-~'u ,. e:.:~-tiJa. w:o;~' ... ::. . ') ~. XV DIPLOMADO INTERNACIONAL SOBRE CONTAMINACIÓN .l.; Y RESTAURACION DE SUELOS Y ACUÍFEROS· MóDULO 3.-MODELOS MATEMÁTICOS EN GEOHrÓROLOGÍA. ' DE ' . j"(COf:ITAMINACIÓN ACUÍFEROS··.''.>,:'. :_,;·. _, , r . .•-,· • '"· ~ " . S~PTI~MBRE ~-· DEt 8 AL 12 DE DEL2003L · · /, ., .. ,OlA HORA·· '.' TEMA PROFESOR: .. .. .. . 9:00A 14:00 MODELOS DE FLUJO DR. ADOlFO CHAVEZ ·• ' :¡ LUNES 8 y :.~ .,. '· .. .• 1 -16:oo A1 9:oo·: .. • .. ·. . ·! !Í:OOA 14:00 MANEJO DEL MODELO MODFLOW PRACTICAS M. EN l. LUIS EHNESTO LESSER C. ., ... MARTES 9 y ' .. "" ·- .. ' ·' 16:00 A 19:00 EJEMPLOS ... 9:00 A 14:00 GWW MODELOS EN GEOOUIMICAY PRUEBAS DE ING. DAVID GONzALEZ .. BOMBEO , .. . <;.' MIERCOLES 10 .. 4·. ., 16:00 A 19:00 MODEL~;-~ETRANSPORTE ZONA NO SATURA~Í>:' ING:,JUAN MANUEL LESSER ' . 9:00 A 14:00 MODELOS DE CONTAMINACIÓN M. EN C. FERNANDO LARA JUEVES 11 .. .. .• ·' '• 16:00 A 19:00 EJEMPLO DEL MOD PATH MT3D Y REDES -··' M. ENC·. FERNANDO LARA ' .-.: .. MONITOREO DE CALDIDAD DEL AGUA ·' : 9:00 A 14:00 EJEMPLOS APLICACIONES MODELOS FLUJO ING. JUAN MANUEL LESSEI'l ' VIERNES 12 .. 16:00 A 18:00 MESA REDONDA Y CLAUSURA ,. . . ·. 7. . J .... ·. . . ; ~' '.,~ .:.. '· j : • >1•' :..:.. . · ...... ·. ~ '. . "·.: _. .. ~. ...', : { ,-... ~--f FACULTAD DE INGENIERÍA l.JNAI'A DIVISIÓN DE EDUCACIÓN CC>NTINUA · ~'DTr~nj J\~1~TiTOTI XV DIPLOMADO INTERNACIONAL SOBRE CONTAMINACIÓN Y RESTAURACIÓN DE SUELOS Y ACUIFEROS Del 8 al12 de Septiembre MODULOIII MODELOS MATEMÁTICOS EN GEOHIDROLOGIA Y CONTAMINACIÓN DE ACUIFEROS TEMA MODELOS DE FLUJO EXPOSITOR: DR. ADOLFO CHAVEZ RODRIGUEZ PALACIO DE MINERÍA SEPTIEMBRE DEL 2003. Palacio de Minería, Calle de Tacuba No. 5, Primer piso, Delegación Cuauhtémoc, CP 06000, Centro Histórico, México D.F., APDD Postal M·2285 • Tels· 5521.4021 ol24, 5623 2910 y 5623 2971 • Fax: 5510 0573 · CONTENIDO l. LA MODELACION DE SISTEMAS ACUÍFEROS ....................................... . 1.1. Protocolo de Modelación ........................................................................ . 1.2. Los Modelos y su Complejidad ............................................................... . 1.3. Procedimientos de Calibración .............................................................. . 1.4. Parametrización ................................................................................. . 1.5. Estimación Previa de los Parámetros de Acuífero ..................................... . 1.6. El Problema de Escala ................................................... _. .................... . 1.7. Condiciones de Frontera ...................................................................... . 1.7.1. Carga prescrita ............................................................................ . 1. 7.2. Flujo prescrito ............................................................................. . 1. 7.3. Flujo dependiente de la carga ........................................................ . 1.8. Condiciones Iniciales .......................................................................... . 1.9. Errores de los Datos Piezométricos ........................................................ . 1. 9.1. Error de medición ........................................................................ . 1.9.2. Efectos transitorios ...................................................................... . 1.9.3. Efectos de escala ........................................................................ . 1.9.4. Error de interpolación ................................................................... . 1. 9.5. Error de interpretación .................................................................. . 1.1 O. Generales de Calibración .................................................................. . 1.11. Evaluación de la Calibración ............................................................... . 1.11.1. Medidas tradicionales de la calibración ............................................ . 1.11.2. Distribución espacial del error ........................................................ . 1.11.3. Comparación entre el balance del campo y el del modelo ....... : ............ . 11. GUÍAS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS NUMÉRICOS............... 23 2.1. Modelo Conceptual... . . . . . . .. .. . .. . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . .. .. 