Deutsches Reich Reichsamt für Wetterdienst Wissenschaftliebe Abbandlungen Band I Nr. 6 Formeln und Tabellen der zugeordneten Kugelfunktionen Art von n bis n 20 1. 1 = = von R. u n d L. Eg e r s d ö r f e r I. Teil : Formeln Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1936 ISBN 978-3-662-35888-7 ISBN 978-3-662-36718-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-36718-6 Inhaltsverzeichnis. Seite A. E i n l e i t u n g 3 B. Die D a r s t e ll u n g einer willkürlichen Funktion auf der Kugel nach Kugelfunktionen 1. Art C. Die A u f b e r e i t •1 n g der Kugelfunktionen znr nume rischen Berechnung 5 1. Die g e w ö h n l ich e n (Legendre'sC'hen) Kugelfunk tionen 2. Die Gewinnung der Ableiiungen Pn (j) (x) aus den Legendre'schen Funktionen P n (x) 7 3. Die Gewinnung der trigonometrischen Polynome P n(J) (cos t) 8 4. Die Gewinnung der zugeordneten Kugelfur,k tioncn 1. Art P nj (cos t) . 11 5. Die trigonometrischen Polynome Rni (cos t) 14 D. Z u s a m m e n f a s s u n g 15 Anlagen: 1. Koeffizientenschemo der an, k' (Zu C, 1) . 17 2. Zusammenstellung d. Legendre,schen Kugelfunktionen = P n(x) Pn O(x) und ihrer Ableitungen P n(i)(x). (Zu C, 2) 18 Anhang: Tabelle der ungeraden Fakultäten (2n-1)!! 25 3. Die trigonometrischen Polynome für cos i t und sin i t für j = 1, 2, .... , 21. (Zu C, 3) 25 i. Zusammenstellung der Kugelfunktionen Pn(o) (cos t) und ihrer Ableitungen P (i) (cos t). (Zu C, 3) 27 11 5. übersieht der z•H Gewinnung der Koeffizienten d11• i: k in P i (cos t) zu verwendenden Schemata. (Zu C. 4) 35 11 6. Zusnmmenstellung der zugeordneten Kugelfunk tionen 1. Art Pni (cos t) in Vielfachen des 'Vm kels t. (Zu C, 4) 37 7. a) ÜbPrsicht der Größen s11• j = q,,i • D11• i' (Zu C, !J) 48 b) übersieht der zur Berechnung der s0, i notwendigen Transzendenten und Radikale. (Zu C, 5) 54 c) übersieht der ausgerechneten Koeffizienten s11, i' (Zu C. 5) 57 Fl. Zusnmmenstellung der Polynome R i (cos t) mit ausg" 11 rechneten Koeffizienten rn. i: k' (Zu C, 5) 59 A. Einleitung. Jede willkürliche Funktion f (t, w) auf der Einheitskugel (r = 1) kann nach einem Satze der Pot.-Theorie nach den gewöhnlichen und zugeordneten Kugelfunktionen 1. Art Pni (cos t) unter ge wissen Voraussetzungen entwickelt werden. Dazu ist die Kenntnis dieser Funktionen und für die prak tische Anwendung ihre Darbietung in rechnerischer oder zeichnerischer Form notwendig. Den umfangreichen Tabellen des zweiten Teils geht zunächst eine ebenfalls recht ausführlich ge haltene Formelsanun]ung voraus. Jhre Ausführlichkeit ist begründet in zwei Tatsachen. Die Aufstellung der Kugelfunktionen 1. Art ist, obwohl die zugrunde liegenden Formeln an sich leicht übersehbar sind, für den praktischen Rechner doch recht mühsam und erfordert den Einsatz aller nur denkbaren Kontrolltm. Es wird daher die Wiedergabe aller Zwischenstufen, die auch für andere, hier nicht gemeinte Zwecke selbständige Bedeutung haben, von wissenschaftlichem \Ve rte sein. Anderseits sind die in der Literatur bereits vorhandenen Formelsammlungen nicht übereinstimmend gehalten. Die in ihnen enthaltenen For meln unterscheiden sich von Autor zu Autor durch gewisse konstante Faktoren. Ohne deren Kenntnis ist der Gebrauch der auf ihnen aufgebauten Tabellen sehr schwierig, manchmal geradezu irreführend. Es wurde deshalb auf die klare Herausarbeitung dieser