Bernd Klein FEM Man sollte alles so einfach wie möglich machen aber nichts einfacher. A. Einstein Aus dem Programm Maschinenelemente und Konstruktion Pro/ENGINEER Wildfire V 2.0-kurz und bündig von S. Clement und K. Kittel, herausgegeben von S. Vajna AutoCAD Zeichenkurs von H.-G. Harnisch Leichtbau-Konstruktion von B. Klein CATIA V5-Praktikum herausgegeben von P. Köhler ProjENGINEER-Praktikum herausgegeben von P. Köhler Technisches Zeichnen von S. Labisch und C. Weber Konstruieren, Gestalten, Entwerfen von U. Kurz, H. Hintzen und H. Laufenberg Lehrwerk RoloffjMatek Maschinenelemente D. Muhs, H. Wittel, M. Becker, D. Jannasch und J. Voßiek CATIA V5 - kurz und bündig von S. Vajna und R. Ledderbogen vieweg _________________ ____./ Bernd Klein FEM Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau 6., verbesserte und erweiterte Auflage Mit 229 Abbildungen 12 Fallstudien und 19 Übungsaufgaben I I Studium Technik v1eweg Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar. 1. Auflage 1990 2., neu bearbeitete Auflage 1997 3., überarbeitet Auflage 1999 4., verbesserte und erweiterte Auflage Dezember 2000 5., verbesserte und erweiterte Auflage Oktober 2003 6., verbesserte und erweiterte Auflage Juli 2005 Alle Rechte vorbehalten © Springer Fachmedien Wiesbaden 2005 Ursprünglich erschienen beiFriedr. Vieweg & Sohn Verlag!GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2005 Lektorat: Thomas Zipsner 1 Imke Zander www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN 978-3-8348-0025-1 ISBN 978-3-8348-9100-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-8348-9100-6 V Vorwort zur 1. Auflage Das Buch gibt den Umfang meiner Vorlesung über die Finite-Elemente-Methode wieder, die ich seit 1987 an der Universität Kassel für Studenten des Maschinenbaus halte. Mein Anliegen ist es hierbei, nicht nur Theorie zu vermitteln, sondern auch die Handhabung der Methode im Ablauf und die Anwendung an einigen typischen Problemstellungen in der Elastostatik, Elastodynamik und Wärmeleitung zu zeigen. Das realisierte Konzept dürfte da mit auch für viele Praktiker (Berechnungsingenieure, CAE-Konstrukteure und CAD-System beauftragte) in der Industrie von Interesse sein, da sowohl ein Gesamtüberblick gegeben wird als auch die für das Verständnis benötigten mathematisch-physikalischen Zusam menhänge dargestellt werden. Um damit auch direkt umsetzbare Erfahrungen vermitteln zu können, stützt sich der Anwen dungsteil auf das verbreitete kommerzielle Programmsystem ASKA, das mir seit 1987 zur Verfügung steht. Bei der Lösung der mit ASKA bearbeiteten Beispiele haben mich die Mitarbeiter des Bereiches CAE der Firma IKOSS, Stuttgart, stets gut beraten. Die Erstellung des Manuskriptes hat Frau. M. Winter übernommen, der an dieser Stelle ebenfalls herzlich gedankt sei. Kassel, im September 1990 B. Klein Vorwort zur 6. Auflage Mit der Neuauflage des Buches konnten einige Ergänzungen zur praktischen Anwendung von CAD-FEM, zur Multiphysik und MKS eingearbeitet werden. Damit deckt das Buch inhaltlich ein breites Feld ab bzw. zeigt die Vielfalt der Möglichkeiten. Lehrende können somit FEM in einem breiten Kontext vermitteln, während es Lernenden viele Perspektiven zur Problemlösung zeigt. Meine Intention war es stets, die Theorie einfach zu vermitteln, ohne einen gewissen Anspruch aufzugeben. Bei der Erstellung des Manuskriptes haben mich meine Mitarbeiter in vielfaltiger Weise unterstützt. Die Texterstellung hat Frau M. Winter vorbildlich besorgt. Calden bei Kassel, im Mai 2005 B. Klein VI Inhaltsverzeichnis 1 Einführung .................................................................................................................... 1 1.1 Historischer Überblick ................................................................................................ 1 1.2 Generelle Vorgehensweise ......................................................................................... .4 1.3 Aussagesicherheit ........................................................................................................ 8 1.4 Qualitätsstandards .................................................................................................... 10 2 Anwendnngsfelder nnd Software ...........••................................................................. 11 2.1 Problernklassen .......................................................................................................... 11 2.2 Kommerzielle Software ............................................................................................ 12 3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode ...................•................ 16 3.1 Matrizenrechnung ........................................................................................................ 16 3.2 Gleichungen der Elastostatik ....................................................................................... 19 3.3 Grundgleichungen der Elastodynamik ........................................................................ 26 3.4 Finites Grundgleichungssystem .................................................................................. 27 3.4.1 Variationsprinzip ............................................................................................... 27 3.4.2 Methode von Galerkin ....................................................................................... 31 4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode ................................................................................ 34 5 Das Konzept der Finite-Element-Methode .............................................................. 