Klassiker der Technik Die „Klassiker der Technik“ sind unveränderte Neuauflagen traditionsreicher ingenieurwissenschaftlicher Werke. Wegen ihrer didaktischen Einzigartig- keit und der Zeitlosigkeit ihrer Inhalte gehören sie zur Standardliteratur des Ingenieurs, wenn sie auch die Darstellung modernster Methoden neueren Büchern überlassen. So erschließen sich die Hintergründe vieler computergestützter Verfahren dem Verständnis nur durch das Studium des klassischen fundamentaleren Wissens. Oft bietet ein „Klassiker“ einen Fundus an wichtigen Berechnungs- oder Konstruktionsbeispielen, die auch für viele moderne Problemstellungen als Musterlösungen dienen können. J. Wittenburg • E. Pestel Festigkeitslehre Ein Lehr- und Arbeitsbuch 3. Auflage 2001 Nachdruck in veränderter Ausstattung 2011 1 C Prof. Dr.-Ing. Jens Wittenburg Universität Karlsruhe Fak. Maschinenbau Institut für Technische Mechanik Kaiserstr. 12 76128 Karlsruhe Deutschland [email protected] Prof. Dr.-Ing. Eduard Pestel † 3. Auflage 2001; Nachdruck in veränderter Ausstattung 2011 ISSN ISBN 978-3-642-20912-3 e-ISBN 978-3-642-56457-4 DOI 10.1007/978-3-642-56457-4 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001, 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Über- setzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenver- arbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: eStudio Calamar S.L. Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com) Vorwort zur 3. Auflage Dieses Buch trittdieNachfolgedes Lehrbuches Technische Mechanik Band 2: Festigkeitslehrevon Pestelund Wittenburgan, dasim BI-Wissenschaftsverlag zwei von Lesern gut angenommene Auflagen erlebte. Die neue Ausgabe im Springer-Verlag verbindet in einem Band zwei Teile. Der erste ist eine gründlich überarbeitete NeuauflagedesLehrbuches. Imzweiten Teilerscheint erstmals dieschon 1991 angekündigte Sammlungausführlicher Lösungsgänge zu allen 208 Aufgabendes Lehrbuches. Sieschult denLeserinder Umsetzung von technischen Fragestellungen in mathematische Aufgaben. DasLehrbuchist inelfKapitelgegliedert. Zehnvon ihnen behandelnThe men, diezueinerüblicheneinführendenVorlesunggehören. JedesdiesesKapi tel enthält auch Abschnitte, die i.allg. wegen Zeitmangel nicht angesprochen werden, obwohl sie mathematisch nicht schwieriger sind als die übrigen. Das Kapitel 9über Finite-Elemente-Methoden demonstriert, daß mit den Mitteln der elementaren Festigkeitslehre auch eine Einführung in dieses Ge biet möglich ist. Der Autor dankt Herrn Prof. P. Vielsack für viele Anregungen zu Präzi sierungen und Herrn Prof. W. Heil für die kritische Lektüre von Kapitel 11. Dem Springer-Verlag gebührt Dank für die gute Zusammenarbeit bei der Verarbeitung sehr unterschiedlich gestalteter TEX-Manuskripte und Abbil dungsvorlagen. Jens Wittenburg Karlsruhe, im Frühjahr 2001 Inhaltsverzeichnis Teil I. Lehrbuch 1. Spannungen.............................................. 3 1.1 Der Spannungsvektor. Normal- und Schubspannungen. ...... 3 1.1.1 Gleichheit zugeordneter Schubspannungen ........... 5 1.2 Der allgemeine räumliche Spannungszustand ............... 7 1.2.1 Normal- und Schubspannungen in einer beliebig gerichteten Schnittebene 7 1.2.2 Hauptnormalspannungen. Spannungshauptachsen..... 10 1.2.3 Eigenschaften der Hauptnormalspannungen .......... 12 1.2.4 Invarianten des Spannungstensors 12 1.2.5 Hauptschubspannungen........................... 13 1.2.6 Oktaederspannungen.............................. 15 1.3 Der ebene Spannungszustand 16 1.3.1 Normalspannung und Schubspannungineiner beliebig gerichteten Schnittebene 16 1.3.2 Der Mohrsche Spannungskreis...................... 