Faktoren und ihre jedesmalige Anführung besonderer Vl ert gelegt. Es erübrigt noch hinzuzufügen, daß die später erscheinenden Tabellen durch den Hinweis auf die ihnen zugrunde liegenden Formeln in zahlenmäßiger Auswertung leicht nachprüfbar werden, was bei dem Umfang der beabsichtigten Darstellung ein nicht zu unterschätzender Vorteil ist. Die Formelsammlung ist im Hinblick auf gewisse Zwecke der Geophysik gegenüber bereits vor handenen Sammlungen und Tabellen von J. H. Ta 11 q u i s t1) und Ad. Sc h m i d t2), die nur bis n = 8 reichen, auf n = 20 erweitert worden. Dies bedeutet, wenn auf der als Kugel angenommenen Erde unter t der Polabstand und unter w die geographische Länge verstanden wird, daß noch Gebilde erfaßt werden können, deren \Vest-Osterstreckung 360 : 20 : 2 = 9 Grad und deren Nord-Südausdehnung 180: 20 : 2 = 4:5 Grad beträgt. Man wird also z. B. bei einer Luftdruckkarte der Erde damit an die Dimen sionen auch der kleineren Hoch- und Tiefdruckgebiete herankommen können. Die Ziffernzahl der tabellierten Funktionswerte im Werke von T a ll q u i s t wechselt zwischen 8 und 11; bei Ad. Sc h m i d t sind bei den Kugelfunktionen 1. Art, sowie gewissen Ableitungen derselben meist zehnstellige Dezimalbrüche verwendet worden. Die Logarithmen dieser Funktionswerte sind aller dings nur vierstellig gegeben. Die im Teil II folgenden Tabellen wurden zunächst auf 14 Stellen berechnet, weil die zu ihrer Herstellung verwendete Brunsviga-Dupla-Rechenmaschine eine solche Ausnutzung ohne weiteres erlaubte, da sie im Einstell- und Resultatwerk mit 15 Stellen arbeitet. Soweit in der Formelsammlung des Teiles I rationale Brüche bezw. ganze Zahlen auftreten, sind diese selbstverständlich ohne Rücksicht auf die Zif fernanzahl jedesmal vollständig angeführt worden. Da die für die Praxis allein in Frage kommenden zugeordneten Kugelfunktionen ihrer Herleitung nach transzendente Zahlenwerte, praktisch gesprochen, unendliche Dezimalbrüche liefern, wurde für die endgültigen Tabellen die strenge theoretische Definition beibehalten. Diese erforderte zwar ein - an der Gesamtheit gemessen - unerhebliches Mehr an Rechenarbeit für die Formelsammlung, liefert aber, ebenso wie das Tabellenwerk von Ad. S c h m i d t, gegenüber T a ll q u i s t bequemere Zahlenwerte in Be zug auf die Größenordnung. Da bei Ad. Sc h m i d t trotz der sorgfältigen Verwendung möglichst ratio naler Faktoren endliche Dezimalbrüche nur ganz vereinzelt und nur bei den einfachsten Kugelfunktionen noch aufschimmern, dürfte der Verzicht auf rationale Faktoren leicht durch den Vorteil des Festhaltens an der durch die strenge Theorie. vorgeschriebenen Form der Kugelfunktionen aufgewogen werden. 1) Ta 11 q u ist, Acta Soc. Scient. Fenn. T. 33, Nr. 9. 2) Ad. Sc h m i d t, Abhandl. d. Preuß. Meteorol. Inst. Bd. III, Nr. 2. Archiv d. Erdmagn. Heft 5. Berlin 1925. t• 4 R. u. L. E g e r s d ö r f e r: Formeln und Tabellen der gewöhnlichen und zugeordneten Kugelfunktionen 1. Art B. Die Darstellung einer willkürlichen Funktion auf der Kugel nach Kugelfunktionen 1. Art. Die Formel für die Entwicklung einer willkürlichen Funktion f (t, w) nach den gewöhnlichen und zugeordneten Kugelfunktionen 1. Art lautet: 00 00 + I. f (t, w) =In an Pn (cos t) +In I.i a) cos (nw) Pni (cos t) bui sin (nw) Pni (cos t). 