41 5.1 Allgemeine Vorgehensweise ..................................................................................... 41 5.2 FE-Programmsystem ................................................................................................ .44 5.3 Mathematische Formulierung .................................................................................. .45 5.3.1 Ebenes Stab-Element. ........................................................................................ 45 5.3.2 Ebenes Dreh-Stab-Element ............................................................................... 50 5.3.3 Ebenes Balkenelement ...................................................................................... 53 5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf .................................................................................. 62 5.4.1 Steifigkeitstransformation ................................................................................. 62 5.4.2 Äquivalente Knotenkräfte ................................................................................. 65 5.4.3 Zusammenbau und Randbedingungen .............................................................. 68 5.4 .4 Sonderrandbedingungen .................................................................................... 72 5.4.5 Lösung des Gleichungssystems ......................................................................... 74 5.4.6 Berechnung der Spannungen ............................................................................. 81 5.4. 7 Systematische Problembehandlung ................................................................... 83 6 Wahl der Ansatzfunktionen ...............••............................•................................•....... 89 7 Elementkatalog für elastostatische Probleme .................•................•....................... 93 7.1 3-D-Balken-Element ................................................................................................. 93 7.2 Scheiben-Elemente .................................................................................................... 97 7.2.1 Belastungs-und Beanspruchungszustand ......................................................... 97 7.2.2 Dreieck-Element. ............................................................................................... 98 7.2.3 Flächenkoordinaten ......................................................................................... 105 7 .2.4 Erweiterungen des Dreieck-Elements ............................................................. 11 0 7.2.5 Rechteck-Element ........................................................................................... 111 Inhaltsverzeichnis VII 7.2.6 Konvergenz Balken-Scheiben-Elemente .......................................................... 119 7.2.7 Exkurs Schubverformung ................................................................................. 120 7.2.8 Viereck-Element. .............................................................................................. 125 7.2.9 Isoparametrische Elemente .............................................................................. 129 7.2.10 Numerische Integration .................................................................................... 134 7.3 Platten-Elemente ...................................................................................................... 139 7.3.1 Belastungs-und Beanspruchungszustand ........................................................ 139 7.3.2 Problematik der Plattenelemente ...................................................................... 143 7.3.3 Rechteck-Platten-Element ................................................................................ 146 7 .3.4 Dreieck-Platten-Element .................................................................................. 152 7.3.5 Konvergenz ...................................................................................................... 153 7 .3.6 Schubverformung arn Plattenstreifen ............................................................... 155 7.3.7 Beulproblematik ............................................................................................... 156 7.4 Schalen-Elemente ..................................................................................................... 165 7.5 Volumen-Elemente ................................................................................................... 170 7.6 Kreisring-Element ...................................................................................................... 175 8 Kontaktprobleme ....................................................................................................... 182 8.1 Problembeschreibung ............................................................................................... 182 8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprobleme ..................................................... 184 8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme .......................................................... 188 8.3.1 Iterative Lösung nichtlinearer Probleme ohne Kontakt ................................... 188 8.3.2 Iterative Lösung mit Kontakt ........................................................................... 189 9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme ................................................................... 202 9.1 Virtuelle Arbeit in der DYNAMIK .......................................................................... 202 9.2 Elementmassenmatrizen ........................................................................................... 