Bernd Klein FEM "Man muss gelehrt sein, um Einfaches kompliziert sagenzu können; und weise, um Kompliziertes einfach sagenzu können." nachCharIes Tschopp Bernd Klein FEM Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau 8., verbesserte und erweiterte Auflage Mit 230 Abbildungen, 12 Fallstudien und 20 Übungsaufgaben STUDIUM 11 VIEWEG+ TEUBNER Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnet diesePublikation inder Deutschen Natlonalbibfiogratie: detailliertebibliografischeDaten sind im Internetüber <http://dnb.d-nb.de>abrufbar. 1. Auflage 1990 2.,neubearbeiteteAuflage 1997 3.,überarbeiteteAuflage 1999 4.,verbesserteund erweiterteAuflage 2000 5.,verbesserteund erweiterteAuflage 2003 6.,verbesserte und erweiterteAuflage 2005 7.,verbesserteAuflage 2007 8.,verbesserteund erweiterteAuflage 2010 AlleRechtevorbehalten ©Vieweg+TeubnerVerlagISpringerFachmedienWiesbadenGmbH2010 Lektorat: ThomasZipsner llmkeZander vleweg-TeubnerVerlagist eine Marke vonSpringer Fachmedien. SpringerFachmedien istTeilder FachverlagsgruppeSpringer Seience-Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. JedeVerwertung außerhalbder engen Grenzendes Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbe sonderefürVervielfältigungen,Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die EinspeicherungundVerarbeitung inelektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnarnen, Warenbezeichnungen usw. in die semWerk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zuderAnnahme,dasssol che Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachtenwären und dahervonjedermann benutztwerden dürften. Umschlaggestaltung:KünkelLopka Medienentwicklung,Heidelberg Druck undbuchbinderischeVerarbeitung:MercedesDruck, Berlin Gedrucktaufsäurefreiemund chlorfreigebleichtem Papier. PrintedinGermany ISBN978-3-8348-0844-8 v Vorwort zur I. Auflage Das Buchgibtden Umfang meiner Vorlesung über die Finite-Elemente-Methode wieder,die ichseit 1987anderUniversität KasselfUTStudenten des Maschinenbaus halte. Mein Anliegen istes hierbei,nichtnurTheoriezuvermitteln.sondernauchdie Handhabung der Methode im Ablaufunddie Anwendung aneinigentypischen Problemstellungen inder Elastestatik. Elastedynamik und Wänneleitungzuzeigen. Das realisierte Konzeptdürfteda mitauchfürvielePraktiker(Berechnungstngenieure, CAE-KonstrukteureundCAD-System beauftragte) in der Industrie von Interesse sein. da sowohl ein Gesamtüberblick gegeben wird als auch die für das Verständnis benötigten mathematisch-physikalischen Zusammenhänge dargestelltwerden. Um damit auchdirekt umsetzbare Erfahrungen vermittelnzukönnen,stützt sichder Am...-en dungsteilauf das verbreitete kommerzielle Programmsystem ASKA, das mir seit 1987 zur Verfügung steht. Bei der Lösung der mit ASKA bearbeiteten Beispiele haben mich die Mitarbeiterdes BereichesCAE der Firma [KOSS,Stuttgart.stets gutberaten. Die Erstellung des Manuskriptes hat Frau. M. Winter übernommen. der an dieser Stelle ebenfallsherzlichgedanktsei. Kassel,imSeptember 1990 B.Klein Vorwort zur 8. Auflage Bücher haben die unangenehme Eigenschaft. nie fertig zu werden.So fallen