23 2.2. Condiciones Iniciales y de Frontera ......................................................... 24 2.3. Estimación Previa de los Parámetros....................................................... 26 2.4. Consideraciones de Tipo Numérico ......................................................... 28 2.5. Criterios de Evaluación de la Calibración .................................................. 29 2.6. Análisis de Sensibilidad en Calibración .................................................... 31 2.7. Verificación del Modelo ........................................................................ 31 2.8. Simulaciones Predictivas...... .. . . . . . . . ... .................. .. . . . . . .. .. . . . . . .. . . . . . . .. . . .. . . . . 33 REFERENCIAS .......................................................................................... 34 ii l. LA MODELACION APLICADA DE SISTEMAS ACUÍFEROS Para la construcción de modelos numéricos de simulación y, en especial para los modelos hidrodinámicos, se dispone de un PROTOCOLO, el cual se presenta de manera completa y detallada en el libro APPLIED GROUNDWATER MODELING, de Anderson y Woessner [1992]. En estos apuntes se destacan los puntos más importantes de este PROTOCOLO, y se añaden criterios y consideraciones complementarios, que son de especial relevancia para la construcción y evalua ción de los modelos matemáticos de simulación. 1.1. Protocolo de Modelación. De manera concisa, las etapas en la construcción de un modelo numérico de acuerdo con el PROTOCOLO mencionado, son las siguientes: 1. Propósito del modelo. 2. Desarrollo de un modelo conceptual del sistema. 3. Selección de la ecuación gobernante y del código de computadora. 4. Diseño del modelo. 5. Calibración del modelo. 6. Análisis de sensibilidad en calibración. 7. Verificación del modelo. 8. Predicción. 9. Análisis de sensibilidad en predicción. 10. Presentación del diseño del modelo y sus resultados. 11. Auditoría del modelo. 12. Rediseño del modelo. La auditoría del modelo, de cuyos resultados se deriva la posible decisión de rediseñarlo, se realiza algunos años después de la terminación del estudio de modelación o punto 10 del PROTOCOLO; por tal razón, los puntos 11 y 12 del mismo no serán mayormente discutidos en estos apuntes. 1 1.2. Los Modelos y su Complejidad Todo modelo de simulación es, por definición, una representación simplificada del sistema real. En la modelación aplicada no sólo la correcta conceptualización de los procesos tiene valor, sino también la interpretación y el uso adecuados de los siempre escasos e inciertos datos de campo. En palabras de Anderson y Woessner [1992, p.28]: "En teoría, mientras el modelo conceptual más se aproxime a la situación de campo más preciso será el modelo numérico. Sin embargo, en la práctica es deseable actuar con parsimonia, lo cual implica que el modelo conceptual se ha simplificado lo más posible, pero que se ha mantenido la complejidad suficiente para reproducir adecuadamente el comportamiento del sistema". Está empíricamente demostrado que a una mayor complejidad del modelo no corresponde necesariamente una mejor reproducción del comportamiento del sistema; se tienen ejemplos de modelos más simples que logran mejores predic ciones que modelos más complejos [Freyberg, 1988]. El definir el grado de com plejidad adecuado en un modelo específico es uno de los problemas· más críticos de la modelación aplicada, donde la experiencia práctica del analista juega un papel muy importante. Una vez que un modelo conceptual preliminar del funcionamiento hidro geológico ha sido propuesto, la calibración viene a ser la etapa más importante en la construcción de un modelo de simulación [de Marsily, 1981). En consecuencia, es conveniente detenernos a analizar este aspecto. 1.3. Procedimientos de Calibración. La calibración consiste en obtener un conjunto de valores de los parámetros del modelo (donde se incluye a las propiedades de acuífero, los términos fuente resumidero, las condiciones de frontera, y en ocasiones las condiciones iniciales), que consiguen que el modelo reproduzca, dentro de un error aceptable, los valores de calibración. En un modelo hidrodinámico, las cargas hidráulicas medidas son siempre valores de calibración, aunque cabe la posibilidad de utilizar también flujos medidos. 