204 9.2.1 3-D-Balken-Element ........................................................................................ 205 9.2.2 Endmassenwirkung .......................................................................................... 207 9.2.3 Dreieck-Scheibenelement ................................................................................. 209 9.3 Dämpfungsmatrizen ................................................................................................. 212 9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter System .............................................................. 213 9.4.1 Gleichungssystem ............................................................................................. 213 9.4.2 Numerische Ermittlung der Eigenwerte ........................................................... 221 9.4.3 Statische Reduktion nach Guyan ...................................................................... 222 9.5 Freie Schwingungen ................................................................................................. 226 9.6 Erzwungene Schwingungen ..................................................................................... 228 9.7 Beliebige Anregungsfunktion .................................................................................. 237 9.8 Lösung der Bewegungsgleichung ............................................................................ 238 10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode ............................ 247 10.1 Lösungsprinzipien für nichtlineare Aufgaben .......................................................... 247 10.2 Nichtlineares Elastizitätsverhalten ........................................................................... 250 10.3 Plastizität .................................................................................................................. 253 10.4 Geometrische Nichtlinearität. ................................................................................... 257 10.5 Instabilitätsprobleme ................................................................................................ 259 VIII Inhaltsverzeichnis 11 Wärmeübertragungsprobleme .................................................................................. 266 11.1 Physikalische Grundlagen ........................................................................................ 266 11.2 Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung ................................................................... 271 11.3 Lösungsverfahren ..................................................................................................... 273 11.4 Thermisch-stationäre strukturmechanische Berechnung ......................................... 27S 11.S Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung ......................................... 276 12 Mehrkörpersysteme .••...•.•...••.........••..•••••.••••••.•••••.•••..•••••••••.....•••••..•••.•..•••..•......•••.•... 279 12.1 Merkmale eines MKS ............................................................................................... 279 12.2 Kinematik von MKS ................................................................................................ 281 12.2.1 Drehmatrix ........................................................................................................ 283 12.2.2 Ebene Bewegung .............................................................................................. 28S 12.3 Kinetik von MKS ..................................................................................................... 287 12.3.1 Grundbeziehungen für den starren Körper ....................................................... 289 12.3.2 NEWTON-EDLER-Methode ........................................................................... 291 12.4 LAGRANGE'sche Methode .................................................................................... 293 12.S Mechanismenstrukturen ........................................................................................... 29S 13 Bauteiloptimierung• •••••••••••••••••••••••••••...••••••••••••••.•••••••••.........•••••.......................••••....• 297 13.1 Formulierung einer Optimierungsaufgabe ............................................................... 297 13.2 Parameteroptimierung .............................................................................................. 298 13.3 Bionische Strategie ................................................................................................... 300 13.4 Selektive Kräftepfadoptimierung ............................................................................. 303 14 Grundregeln der FEM-Anwendung ..•..•....•.•.•.....••.••••••...••••••••••.•••...••••.••••••••••••••••••• 306 14.1 Fehlerquellen ............................................................................................................ 306 14.2 Elementierung und Vemetzung ................................................................................ 307 14.3 Netzaufbau ................................................................................................................ 311 14.4 Bandbreiten-Optimierung ......................................................................................... 314 14.S Genauigkeit der Ergebnisse ...................................................................................... 318 14.6 Qualitätssicherung .................................................................................................... 320 Fallstudie 1: zu Kapitel4 Matrix-Steifigkeitsmethode ......................................................... 