19 1.3.3 Invarianten des Spannungstensors 23 1.3.4 Spannungen in einer freien Körperoberfläche ......... 23 1.4 Übungsaufgaben 24 2. Verformungen. Verzerrungen. ............................ 28 2.1 Verschiebung und Verformung beim Zugstab ............... 28 2.2 Verschiebungen und Verformungen in einer Ebene. ......... 30 2.2.1 Dehnungen und Scherung 31 2.2.2 Dehnungen und Scherung in einem gedrehten Koordinatensystem ............................... 33 2.2.3 Der Mohrsche Dehnungskreis 36 2.2.4 Dehnungsmessung ................................ 37 2.3 Verschiebungen und Verformungen im allgemeinen räumlichen Fall 40 2.4 Übungsaufgaben 42 3. Stoffgesetze............................................... 45 3.1 Der Zugversuch. ....................................... 45 VIII Inhaltsverzeichnis 3.2 Der Torsionsversuch 50 3.3 Querdehnung .......................................... 51 3.4 Das Hookesche Gesetz 51 3.5 Der Zusammenhang zwischen E, G und v 53 3.6 Volumendilatation ...................................... 53 3.7 Wärmedehnung .. ,..................................... 54 3.8 Das Hookesche Gesetz bei Berücksichtigung von Wärmedehnungen 56 3.9 Übungsaufgaben 56 4. Normalspannungen in Stäben und Scheiben. ............. 59 4.1 Grundsätzliche Bemerkungen zum Lösen von Aufgaben ..... 59 4.2 Stab unter Eigengewicht. ................................ 61 4.3 Stab zwischen starren Lagern bei Erwärmung .............. 62 4.4 Schraubenbolzen und Hülse. ............................. 65 4.5 Dehnschrauben......................................... 69 4.6 Dünnwandiges Rohr unter Innendruck. Kesselformeln .. ..... 71 4.7 Rotierende Scheiben. ................................... 74 4.8 Schrumpfpressung ...................................... 79 4.9 Übungsaufgaben 83 5. Biegung gerader Stäbe. ................................... 92 5.1 Reine Biegung bei konstantem Stabquerschnitt ............. 93 5.1.1 Symmetrische Querschnitte. ....................... 93 5.1.2 Unsymmetrische Querschnitte. ..................... 99 5.2 Flächenmomente 2. Grades 100 5.2.1 Flächenmomente für parallel verschobene Bezugsachsen 102 5.2.2 Flächenmomente für gedrehte Bezugsachsen. Der Mohrsche Kreis 104 5.3 Die Differentialgleichung der Biegelinie 109 5.3.1 Statisch unbestimmte Systeme. Das Kraftgrößenverfahren 116 5.4 Schiefe Biegung 119 5.5 Biegung von Verbundstäben 122 5.5.1 Spannbeton 128 5.6 Elastisch gebettete Stäbe. Winklerbettung 131 5.7 Schubspannungen in Biegestäben 138 5.8 Der Schubmittelpunkt 148 5.9 Übungsaufgaben 154 6. Torsion gerader Stäbe 168 6.1 Stäbe mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt 168 6.1.1 Konstanter Kreis(ring)-Querschnitt und konstantes Torsionsmoment ........................ 168 Inhaltsverzeichnis IX 6.1.2 Veränderlicher Kreis(ring)-Querschnitt und veränderliches Torsionsmoment..................... 174 6.2 Dünnwandige Hohlquerschnitte. Die Bredtschen Formeln 177 6.3 Mehrzellige dünnwandige Hohlquerschnitte 184 6.4 Saint-Venant-Torsion von Stäben mit beliebigen konstanten Vollquerschnitten 188 6.4.1 Prandtls Membran-Analogie zum Torsionsproblem 198 6.5 Torsion mit Wölbbehinderung 204 6.6 Übungsaufgaben 212 7. Überlagerung von Belastungsfällen. Vergleichsspannungen 217 7.1 Überlagerung von Belastungsfällen 217 7.1.1 Längskraft und Biegemoment 217 7.1.2 Längskraft und Torsionsmoment 222 7.1.3 Biegemoment und Torsionsmoment 223 7.2 Festigkeitshypothesen. Vergleichsspannungen 224 7.2.1 Fließkriterien 224 7.2.2 Bruchkriterien 229 7.3 Übungsaufgaben 234 8. Energie-Methoden der Elastostatik 237 8.1 Das Prinzip der virtuellen Arbeit für ideal elastische Körper 237 8.2 Formänderungsenergie eines Systems aus Hookeschem Werkstoff 240 8.2.1 Formänderungsenergie des Zugstabes 242 8.2.2 Formänderungsenergie des Torsionsstabes 243 8.2.3 Formänderungsenergie des Biegestabes 244 8.3 Äußere Formänderungsarbeit. Generalisierte Kräfte und generalisierte Verschiebungen 246 8.4 Das Verfahren der Formänderungsarbeit mit einer Hilfskraft . 