Klaus Renger Finanzmathematik mit Excel Klaus Renger k Fi nanzmathemati mit Excel Grundlagen - Beispiele - Lösungen Mit interaktiver Übungs-CD-ROM GABlER Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar. Dr. Klaus Renger lehrt an der Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg. Er führt im Propädeutikum Vorlesungen und Übungen am PC zur Finanzmathe matik durch. 1. Auflage September 2003 Alle Rechte vorbehalten © Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003 Lektorat: Jutta Hauser-Fahr / Renate Schilling Der Gabler Verlag ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. www.gabler.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier ISBN 978-3-409-12456-0 ISBN 978-3-322-94590-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-94590-7 Vorwort Auf finanzmathematische Zusammenhänge verschiedenster Art stößt man überall in der volks- und betriebswirtschaftlichen Praxis. Dieser Tatsache tragen die Universitäten und Hochschulen weitgehend Rechnung, indem sie dem Fach "Finanzmathematik" im Rah men der wirtschaftswissenschaftlichen Ausbildung das entsprechende Gewicht beimes sen. So sind auch neue Lehrbücher stets willkommen, die einerseits das notwendige Grundwissen und andererseits neue fachliche Aspekte beinhalten. Die Bearbeitung des vorliegenden Buches beruht auf einem Konzept, das zunächst die Darstellung aller wichtigen finanzmathematischen Grundlagen in leicht verständlicher, gestraffter Form vorsieht. Dabei wird besonderes Augenmerk auf die Problematik der Effektivzinsberechnung nach neuen EU-Normen gerichtet. Ein zweites Anliegen ist, durchgängig Praxisbezogenheit und Anschaulichkeit zu erreichen, indem für jeden theo retischen Sachverhalt mindestens ein praktisches Beispiel ausgewählt und dessen Lö sung ausführlich erläutert wird. Um den logischen Zusammenhalt innerhalb der theoreti schen Ausführungen im ersten Teil des Buches nicht zu unterbrechen, sind die Beispiele in einem zweiten Teil des Buches untergebracht und dort einer gleich lautenden Gliede rung zugeordnet. Der besondere Vorzug dieses Lehrbuches liegt darin, dass für die einzelnen Anwen dungsbeispiele nicht nur spezielle Lösungsansätze dargestellt, sondern für jeden Aufga bentyp passfahige, allgemein verwendbare Excel-Tabellen entwickelt werden. Die aus führliche Erläuterung des methodischen Vorgehens bleibt dabei nicht nur auf den betref fenden Anwendungsfall beschränkt. Darüber hinaus wird gezeigt, wie man einfache Be rechnungstabellen für ähnliche Anwendungen systematisch modifizieren oder schritt weise zu komfortablen, multifunktionalen Excel-Läsungen erweitern kann. Im Zuge der Notwendigkeit, dabei auf die breite Funktionsvielfalt von "Microsoft Excel" zu verwei sen, ist so für die Finanzmathematik zugleich ein Excel-Lehrbuch entstanden. Diesbe züglich bin ich Herrn Dr. Gert-Harald Fröhlich, Professor für Mathematik und Datenver arbeitung im Fachbereich Wirtschaftswissenschaften der Hochschule Harz Wernigerode, der mit seinen Anregungen und Ideen letztendlich Anstoß für dieses Buch gab, zu Dank verpflichtet. Die Lernprozesse zur Bearbeitung finanzmathematischer Aufgabenstellungen und deren Umsetzung in Excel-Lösungen unterstützt eine interaktive CD-ROM. Erstens erleichtert diese dank zahlreicher Hyperlinks die Kommunikation zwischen theoretischen Erläute rungen (im Teil 1) und der rechnerischen Lösung praktischer Beispiele (im Teil 2). Zweitens ermöglicht sie durch gleichzeitiges Öffnen von originalen Mustervorlagen der einem Beispiel zugeordneten Excel-Tabellen, den jeweiligen Aufgabentyp sowie dessen Lösung zu variieren und mit unterschiedlichen Eingabedaten zu experimentieren bzw. die Ergebnisse selbst entwickelter Excel-Lösungen auf ihre Richtigkeit und Vollständig keit zu überprüfen. VI Vorwort Das vorliegende Buch ist aus einem Lehrmanuskript für die universitäre Ausbildung von Studenten wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen im Grund- und Hauptstudium hervorgegangen, das die Vermittlung finanzmathematischer Grundlagen in Form von rechnergestützten Übungen vorsieht. Es wurde so gestaltet, dass es nicht nur als fachspe zifisches Lehr- oder Studienmaterial, sondern auch als Anleitung zum Selbststudium dienen kann. Insofern eignet es sich für die Hoch- und Fachhochschulausbildung und als ergänzendes Lehrbuch für Auszubildende in