februari 2002/nr.5 jaargang 77 ICT IN HET VMBO SCHUIFBALKEN IN EXCEL REGIONALE BIJEENKOMSTEN Euclides is het orgaan van de Nederlandse Nederlandse Vereniging van Contributie 5 Vereniging van Wiskundeleraren. Het blad Wiskundeleraren verschijnt 8 maal per verenigingsjaar. Contributie per verenigingsjaar: €36,50 ISSN 0165-0394 www.nvvw.nl Studentleden: €18,00 Leden van de VVWL: €25,00 Lidmaatschap zonder Euclides: €25,00 Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden Redactie geven zich op bij de ledenadministratie. Opzeggingen vóór 1 juli. Bram van Asch f e Klaske Blom Marja Bos, hoofdredacteur Voorzitter Abonnementen niet-leden b Rob Bosch Marian Kollenveld r Hans Daale Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk Abonnementen gelden steeds vanaf het u Gert de Kleuver, voorzitter tel. 070-3906378 eerstvolgende nummer. a Dick Klingens, eindredacteur e-mail: [email protected] Abonnementsprijs voor personen: €38,50 r Wim Laaper, secretaris Secretaris per jaar. i Jos Tolboom Wim Kuipers Voor instituten en scholen: €110,00 per jaar. 2 Waalstraat 8, 8052 AE Hattem Betaling geschiedt per acceptgiro. 0 tel. 038-4447017 Losse nummers op aanvraag leverbaar voor Artikelen/mededelingen e-mail: [email protected] €13,50. Opzeggingen vóór 1 juli. 0 Ledenadministratie 2 Artikelen en mededelingen naar: Elly van Bemmel-Hendriks Marja Bos De Schalm 19, 8251 LB Dronten Advertenties Mussenveld 137, 7827 AK Emmen tel. 0321-312543 J e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] Informatie, prijsopgave en inzending: A Leen Bozuwa, Merwekade 90 A 3311 TH Dordrecht, tel. 078-639 08 90 Richtlijnen voor artikelen: Colofon fax 078-6390891 R e-mail: [email protected] G •goede afdruk met illustraties/foto’s/ ontwerp Groninger Ontwerpers of Freek Mahieu, Dommeldal 12 A formules op juiste plaats of goed in de tekst foto omslag Peter Tahl, Groningen 5282 WCBoxtel, tel. 0411-67 34 68 aangegeven. produktie TiekstraMedia, Groningen N •platte tekst op diskette of per e-mail: druk GiethoornTen Brink, Meppel G WP, Word of ASCII. •illustraties/foto’s/formules op aparte vellen: 7 genummerd, zwart/wit, scherp contrast. 7 Va n d e r e d a c t i e t a f e l 225 Van de redactietafel [ Marja Bos ] [Marja Bos] Herijking Tweede fase 226 ICT in het vmbo In januari verscheen de notitie ‘Continuïteit en vernieuwing’ met [Peter van Wijk] aanpassingsvoorstellen voor de Tweede Fase. Daarin nu ook eens wat aandacht voor werkdrukvermindering van docenten: verkleining van het 230 aantal groepen per docent, minder handelingsdelen. Andere voorstellen in die Schuifbalken in Excel [Peter Mulkerrin, Pauline Vos] notitie: minder voorschriften voor het schoolexamen, drie vakken per profieldeel, vergroting van de mogelijkheden voor het vrije deel, en een 233 andere uitslagregel bij het eindexamen. 40 jaar geleden In de media was daarnaast veel aandacht voor het oplossen van de problemen [M.C. van Hoorn] bij de deeltalen, maar ook wiskunde-B wordt in de notitie genoemd bij het 234 voorstel tot omzetting van deelvakken in volledige vakken. Wat hiermee Wiskunde met kleur precies bedoeld wordt, is op het moment van het schrijven van dit stukje niet [Rob Bosch] helder. Adelmund heeft duidelijkheid op de middelkorte termijn toegezegd: vóór 1 april wordt aangegeven welke maatregelen al vóór 1 augustus 2005 235 Mededeling doorgevoerd kunnen worden, en nog voor de zomer verschijnt een nadere uitwerking van de hoofdlijnen van de aanpassingsvoorstellen. 