mir auch beim Arbeiten mit meinem Buch immer wieder Darstellungenund Ableitungenauf,die man bes ser undschöner machen kann, Die Neuauflage enthält wieder viele Verbesserungen imText und inden Übungen, die zum noch besseren Verständnisder Finite-Element-Methode bei tragen sollen. Auch soll dem Lernenden einegegliiltete Theorie helfen, dieteils doch kom plexen Zusammenhänge besser zu verarbeiten. Gemäß dem Motto des Buches .Anscbau lichkeit vor Wissenschaftlichkeit" hoffe ich auch weiterhin aufeinen interessierten Leser kreisan Fachhochschulen, Universitäten und indcr Praxis. Die eingearbeiteten Verbesserungen beruhenzueinemerheblichenTeilaufAnregungenvon Studierenden. Kollegen und Mitarbeitern, die auch weiterhin sehr dankbar aufgenommen werden. Mit der textlichen Umsetzung war wieder Frau M. Winter betraut, der an dieser Stelleebenfallsherzlichgedanktsei. CaldenbeiKassel.imJanuarzülü B.Klein VI Inhaltsverzeichnis Einführung .. 1 1.1 IlistorischerÜberblick I 1.2 Generelle Vorgehensweise 4 1.3 Aussagesicherheiteiner FE-Analyse 8 1.4 Qualitätsstandards 10 2 Anwendungsfelderund Software . 11 2.1 Problemklassen . 11 2.2 KommerzielleSoftware . 12 3 Grundgleichungender linearen Finite-Element- Methode .. 16 3.1 Matrizenrechnung . 16 3.2 Gleichungender Elastestatik . 19 3.3 Grundgleichungen der Elastedynamik . 26 3.4 FinitesGrundgleichungssystem . 27 3.4.1 Variationsprinzip . . 27 3.4.2 Methode vonGalerkin 31 4 nie Matrix-Steifigkeitsmethode . 34 5 Das Konzept der Finite-Element-Methode . 41 5.1 Allgemeine Vergehensweise . 41 5.2 FE-Programmsystem . 44 5.3 Mathematische Formulierung . 45 5.3.1 EbenesStab-Element . 45 5.3.2 Ebenes Drehstab-Element .. 50 5.3.3 Ebenes Balken-Element . 53 5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf . . 62 5.4.1 Steiflgkeitsrransformation .. . . 62 5.4.2 Äquivalente Knotenkräfte . 65 5.4.3 Zusammenbau und Randbedingungen . 68 5.4.4 Sonderrandbedingungen . 72 5.4.5 LösungdesGleichungssystems . 74 5.4.6 Berechnungder Spannungen .... SI 5.4.7 Systematische Problembehandlung ... 83 6 Wahl der Ansatzfunktionen . 89 7 Elementkatalog Füretastostausche Probleme . 93 7.1 3-D~Balken-Element . 93 7.2 Scheiben-Elemente . 97 7.2.1 Belastungs- undBeanspruchungszustand .. . . 97 7.2.2 Dreieck-Element . 98 7.2.3 Flächenkoordinaten . 105 7.2.4 Erweiterungen des Dreieck-Elements 110 7.2.5 Rechteck-Element . 111 Inhaltsverzeichnis VII 7.2.6 Konvergenz Balken-Scheiben-Elemente 119 7.2.7 BerücksichtigungderSchubverformung 120 7.2.8 Viereck-Element 125 7.2.9 Isoparametrische Elemente 129 7.2.10 Numerische Integration .... 134 7.3 Platten-Elemente . 139 7.3.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand 139 7.3.2 Problematikder Platten-Elemente 143 7.3.3 Rechteck-Platten-Element 146 7.3.4 Dreieck-Platten-Element 152 7.3.5 Konvergenz 153 7.3.6 Schubverformung am Plattenstreifen 155 7.3.7 Beulproblemarik 156 7.4 Schalen-Elemente 165 7.5 Volumen-Elemente 170 7.6 Kreisring-Element 175 8 Kontaktprobleme . . 182 8.1 Problembeschreibung . . 182 8.2 Einfache Lösungsmethode fürKontaktprob1cme 184 8.3 Lösungzweidimensionaler Kontaktprobleme ..... 