252 8.4.1 Relative Verschiebungen 257 8.4.2 Vereinfachte Auswertung der Integrale 258 8.5 Statisch unbestimmte Systeme. Das Kraftgrößenverfahren 260 8.5.1 Durchlaufträger. Dreimomentengleichung 262 8.5.2 Träger mit gleichen Feldern 265 8.6 Der Satz von Maxwell und Betti 268 8.7 Nachgiebigkeitsmatrix. Steifigkeitsmatrix 270 8.8 Der 1. Satz von Castigliano 272 8.8.1 Der Satz von Menabrea 274 8.9 Der 2. Satz von Castigliano 275 8.10 Der Satz vom stationären Wert der potentiellen Energie 277 8.10.1 Arten des Gleichgewichts 282 8.11 Das Verfahren von Ritz 286 8.11.1 Biegestäbe 286 X Inhaltsverzeichnis 8.11.2 Das Ritzsche Verfahren bei Platten 290 8.12 Übungsaufgaben 295 9. Die Methode der finiten Elemente 307 9.1 Vorbemerkungen 307 9.2 Die Finite-Elemente-Methode für ebene Fachwerke 309 9.3 Die Finite-Elemente-Methode bei Scheibenproblemen 318 9.3.1 Bildung eines finiten Scheibenelements 319 9.3.2 Vereinfachende Annahmen 320 9.3.3 Die Steifigkeitsmatrix des Dreieckselements 322 9.3.4 Anwendung der Steifigkeitsmatrix aufScheibenprobleme 325 9.3.5 Zur Frage der Genauigkeit von Näherungslösungen 328 9.4 Die Substrukturmethode 331 10. Knickprobleme 333 10.1 Der Eulersche Knickstab 334 10.1.1 Verbesserte Näherungfür dieDifferentialgleichungdes Knickstabes 337 10.1.2 Stabilität und Instabilität der geraden Lage des Stabes. ...................................... 340 10.2 Kritische Lasten für Stäbe mit beliebigen Randbedingungen . 345 10.3 Eulerhyperbel. Auslegung von Druckstäben 354 10.4 Energetische Näherungsmethoden für kritische Lasten 355 10.4.1 Der Rayleighquotient 355 10.4.2 Das Verfahren von Ritz 360 10.5 Knickbiegung 362 10.6 Übungsaufgaben 368 11. Stabwerke mit plastischen Deformationen 373 11.1 Stoffgesetze 373 11.2 Belastungsgeschichten an I-fach statisch unbestimmten Fachwerken 374 11.2.1 Eigenspannungszustände 375 11.2.2 Zustandspunkt. Zustandsebene 375 11.2.3 Belastungsgeschichten. Einspielen 377 11.2.4 Traglast 378 11.3 Fließgelenk. Fließbiegemoment. Bruchmechanismus 379 11.4 Fließbiegemomente für beliebig geformte Stabquerschnitte 382 11.5 Bruchmechanismen und Traglasten für statisch unbestimmt gelagerte Biegestäbe 387 11.6 Obere und untere Schranken für Traglasten 392 11.7 Traglasten für Durchlaufträger 393 11.8 Übungsaufgaben 396 Inhaltsverzeichnis XI Anhang 399 Tabelle 1: Elastizitätskonstanten von Werkstoffen 399 Tabelle 2: Bettungsmoduln k von Bodenarten 400 s Tabelle 3: Axiale und biaxiale Flächenmomente 2. Grades 401 Tabelle 4: Torsionssteifigkeiten und Torsionswiderstandsmomente . 403 J; Tabelle 5: Werte von Integralen P(x)K(x)dx 404 Literaturverzeichnis 407 Sachverzeichnis ............................................... 409 Teil 11. Lösungsteil Lösungen zu den Aufgaben 415 Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitell 417 Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 2 424 Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 3 428 Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 4 433 Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 5 455 Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 6 519 Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 7 533 Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 8 543 Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 10 601 Lösungen zu den Aufgaben aus Kapitel 11 629