ˆ ´ FAMILLES DE POLYNOMES LIEES AUX COURBES MODULAIRES X (l) UNICURSALES 1 ET POINTS RATIONNELS NON-TRIVIAUX DE 3 COURBES ELLIPTIQUES QUOTIENT 0 0 par 2 n Franck Lepr´evost, Michael Pohst & Andreas a J Scho¨pp 1 3 ] R´esum´e. — Soit l un entier et E la famille de Kubert des courbes T c,l elliptiques d´efinies sur Q munies d’un point rationnel A d’ordre l. On note N F lacourbeelliptiquequotientdeE parlegroupeengendr´eparA,etϕ c,l c,l l . h l’isog´enie de E sur F . Pour l = 3,4,5 et 6, nous construisons explicite- c,l c,l t ment,pourdesparam´etrisationsconvenablesdec,des´el´ementsnon-triviaux a m de Fc,l(Q)/ϕl(Ec,l(Q)), autrement dit, des points explicites de Fc,l(Q) qui nesontl’imageparϕ d’aucun´el´ementdeE (Q).Cespointssonteng´en´eral [ l c,l d’ordreinfini.Nousdonnonsdesapplicationsdecettem´ethode`alaconstruc- 1 tion d’extensions cycliques de Q de degr´e l, et retrouvons certains corps v obtenus par Shanks et Gras. Dans un article ult´erieur, nous ´etudierons les 0 7 propri´et´es arithm´etiques de certaines des extensions obtenues ici. 3 1 0 3 0 / h t 1. Introduction a m L’´etude du rang des courbes elliptiques d´efinies sur Q et Q(t) a connu : v ces derni`eres ann´ees de nombreux progr`es, initi´es par les travaux de Mestre. i En fait, il est (verbalement) conjectur´e l’existence de courbes elliptiques sur X Q de grand rang et de groupe de torsion rationnel arbitraire parmi la liste r a des quinze groupes possibles, `a savoir Z/lZ pour 1 ≤ l ≤ 10 ou l = 12, ou bien Z/2Z⊕Z/2lZ pour 1 ≤ l ≤ 4. Dans plusieurs travaux ([8], [13], [14], [21]), l’on construit des courbes elliptiques de rang ´elev´e ayant un groupe de torsion non-r´eduit `a l’´el´ement neutre. Mots clefs. — Courbes modulaires, extensions di´edrales,extensions cycliques, unit´es 2000 Mathematics Subject Classification : 11 Y 40, 11 R 21, 14 H 52, 11 G 05 Article submitted to Acta Arithmetica. 2 FRANCK LEPRE´VOST, MICHAEL POHST & ANDREAS SCHO¨PP Consid´erons ici 3 ≤ l ≤ 10 ou l = 12, et soit E la famille de Kubert c,l ([17]) des courbes elliptiques d´efinies sur Q munies d’un point rationnel A d’ordre l (dans le cas l = 3, c d´esigne en r´ealit´e un couple de param`etres). En d’autres termes, (E ,A) param´etrise les points rationnels sur Q de la c,l courbe modulaire X (l), qui est isomorphe `a P1 pour ces valeurs de l (elle 1 est encore unicursale pour l = 1,2, valeurs qui n’ont gu`ere d’int´erˆet dans le cadre qui nous occupe). Avec ces notations, les travaux cit´es plus haut exhibent, via des param´etrisations ing´enieuses de c, des familles explicites de courbes du type E de Q-rang diff´erent de 0. Les m´ethodes employ´ees c,l exploitent essentiellement le fait que le param`etre c intervient avec un degr´e relativement petit dans des ´equations bien choisies de E . c,l Si < A > d´esigne le groupe engendr´e par A, notons F la courbe elliptique c,l quotient E / < A >, et ϕ l’isog´enie de E sur F . On a ainsi la suite c,l l c,l c,l exacte suivante de G -modules galoisiens (ou` G = Gal(Q/Q)) : Q Q ϕ l 1 - Z/lZ ≃< A > - E (Q) - F (Q) - 1. c,l c,l Connaissant une ´equation de E et les coordonn´ees de A, les formules de c,l V´elu ([29]) permettent d’obtenir explicitement une´equation de F et de ϕ . c,l l Bien ´evidemment, l’image par ϕ de points de E (Q) fournit des points de l c,l F (Q), que nous appelons ici des points rationnels triviaux de la courbe c,l elliptique quotient