323 Fallstudie 2: zu KapitelS Konzept der FEM I Allgemeine Vorgehensweise ........................ 32S Fallstudie 3: zu KapitelS Konzept der FEM I Schiefe Randbedingungen ........................... 329 Fallstudie 4: zu Kapitel S Konzept der FEM I Durchdringung ............................................ 330 Fallstudie S: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Elementen ........................................... 332 Fallstudie 6: zu Kapitel 7.S Anwendung von Volumen-Elementen I Mapped meshing ........ 33S Fallstudie 7: zu Kapitel 7.S Anwendung der Volumen-Elemente I Free meshing ................ 337 Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme ................................................................ 340 Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen ..................................................... 343 Fallstudie 10: zu KapitellO Materialnichtlinearität ........................................................... 347 Fallstudie 11: zu Kapitel 10.4 Geometrische Nichtlinearität ............................................... 3SO Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wärmeleitungsprobleme ......................................................... 353 Übungsaufgabe 4.1 ............................................................................................................. 3S7 Übungsaufgabe S.1 ............................................................................................................. 3S8 Übungsaufgabe S.2 ............................................................................................................. 3S9 Übungsaufgabe S.3 ............................................................................................................. 361 Inhaltsverzeichnis IX Übungsaufgabe 5.4 ............................................................................................................. 363 Übungsaufgabe 5.5 ............................................................................................................. 365 Übungsaufgabe 5.6 ............................................................................................................. 368 Übungsaufgabe 5.7 ............................................................................................................. 369 Übungsaufgabe 5.8 ............................................................................................................. 372 Übungsaufgabe 6.1 ............................................................................................................. 373 Übungsaufgabe 7.1 ............................................................................................................. 374 Übungsaufgabe 7.2 ............................................................................................................. 375 Übungsaufgabe 9.1 ............................................................................................................. 376 Übungsaufgabe 9.2 ............................................................................................................. 377 Übungsaufgabe 9.3 ............................................................................................................. 378 Übungsaufgabe 9.5 ............................................................................................................. 379 Übungsaufgabe 10.4 ............................................................................................................. 380 Übungsaufgabe 11.1 ............................................................................................................. 381 Übungsaufgabe 11.2 ............................................................................................................. 382 Mathematischer Anhang ..................................................................................................... 383 Checkliste einer FE-Berechnung .......................................................................................... 393 Literaturverzeichnis .............................................................................................................. 395 Sachwortverzeichnis ............................................................................................................. 400 X Formelzeichensammlung D Differenzialopera- -A- torenmatrix ai Multiplikatoren A (mm2) Querschnittsfläche -E- A (mm) Koordinatenmatrix; E (N/mm2) Elastizitätsmodul Koeffizientenmatrix; E (N/mm2) Elastizitätsmatrix Iterationsmatrix ET Tangenten-Elastizi- A Boole'sche Matrix tätsmatrix A- Koeffizient l -F- -B- f (N) bezogene (verteilte) B Lösungsbereich Kraft B differenzierte An- F(x) Funktion allgemein satzfunktionsmatrix; F (N). Vektor der äußeren Koeffizientenmatrix Einzelkräfte BN nichtlinearer Anteil Fa äußere Kräfte der Matrix B Fb Reaktionskräfte -c- Fe Resultierende der Schwingungs-DGL c (N/mm) Federkonstante c Elementdämpfungs- Fi Einzelkraft matrix Fia äquivalente Einzel- Cj' Ci Integrationskonstante kräfte Cj (mm; Koeffizient Fs unbekannte grd) Reaktionskräfte C·· (Nimm; Drehsteifigkeitskoef- lJ grd) fizient -G- c Systemdämpfungs- g Zeilenvektoren matrix; gi,gj Formfunktionen Wärmekapazitäts- G (N/mm2) Gleitmodul matrix G Formfunktions- matrix; -D- Matrix der Knoten- d (mm) Knotenverschie- ansatzfunktionen bungen Gi Formfunktionsmatrix d (rnrnls2) Knotenbeschleuni- GK (N) Gravitationskraft gung Gkub kubischer Anteil der ci (rnrnls) Knotengeschwindig- Formfunktionsmatrix keit Gun linearer Anteil der dp Plattenanteil der Formfunktionsmatrix Knotenverschiebung Gr rotatorischer Anteil ds Scheibenanteil der der Formfunktions- Knotenverschiebung matrix D(u) Differenzialoperator