Banken, Sparkassen und Versicherungen ebenso, wie als Arbeitsmaterial für Mitarbeiter in Finanz- und Controllingabteilungen der Unternehmen, vor allem aber für die Weiterbildung im Finanzdienstleistungssektor. Dank seines übersichtlichen Aufbaus und der Transparenz aller ausgewählten Beispiel lösungen dürfte dieses Buch als anwendungsorientiertes Nachschlagewerk für alle dieje nigen von Interesse sein, die beruflich oder privat finanzmathematische Berechnungen ausführen müssen oder möchten. Klaus Renger Halle (Saale), Juni 2003 Inhaltsverzeichnis Teilt: Finanzmathematische Grundlagen Teil 2: Beispiellösungen mit Excel Seitenangaben Teilt Teil 2 1. Zinsrechnung ...................................................................................... . 3 77 1.1 Einfiihrung .................................................................................. .. 3 77 1.2 Einfache Zinsrechnung ................................................................ . 4 79 1.3 Zinseszinsrechnung ..................................................................... . 8 91 1.3.1 Jährliche Zinseszinsen .................................................... . 8 91 1.3.2 Unterjährlich nachschüssige Zinseszinsen .................... .. 11 99 1.3.3 Jährlich vorschüssige Verzinsung .................................. . 12 101 1.3.4 Jährliche Verzinsung mit veränderlichem Zinssatz ...... .. 13 105 1.3.5 Zinseszinsrechnung für Zahlungsreihen ........................ . 14 lO6 2. Investitions-und Finanzierungsrechnung ...................................... . 16 109 2.1 Einführung .................................................................................. . 16 109 2.2 Kapitalwertmethode ................................................................... . 17 110 2.3 Methode des internen Zinssatzes ................................................ . 19 114 2.4 Amortisationsrechnung .............................................................. . 21 119 2.5 Berechnung des effektiven Jahreszinses .................................... .. 22 122 3. Rentenrechnung ................................................................................. . 27 129 3.1 Einführung .................................................................................. .. 27 129 3.2 Jährliche Rentenzahlungen ........................................................ .. 28 130 3.3 Unterjährliche Rentenzahlungen ................................................ . 33 132 3.3.1 Unterjährliche Renten-und Zinszahlungen .................. .. 33 132 3.3.2 Unterjährlich nachschüssige Rentenzahlungen bei jährlicher Zinszahlung ................................................... . 34 135 3.3.3 Unterjährlich vorschüssige Rentenzahlungen bei jährlicher Zinszahlung ................................................... . 37 136 3.3.4 Annuitätenmethode der Investitionsrechnung .............. .. 38 146 VIII Inhaltsverzeichnis 4. Kredit-und Tilgungsrechnung ....................................................... . 40 150 4.1 Einruhrung ................................................................................. . 40 150 4.2 Ratentilgung ............................................................................... . 41 151 4.2.1 Jährliche Ratentilgung ................................................... . 41 151 4.2.2 Unterjährliche Ratentilgung .......................................... . 42 154 4.3 Tilgung durch gleichbleibende Annuitäten (Annuitätentilgung) 44 160 4.3.1 Jährliche Annuitätentilgung .......................................... . 44 160 4.3.2 Unterjährliche Annuitätentilgung bei jährlicher Zinszahlung ................................................................... . 47 162 4.3.3 Unterjährliche Annuitätentilgung bei unterjährlicher Zinszahlung ................................................................... . 48 165 4.3.4 Tilgung mit Prozentannuitäten ...................................... . 49 168 4.4 Spezielle Tilgungsprobleme ...................................................... . 52 172 4.4.1 Berücksichtigung von Kreditgebühren und Disagio ..... . 52 172 4.4.2 Berücksichtigung von tilgungs freien Zeiten ................. . 53 177 4.4.3 Berücksichtigung von Agio ........................................... . 54 180 5. Kurs-und Renditerechnung ............................................................ . 