F . c,l Le probl`eme, auquel nous nous int´eressons dans la partie 2, consiste en la construction, via des param´etrisations convenables ou des sp´ecialisations de c, d’´el´ements non-triviaux de F (Q)/ϕ (E (Q)), autrement dit, de points c,l l c,l explicites de F (Q) qui ne sont l’image par ϕ d’aucun ´el´ement de E (Q). c,l l c,l En g´en´eral les repr´esentants de ces points dans F (Q) sont d’ordre infini. c,l Ceci dit, et bien que les courbes elliptiques E (Q) et F (Q) aient mˆeme c,l c,l rang, nous n’utilisons pas les constructions de [8], [13], [14], [21] qui ne fourniraient, dans notre terminologie, que des points triviaux de F (Q), c,l comme remarqu´e plus haut. Le probl`eme trait´e ici devient rapidement d´elicat (au regard de l), puisque le degr´e du param`etre c dans les ´equations de F est, comme nous le verrons en particulier dans les cas consid´er´es, c,l notablement plus´elev´e que dans les´equations de E . Dans la partie 3, nous c,l construisons, `a partir de la donn´ee (E ,A), un polynˆome P ∈ Z[n,c][x], c,l n,c,l pour lequel nous montrons que son corps de d´ecomposition sur Q(n,c) est g´en´eriquement le groupe di´edral D `a 2l ´el´ements. Dans la partie l 4, nous consid´erons plus sp´ecifiquement le cas l = 5, et montrons que notre construction permet de retrouver la famille g´en´erique de Brumer, qui est isomorphe `a celle obtenue, ind´ependamment, par Darmon (voir FAMILLES DE POLYNOˆMES ET COURBES ELLIPTIQUES QUOTIENT 3 les r´ef´erences donn´ees dans cette partie). Il est tentant de regarder sous quelles conditions sur les param`etres (n,c) le groupe de Galois de P sur n,c,l Q(n,c) devient isomorphe au groupe Z/lZ. Dans la partie 5, nous montrons que ces conditions reviennent `a la construction d’´el´ements non-triviaux de F (Q)/ϕ (E (Q)). Les r´esultats de la partie 2 permettent alors de c,l l c,l construire explicitement de telles extensions cycliques. Nous retrouvons ´egalement les simplest cubic fields de Shanks et les simplest quartic fields de M.-N. Gras. Dans [22], nous ´etudierons des propri´et´es arithm´etiques d’extensions construites ici. Les calculs effectu´es pour cet article ont n´ecessit´e un usage tr`es important des logiciels de calcul formel KANT ([5]), MAGMA ([2]), MAPLE ([23]) et PARI ([1]). 2. Points non-triviaux de courbes elliptiques quotient Nous montrons ici le r´esultat suivant : Th´eor`eme 1. — Pour l = 3,4,5 et 6, nous construisons explicitement, pour des param´etrisations convenables de c, des ´el´ements non-triviaux de F (Q)/ϕ (E (Q)). Ces points sont en g´en´eral d’ordre infini. c,l l c,l Par un argument de cohomologie galoisienne classique, comme G = Q Gal(Q/Q) op`ere trivialement sur < A >, on ´etablit ais´ement le : Corollaire 1. — Pour l = 3,4,5 et 6, et pour les param´etrisations de c du th´eor`eme pr´ec´edent, le groupe de cohomologie H1(G ,Z/lZ) = Q Hom(G ,Z/lZ) est non r´eduit `a 0. Q Bien entendu, la suite exacte longue en cohomologie se poursuivant, nous obtenons de la sorte plus pr´ecis´ement des ´el´ements non-triviaux du noyau de l’application H1(G ,Z/lZ) = Hom(G ,Z/lZ) - H1(G ,E (Q)). Q Q Q c,l 2.1. Les cas l = 3 et l = 5. — Etant donn´e que notre strat´egie est suff- isament g´en´erale, nous la d´eveloppons pour l ≥ 5 impair, la d´etaillons sur le cas l = 5, et serons plus succints pour le cas l = 3. Nous indiquons dans une remarque les limites de notre approche. La diff´erence de traitement du cas l = 3 correspond essentiellement au fait que la famille des courbes elliptiques d´efinies sur Q munies d’un point d’ordre 3 est param´etris´ee par deux param`etres, et non pas un, ce qui alourdit quelque peu les notations. 