2 A la calibración de un modelo se le conoce también como problema inverso, o problema de estimación de los parámetros del modelo. Existen dos procedi mientos generales para calibrar un modelo: (1) ajuste manual por ensayo y error, y (2) estimación automatizada de parámetros. Aunque la calibración por ensayo y error ha sido la más utilizada hasta ahora, se reconoce ampliamente que este procedimiento es muy subjetivo y conducente a resultados cuya calidad es difícil de evaluar [Carrera and Neuman, 1986"]. Este tipo de calibración no cuantifica la incertidumbre de los parámetros estimados ni la confiabilidad de las predicciones. En contraste, el uso de la calibración automatizada impone un marco de referencia para el diseño de una estrategia de calibración, y para el análisis y evaluación de los resultados de la misma. Con este tipo de calibración el problema inverso se plantea en un marco estadístico, como puede ser la regresióiJ no lineal. Un procedimiento automatizado calcula directamente la sensibilidad dE;l_l • '•J,"' "" modelo hacia sus parámetros, la desviación estándar. de los parámetros y la correlación entre,.los mismos, a más de la desviación estándar de la predicción. Esta informaciómpermite determinar si los parámetros del modelo y las predi~~ cienes fueron calculados de manera confiable con los datos disponibles, y qué datos adicionales son requeridos para mejorar el modelo [Poeter and Hill, 1997]. Esto es, los códigos de calibración automatizada, además de proporcionar valores optimados de los parámetros del modelo, cuantifican su precisión de estimación y permiten identificar situaciones donde dos o más parámetros sufren de efectos compensatorios. Este tipo de efectos es muy común en problemas hidrogeológicos complejos y su existencia difícilmente puede ser detectada cuando se calibra por ensayo y error. Además, el análisis de las propiedades estocásticas de los estimadores orienta en la construcción general del modelo, en particular, proporciona información que ayuda a establecer una parametrización apropiada de las propiedades de acuífero y permite identificar zonas del acuífero donde sea necesario o conveniente recabar datos de campo adicionales. Poeter and Hill [1997] consideraron que un obstáculo mayor para el uso extendido de la calibración automatizada es precisamente la falta de información 3 acerca de los requerimientos y los beneficios de este procedimiento de calibración, y enfatizaron que no se requiere de datos adicionales para emprender la calibra ción automatizada, es decir, que si uno está preparado para emprender un pro yecto de calibración, entonces está preparado para incluir la modelación inversa en esa calibración. Los beneficios de la calibración automatizada, en comparación con la calibración por ensayo y error, ya se comentaron brevemente en párrafos anterio res, pero hay que añadir que otra razón por la cual el uso de la calibración automatizada no se ha extendido todavía, es porque la aparición de procesadores de datos para los códigos de modelación inversa es relativamente reciente, y porque se requiere de conocimientos de probabilidad y de estadística para la aplicación de los códigos inversos y para la correcta interpretación de sus resultados. Independientemente del procedimiento de calibración que se adopte, por lo general el problema inverso sufre de falta de unicidad o de inestabilidad en su solución, pero se ha demostrado que la incorporación de información previa· acerca de los parámetros del modelo permite en muchos casos ·controlar, esta situación: La gran mayoría de los modelos matemáticos que hasta la fecha se han construido se han calibrado por ensayo y error y, por este motivo, las medidas de evaluación de la calibración que aquí se mencionan se refieren principalmente a este procedimiento de calibración, sin embargo, estos criterios también son pertinentes cuando se recurre a la calibración automatizada. Un problema estrechamente relacionado con la calibración es el que se refiere a la "parametrización" de las propiedades de acuífero, lo cual se comentará a continuación. 1.4. Parametrización. En acuíferos heterogéneos la dimensión del espacio de los parámetros es teóricamente infinita, pero en la práctica las ecuaciones de flujo y de transporte se resuelven por computadora utilizando métodos de discretización espacial, como 4 son las diferencias finitas o el elemento finito [Yeh, 1986]. Al aplicar estos métodos numéricos, las propiedades del material se representan por parámetros que permanecen constantes en zonas discretas del campo de flujo o que varían lentamente en el espacio. En cualquier caso, la rapidez de la variabilidad espacial permitida por el modelo numérico es mucho más lenta que la rapidez a la cual las propiedades del material fluctúan en la naturaleza; así, los parámetros del modelo se deben visualizar, a lo más, como valores promedio en el espacio de las propiedades del material que representan [Neuman, 1984]. A la reducción del número de parámetros desde su dimensión infinita a una forma dimensional finita se le conoce como "parametrización". La parametrización tiene especial relevancia en la calibración del modelo, ya que uno de los princi pales tipos de error en la calibración es aquél que se asocia con la incertidumbre de los parámetros. Como lo señaló Yeh [1986], un incremento en la dimensiona lidad de un parámetro (el número de parámetros desconocidos asociados con)~ 't.":':: parametrización)'.mejorará por lo general el ajuste de c~ljbración, pero incremen tará la incertidumbre de estimación de los parámetros; y ,viceversa. Esto es, en la --,:~...­-. práctica es necesario .limitar el número de parámetros a estimar (simplificar ·.~1 problema) que intervienen en un modelo numérico. Hill et al. [1998) consideraron que el problema más importante en la modelación de sistemas hidrogeológicos complejos, es la obtención de modelos manejables que sean lo suficientemente representativos del sistema real como para producir resultados útiles, y argumentaron que la simplificación relacionada con la parametrización se presenta como la única opción potencialmente útil para lograr este propósito. Los dos esquemas más utilizados de parametrización son "zonificación" e "interpolación". En la zonificación el parámetro tiene un valor constante en zonas o subregiones del modelo que se extienden sobre un cierto número de celdas de la malla; mientras que en la interpolación el valor de la propiedad de· acuífero puede variar de celda a celda, pero el número de parámetros a estimar se limita únicamente a los valores de la propiedad en los nodos de la red de interpolación. 5 Una manera conveniente de instrumentar la parametrización por interpolación es mediante "elementos finitos triangulares" [v.g. Hill et al., 1998]. La parametrización por interpolación es elegible en muchas situaciones, pero con este esquema el proceso de calibración por ensayo y error se torna más lento que cuando se recurre a zonificación, ya que los paquetes de simulación más comunes no incluyen un módulo de interpolación para los parámetros distri buidos del modelo (v.g., la interfaz gráfica del usuario VISUAL MODFLOW sólo interpola condiciones de frontera) y, por lo tanto, es necesario elaborar un programa externo que se ejecute después de cada corrida de calibración para actualizar a criterio del analista los valores nodales del parámetro. En contraste, los códigos de calibración automatizada (v.g. MODFLOWP [Hill, 1992]) permiten instrumentar con la misma facilidad ambos tipos de esquemas de parametrización. Cualquiera que sea el esquema de parametrización que se adopte, es ·importante que el número de parámetros a estimar se mantenga al mínimo nece sario para lograr una reproducción adecuada del sistema real, ya que como se mencionó anteriormente, mientras mayor sea el número·de parámetros• a estimar, mayor será la incertidumbre de estimación de los mismos. La necesidad de ejercer esta cautela es mayor cuando se calibra por ensayo y error, ya que este procedimiento no cuantifica, a diferencia de la calibración automatizada, la incerti dumbre de estimación de los parámetros ni los intervalos de confianza de los predictores. 1.5. Estimación Previa de los Parámetros de Acuífero. Los parámetros de un modelo hidrodinámico se pueden dividir en dos clases: (1) Las propiedades de acuífero: que en un modelo tridimensional son la conductividad hidráulica, el rendimiento específico, y el almacenamiento especí fico. Normalmente, se considera que los valores de los parámetros de acuífero son variables en el espacio pero constantes en el tiempo; sin embargo, en ciertos casos (v.g. cuando hay compactación de arcillas) las propiedades hidráulicas del material pueden variar también con el tiempo; y (2) Los esfuerzos actuantes: donde se incluyen los flujos de recarga y de descarga del acuífero, y las 6