188 8.3.1 Iterative Lösung nichtlinearer Problemeohne Kontakt . 188 8.3.2 Iterative Lösung mit Kontakt . 18' • FEM-Ansatz für dynamische Probleme . 202 ' .1 Virtuelle Arbeitinder Dynamik . 202 ' .2 Elementmassenmatrizen . 204 9.2.1 3-D-Balken-Element 205 9.2.2 Endmassenwirkung . 207 9.2.3 Dreieck-Scheiben-Element . 20' 9.3 Dämpfungsmatrizen . 212 9.4 Eigenschwingungen ungedämpfterSystem . 213 9.4.1 Gleichungssystem . 213 9.4.2 Numerische Ennittlungder Eigenwerte . 221 9.4.3 Statische Reduktion nach Guyan . 222 9.5 Freie Schwingungen . . 226 9.6 Erzwungene Schwingungen 228 9.7 BeliebigeAnregungsfunktion ..... 237 9.8 LösungderBewegungsg1eichung 238 '0 Grundgleichungendernichtlinearen Finite-Element-Methode ... 247 10.1 Lösungsprinzipienfürnichtlineare Aufgaben .... 247 10.2 Nichtlineares Elastizitätsverhalten . 250 10.3 Plastizität . 253 1004 Geometrische Nichtlinearität . 257 10.5 Instabilitätsprobleme . 259 VIII 1nhaltsverzeichnis 11 Wärmeiibertragungsprobleme .. 266 11.1 PhysikalischeGrundlagen ..... 266 11.2 Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung 271 11.3 Lösungsverfahren 273 11,4 Thermisch-stationäre strukturmechanische Berechnung 275 11.5 Therrnisch-transientestrukturmechanische Berechnung 276 12 Mehrkdrpersysteme 279 12.1 Merkmaleeines MKS 279 12.2 Kinematikvon MKS 281 12.2.1Drehmatrix 283 12.2.2 Ebene Bewegung 285 12.3 KinetikvonMKS . 287 12.3.1 Grundbeziehungenfürden starrenKörper 289 12.3.2 Newton-Euler-Methode 291 12,4 Lagrange'sche Methode 293 12.5 Mechanismenstrukturen 295 13 Bauteiloptimierung 297 13.1 Formulierungeiner Optimierungsaufgabe 297 13.2 Parameteroptimierung 298 13.3 BionischeStrategie 300 13,4 Selektive Kräftepfadoptimierung 303 14 Grundregeln der rEM-Anwendung 306 14.1 Fehlerquellen 306 14.2 Elementierung und Vernetzung 307 14.3 Netzaufbau 311 14,4 Bandbreiten-Optimierung 314 14.5 Genauigkeitder Ergebnisse 318 14.6 Qualitätssicherung 320 Fallstudie 1:zuKapitel 4 Mcurix-Steiflgkehsmetitode 323 Fallstudie2: zuKapitel 5 Konzeptder FEM/Allgemeine Vergehensweise 325 Fallstudie 3:zu Kapitel5 Konzeptder FEM/Schiefe Randbedingungen 329 Fallstudie 4:zu Kapitel5 KonzeptderFEM/ Durchdringung 330 Fallstudie5:zu Kapitel7AnwendungwmSchalen-Elementen 332 Fallstudie6: zuKapitel7.5Anwendungvon Volumen-Elementen/ Mappedmeshtng 335 Fallstudie7:zuKapitel7.5Anwendungder Vohnnen-Elemente/ Free meshing 337 Fallstudie8:zu Kapitel9 Dynamische Probleme 340 Fallstudie 9:zu Kapitel9.6 ErzwungeneSchwingungen 343 Fallstudie 10:zuKapitel 10 Materialnichtlinearität 347 Fallstudie 1I:zuKapitel I0,4GeometrischeNichtlinearität..... 350 Fallstudie 12:zuKapitel 11Warmeleitungsprableme 353 Übungsaufgabe 4.1 357 Übungsaufgabe 5.1 358 Übungsaufgabe 5.2 359 Übungsaufgabe 5.3 361 Inhaltsverzeichnis IX Übungsaufgabe 5.4 363 Übungsaufgabe 5.5 365 Übungsaufgabe 5.6 368 Übungsaufgabe 5.7 369 Übungsaufgabe 5.8 370 Übungsaufgabe 5.9 373 Übungsaufgabe 6.1 374 Übungsaufgabe 7.1 375 Übungsaufgabe 7.2 376 Übungsaufgabe 9.1 377 Übungsaufgabe 9.2 378 Übungsaufgabe 9.3 379 Übungsaufgabe 9.5 380 Übungsaufgabe 10.4 381 Übungsaufgabe 11.1 382 Übungsaufgabe 