4 FRANCK LEPRE´VOST, MICHAEL POHST & ANDREAS SCHO¨PP Soit donc l ≥ 5 impair. Les formules de V´elu permettent d’obtenir une ´equation de F de la forme : c,l y2 = f (x) = 4x3 +α (c)x2 +β (c)x+γ (c), c,l l l l ou` α ,β et γ sont les ´el´ements de Z[c] donn´es dans le tableau suivant pour l l l l = 5 : α (c) c2 −30c+1 5 β (c) −2c(3c+1)(4c−7) 5 γ (c) −c(4c4 −4c3 −40c2 +91c−4) 5 On cherche alors x sous la forme d’un polynˆome en c, de petit degr´e, de c,l sorte que l’on ait une identit´e : f (x ) = A (c)G2(c), c,l c,l l l ou` A ,G sont des polynˆomes en c tels que le degr´e de A en c soit ´egal `a l l l 1 ou `a 2. Pour r´ealiser cela, on calcule le discriminant par rapport `a c de f (x ), qui est un polynˆome en les coefficients de c de x . Il s’agit alors c,l c,l c,l de l’annuler. De tels x , et les G (c) et A (c) associ´es, sont donn´es dans le c,l l l tableau suivant pour l = 5 : x −(u +1)c2 +(11u +8)c+u c,5 0 0 0 G (c) c2 −11c−1 5 A (c) −(4u +3)(u +1)2c2 +2(2u +1)(11u2 +11u +2)c+u2(4u +1) 5 0 0 0 0 0 0 0 Il reste alors `a param´etriser, `a l’aide d’un choix appropri´e des param`etres restants la conique en (c,z) d’´equation : A (c) = z2. l Cas l = 5 : Comme nous l’avons soulign´e plus haut, le degr´e en c de A (c) 5 est ≤ 2. Par cons´equent, plusieurs cas se pr´esentent, selon que l’on choisisse le degr´e en c de A (c) ´egal `a 1 ou `a 2, et qui peuvent simplifier les calculs. 5 Le tableau suivant r´esume les choix et calculs effectu´es. Les deux premi`eres lignes correspondent `a l’annulation du coefficient de degr´e 2 en c de A (c), 5 et la troisi`eme assure que le point de coordonn´ees (c,z) = (0,u t) appartient 0 `a la conique d’´equation A (c) = z2. 5 u = −1 c = z2−3 x = 5−3z2 0 4 c,5 4 u = −3 c = 16z2 +18 x = −64z4 −148z2 − 345 0 4 c,5 4 u = t2−1 c = 11t6+33t4−8mt3+21t2+8mt−1 x = −t2+3c2 + 11t2+21c+ t2−1 0 4 t6+8t4+21t2+16m2+18 c,5 4 4 4 FAMILLES DE POLYNOˆMES ET COURBES ELLIPTIQUES QUOTIENT 5 Il d´ecoule de ce qui pr´ec`ede que, pour ces choix des param`etres, la courbe elliptique quotient F (Q) poss`ede le point de coordonn´ees (x ,zG (c)). Le c,l c,l l calcul montre que le point ainsi construit est g´en´eriquement d’ordre infini. Le calcul montre ´egalement que ce point n’est g´en´eriquement pas l’image par l’isog´enie ϕ d’un point rationnel de E . Cette derni`ere question sera l c,l consid´er´ee de nouveau dans la partie 5. Cas l = 3 : Les formules de V´elu permettent d’obtenir une ´equation de F de la forme : a1,a3,l y2 = f (x) = 4x3 +a2x2 −18a a x−a (4a3 +27a ). a1,a3,3 1 1 3 3 1 3 Si l’on choisit x = u a + a1u1+1, le calcul montre que a1,a3,3 1 3 u2 1 f (x ) = A (a ,a )G2(a ,a ), a1,a3,3 a1,a3,3 3 1 3 3 1 3 ou` A (a ,a ) = 4u3a +(u a +1)2 et G (a ,a ) = u31a3−u1a1−2. L’´equation 3 1 3 1 3 1 1 3 1 3 u3 1 A (c) = z2 est lin´eaire en a , et il suffit de prendre a = z2−(u1a1+1)2. On l 3 3 4u31 obtient alors x = z2−(a1u1+1)(a1u1−3), et l’on conclut comme dans le cas a1,a3,3 4u21 l = 5. Remarque : Pour les autres valeurs impaires de l, la m´ethode d´ecrite ici trouve ses limites essentiellement dans le calcul du discriminant de f (x ) par rapport `a c. Les logiciels de