0 u 0 wobei gilt: J] cos (nw') II. aui. = (2!,1 + 1)+ ( n~-p! f (t', w') Pni ( cos () sin t' dt' dw' und an = l/2 an °; bnJ 2 n (n J) · o o sin (nw') mit j = 0, 1, 2, 3, . . n und n = 0, 1, 2, 3, . . oo Die an f (t, w) zu slellenden Voraussetzungen über die Entwickelbarkeit werden hier als nicht zur Sache gehörig übergangen. Setzt man nun: v-2 + (1) q 11 .i -- l / (2n Jr (n1) +(n j-)-!j )! ( nur dI' e pOSl' t·lV e "\n:X ' Urze 1 W·i rd geb raUC ht) und (2) q,i Pni (cos t)=Rn.i (cos t), so geht II über in 1 au.i 25'lt5 ' ltr cos (nw') IIL . = qu.i (t', w') Rn.i (cos t'), sin t' dt' dw'. sin (nw') bn·1 o o Durch die Vereinigung des in III. noch übrig gebliebenen qni mit den ungestrichenen Fui (cos t) in I. erhält man die nur mehr die Funktion Rni (cos t) aufweisende Darstellung: 00 25-r.5-r. IV. f(t, w) =In cos (nw) Rn° (cos t) · f (t', w') Rn° (cos t') sin t' dt' cos (nw') dw' 0 0 0 oo n 2J'lt-Jr . + In Ij cos (nw) RnJ (cos t) f (t', w') Rni (cos t') sin t' dt' cos (nw') dw' 0 0 0 ll 00 n h5'5!t + In I.i sin (mv) Rni (cos t) f (t', w') Rni (cos t') sin t' dt' sin (nw') dw'. u tJ 0 0 Liegen also die Tabellen für Rni (cos t) vor, so erhält man die Funktion f (t, w) nach IV (abgesehen von ° der Summenbildung) durch Multiplikation der Ausdrücke cos (nw) Hn (cos t), cos (nw) Rni (cos t) und sin (nw) Rni (cos t) mit Doppelintegralen, in welchen dieselben Rni (cos t) unter Ersetzung von t durch t' noch mit sin t' multipliziert auftreten. Wir setzen dementsprechend noch: (3) Rni (cos t) sin t = Oni (cos t) und erhalten endgültig: 00 25r.: 5TC V. f (t, w) =In cos (nw) Rn° (cos t). f (t', w') Q./' (cos t') dt' cos (nw') dw' 0 0 0 oo n 251t J'lt f +In I.i cos (nw) Rni (cost) (t', w') Q i (cot' t') dt' eos (1:w) dw' 11 0 0 0 0 00 n 25n JTC + In I.i sin (nw) Rni (cos t) f (t', w') Qni (cos t') dt' sin (my') dw'. 0 0 0 () R. u. L. E g e r s d ö r f e r: Formeln und Tabellen der gewöhnlichen und zugeordneten Kugelfunktionen 1. Art 5 Dies ist die für die wirkliche Auswertung von f (t, w) bequemste Darstellung, zu der allerdings zwei Ta bellen für jedes Argumentpaar n, j benötigt werden, nämlich eine für Hni (cos t) und eine für Qni (cos t). Die verkleinernde Wirkung des Faktors qni läßt sich leicht aus seiner Definition ablesen. Nach (1)_fällt qni von (4.) qn° =YlJ2 n (2n-+ l), das von n = 3 ab den Wert 1 überschreitet, auf (5) qnn = qn° ·Y1/(2n)! ab. Dem Absinken von qni entspricht nun, wie der Anlage 6 zu entnehmen ist oder aus den entsprechen den Formeln für Pni (cos t) abgelesen werden kann, ein schnelles Ansteigen der Koeffizienten Dn, i in Pni (cos t) mit ansteigendem j. Es wird also im Ganzen <iie Größenordnung der Rni (cos t) ausgeglichen . .Man kann deshalb mit Recht von einer normalisierenden Wirkung der Faktoren qni sprechen. C. Die Aufbereitung der Kugelfunktionen zur numerischen Berechnung. Die Gewinnung der Q und R in Formel V. beruht auf der Definition der Pni (cos t), die in der Uteratur (2) als die eigentlichen zugeordneten Kugelfunktionen 1. Art bezeichnet wercien. ·wir bringen Yon diesen Definitionen und dem zugehörigen Ji'ormelapparat nur soviel, als für die nachfolgende Darstel lung und die Auswertung notwendig war. Die Aufbereitung vollzieht sich in verschiedmen Schritten. 