 328 3.4 Método da Colocação 329 3.5 Método de Ritz-Galerkin e método de Petrov-Galerkin 330 14 Critérios de Resistência 331 1 Introdução 331 2 Classes de Critérios de Resistência 332 3 Critérios de Resistência Isótropos 332 3.1 Critério de Rankine 333 3.2 Critério de Tresca 333 3.3 Critério de Huber-von Mises 334 3.4 Critério de Mohr-Coulomb 335 3.5 Critério de Drucker-Prager 336 15 Introdução à Teoria da Plasticidade 338 1 Equações Constitutivas Elastoplásticas 338 1.1 Modelo uniaxial elástico perfeitamente plástico 338 1.2 Modelo multiaxial elástico perfeitamente plástico 342 2 O Problema Estático da Teoria da Plasticidade 348 2.1 O Problema Quase-estático 348 2.2 O Problema Tangente da Teoria da Plasticidade 348 3 Análise Limite para Carregamentos Proporcionais 349 3.1 Colapso plástico sob carregamento proporcional 350 3.2 Teorema Estático 350 3.3 Teorema Cinemático 355 16 Introdução à Teoria da Viscoelasticidade 359 1 Modelos Uniaxiais 359 1.1 Modelo de três parâmetros 359 1.2 Função de fluência e de relaxação 360 1.3 Formulação integral 363 1.4 Envelhecimento 365 2 Equações Constitutivas Viscoelásticas Lineares 368 2.1 Materiais viscoelásticos lineares isótropos 369 2.2 Metais e polímeros 369 2.3 Concreto 369 3 Teoremas de Correspondência 370 3.1 Decomposição do Problema Estático 370 3.2 Estruturas de Concreto 370 17 Introdução à Teoria da Estabilidade 376 1 Estabilidade de Sólidos Conservativos 376 1.1 Configuração de Equilíbrio Estável 376 1.2 Configuração de Equilíbrio Crítica 378 2 Análise de Euler 379 3 Modelos Unidimensionais 381 vii viii