calcul formel ne permettent pas c,l c,l de factoriser en toute g´en´eralit´e cette quantit´e. Cependant, on constate que celle-ci s’exprime comme un produit d’un gros facteur par un petit facteur, ce dernier intervenant `a la puissance l. On peut, par sp´ecialisation et interpolation, calculer explicitement ce petit facteur, du moins l’avons nous fait pour l = 7. Nous ne sommes en revanche malheureusement pas parvenus `a l’annuler de mani`ere utile dans le cadre que nous consid´erons ici. 2.2. Les cas l = 4 et l = 6. — Dans le cas ou` l est pair, l’approche est l´eg`erement diff´erente. Cependant, l`a ´egalement, nous la d´ecrivons pour l ≥ 6 pair, la d´etaillons sur le cas l = 6, et serons plus succints pour le cas l = 4. Les formules de V´elu permettent de nouveau d’obtenir une ´equation de F , c,l qui est de la forme : y2 = f (x) = (4x−α (c))(x2 +β (c)x+γ (c)), c,l l l l ou` α (c),β (c),γ (c) sont des´el´ements de Z[c] donn´es dans le tableau suivant l l l pour l = 6 : 6 FRANCK LEPRE´VOST, MICHAEL POHST & ANDREAS SCHO¨PP α (c) 19c2 +14c−1 6 β (c) 2c(2c+1) 6 γ (c) c(4c3 +4c2 +c+4) 6 On cherche de nouveau x sous la forme d’un polynˆome en c de sorte que c,l l’on ait une identit´e f (x ) = A (c)G (c)2, c,l c,l l l ou` A est un polynˆome en c de degr´e ≤ 2. Mais pour cela, on exploite l tout d’abord la factorisation de f (x), en prenant x = αl(c)+u2, ce qui c,l c,l 4 assure que 4x − α (c) = u2. Ensuite, on cherche u sous la forme d’un c,l l polynˆome de degr´e petit en c, de sorte que x2 + β (c)x + γ (c) admette c,l l c,l l de nouveau des facteurs carr´es. En pratique, on prend u = v c + v , et 1 0 l’on cherche `a sp´ecialiser les param`etres v ,v pour avoir la factorisation 0 1 f (x ) = A (c)G (c)2 voulue. De tels x , et les G (c) et A (c) associ´es, c,l c,l l l c,l l l sont donn´es dans le tableau suivant pour l = 6 : x 19c2+14c−1+v02(9c+1)2 c,6 4 G (c) v0(9c+1)2 6 4 A (c) 9(3v2 +1)2c2 +2(3v2 +1)(3v2 +5)c+(v2 −1)2 6 0 0 0 0 Cas l = 6 : La conique d’´equation A (c) = z2 contient le point rationnel 6 de coordonn´ees (c,z) = (0,v2 − 1), et donc se param´etrise, et l’on trouve 0 finalement 9v4 +18v2 −v2z +z +5 c = 2 0 0 0 . (z +3+9v2)(z −3−9v2) 0 0 On v´erifie alors que le point de F d’abscisse x ainsi construit ne provient c,6 c,6 pas d’un point de E via l’isog´enie ϕ . c,6 6 Cas l = 4 : Dans ce cas, les formules de V´elu donnent une ´equation de F 4,c de la forme : y2 = f (x) = (x+c)(4x2 +x+c). c,4 On choisit x = u2 −c, si bien que c,4 f (x ) = u2(4c2 −8u2c+u2(4u2 +1)). c,4 c,4 La conique d’´equation 4c2−8u2c+u2(4u2+1) = z2 se param´etrise ais´ement, et l’on trouve u2(4u2 +1)−v2 c = . 4v +8u2 De mˆeme, on v´erifie alors que le point de F d’abscisse x ainsi construit c,4 c,4 ne provient pas d’un point de E via l’isog´enie ϕ . c,4 4 FAMILLES DE POLYNOˆMES ET COURBES ELLIPTIQUES QUOTIENT 7 3. Courbes elliptiques et polynˆomes `a groupe de Galois di´edral Avec les notations de la partie pr´ec´edente, soit P (x) le polynˆome de n,c,l Z[n,c][x] d´efini par l−1 Pn,c,l(x) = Y(x−x(P +iA)) = xl −nxl−1 +··· , i=0 ou` P d´esigne un point non Q-rationnel de E , A un point fix´e d’ordre c,l l, et x(P + iA) l’abscisse du point P + iA ∈ E . Les logiciels de calcul c,l formel permettent d’obtenir l’´equation explicite (1) de P (x) ∈ Z[n,c][x], n,c,l et d’´etablir le r´esultat suivant : Th´eor`eme 2. — Soitl un entiertel que 3 ≤ l ≤ 10 ou l = 12. Le