11.2 383 MathematischerAnhang 384 QM-Checklisteeiner FE-Berechnung 400 Literaturverzeichnis 402 Sechwortverzeichnis 407 x Formelzeichensammlung o - A - 0 ifferenzialopera- '; Multiplikatoren torenrnatrix A (mm2) Quersehninsfläche A (mm) Koordinatenmatrix; - E- Koetlizientenmatrix: E (Nfmm2) Elastizitätsmodul Iterationsmatrix E (N/mm2) Elastizitätsmatrix A Boole'sche Matrix [T Tangenten-Elastizi- A; Koeffizient tätsmatrix - F- - ß- f (N) bezogene(verteilte) B Lösungsbereich Km" B differenzierteAn- F(x) Funktionallgemein satzfunktionsmatrix: F (N) Vektor deräußeren Koeffizientenmatrix Einzelkräfte ßN nichtlinearer Anteil F, äußere Kräfte der Matrix ß Fh Reaktionskräfte -C- F' Resultierende der C (Nimm) Federkonstante Schwingungs-Dtjl, C Elementdämpfungs- F; Einzelkraft matrix F äquivalente Einzel- ci_Ci Integrationskonstante i3 kräfte c; (mm; Koeffizient F, unbekannte grd) Reaktionskräfte cij (N/mm; Drehsteitlgkeitskoef- grd) fizient -G- c Systcmdärnpfungs- g Zeilenvektoren matrix; gj,gj Formfunktionen Wärmekapazitäts- G (N/mm2) Gleitmodul matrix G Formfunktions- matrix: - D- Matrixder Knoten- d (mm) Knotenversente- ansatzfunktionen bungen d (mm/s2) Knorenbeschleuni- Gi Formfunktionsmatrix gung G, (N) Gravitationskraft d (mm/s) Knotengeschwindig- Gkub kubischerAnteil der keit Formfunktionsmatrix dp Plattenanteilder G1in linearer Anteilder Knotenverschiebung Formfunktionsmatrix ds Scheibenanteilder G, rotatorischer Anteil Knotenverschiebung der Formfunktions- D(u) Differenzialoperator rnattix Formelzeichensammlung XI G, translatoriseher (W/nm-K) Systemwärmelei- Anteilder Form- rungsmatrix funktionsmatrix IK" ~j partitionierte Ko, Systemsteitlgkehs- - Jf- matrix h Stützstelle K" Systembiegesteifig- h, (mm) Amplitudenhöhe keitsrnatrix H HerrnireseheAn- Kcc reduzierteSteifig- satzfunktionsrnatrix keitsmatrix KN (NImm) geometrische •J. Systemsteitlgkeits- I Integral. allgemein rnatrix I Gebietsintervall: K r (NImm) Tangentensteilig- Einheitsmatrix keitsmatrix K (NImm) Initialspannungs- a . J. matrix J Jacobi-Matrix J (mru') polares Flächenträg- • L . p heitsmomcnt (ij Koeffizienten; Jy,J (mm") Flächenträgheits- Matrixelement I- moment L (mm) Länge 2. Invariantedes L DitTerentialoperator J, Spannungstensors L (NImm) Drelecksmatrix; Lastoperator ·K- k (NImm) Federkonstante -M· k (NImm) Elernentsteifigkeits- m (kg) Elementmassen- matrix: matrix (W/mmK) Elementwärme- mij (kg) Massenkoetlizient leitungsmatrix mK Knotenlastvektor k (Nimm) transformierte voneingeleiteten Elementsteifig- Momenten keitsmatrix mo Oberflächenlastvek- kll (Nimm) Biegesteiflgkeits- torbeiverteilten matrix Momenten kG (Nimm) geometrischeSteiflg- m, (Nmml verteiltesTorsions- kelrsmatrtx rnm) moment kij verschiebungsein- mx.y seitenbezogene flusszahlen. Biegemomente (Nimm) Steiflgkeitskoef- M Systemmassenmatrix flzienten Mb Biegemoment kl' (Nimm) Plattenanteilder M reduzierte Massen- Steitigkeitsmatrix cc matrix ks (Nimm) Scheibenanteilder Mi (N.mm) Moment Steiflgkeitsmatrix '"l partjtionierte K, M Diagonalhypermatrix I'"" Systemmassenmatrix K (Nimm) Systemsteitigkeits- I\\u I\\s matrix: