(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) Experimental Mathematics in Action (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) Experimental Mathematics in Action David H. Bailey Jonathan M. Borwein Neil J. Calkin Roland Girgensohn D. Russell Luke Victor H. Moll AKPeters,Ltd. Wellesley,Massachusetts (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) Editorial,Sales,andCustomerServiceOffice AKPeters,Ltd. 888WorcesterStreet,Suite230 Wellesley,MA02482 www.akpeters.com Copyright(cid:1)c 2007byAKPeters,Ltd. Allrightsreserved. Nopartofthematerialprotectedbythiscopyrightnoticemay bereproducedorutilizedinanyform,electronicormechanical,includingphoto- copying, recording, or by any information storage and retrieval system, without writtenpermissionfromthecopyrightowner. LibraryofCongressCataloging-in-PublicationData Experimentalmathematicsinaction/DavidH.Bailey...[etal.]. p.cm. Includesbibliographicalreferencesandindex. ISBN-13:978-1-56881-271-7(alk.paper) ISBN-10:1-56881-271-X(alk.paper) 1.Experimentalmathematics.I.Bailey,DavidH. QA8.7.E972007 510--dc22 2006048633 PrintedinIndia 1110090807 10987654321 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) Toourspouses,children,grandchildren, students,andallloversof experimental mathematics (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) Contents Preface xi 1 APhilosophicalIntroduction 1 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 MathematicalKnowledgeasWeViewIt . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 MathematicalReasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 PhilosophyofExperimentalMathematics . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 OurExperimentalMathodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 FindingThingsversusProvingThings . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 AlgorithmsforExperimentalMathematicsI 29 2.1 ThePoetryofComputation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 High-PrecisionArithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 IntegerRelationDetection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 IllustrationsandExamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5 DefiniteIntegralsandInfiniteSeriesSummations . . . . . . . . . 43 2.6 ComputationofMultivariateZetaValues . . . . . . . . . . . . . . 44 2.7 Ramanujan-TypeEllipticSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 AlgorithmsforExperimentalMathematicsII 53 3.1 TrueScientificValue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 PrimeNumberComputations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 RootsofPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 NumericalQuadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5 InfiniteSeriesSummation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.6 Ape´ry-LikeSummations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 vii (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) viii Contents 4 ExplorationandDiscoveryinInverseScattering 79 4.1 MetaphysicsandMechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2 ThePhysicalExperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3 TheModel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4 TheMathematicalExperiment: QualitativeInverseScattering. . . 90 4.5 CurrentResearch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5 ExploringStrangeFunctionsontheComputer 113 5.1 WhatIs“Strange”? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2 NowhereDifferentiableFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3 BernoulliConvolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6 RandomVectorsandFactoringIntegers: ACaseStudy 139 6.1 LearningfromExperience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.2 IntegerFactorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.3 RandomModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.4 TheMainQuestions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.5 Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.6 WhichModelIsBest? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.7 ExperimentalEvidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7 ASelectionofIntegralsfromaPopularTable 161 7.1 TheAllureoftheIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.2 TheProjectandItsExperimentalNature . . . . . . . . . . . . . . 163 7.3 FamiliesandIndividuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.4 AnExperimentalDerivationofWallis’Formula . . . . . . . . . . 167 7.5 AHyperbolicExample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.6 AFormulaHiddenintheList . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.7 SomeExperimentsonValuations. . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.8 AnErrorintheLatestEdition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.9 SomeExamplesInvolvingtheHurwitzZetaFunction . . . . . . . 185 8 ExperimentalMathematics: AComputationalConclusion 189 8.1 MathematiciansAreaKindofFrenchmen . . . . . . . . . . . . . 189 8.2 PuttingLessonsinAction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 8.3 VisualComputing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.4 APreliminaryExample: VisualizingDNAStrands . . . . . . . . 194 8.5 WhatIsaChaosGame?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.6 Hilbert’sInequalityandWitten’sZetaFunction . . . . . . . . . . 202 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) Contents ix 8.7 ComputationalChallengeProblems . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.8 LastWords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9 Exercises 225 ExercisesforChapter1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 ExercisesforChapter2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 ExercisesforChapter3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 ExercisesforChapter4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 ExercisesforChapter5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 ExercisesforChapter6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 ExercisesforChapter7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 ExercisesforChapter8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 AdditionalExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Bibliography 301 Index 317 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)