polynˆome P construit ci-dessus est g´en´eriquement irr´eductible sur le corps Q(n,c), n,c,l et le groupe de Galois sur Q(n,c) de son corps de d´ecomposition est g´en´eriquement le groupe di´edral D `a 2l ´el´ements. l 4. Le cas D 5 Plusieurs auteurs se sont int´eress´es `a la construction de polynˆomes quin- tiques de groupe de Galois D . Ainsi Weber ([30], p. 676) et Cebotarev 5 ([4], p. 344) donnent une condition n´ecessaire et suffisante, sous la forme d’une param´etrisation explicite des coefficients a et b, pour que x5+ax+b soit r´esoluble par radicaux. Une telle caract´erisation, apparament obtenue de mani`ere ind´ependante, est ´egalement l’objet de l’article [28]. A partir de la caract´erisation duˆe `a Weber et Cebotarev, Roland, Yui et Zagier ([25]) donnent la param´etrisation des polynˆomes quintiques x5+ax+b ayant D 5 pour groupe de Galois. D’autres auteurs se sont int´eress´es `a ces questions (sans pr´etendre en aucune mani`ere `a l’exclusivit´e, citons [12] pour les groupes D , ou` p est premier, et [9] pour une th´eorie sur les relations entre p tours modulaires et groupes di´edraux). Dans le cas particulier l = 5, la construction d´ecrite dans la partie 3 donne le polynˆome P (x) = x5−nx4−(−c3−2nc+c2+c)x3−(c3+nc2−3c2)x2−(−c4+3c3)x+c4. n,c,5 La substitution (x,n,c) −→ (s,−u,s) redonne la famille g´en´erique de x Brumer ([3]) cit´ee par Martinais et Schneps ([24], p. 151) : B (x) = x5 +(s−3)x4 +(u−s+3)x3 +(s2 −s−2u−1)x2 +ux+s. s,u (1)On peut r´ecup´ererles ´equations de P (x) sur n,c,l http ://www.math.tu-berlin.de/∼ kant/publications/papers/polynomes.txt 8 FRANCK LEPRE´VOST, MICHAEL POHST & ANDREAS SCHO¨PP Cette famille est g´en´erique dans le sens ou` Brumer ([24], p. 151) affirme que, si F est un corps contenant Q et K est une extension galoisienne de F de groupe de Galois D , alors K est le corps de d´ecomposition d’un 5 polynˆome de la forme B (x) pour des valeurs de s et u appartenant `a F. s,u Malheureusement, `a l’heure actuelle, nous ne disposons pas de la preuve de ce fait. Par ailleurs, Kihel ([15], p. 471) rappelle la construction de Darmon ([6]) de la famille D (x) = x5−Sx4+(T+S+5)x3−(S2+S−2T−5)x2+(T+2S+5)x−(S+3). S,T Cettefamilleestencoreisomorphe`acelledeBrumer,commeonleconstate`a l’aide de la transformation(x,s,u) −→ (−x,S+3,T+2S+5).Les construc- tions de Brumer, de Darmon et celle pr´esent´ee ici produisent donc la mˆeme famille de polynˆomes, obtenue de mani`ere ind´ependante par les diff´erents auteurs : nous avons d´ecouvert l’article [15] et l’existence des notes [6], dont l’original ne semble plus disponible [7] mais que l’article [15] d´ecrit pour l’essentiel, apr`es avoir d´emontr´e le th´eor`eme 2 en toute g´en´eralit´e, ce qui inclut en particulier le cas l = 5. Le cas l = 5 est ´egalement repris dans [16]. Par ailleurs, nous n’avons malheureusement pas eu d’informa- tions concr`etes concernant la construction de Brumer et la preuve de son r´esultat de g´en´ericit´e, qui n’est explicite ni dans [24], ni dans [3]. La ques- tion d’´etendre le r´esultat de Brumer aux autres cas, c’est-`a-dire de d´ecrire explicitement les extensions di´edrales d’ordre 2l de Q reste donc a priori encore ouverte pour les cas l 6= 5. 