55 182 5.1 Einruhrung ................................................................................. . 55 182 5.2 Kurs einer gesamtfälligen Schuld .............................................. . 57 183 5.3 Kurs einer Zinsschuld ................................................................ . 59 188 5.3.1 Jährliche Zinszahlungen ................................................ . 59 188 5.3.2 Unterjährige Zinszahlungen ......................................... . 62 190 5.3.3 Kurs einer ewigen Rente ............................................... . 64 196 5.4 Kurs einer Annuitätenschuld ...................................................... . 65 198 5.5 Kurs einer endlichen Rente ........................................................ . 69 209 5.6 Kurs einer Ratenschuld .............................................................. . 72 213 Nutzungshinweise zur CD-ROM................................................................. 225 Teil 1 Finanzmathematische Grundlagen Zinsrechnung 3 1. Zinsrechnung 1.1 Einführung Als Zins bezeichnet man den Preis für zeitweilig überlassene Vermögenswerte, insbe sondere für Geld 1. Da dieser Preis in der Regel nicht nur einmalig, sondern periodisch erneut gezahlt wird, ist es gerechtfertigt, von "Zinsen" zu sprechen. Vereinnahmte Zin sen (Habenzinsen) sind Quelle für dynamisches Wachstum eigenen Kapitals; für fremdes Kapital entrichtete Zinsen (Sollzinsen) stellen einen wichtigen Kostenfaktor dar. Die Fi nanzmathematik wird grundlegend geprägt durch die Art und Weise, wie die Zinsen zu berechnen und (mit dem Kapital) zu verrechnen sind. Die Zinsen Z werden für einen Kapitalgrundwert (in der Regel das sog. Anfangskapital Ko bei t = 0) und für eine Periode (in der Regel ein Jahr) als Prozent vom Hundert er mittelt: p% Z=~·Ko =i·Ko· (1.1) 100 Für p%wird häufig der Begriff Zinsfuß verwendet2. i heißt (Jahres-)Zinssatz, der eventu ell mit dem Zusatz "p. a." (pro anno bzw. per annum) genauer spezifiziert ist, um Ver wechslungen mit Zinssätzen auszuschließen, die für unterjährige Zeitabschnitte gelten. Auch die Fälligkeit von Zinszahlungen muss beachtet werden, wobei insbesondere meist nur die Extreme nachschüssig (am Ende einer Periode oder am Ende der Laufzeit) und vorschüssig (am Anfang einer Periode oder am Anfang der Laufzeit) in Betracht gezo gen werden. Schließlich ist von grundlegender Bedeutung, ob und wie die Zinsen mit dem Kapital verrechnet werden. Aus diesen Unterscheidungen folgen die üblichen Klas sifizierungen für die Zinsrechnung. In Bild 1.1 sind drei Klassifizierungsmerkmale dar gestellt. Zahl un gsperlode' Flihgkeit der Zahlung: • Jat1~lch ---I • nachSchüsslg • un1E~ahr1ICh \ • vorschüssg Behandlung der Zinsen' • einfa:h:l Zinsen • ZinsesZinSen Bild 1.1 Arten der Verzinsung (Klassifikation) 1 V gl. etwa Kobelt/Schulte (1999), S. 33 2 Vgl. Pfeifer (2000), S. 27, und Tietze (2000), S.l8 K. Renger, Finanzmathematik mit Excel © Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003 4 Zinsrechnung 1.2 Einfache Zinsrechnung Einfache Verzinsung bedeutet, dass die Zinsen entweder bei Fälligkeit ausgezahlt oder gesondert gut geschrieben, zwischenzeitlich aber weder mit dem Kapitalgrundwert ver rechnet noch selbst verzinst werden. Somit ergeben sich bei einer Kapitalanlage mit ei ner Laufzeit von n Jahren die jährlichen Zinsen: Z t =i . K 0 mit t =1 , 2, ... , n . (1.2) Bezüglich der Zinszahlung sind drei Fälle zu unterscheiden (Tabelle 1.1). Tabelle 1.1 Zahlungsmodus einfacher Zinsen Fall A: Die Zinsen werden regelmäßig bei Fälligkeit (i.allg. am Ende jeder zinsperi ode) ausgezahlt. Eine besondere Zinsrechnung scheint neben GI. (1.1) dabei zunächst nicht erforderlich zu sein. Fall B: Die jährlichen Zinsen i· Ko werden aufgesammelt und am K ~~ta~~~=it E:~:::::~~~~~~= :: ' mit dem '0 _ _____ (nachschüssige Zinszahlung). G I'IIld....ert 100 % , Daraus folgt: o 2 3 I Zinsen in n Jahren Zn =n·i·Ko (1.3) Kapitalendwert I I (einfache Aufzinsung) Kn =Ko ·(I+i·n) (1.4) Fall C: Die Zinsen für die gesamte Grundwert 100 % Laufzeit n werden bereits am ,---------------------------- -_. I Anfang der Laufzeit ausge I- zahlt und mit dem Anfangs KO - K3 kapital verrechnet j. K3 o o (vorschüssige Zinszahlung). , o 2 3 t Daraus folgt: Zinsen in n Jahren Zn =n·i·Kn (1.5) Kapitalbarwert Ko =Kn -Zn I I (einfache Abzinsung) Ko =Kn ·(I-i·n) (1.6)