1. Die gewöhnllchen (Legendre'schen) Kugelfunktionen . .Für die gewöhnlichen Kugelfunktionen nach Legend r e lautet die Definition, die nur für den Bereich des Arguments x zwischen - 1 und + 1 gilt: 2V2kLSkn (6) Pn (x) =(1: (-1) k an,kXn-!lkfür x/;$1 0 mit (2n-2k)! (7) !(;--=-. !kr' an. k = (n - 2k) k) Für diese nach Potenzen mit jeweils geraden oder ungeraden Exponenten fortschreitenden Polynome m x gilt die Rekursionsformel: ·2·-nn-1·- n-1 (8) Pn = X Pn -1- n Pn- 2; n - 2, 3, 4, ... Weitere Kontrollen sind gegeben durch: (9) Pn (1) = 1; (10 a) Pn (0) = 0; für n = 2u + 1. (10 b) Pn (0) = (-1) u 211 ~l~!)2 für n = 2u, Die Koeffizienten an, k der Pn laufen wegen der in ihnen steckenden Fakultäten rasch zu sehr großen \Verten auf. Anstelle des für die erste Berechnung wenig geeigneten Rekursionsverfahrens nach (8) wurde deshalb das folgende gesetzt : Man geht aus von dem in Anlage 1 nach (6) bezw. (7) aufgestellten Koeffizientenschema der an, k· Alle seine Glieder können durch Multiplikation mit echten oder unechten Brüchen gegenseitig auseinander abgeleitet werden, sind aber nach bekannten Sätzen der Zahlentheorie g a n z e Zahlen. Für die multi plikative Ableitung der Koeffizienten der ersten (längsten) Spalte im Schema der Anlage 1 gilt: + 2 (2n 1) (11 a) an + l .(I= ----~-- -]- -. an, o. n .-· wobei (11 h) an, = -(·:·2-n,)-!, nu. t a = 1. 0 n. n. 0,0 Besonders einfach schreitet man in der Piagonalrichtung nach rechts unten vor, weil hier die Koeffizienten symmetrisch angeordnet sind und n-2k (12) an + 1. k + 1 = k- +1 an, k; 6 R. u. L. E g e r s d ö r f e r: Formeln und Tabellen der gewöhn!ichen und zugeordneten Kugelfunktionen 1. Art wegen dieser Symmetrie braucht nur der stark umrandete Teil der Anlage wirklich berechnet zu werden. Eine Kontrolle der so errechneten ·werte ergibt sich durch das Fortschreiten in der V.l agrechten, z. B. von rechts nach links durch: 2 (2n- 2k- 1) (k+1) (13) an. k = ( n -- 2k) (n - 2k - 1) . an. k + 1· Die Koeffizienten an, k werden durch dieses Verfahren zunächst als Produkte von Primzahlpotenzen erhal . ten. Die auftretenden Primzahlen können dabei nach (7) die Zahl 2 n nicht überschreiten. Auf Grund der vorstehenden Bemerkung ergibt sich z. B. das Polynom P20 (x) in der Gestalt der Tabelle 1. Tabelle 1. (14) P (x) = 1 : 218 mal 20 I I I (Primzahlen) xn-2k = k 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 q Rn, k-1 : Rn, k 10 - - - - 1 1 1 1 - - - - x" 9 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - x2 2-3-5-7 8 -'-- ,';);. 1 1 1 1 1 1 1 - - - x4 3·23: 2 7 3 1 2 1 1 1 1 1 1 - - - x6 8-5:3 6 1 4 2 1 1 1 1 1 1 - - - xs 27: 4 5 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 - -- xto 2-29: 15 4 1 2 2 1 - 1 1 1 1 1 1 - xt2 5-31:66 3 3 3 2 -- 1 - 1 1 1 1 1 - x14 4-3. 11: 91 2 - 3 2 1 1 - 1 1 1 1 1 - xi6 7:8 1 1 1 2 1 1 -· - 1 1 1 1 1 xiB 2· 37: 153 0 - 2 1 1 1 1 - - 1 1 1 1 x2o 3-13:190 Darin liefern alle Primzahlpotenzen einer Zeile, miteinander multipliziert, den Koeffizienten der rechts stehenden Potenz xn-2k. Es hat also z. B. x0 den Koeffizienten 11 · 13 · 17 · 19. Dabei konnte noch die Potenz 22 vor dem endgültigen Anschreiben in tler obigen Form (14) gekürzt werden, sodaß der ge meinsame Faktor 1 : 21s lautet und nicht, wie nach (6) zu erwarten wäre, 1 : 220• Ähnliches tritt bei allen anderen Pn (x) auf. Für die Ausrechnung der Koeffizienten stellt man sich vorteilhart die am rechten Rande vermerk ten Quotienten (14 a) q = an, k - 1 : an, k