E u c l i dEs v a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r j a a r g a n g 8 7 2 n r o k t o b e r 2 0 1 1 Terugblik op iMO2011 Meervoudige intelligentie, deel 5 Hoofdrekenen Boekbesprekingen Notulen en Jaarverslagen de vormentaal van de natuur Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren CASIO fx-CG20: CASIO: betrouwbaar Kleurrijke wiskunde! als de uitkomst zelf! colofon De fx-CG20 van CASIO is de eerste van een nieuwe Op de Natural Textbook Display worden o.a. breu- generatie grafi sche rekenmachines, die dankzij zijn ken en wortels weergegeven als in het leerboek. De hogeresolutie LCD-kleurenscherm en uitgebreide fx-82ES Plus is ook geschikt voor het gebruik van j a a r g a n g 8 7 functionaliteit de ideale studiegenoot is voor iedere tabellen. scholier of wiskundestudent. 2 De fx-CG20 van CASIO biedt als eerste ter wereld n r de functie ‘Picture Plot’ waarmee de gebruiker gra- CASIO fi eken en curven over andere beelden heen kan fx-9860GII o k t o b e r plotten, zoals een parabool over de waterstralen van een fontein. Studenten kunnen experimenteren Rekengemak: 2 0 1 1 met het creëren van hun eigen grafi eken over foto’s de grafi sche reken- heen. Vervolgens leren ze van de functies van deze machine fx-9860GII Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging zelfgemaakte grafi eken. Grafi eken die in kleur bo- met groot contrastrijk van Wiskundeleraren. vendien een stuk gemakkelijker te overzien zijn. Het display met natuur- Het blad verschijnt 7 maal per verenigingsjaar. hogeresolutie LCD-kleurenscherm toont alle beeld- lijke invoer en uitvoer, ISSN 0165-0394 materiaal in 65.000 kleuren en biedt daarmee de- achtergrondverlichting zelfde weergave als in een studieboek. De fx-CG20 en 1,5 MB Flash-ROM- Redactie iinnttrroodduucceeeerrtt eeeenn ggeehheeeell nniieeuuwwee eenn mmeeeerr iinnttuuïïttiieevvee geheugen. Michel van Ast manier van wiskunde leren. Rob Bosch Bekijk het in kleur op Dick Klingens, eindredacteur Wim Laaper, secretaris www.casio-educatie.nl Ernst Lambeck Marjanne de Nijs, hoofdredacteur Joke Verbeek Heiner Wind, voorzitter inzendingen bijdragen Artikelen en mededelingen naar de hoofdredacteur: Marjanne de Nijs, Nederlandse Vereniging lidmaatschap van Wiskundeleraren CASIO Opaal 4, 2719 SR Zoetermeer Het lidmaatschap van de NVvW is inclusief Euclides. E-mail: [email protected] Website: www.nvvw.nl De contributie per verenigingsjaar bedraagt voor fx-82ES PLUS - leden: € 70,00 Richtlijnen voor artikelen Voorzitter - leden, maar dan zonder Euclides: € 40,00 Geniale oplossing: Tekst liefst digitaal in Word aanleveren; op papier in Marian Kollenveld, - studentleden: € 35,00 de technisch-weten- drievoud. Illustraties, foto’s en formules separaat op Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk - gepensioneerden: € 40,00 schappelijke zakreken- papier aanleveren: genummerd, scherp contrast. Tel. (070) 390 70 04 - leden van de VVWL of het KWG: € 40,00 machine fx-82ES Plus Zie voor nadere aanwijzingen: E-mail: [email protected] Bijdrage WwF (jaarlijks): € 2,50 met natuurlijke invoer- www.nvvw.nl/euclricht.html Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden dienen zich op te en uitvoerfunctie, en secretaris geven bij de ledenadministratie. Realisatie met puntmatrixscherm Kees Lagerwaard, Opzeggingen moeten plaatsvinden vóór 1 juli. zorgt voor meer begrip Ontwerp en vormgeving, fotografie, drukwerk Eindhovensingel 15, 6844 CA Arnhem en mailingservices Tel. (026) 381 36 46 Abonnementen niet-leden tijdens het onderwijs. De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v. E-mail: [email protected] Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende Veenendaal, www.dekleuver.nl nummer. 3 ledenadministratie Personen (niet-leden van de NVvW): € 65,00 Elly van Bemmel-Hendriks, Instituten en scholen: € 145,00 j a a r s DTeel . S(c0h3a2lm1) 1391, 2852 5413 LB Dronten LBoetsaseli nngu mpemr aercsc ezpijtng iorop. aanvraag leverbaar: € 18,00 g a r a n t i e E d E-mail: [email protected] Advertenties en bijsluiters i Helpdesk rechtspositie De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v. l NVvW - Rechtspositie-Adviesbureau, t.a.v. E. van Dijk c Postbus 405, 4100 AK Culemborg Kerkewijk 63, 3901 EC Veenendaal Bestel nu uw speciaal geprijsde docentenexemplaar van de u Tel. (0345) 531 324 Tel. (0318) 555 075 Casio rekenmachines via e-mail [email protected] E-mail: [email protected] E dé nummer 1 in rekenmachines voor het onderwijs. Casio Benelux B.V. - Tel: 020 545 10 70 - [email protected] - www.casio-educatie.nl Euclides-advertentie-ZW.indd 1 11-08-11 11:43 EE uu cc ll ii ddEEss K I ort vooraf nhoud [ Marjanne de Nijs ] Hoofdrekenen Op de eerste zaterdag van september zit ik met mijn twee jongvolwassen kinderen aan de ontbijt- tafel. Van de oudste hoef je normaal gesproken geen geluid te verwachten op dat tijdstip; je kan hem beter even met rust te laten. Dit keer moet hij echter zijn verontwaardiging kwijt. Bij een feestje, de avond ervoor, had hij iets – in zijn ogen – verbijsterends meegemaakt. ‘Ongelofelijk 57 Kort Vooraf mam, ze moest 28 : 4 uitrekenen en ze pakte haar iPhone om het in te toetsen.’ En dan het [Marjanne de Nijs] onbegrip: ‘En dat wil dan volgend jaar universiteit gaan doen…’ Zijn deel is een berustende blik 58 Windmolens in de hoofdrol bij mijnerzijds. IMO2011 Toch gaf deze gebeurtenis me stof tot nadenken. Natuurlijk is het – ook in mijn ogen – erg dat [Birgit van Dalen, Quintijn Puite] iemand de tafels niet beheerst. Persoonlijk denk ik dat je best gehandicapt bent bij de meest basale 61 Meervoudige intelligentie in de zaken die je in je leven tegenkomt als je niet een beetje kan hoofdrekenen. Waarom kan ik dan de wiskundeles, deel 5 verontwaardiging van mijn zoon niet delen? Omdat ik zelf niet zo goed weet waar ik die dan op [Ingrid Berwald] zou moeten richten. Waar zou ik naar moeten wijzen? 62 Aankondiging / Wintersymposium KWG 2012 Ik kijk graag naar positieve ontwikkelingen. Met het invoeren van de rekentoetsen in het vo gaat 63 Hoofdrekenen de muur tussen basisschool en vo meer omlaag. We kijken er steeds beter overheen. Kennis over [A.W. Bouman] het rekenonderwijs op de basisschool is essentieel om onze rekenlessen goed vorm te kunnen 64 Aankondiging / Ars et geven. Niet naar elkaar wijzen maar samenwerken, om te zorgen dat leerlingen aan het eind van de Mathesis-dag 2011 rit beschikken over voldoende rekenvaardigheden. Ook aan het andere einde van het vo worden 65 Geometrie drempels steeds lager. Samenwerkingsverbanden tussen hbo en universiteit zijn minder uitzonde- [Carla Feijen] ring en meer regel aan het worden. Hebt u goede, concrete ervaringen met deze ontwikkelingen? 67 Mededeling / WisBase Schroom niet om ons te schrijven. Collega’s in het land kunnen er hun voordeel mee doen. 68 Het bewijzen van de stelling van Pythagoras En dat hoofdrekenen? Ik ben blij als mijn leerlingen de tafels tot en met 10 goed beheersen. Wim [Kristie Ambrosius] Bouman kan echter veel meer. Hij schrijft daarover in dit nummer van Euclides en roept u op om 71 Boekbespreking / De Pythagoras potentiële talenten bij hem aan te melden. De jongedame van het feestje komt daarvoor helaas Code niet in aanmerking. [Ernst Lambeck] 7 72 Het Geheugen 5 Kunst [Harm Jan Smid] Nu de Ars et Mathesis-dag weer in de agenda staat zijn we blij met de bijdrage van Carla Feijen 75 Knippen, vouwen en plakken voor over wiskunde en kunst. Deze veelzijdige kunstenares pleit voor meer kennis bij leerlingen over een twintigvlak geometrische figuren. Kees Jonkers geeft een concrete voorzet: hij beschrijft hoe u het twintigvlak [Kees Jonkers] in een les kunt introduceren. Eerst knippen, vouwen en plakken en dan stilstaan bij de eigen- 77 Vanuit de oude doos schappen van dit veelvlak. Zelf ben ik in de gelukkige omstandigheid dat ik de artikelen eerder lees [Ton Lecluse] dan u. Mijn leerlingen heb ik al aan het werk gezet, de activiteit beveel ik hierbij van harte aan. 79 Boekbespreking / Getallen zijn je beste vrienden Ook is er de kunst van het bewijzen en redeneren, een onderdeel van de wiskunde dat een essen- [Bert Zwaneveld] tiële basis geeft voor het abstract denken en logisch redeneren. De opbrengst daarvan is meer dan 82 Jaarverslag Euclides, jaargang 86 alleen de waarde die het heeft voor het wiskundeonderwijs. Als leerlingen starten met dit onder- [Klaske Blom] deel, dan moeten ze denkstappen maken die in eerste instantie lastig zijn. Kristie Ambrosius liep 83 Aankondiging / WwF-Boekenveiling daar ook tegen aan en bedacht een alternatieve aanpak voor het nadenken over bewijsopgaven. 84 Inhoud van de 86e jaargang 2 Naar aanleiding daarvan ontwikkelde ze concreet lesmateriaal. U leest er alles over in haar artikel (2010-2011) | en op onze website kunt u haar werkblad vinden. 86 Notulen van de 7 NVvW-jaarvergadering 8 Dan zijn er ook deze keer weer bijdragen van een aantal vaste rubrieksauteurs die de kunst op 6 november 2010 verstaan ons steeds weer uit te dagen en/of te verbazen: Ton Lecluse, Harm Jan Smid en Sieb [Kees Lagerwaard] Kemme. 87 Verslag van het verenigingsjaar 2010-2011 laatste in de serie [Kees Lagerwaard] s E En soms moet je afscheid nemen. We hebben heel lang genoten van de IMO-artikelen in Euclides 90 Recreatie, Doordenker 87-2 d en met het laatste artikel in de serie komt daar een einde aan. Birgit van Dalen en Quintijn [Sieb Kemme] i Puite geven een terugblik op de IMO2011. Nog één keer genieten dus. Ingrid Berwald schreef 91 Recreatie, Oplossing 86-7 l afgelopen jaar een serie over meervoudige intelligenties. Met haar vijfde artikel, over Verbanden, [Lieke de Rooij, Wobien Doyer] sluit ze af. En, zoals u van haar gewend bent, ook in deze laatste weer veel concrete suggesties en 92 Servicepagina c inspiratie voor in de les. u Ik wens u veel leesplezier. E W i n d m o l e n s i n d e h o o f d ro l b i j iM O 2 0 1 1 tEruGBLIK oP dE IntErnatIonaLE WISKundE oLYMPIadE 2011 [ Birgit van Dalen, Quintijn Puite ] De jongeren in de sporthallen zijn deelnemers aan de IMO2011 (International Mathematical Olympiad). Maar liefst 101 verschillende landen hebben een team van maximaal zes scholieren afgevaardigd naar deze wedstrijd. Samen met een coach (de deputy leader in IMO-taal) zijn ze twee dagen geleden aangekomen in Amsterdam. Elk land heeft daarnaast ook nog een leader naar de IMO gestuurd. De leaders zijn al een week vóór de wedstrijd in Veldhoven foto 3 Kaartjes (bij Eindhoven) bij elkaar gekomen om de zes opgaven (drie voor elk van de twee Tegen half twee arriveren er enkele bussen wedstrijddagen) te selecteren en te vertalen. bij de sporthallen met daarin de deputy foto 1 Elke deelnemer krijgt namelijk de opgaven leaders. Ze verzamelen zich verwachtingsvol in zijn eigen taal, wat voor deze IMO voor de ingang. Stipt om 13:30, vierenhalf Maandag 18 juli 2011, 08:55 uur. Er heerst betekent dat er vertalingen in 54 uur na het begin, eindigt de wedstrijd en een gespannen stilte in de drie hallen van verschillende talen zijn. kort daarna stroomt het plein voor de 8 5 de Sporthallen Zuid in Amsterdam. In elke Ook nu de vertalingen klaar zijn, is het sporthallen vol met deelnemers. De deputy hal zijn rechte rijen van tafels opgesteld en werk van de leaders in Veldhoven nog niet leaders zoeken hun eigen team bij elkaar en aan deze tafels zitten 564 jongeren te afgelopen. De deelnemers mogen namelijk willen maar één ding weten: hoe is het wachten. De één kijkt strak voor zich uit, gedurende het eerste half uur van de gegaan? Al gauw wordt duidelijk dat de de ander speelt met zijn pen en een derde wedstrijd vragen stellen. Schriftelijk, want deelnemers van alle landen het roerend met verwisselt nog even zijn schrijfgerei en zijn de leaders bevinden zich aan de andere elkaar eens zijn over één ding: opgave 2 was flesje water van plek op zijn tafel. Dan kant van het land. De vragen worden afschuwelijk. Zelfs de allerbeste landen zijn delen in rood geklede vrijwilligers gescand en gemaild, waarna de leaders gestruikeld over deze ongebruikelijke enveloppen uit. Als op elke tafel een gezamenlijk besluiten wat het antwoord op opgave met een Nederlands tintje. envelop ligt en de klok naar 09:00 uur de vraag moet zijn. Dat antwoord wordt Gedurende de rest van de IMO blijven de verspringt, wordt de mededeling dan weer teruggemaild naar de wedstrijd- windmills het gesprek van de dag. omgeroepen dat iedereen zijn envelop open locatie. Bij de ruimte met de scanner in de mag maken en mag beginnen. Eerst in het sporthallen is het dan ook het eerste half Na de tweede wedstrijddag (met tot 2 Engels, daarna in nog vier andere talen, uur een af- en aanlopen van wedstrijd- opluchting van de deelnemers niet nog maar dat is nauwelijks meer hoorbaar begeleiders, allemaal gekleed in een meer windmolens) verandert de sfeer. Het | boven het geritsel van honderden herkenbaar rood IMO-shirt. De wedstrijd- werk zit erop en nu kan het plezier maken 7 enveloppen die tegelijkertijd opengemaakt begeleiders leveren de vragen af bij de beginnen! Inmiddels zijn de leaders ook in 8 worden. scanner en brengen de antwoorden weer Amsterdam gearriveerd en zit het Novotel terug naar de juiste deelnemer. tot de nok toe vol met IMO-mensen. De Ook gedurende de rest van de wedstrijd conferentiezalen zijn omgebouwd tot een zijn de 60 wedstrijdbegeleiders essentieel mega-eetzaal die aan 500 mensen tegelijk s voor het goede verloop. Ze lopen met een zitplaats biedt. In de spelletjesruimte is E d deelnemers mee naar het toilet en bezorgen het op elk moment van de dag gezellig met hun extra papier of een nieuw flesje water. talloze deelnemers die tafelvoetbal of i Communiceren met scholieren uit zoveel airhockey spelen, of gewoon een bordspel l verschillende landen kan nog wel eens lastig of een kaartspel, aan tafels of – als die c zijn, maar gelukkig hebben de deelnemers allemaal bezet zijn – op de grond. gekleurde kaartjes gekregen waarmee ze u duidelijk kunnen maken wat ze bedoelen. E foto 2 De wedstrijdhal iMO2011 – de opgaven 1. Voor een verzameling A = {a, a, a, a} van vier verschillende positieve gehele getallen 1 2 3 4 noteren we de som a + a + a + a als s . We schrijven n voor het aantal paren (i, j) met 1 2 3 4 A A 1 ≤ i < j ≤ 4 waarvoor a + a een deler is van s . i j A Bepaal alle verzamelingen A van vier verschillende positieve gehele getallen met de grootst mogelijke waarde van n . A 2. Zij S een eindige verzameling van ten minste twee punten in het vlak, waarvan er geen drie op één lijn liggen. Een windmolen is een proces dat begint met een lijn l die door één punt P van S gaat. De lijn draait met de klok mee om het draaipunt P tot er voor het eerst een ander punt van S op deze lijn komt te liggen; we noemen dit punt Q en dit wordt het nieuwe draaipunt. We zeggen dan dat Q een klap van de molen krijgt. De lijn draait nu met de klok mee om Q, totdat opnieuw een punt van S een klap van de molen krijgt. De windmolen deelt zo oneindig veel klappen uit. Laat zien dat we een punt P van S en een lijn l door P kunnen kiezen zodat er een windmolen ontstaat waarbij elk punt van S oneindig veel klappen van de molen krijgt. 3. Zij f : R → R die voldoet aan f (x + y) ≤ y f (x) + f (f (x)) voor alle reële getallen x en y. Bewijs dat f (x) = 0 voor alle x ≤ 0. 4. Zij n > 0 een geheel getal. We hebben een balans en n gewichten met massa 20, 21, …, 2n–1. We moeten de n gewichten, één voor één, op één van de twee schalen van de balans plaatsen zo dat de rechterschaal nooit zwaarder is dan de linkerschaal. In elke stap kiezen we een gewicht dat nog niet op de balans staat en plaatsen het op de linker- of op de rechterschaal, totdat alle gewichten op de balans geplaatst zijn. foto 5 Tijdens de excursie in een boot Bepaal het aantal manieren waarop we dit kunnen doen. 5. Zij f een functie van de gehele getallen naar de positieve gehele getallen. Stel dat voor alle gehele getallen m en n het verschil f (m) – f (n) deelbaar is door f (m – n). Bewijs dat voor alle gehele getallen m en n met f (m) ≤ f (n) geldt dat f (n) deelbaar is door f (m). 6. Zij driehoek ABC een scherphoekige driehoek met omgeschreven cirkel Γ. Zij l een 9 raaklijn aan Γ en definieer l, l en l als de lijnen verkregen door l respectievelijk ten 5 a b c opzichte van de lijnen BC, CA en AB te spiegelen. Toon aan dat de omgeschreven cirkel van de driehoek bepaald door de lijnen l, l en l a b c raakt aan de cirkel Γ. foto 6 Tijdens de excursie bij een échte windmill vaart de groep over de Gouwzee en brengt De laatste excursiedag bestaat uit een ook nog een bezoekje aan Volendam. Het wandeling en rondvaart door het centrum weer werkt voor het eerst tijdens deze IMO van Amsterdam, en eindigt met een mee en diverse deelnemers springen vanaf gezamenlijk buffet in Science Center de boot het water in, dat volgens het NEMO, dat exclusief voor de IMO open is IJslandse team heerlijk warm is. die avond. De combinatie van proefjes 2 Ook de fietsexcursie valt goed in de smaak doen, naar een rockbandje luisteren en een | bij de deelnemers. Voor degenen die niet hapje eten, blijkt een schot in de roos voor 7 kunnen fietsen, zijn er steps beschikbaar, al deze jonge onderzoekers. foto 4 Speelhal maar de meeste enthousiastelingen Na de excursiedagen wordt de uitslag 8 proberen toch gewoon de fiets. De bekend. Er blijken slechts 29 deelnemers te Terwijl de volgende twee dagen het werk fietshelmen blijken daarbij geen overbodige zijn die het idee van de windmolenopgave nagekeken wordt door enerzijds de leaders luxe te zijn… De deelnemers genieten van door gehad hebben en daarmee 5 of meer en deputy leaders, en anderzijds een 80-tal het Noord-Hollandse landschap, inclusief punten (van de maximaal 7) gescoord s E (Nederlandse) vrijwilligers, gaan de teams op diverse… windmolens! En twee jongens uit hebben op deze opgave. Tot vreugde van de d excursie. Er is een excursie naar Den Haag, Nigeria en China worden hierdoor zo in Nederlandse teamleden en hun begeleiders i met een bezoek aan het Escher-museum, beslag genomen dat ze een verkeerde afslag behoort Madelon de Kemp met 6 punten l Panorama Mesdag en natuurlijk het strand. nemen. Gelukkig brengt een vriendelijke tot deze kleine groep. Madelon is dan ook Voor tientallen deelnemers is dit de eerste Amsterdammer de Chinees terug naar het de beste Nederlander met 23 punten in c keer in hun leven dat ze de zee zien. hotel en vinden we de Nigeriaan terug op totaal, wat een zilveren medaille waard is. u Minstens zo bijzonder is de zeilexcursie bij station Amsterdam CS. Ook Daniël Kroes wint een zilveren E Monnickendam. Op zes grote zeilboten medaille, terwijl Jeroen Huijben, Merlijn Staps en Jetze Zoethout een bronzen Over de auteurs medaille in ontvangst mogen nemen. Birgit van Dalen is sinds november 2004 Ragnar Groot Koerkamp ten slotte zorgt er betrokken bij de training van leerlingen met een eervolle vermelding voor dat voor voor de Internationale Wiskunde het tweede achtereenvolgende jaar (tevens Olympiade. Ze was de vice-teamleider voor de tweede keer in de historie) tijdens de IMO in Vietnam (2007), Spanje niemand van het Nederlandse team met (2008), Duitsland (2009) en Kazachstan lege handen naar huis gaat. (2010). Ze was verder één van de hoofd- In het officieuze landenklassement wordt organisatoren van IMO2011 in Nederland. Nederland op deze manier 28ste van de Ze heeft net haar promotie afgerond en is 101 landen. Dat we nu bij de bovenste sinds 1 augustus 2011 wiskundedocent op 30 procent zitten, is het beste resultaat het Aloysius College in Den Haag. sinds 1983 (toen we 7e van de 32 landen E-mailadres: [email protected] waren). Uiteraard gáán we ervoor om deze Quintijn Puite is sinds november 2005 prestatie volgend jaar bij de IMO in betrokken bij de organisatie van de Argentinië weer te overtreffen. Nederlandse Wiskunde Olympiade. Hij was de teamleider tijdens de IMO in Met deze aflevering komt er een einde aan de Slovenië (2006), Vietnam (2007), Spanje IMO-serie in Euclides. De afgelopen (2008) en Duitsland (2009). Hij was verder nummers hebben diverse oud-IMO- één van de hoofdorganisatoren van deelnemers hun licht laten schijnen over IMO2011. Voor de olympiade is hij twee IMO-opgaven uit hun jaar. We hebben het dagen per week verbonden aan de Faculteit erg leuk en bijzonder gevonden om op deze Wiskunde en Informatica van de manier met elkaar te kunnen aftellen van Technische Universiteit Eindhoven. IMO2002 tot en met IMO2011. Velen van Daarnaast is hij docent bij de Vakgroep u waren er ook bij afgelopen zomer, in de Wiskunde van Instituut Archimedes, de Sporthallen Zuid, in de RAI, in Novotel of lerarenopleiding van Hogeschool Utrecht. bij één van de excursies. Dank aan allen die E-mailadres: [email protected] hebben meegeholpen IMO2011 tot een groot succes te maken! 40 APS-Exact Ook in het schooljaar 2011-2012 organiseert APS-Exact 46 2 diverse cursussen en studiedagen, zoals: Maandag 7 november 2011 studiemiddag Rekenen in het vo getoetst Maandag 14 november 2011 studiedag Rekenen: eerst denken, dan doen Maandag 14 november 2011 start cursus (Hoog)begaafde leerkingen in de wiskundeles Dinsdag 22 november 2011 bijeenkomst Leerlingen rekenvaardiger met SaLVO Dinsdag 29 november 2011 start cursus Inspiratie voor de rekenles Donderdag 1 december 2011 studiedag Rekenen geven op mijn school: hoe doe ik dat? Vrijdag 2 december 2011 studiemiddag Rekenproblemen 2 Maandag 12 december 2011 studiedag Examentraining Woensdag 14 december 2011 start cursus Leidinggeven aan de wiskundesectie | 7 Donderdag 15 december 2011 start cursus Afstemming in bètapracticum Donderdag 15 december 2011 start cursus Goed(e) toetsen 8 Vrijdag 16 december 2011 start opleiding Rekencoördinatoren U kunt zich aanmelden via onze site ss EE www.aps.nl/exact > Activiteitenagenda e Bel of schrijf voor meer informatie: leren dd i t APS-Exact inspireren ii a Postbus 85475 m ll 3508 AL Utrecht r cc o Tel.: 030 - 28 56 722 f [email protected] uu n www.aps.nl/exact i EE APS-exact advvoor Euclides 190x135 (11053).indd 1 07-07-11 12:27 M e e r v o u d i g e i n t e l l i g e n t i e i n d e w i s k u n d e l e s BIJ rEKEnEn, oPPErvLaKtE, vErGrotEn, GonIoMEtrIE, vErBandEn [ Ingrid Berwald ] deel 5 – Verbanden lang; hij groeit 15 cm per jaar. Een venus- voethoeken te meten. Twee jaar geleden had vrouwtje is slechts 20 cm als ze geboren ik Tom in mijn klas; hij had kort geleden in Er zijn acht meervoudige intelligenties en wordt, maar groeit 18 cm per jaar. Het het ziekenhuis een onderzoek gehad om te ieder mens beschikt over alle acht, waarbij leuke is, dat wanneer een marsmannetje bepalen hoe lang hij ging worden. De arts de ene intelligentie bij de één sterker is en een venusvrouwtje kinderen krijgen, kwam uit op 2,01m. Tijdens deze wiskun- ontwikkeld dan bij de ander. Als een – voor deze 48 cm zijn als ze geboren worden. deles, waarbij in het mulle zand de afdrukken een kind boeiende – intelligentie wordt Jongens groeien net zo snel als hun vader, best wat groter worden, kwam Tom uit op verwerkt in een instructie of een andere terwijl meisjes net zo snel als hun moeder een lengte van 2,16m. Zijn conclusie zal ik verwerking van de leerstof, dan neemt het groeien. Dit is een opdracht waarbij vooral nooit vergeten, hij kwam met zijn rekenma- kind de leerstof beter op. Dit is gebleken uit de taalkundige intelligentie aangesproken chine naar me toe gehold en riep ‘Kijk nou onderzoeken van de Amerikaanse hoogleraar wordt om lineaire verbanden aan te leren. juf, die arts zat er gewoon 15cm naast!’ Tja, Howard Gardner. wiskunde blijft een exact vak. Zijn motto is: ‘Het gaat er niet om hoe Magisch vierkant intelligent je bent, maar om hoe je intelligent In ons wiskundeboek staan vrij veel Formules bent.’ Iedereen is op zijn eigen manier opgaven waarbij tabellen moeten worden Bij de kwadratische formules laat ik de knap. Vandaar de omschrijvingen bij de ingevuld: bereken y als x = 1 tot en met 6. leerlingen de puntentelling van het spel 541 volgende intelligenties: De tabellen bij deze opdrachten hebben we ‘bubble breaker’ onderzoeken (zie figuur 2). 496 22 1. Verbaal – linguïstisch (taalknap) wat langer gemaakt, van x =1 tot en met 9. Het spel is te spelen via www.bubblebreaker.be. 2. Logisch – mathematisch (rekenknap) Met deze negen getallen kun je altijd een De puntentelling is kwadratisch. De formule 3. Visueel – ruimtelijk (kijkknap) magisch vierkant vullen, zolang de formule is niet zo heel makkelijk te vinden; dus best 4. Muzikaal – ritmisch (muziekknap) maar lineair is. We laten leerlingen ook een uitdaging. De algemene formule die bij 5. Lichamelijk – kinesthetisch zelf formules maken en daarmee magische een level ‘a’ hoort is: ½a(x² + x). (bewegingsknap) vierkanten vullen. Het vullen van een Bij exponentiële functies laat ik de 6. Naturalistisch (natuurknap) magisch vierkant is heel eenvoudig als je leerlingen papier vouwen en berekenen 7. Interpersoonlijk (samenknap) eenmaal hebt ontdekt dat het vijfde cijfer hoe dik de stapel steeds is. Meestal kun je 8. Intrapersoonlijk (zelfknap) altijd in het midden staat en de even cijfers maximaal 8 maal vouwen. Daarna vraag ik in de hoeken. of de leerlingen een schatting willen maken: In onderstaand artikel komt het gebruik Het vierkant in figuur 1 (op pag. 62) hoort stel dat je wel door kunt gaan met vouwen, van verschillende intelligenties bij het bij y = 2x + 1. hoe vaak moet je vouwen voordat de stapel onderwerp verbanden aan bod. Het is het zo dik is dat hij tot de maan reikt? De 2 laatste deel in een serie van vijf artikelen.[1] Voetafdruk schattingen liggen altijd rond de miljoenen. | Als je werkt vanuit het principe van de Voor de motorische kinderen hebben we Groot is de verbazing als het slechts 42× 7 meervoudige intelligentie, moet je de stof tegeltjes en magneten in het lokaal, en zij blijkt te zijn. Er zijn zelfs leerlingen die de op verschillende manieren aanbieden. moeten af en toe de plaatjes namaken en 42 diktes helemaal uitschrijven omdat ze 8 Verbanden is een van de onderdelen van voelen hoe het zit met het hellingsgetal. het niet kunnen geloven. Het gevoel bij een wiskunde waarbij het wat makkelijker Mijn man is rechercheur en tijdens het exponentiële functie probeer ik er zo in te gaat. Zelf probeer ik naast de verschillende overhoren van de wetboeken vond ik een krijgen. intelligenties er ook altijd verbazing en formule die in de 17e eeuw in Frankrijk werd Voor gevoel bij de omgekeerd evenredige sss EEE verwondering aan toe te voegen. gebruikt: (lengte van een verdachte) = 2 × (zijn functie heb ik twee spiegeltjes aan elkaar ddd voetlengte) / 0,287. geplakt zodat ze kunnen scharnieren. Zet iii Mars en Venus Zo maakten de Fransen een signalement na de spiegeltjes op 120° en leg er een stokje lll In de eerste klas gaat het vooral om het vinden van voetsporen. Aan voetsporen voor: je ziet een gelijkzijdige driehoek. Bij lineaire verbanden. Hierbij hebben we een kun je nog meer meten: de voethoek en de 90° ontstaat een vierkant. De leerlingen ccc verhaaltje over een venusvrouwtje en een paslengte werd ook vastgelegd. Ik ga elk ontdekken dat het aantal graden maal uuu marsmannetje gemaakt. Een marsmannetje jaar op een mooie dag met mijn klas naar het aantal hoeken altijd 360° is. Over het EEE is, als hij geboren wordt, precies 77 cm een zandbak om voetsporen te maken en domein valt ook nog wel wat te zeggen; dat komt doordat er geen 3,5-hoeken Maar het kan ook voor een giraf met twee bestaan. Deze opdracht is heel geschikt voor vlekken op elke wervel en drie op zijn kop. leerlingen die motorisch of visueel leren. Dit zijn lessen waarbij je de opdracht alleen maar uit hoeft te delen; de rest gaat vanzelf. Kwartet Een naturalistische manier om verbanden slot aan te leren is bijvoorbeeld die met een Dit was dus het laatste artikel uit de serie. kwartetspel. Een kwartet bestaat uit vier Mijn leerlingen vragen steeds om meer van kaarten. Op het eerste kaartje komt de dit soort lessen. grafiek, op het tweede kaartje het functie- Ik blijf dan ook doorgaan met zoeken en figuur 1 Tovervierkant voorschrift, op het derde kaartje staat de ontwikkelen. tabel en het laatste kaartje is voor de speci- fieke kenmerken. Als het kwartet gemaakt Noot is door de leerlingen, laat ik de titel er [1] De delen 1, 2, 3 en 4 van deze artikelen- afknippen zodat je alleen nog de grafieken serie staan opvolgend in Euclides en tabellen en zo ziet. Leerlingen moeten 86(4), pp. 154-155, in Euclides 86(5), als ze het spel spelen, steeds eerst ontdekken pp. 189-190, in Euclides 86(6), wat ze in handen hebben en daarna kunnen pp. 240-241 en in Euclides 86(7), ze naar een kaartje vragen (‘Mag ik de pp. 284-285. grafiek van de exponentiële functie?’) Van dit spel wordt altijd veel geleerd. Over de auteur In de eerste klas laat ik de leerlingen ook Ingrid Berwald is docente wiskunde aan het al een keer een lineair kwartet maken, IJsselcollege in Capelle aan den IJssel. Ze waarbij het startgetal en het hellingsgetal geeft les aan vmbo-, havo- en vwo-klassen duidelijk moet worden. Zo heb een keer en vindt het belangrijk dat alle leerlingen een spinnenweb met één spin en meerdere positieve ervaringen opdoen tijdens het vak vliegen gehad, De woordformule luidde wiskunde. (aantal poten) = (aantal vliegen) × 6 + 8. E-mailadres: [email protected] figuur 2 Startscherm Bubble breaker a / W KWG 2012 anKondIGInG IntErSYMPoSIuM 2 6 Grootschalig Rekenen en Rekenen in is ontstaan dank zij de komst van steeds wiskunde in haar vakgebied. Daar gaat haar onze Gezondheidszorg snellere computers, die doen waar compu- bijdrage over: Patiënten in getallen, wiskunde ters goed in zijn: veel rekenwerk uitvoeren toegepast in de neurologie. Het Wintersymposium 2012 van het voor wiskundigen. Grootschalig rekenen Koninklijk Wiskundig Genootschap in de getaltheorie is het onderwerp van de datum, plaats, kosten (KWG) combineert twee actuele onder- voordracht van Herman te Riele. Het symposium wordt gehouden op werp: rekenen en gezondheidszorg. Richard Boucherie, hoogleraar Stochastic zaterdag 7 januari 2012 in het Wiskunde als discipline en als toepassing Operations Research aan de Universiteit Academiegebouw van de Universiteit komen beide aan bod. Dit symposium gaat Twente, werkt onder meer aan wachttijden- Utrecht (Domplein 29, 3512 JE Utrecht). over getaltheorie en wel het zoeken naar theorie, met toepassingen op het gebied Het programma start om 10:00 uur (koffie algoritmen, rekenregels, als hulpmiddel van sensor-netwerken en gezondheidszorg. vanaf 9:30 uur) en eindigt ca. 15:00 uur. bij het verkennen van grote problemen, Twee weken korter wachten op de uitslag U wordt verzocht u van te voren on line 2 zoals het vermoeden van Goldbach en de van onderzoek naar mogelijke kanker kan aan te melden via de website van het KWG, Riemann-hypothese. De reductie van de landelijk gezien miljoenen euro’s schelen www.wiskgenoot.nl (kies dan ‘wat doet | wachttijd bij diagnose van kanker met aan kosten. Daarover gaat zijn bijdrage: het KWG’ en vervolgens ‘congressen en 7 behulp van Operations Research en het Sneldiagnostiek voor kanker, een wiskundige symposia’). Op de website is ook het 8 gebruik van statistische en analytische oplossing voor een maatschappelijk probleem. volledige programma, inclusief samen- middelen bij het stellen van diagnoses in Natasha Maurits, hoogleraar Klinische vattingen van de lezingen, te vinden. neurologische aandoeningen geven een Neuro-engineering bij het Universitair De kosten voor het symposium bedragen rijk scala aan voorbeelden van gebruik van Medisch Centrum Groningen (afdeling evenals vorig jaar € 18,00 voor KWG-leden s rekentechnieken op hoog niveau. Neurologie), ging wiskunde studeren omdat en € 23,00 voor niet-leden. Deze bijdrage E d je daarna nog alle kanten op kunt. Dat laat is o.a. voor een lunch en consumpties lezingen ze ook zien. Onderscheid tussen spier- en gedurende de dag. i Herman te Riele, onderzoeker bij het zenuwziekten met behulp van beschrijvende l Centrum Wiskunde en Informatica in statistiek en differentiaalrekening bij het inlichtingen c Amsterdam, is specialist op het gebied van meten van effecten van veroudering op Nadere inlichtingen: Jenneke Krüger computationele getaltheorie. Hij verricht de motoriek zijn enkele voorbeelden van / e-mail: [email protected] / u onder meer onderzoek aan de Riemann- de vele en gevarieerde toepassingen van telefoon: 06-16420445 E hypothese. Computationele getaltheorie H o o f d re ke n e n [ A.W. Bouman ] Om maar even flink egocentrisch te bezig te zijn, ik zou al heel snel brodeloos De voordelen van de kruismethode zijn beginnen: mijn naam is Willem Bouman, ik zijn. Daar komt nog bij dat iemand me in mijns inziens evident: ben 71 jaar oud, op afstand het oudste nog vertrouwen influisterde: ‘Wim (Klein) is - Er worden bewerkingen gecombineerd: flink actieve rekenwonder op wereldniveau, een aardige vent, maar je wordt knettergek vermenigvuldigen en optellen. bij de top vijf, met sinds kort een wereld- van hem.’ Hij maakte een erg gestreste - Er is volledige betrokkenheid bij het record factoriseren op mijn naam. Op mijn indruk op mij. Nee, zo iemand wilde ik niet werk, wat niet het geval is met alleen website (www.willemboumanrekenen.nl) worden. Het boek over Klein’s levensloop is maar ‘knopjes drukken’. vindt u enkele artikelen over mijn vreugdeloze lectuur. - Het geheugen wordt intensief getraind. hoofdrekenbedrijf. Als tussenfase ben ik, met diploma HBS-A Over het geheugen bedacht ik nog een Tijdens het onlangs gehouden wereld- en -B, een aantal jaren automonteur geweest, spreuk: ‘Je geheugen is je schatkamer; zorg kampioenschap Hoofdrekenen voor in de avonduren studeerde ik voor de akte dat hij goed gevuld is.’ scholieren van 10-17 jaar in Neurenberg praktijk autoherstellen. Daarna ging ik De kruismethode is volgens de litera- mocht ik voor de tweede maal een workshop werken bij Michelin als vertegenwoordiger tuur ±1100 jaar geleden uitgedacht door verzorgen, weer in het Duits en Engels. vrachtautobanden. Bij de transportbedrijven de Indiërs en is een schoolvoorbeeld van Nederlands was niet nodig, daar er ook dit is altijd wat uit te rekenen: een asbelasting, eenvoudige logica. We nemen als begin keer helaas weer geen Nederlandse deel- de juiste verdeling van de belading, een twee getallen van twee cijfers. Als voorbeeld: nemers waren. In het kader van de te kilometerkostprijs, een overbeladings- als je bij het vermenigvuldigen de eenheden maken opgaven behandelde ik: de percentage, teveel om op te noemen. wilt weten, moet je de eenheden met de kruismethode voor (2×2)- en (3×3)- Hierbij was mijn rekentalent een nuttig eenheden vermenigvuldigen. Wil je de vermenigvuldigen, de 9-proef, de 11-proef, accessoire. tientallen weten dan moet je de eenheden delen met de ‘omgekeerde’ kruismethode, Er is met (hoofd)rekenen geen droge met de tientallen vermenigvuldigen. En 23 de structuur in de kwadraten, kwadranten- boterham meer te verdienen, maar toch… voor de honderdtallen vermenigvuldig je 16 en octantenlogica en de structuur in de Je hoeft maar een willekeurige krant op te tientallen met tientallen. 3 derde machten. slaan of een willekeurige TV-actualiteiten- En hier komen we bij mijn grote frustratie: rubriek te volgen om te zien dat het met Voorbeeld ik heb een aantal officiële instanties het rekenen in ons land droevig gesteld is. 58 × 93 = … aangeschreven om aandacht te vragen Er is nauwelijks iets te vinden dat duidt op Daarbij zijn de 8 en de 3 de eenheden, en 5 voor dit evenement, dit alles zonder enig gevoel voor hoeveelheden of cijfers. Als je en 9 de tientallen (zie tabel 1). resultaat. Daarentegen werd ik door wel vandaag uit het hoofd kunt zeggen hoeveel Welke zijn de uit te voeren bewerkingen en vijf verschillende media gebeld. U hoeft 7 × 8 is, kun je al als rekenwonder worden de combinaties daarvan? geen rekenwonder te zijn om te kunnen aangeduid. 3 × 8 is geen punt, 4 noteren en 2 vaststellen dat ik met mijn 71 jaar royaal Mijn standaard sommetje over de broek transporteren. over de helft ben. Ik ken nog een andere wordt slechts door een enkeling correct Nederlandse rekenaar, Wouter de Lange beantwoord. Daar heb ik toch zo veel schik uit Wamel. Hij is 28 jaar oud, maar verder mee gehad! En nog steeds trouwens. Het 2 niemand die de Nederlandse driekleur te gaat als volgt. | eniger tijd kan hooghouden. Je bent helemaal blut, maar gelukkig staat in 7 In de 20ste eeuw hadden we Wim Klein, de straat waar je loopt, een geldautomaat en je tabel 1 de snelste rekenaar uit die eeuw. Hij werd pint € 50. Je loopt even verder en daar hangt 8 in augustus 1986 door een misdrijf om het me in de winkel toch een broek, een wereld- Dan komen de kruislingse vermenigvuldi- leven gebracht. Men zou kunnen stellen dat broek! Die wil je beslist kopen. Maar ja, er gingen. Het handigst is om eerst 9 × 8 te het kunnen hoofdrekenen op topniveau een hangt een prijskaartje aan van € 72. Oh, nemen, en dan bij de 72 de te transporteren folkloristische bezigheid is. Wim Klein was gelukkig, er staat nog bij ‘met 25 % korting’. 