5. Une application : construction de certaines extensions cycliques de Q Pour 3 ≤ l ≤ 10 ou l = 12, il parait naturel de chercher, par sp´ecialisation des param`etres dans P (x), des familles ou des exemples de polynˆomes n,c,l dont le groupe de Galois est isomorphe `a Z/lZ. Nous montrons ici les r´esultats suivants : Th´eor`eme 3. — Pour 3 ≤ l ≤ 6, il existe une famille explicite de polynoˆmes de degr´e l, d´efinie sur Q, `a groupe de Galois cyclique d’ordre l. Ces familles sont index´ees sur, d’une part, un param`etre rationnel, d’autre part, un point d’ordre infini d’une famille de courbes elliptiques. Th´eor`eme 4. — Pour 7 ≤ l ≤ 10 et l = 12, il existe une famille explicite de polynoˆmes de degr´e l, d´efinie sur Q, `a groupe de Galois cyclique d’ordre l. Ces familles sont index´ees par un point d’ordre infini sur une courbe elliptique d´efinie sur Q. La strat´egie que nous adoptons est la suivante : sachant que le groupe de GaloisdeP estg´en´eriquement D ,ilexisteun´el´ementD ,appel´efonction n,c,l l l FAMILLES DE POLYNOˆMES ET COURBES ELLIPTIQUES QUOTIENT 9 d’indicateur de l’extension, qui s’exprime a priori en fonction des racines de P , et qui satisfait une equation quadratique : n,c,l D2 +U (n,c)D +V (n,c) = 0. l l l l Le groupe de Galois de P est isomorphe `a Z/lZ si et seulement si D n,c,l l est un rationnel, et si P est irr´eductible. La condition de rationnalit´e n,c,l de D ´equivaut pr´ecis´ement `a trouver un ´el´ement de F (Q). La condition l c,l d’irr´eductibilit´e de P ´equivaut `a ce que cet ´el´ement de F (Q) ne soit n,c,l c,l l’image par ϕ d’aucun ´el´ement de E (Q). Les r´esultats de la partie 2 c,l c,l permettent de conclure. Cette approche est coh´erente avec l’interpr´etation cohomologique donn´ee dans la partie 2. En effet, `a un point ferm´e de Hom(G ,Z/lZ) correspond Q une extension galoisienne de Q `a groupe de Galois Z/lZ, du moins si l est premier, celle-ci s’obtenant comme la fibre de ϕ . l Il est `a noter que plusieurs familles remarquables de polynˆomes existent fournissant des extensions cycliques de Q. Les corps cubiques les plus simples ont ainsi ´et´e introduits par D. Shanks ([27]). E. Lehmer ([18]) a construit des corps quintiques cycliques simples, et M.-N. Gras des corps quartiques cycliques simples ([10]) et des corps sextiques cycliques simples ([11]). D’autres extensions cycliques de degr´e 6 et 10 ont ´et´e consid´er´ees par O. Lecacheux dans, respectivement, [19] et [20]. Notre construction permet de retrouver certaines de ces extensions simples. En effet, dans le cas l = 3, le corps engendr´e par P (x) l’est aussi (via des n,c,3 transformations ´el´ementaires constitu´ees de translation et homoth´etie) par P˜ (x) = x3+ux2−nx+v.Ilsuffitalorsdeprendre(u,v,n) = (−t,−1,t+3) n,c,3 pour retrouver la famille cubique cyclique X3 −tX2 −(t+3)X −1 de Shanks. Dans le cas l = 4, on constate, `a l’aide de transformations ´el´ementaires (translation et homoth´etie) que le corps engendr´e par P (x) n,c,4 l’est aussi par P˜ (x) = x4 −2x3 +(1−n)x2 +nx−c. Le calcul montre, n,c,4 pour une sp´ecialisation de (n,c) = (t2+32, 3t4−1024), que 2t2 16t4 t t2 +32 R´esultant(P˜ (x),X −( x2 − ),x) = X4 −tX3 −6X2 +tX +1, n,c,4 2 8t et l’on retrouve ainsi la famille quartique cyclique de Gras. 10 FRANCK LEPRE´VOST, MICHAEL POHST & ANDREAS SCHO¨PP R´ef´erences [1] C. Batut, D. Bernardi, H. Cohen, M. Olivier : User’s guide to PARI-GP (version 1.39). Laboratoire A2X, Universit´e de Bordeaux I, Bordeaux (1995) [2] W. Bosma, J. Cannon, C. 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