der von unten nach oben aufeinander folgenden Koeffizienten auf. Die Ausrechnung kann dann gemäß der Formel (14 b) an, k- t = q ' an, k von oben her beginnend mit der anfangs genannten Rechenmaschine in einem Zuge, d. h. unter mög lichster Vermeidung jeder Neueinstellung im Einstell werk vollzogen -..verden. Die vorher genannte Beziehung (9) liefert eine notwendige, aber keine hinreichende Kontrolle. Sie kann in der auch anderweitig nützlichen Gestalt: 2ksn (- n (9 a) 2 n = L~ 1)k a11, k für k < 0, 1, 2, '2 () 2ksn bezw. (9 b) 2n· = rk (- t)k a'n. k 0 geschrieben werden, wobei in (9 b) die Striche Kürzungen mit Potenzen von 2 andeuten. Die abschließende Kontrolle kann jetzt, da man die Zusammensetzung der Koeffizienten aus Prim zahlen kennt, mühelos nach (8) erfolgen. Sie wurde vollständig von einem von uns durchgeführt. Die endgültigen Ergebnisse sind in der Anlage 2 mitenthalten; die Kugelfunktionen dieses Abschnittes sind dort mit Pn(o) (x) bezeichnet und stehen mithin am Beginn jedes Unterabschnittes. Die gemeinsamen Faktoren jedes Polynoms blieben dabei unausgerechnet. Sie beschränken sich auf gewisse Potenzen der Primzahl 2. R. u. L. E g er s d ö r f er: Formeln und Tabellen der gewöhnlichen und zugeordneten Kugelfunktionen 1. Art 7 2. Die Gewinnung der Ableitungen PnCJI (x) aus den IJegendre'sehen Funktionen Pn (x). Besonders wertvoll wird das in (14) angezeigte Schema für die Aufstellung der Ableitungen Pncn (x). Aus (6) folgt für diese Ableitungen: 2Lk:Sku (15) Pn(j) (x) = 1 : 2° (-1)k an.ik xn-j-:!k 0 mit (15 a) (n--·2-k-)!- -, (n- j- 2k)! woraus wegen (7) sich ergibt: (2n- 2k)! (15 b) (n--k)! k! (n- j- 2k)! In sinngemäßer Fortsetzung des Verfahrens aus dem vorangehenden Abschnitt ließen sich der Anlage 1 entsprechend, deren Koeffizienten jetzt mit a0n, k zu bezeichnen sind, weitere Schemata für die ain, k auf steHen und nach dem in (14) geschilderten Vorgehen auswerten. Von einer vollständigen Durchführung dieser sehr umfangreichen Arbeit wurde abgesehen, vielmehr nur Stichproben veranstaltet. Auch die Be rechnung der ain, k aus den ausgerechneten an, k der Anlage 2 wird wegen der immer mehr anwachsenden ganzen Zahlen recht mühevoll. Es kommt noch hinzu, daß sich immer mehr Faktoren aus einem Polynom herausstellen lassen. Deswegen schreibt man statt (15) vorteilhafter: 2Lk~ n-j (16) Pnj (x) = Bn, j k (- 1)kbn, i: k X0 - j-2k 0 Der Bruch Bn, i entitält im Nenner eine Potenz von 2; der Zähler ist ein Primzahlprodukt und bildet den größten gemeinschaftlichen Teiler aller au,ik. Seine Aufsuchung nach dem klassischen Verfahren wäre mühsam, und vor allem lassen sich keine aUgemein gültigen Formeln für die Bn, i aufstellen. Nur für einige Spezialfälle bekommt man aus (15 b) leir.ht übersehbare ·werte. So ist z. B.: (16 a) Pnn (x) (2n- 1) !!; wobein = j, k = 0; (16 h) Pnn--l (x) (2n- 1)!! x; wobein- 1 = j, k = 1; (16c) Pnn-!