2 te tellen (even + even). We hebben dan 74 s s EE aanvankelijk wetenschappelijk rekenaar bij Kun je die broek kopen ja of nee? en daarbij moet dan worden opgeteld 3 × 5. dd het CERN in Genève. Al aan het eind van Totaal 89: 9 noteren en de 8 transporteren. ii de 60-er jaren werd hij op elegante wijze Wat ik graag zou willen (doen) onderzoeken Tot slot 9 × 5 + 8 = 53. Dan hebben we op non-actief gesteld. Zijns inziens had ik is of de kruismethode, een methode voor het eindantwoord (5394) zonder een ll het helemaal in me om wereldkampioen het vermenigvuldigen die zonder uitzon- tussennotitie te maken. Het moeilijkst zal cc hoofdrekenen te worden: ‘zo jong en al zo dering door alle rekenwonders ter wereld zijn de combinatie van vermenigvuldigen uu goed’. Ik ben blij zijn raad niet te hebben wordt gebruikt, niet aan te leren zou zijn en optellen. Daarvoor is stellig oefening opgevolgd om als rekenaar beroepsmatig door wat ik noem de ‘modale rekenaar’. vereist. EE bespreken van de kruismethode zou men bijvoorbeeld kunnen beginnen met de leerlingen uit het hoofd kleine optellingen te laten doen: 17 + 24 = ; 38 + 43 = ; enzovoort. Later: 12 + 17 + 39; 8 + 14 + 23, … Voor (2×2)-vermenigvuldigingen is de grootste optelling 8 + 9 × 9 + 9 × 9 (= 170). Dus ook oefenen bijvoorbeeld met 3 + 6 × 9 = … Zo gaat 5 + 8 × 2 + 3 × 4 als volgt: ‘5 + 8 × 2 = 21+ 3 × 4 = 33’. - Mocht u een leerling treffen die voor wat hoofdrekenen betreft royaal boven het gemiddelde scoort, laat de betrokkene dan contact met mij opnemen. tabel 2 Schema van een (3×3)-vermenigvuldiging Met enige aarzeling behandel ik het vermenig- Als er voldoende vaardigheid ontwikkeld Over de auteur vuldigen van twee getallen van drie cijfers is met het vermenigvuldigen, kan er toe Willem Bouman is geboren in 1939 (3×3; zie tabel 2). Men moet hier zeker worden overgegaan de kruismethode ook en heeft vanaf mei 1967 gewerkt bij niet aan beginnen voor en aleer er met het te gaan gebruiken bij het uitvoeren van Michelin, de eerste18 jaar als vertegen- vermenigvuldigen van twee getallen van delingen. woordiger vrachtautobanden. Daarna 10 twee cijfers een ruime ervaring is opgedaan. jaar als cursusleider cursussen gegeven aan De achterliggende logica is precies eender. Nog enkele slotopmerkingen managers en directeuren in het transport- Alleen moet aandacht geschonken worden - Bij het toernooi in Neurenberg waren bedrijf. In februari 1995 ging hij met VUT aan het volgende: niet alleen eenheden maal acht sprekers betrokken die, met uitzon- en schreef op uitnodiging van de VACO (de honderdtallen leveren honderdtallen op; dat dering van mij, allen minstens de beroepsorganisatie van ondernemers in het is eveneens het geval bij het vermenigvul- doctorstitel voeren. Zij keurden allen bandenbedrijf) een studieboek. digen van tientallen met tientallen. het gebruik van de rekenmachine door Een contact in 2006 met de regerend Het belangrijkste verschil met de vorige kinderen beneden 15 jaar in ongewoon wereldkampioen hoofdrekenen Dr.Dr. Gert som is dat bij deze te bedenken is dat de felle bewoordingen af. Mittring leidde tot deelname aan wereld- honderdtallen worden gevonden niet alleen - Tijdens gesprekken met leraren hoor ik kampioenschappen. Hij klom van de 7e door eenheden maal honderdtallen maar al heel snel ‘O, nee, mijnheer Bouman, plaats op tot de 3e. Ieder jaar organiseert hij 444 406 ook door tientallen maal tientallen. dat is veel te moeilijk voor hen.’ Voor het bij hem thuis een zogenoemd rekenwon- 21 derweekend waar hij met zijn gasten – allen behorend tot de wereldtop – rekentechni- sche zaken bespreekt. Hij is getrouwd in 1965, heeft 3 kinderen en 6 kleinkinderen, waarvan de drie oudste (11, 9 en 7 jaar) ieder wegens bovengemid- delde rekenvaardigheid in de rekenplus groep zitten. E-mailadres: [email protected] URL website: www.willemboumanrekenen.nl tabel 3 Voorbeeld 32 || 67 a / anKondIGInG 88 aRs E t MatHEsis-da G 2011 Op de jaarlijkse Ars et Mathesis-dag vlakvullingen, bolconstructies, musica et Van 1 t/m 19 november is er een tentoon- sss wordt altijd een gevarieerd programma ars, ruimtelijke verstek-constructies. stelling over Kunst en Wiskunde in het EEE ddd van voordrachten geboden, gecombineerd Dit jaar wordt de dag gehouden op faculteitsgebouw. met de mogelijkheid om het werk van zaterdag 19 november a.s. in Delft. In de week van 19 november houdt Rinus iii de diverse exposanten te bekijken. In de Adres – Julianalaan 134, 2628 BL Delft Roelofs een workshop ‘Bouwen van lll afgelopen jaren kwamen onder meer aan Leonardo-koepels’. ccc bod: islamitsche architetuur, perspectief, We zijn dan te gast bij de faculteit pythagorasbomen, borromeaanse ringen, Bouwkunde en de praktijkvereniging Verdere informatie op de website: uuu BOUT. www.arsetmathesis.nl/amdag.htm EEE