(x) (2n -- 3)!!: 2 · [(2n- 1) x2 -1]. Dabei gilt (1i a) (2n- 1)!! - 1 · 3 · 5 · 7 ... (2n- 3) (2n-1). Man wendet deshalb für die Gewinnung der Form (16) das Schema aus (14) an und erhält aus ihm durch Ableitung nach x z. B. für P::w (t) (x) ohne lange Rechnung das neue Schema der Tabelle 2: Tabelle 2. (17) 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 P2o<1>(x) = 2 1 1 1 1 1 1 1 xt 2 2 1 1 1 1 1 1 1 xa 1: 218 mal 4 2 2 1 1 1 1 1 1 X!'i 4 4 2 1 1 1 1 1 1 x' x, 3 3 2 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 1 1 1 1 1 1 1 xtt 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 xt3 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 x15 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 xH 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 XHI Aus ihm läßt sich unmittelbar ablesen, daß die Faktoren 22, 3, 5 und 7 hera u~gehoben werden können, sodaß das gesuchte P20 (t) (x) nach Tabelle 3 endgültig lautet.: 8 R. u. L. E g e r s d ö r f e r: Formeln und Tabellen der gewöhnliehen und zugeordneten 'Kugelfunktionen 1. Art Tabelle 3. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 (18) 1 1 1 1 XI (x) = 1 1 1 1 1 1 x3 P2o(t) 2 1 1 1 1 1 1 1 xo 7!! = 216 mal 2 3 1 1 1 1 i 1 x7 1 2 1 1 1 1 1 1 1 x9 1 2 1 1 1 1 1 1 1 xll 2 2 1 1 1 1 1 1 1 x13 2 2 1 1 1 1 1 1 1 xt" 2 1 1 1 1 1 1 1 xl7 1 1 1 1 1 1 1 1 xl9 Bei dem Faktor B26,1 wurde dabei die schon in (17 a) erwähnte Schreibweise 7!! = 1 · 3 · 5 · 7 verwendet. Aus den Spalten 11 und 19 von (18) läßt sich sofort überblicken, daß das nachfolgende P20C2l(x) minde- stens die weiteren gemeinsamen Faktoren 11 und 19 erhält. Die Ausrechnung erfolgt im übrigen wie bei (14) mit Hilfe der hier nicht mehr angeschriebenen Quotienten q z\veier aufeinander folgender Koeffi- zienten. Auf diese Weise wurden alle gesuchten Ableitungen in der Gestalt (16), also mit gemeinsamem Faktor Bn, i und teilerfremden bn, i; k relativ mühelos gewonnen. Die streng durchgeführte Nachprüfung erfolgte so, daß das übliche Ableitungsverfahren an den Funk tionen mit den ausgerechneten Koeffizienten bn, i; k wiederholt wurde. Da der jedem Polynom zustehende gemeinsame Faktor Bn, i schon bekannt war, konnte er mitgeprüft werden, was zugleich die Rechnung außerordentlich erleichterte. Das Verfahren wird besonders übersichtlich, wenn man eine einzelne Po + tenz x11- .i -2k durch alle Ableitungen hindurch verfolgt, d. h. bei festgehaltenem n und k von j zu j 1 übergeht. therdies wurde die von Ta ll q u ist erwähnte, zu (8) analoge Rekursionsformel: + + (19) Pn +1 (j + l) (x) = (2j 1) PnCD(x) 2x Pn(j + l)(x) - Pn-1 (.i + l)(x) nochmals zur Nachprüfung herangezogen. Wegen der bereits bekannten gemeinsamen Faktoren Bn, i ist sie sehr leicht anwendbar. Die Ergebnisse dieses Abschnittes machen den Hauptinhalt der Anlage 2 aus. Wie bei den Pn (x) wurde für die Bn, i die unausgerechnete Form beibehalten. Eine I.iste der darin häufig auftretenden unge raden Fakultäten ist am Schlusse dieser Anlage noch beigefügt. 3. Die Gewinnung der trigonometrischen Polynome P111jl (cos t). Für die praktische Anwendung der Kugelfunktionen wird das nach (6) auf den Bereich zwischen--- 1 + und 1 einschließlieh dieser Grenzen beschränkte Argument x durch den eosinus des Polabstandes t ersetzt. Darnaeh ist in den Polynomen der Anlage 2 für jede Potenz von x die entsprechende Potenz von cos t einzufügen. Für die formelmäßige \Veiterverarbeitung der so entstehenden Pn(j) (cos t) ist es aber vorteilhaft, wie dies auch bei Ta ll q u ist und anderen Autoren geschah, die Potenzen der cos t dureh die cos der Yieliachen des \Vinkels t zu ersetzen. Bekantnlieh gilt für gerade Potenzen 2 (2 k- 1) f. ( 2k ) 2k -1 cos 2k t-- k - 1 + L 1 k - i cos (2i) t; 1 (~Oa) 2k-1 - 2k 22k-1 sin2k t = ( k _ 1) + ~k i (-1)1 ( k- i) cos (2i) t;