236 De notitie ‘Continuïteit en vernieuwing’ is onder meer te vinden op de site Codes en geheimschriften in de van het ministerie (www.minocw.nl). vaderlandse geschiedenis [Harm Jan Smid] Adviestabel NVvW 240 Op veel scholen ervaren docenten de toebedeelde contacttijd voor wiskunde Nogmaals Bottema in de Tweede fase als ontoereikend. Het bestuur van de NVvW heeft vorig jaar [Dick Klingens] een adviestabel ontworpen, gebaseerd op lesuren van 50 minuten en 50% van 244 de studielast in contacttijd. Ratio Twee voorbeelden uit die tabel. [Mascha Honsbeek] Havo A12: 3-3 (3 uur in klas 4, en 3 uur in klas 5). Vwo B1: 4-4-4. 246 Alweer sommen van kwadraten Misschien is het nuttig deze tabel en de bijbehorende open brief aan [F. van der Blij] schooldirecties voor te leggen aan uw schoolleiding. Ze zijn beide te vinden op www.nvvw.nl. 248 Duaal studeren bij wiskunde en statistiek Dit nummer [Peter de Paepe] Het Bottema/meetkunde-nummer was drie keer zo dik als gewoonlijk, nu moet u het weer doen met een schamele 36 bladzijden. Drie keer zo dik, mag 251 je dat trouwens een ‘driedubbel’ nummer noemen? Nee, dàt moet toch Aankondigingen eigenlijk zes of acht maal zo dik betekenen! Misschien is de term ‘drievoudig’ 252 beter? Tsja. Impressies van de studiedag In dit nummer onder meer twee artikelen over ICT: [Gert de Kleuver] Peter Mulkerrin schreef voor het Engelse tijdschrift MicroMath over schuif- balken in Excel, Pauline Vos vertaalde het artikel en bewerkte het voor de 254 Van de bestuurstafel Nederlandse situatie. [Marian Kollenveld] Peter van Wijk laat met een reeks voorbeelden zien hoe ICT op praktische en waardevolle wijze ingezet kan worden in het vmbo. 256 Integratie van werken en leren komt voor op alle niveaus: van praktijk- Regionale bijeenkomsten [Wim Kuipers] onderwijs en leer-werktrajecten in de basisberoepsgerichte leerweg tot duaal wetenschappelijk onderwijs. Over dat laatste, namelijk over de opleiding 257 ‘wiskunde en statistiek’ aan de UvA, bericht Peter de Paepe. Aankondiging Tot slot: Mocht u al een tijd vergeefs gewacht hebben op uw ladderprijs, lees 258 dan de oproep op pagina 258. Recreatie [Dick Klingens, Herman Ligtenberg] Redactie De redactie kent sinds kort twee nieuwe gezichten: Jos Tolboom en Klaske 260 Blom. Ze brengen allebei hun eigen kwaliteiten in. Jos is aangesteld als ICT- Servicepagina redacteur, Klaske zal zich vooral richten op didactische kwesties in de Tweede fase en het studiehuis. We zijn blij met ze! Aan dit nummer werkten verder mee: Peter Boonstra, Albert Ringeling, Klaas-Jan Wieringa en Sam de Zoete. FIGUUR 1 Hoeken ICT IN HET VMBO Ook voor het vmbo zijn inmiddels diverse voorbeelden van geschikt digitaal materiaal aan te wijzen. [ Peter van Wijk ] FIGUUR 2 Eiland FIGUUR 3 Grafiek Inleiding ‘tool’ bij het oplossen van een probleem en gewoon om De belangrijkste verandering in het voortgezet eens naar de computerruimte te gaan ter afwisseling. onderwijs voor de komende jaren is ongetwijfeld de Vaak is het mogelijk hierbij een gedeelte van een steeds grotere invloed die de inzet van de computer en hoofdstuk te laten vervallen en te vervangen door een het benutten van informatietechnologie met zich computerles. meebrengen. Het gebruik van de computer is een Als je naar de ICT-eindtermen van het vmbo bij verplicht kerndeel voor de basisvorming en ook een wiskunde kijkt, komt dat neer op het gebruik van de eindterm in het examenprogramma vmbo. Tot nu toe computer bij de onderdelen rekenen, meten, schatten, werd de computer vooral beschouwd als een verleng- statistisch verwerken van data, het oplossen van stuk van het bestaande lesrepertoire. In de toekomst problemen waarbij verbanden tussen variabelen een rol zullen scholen steeds meer de verbinding gaan leggen spelen en het interpreteren van ruimtelijke situaties. tussen ICT en inhoudelijk beleid gericht op leren: de Laten we een aantal voorbeelden nader bekijken. relatie leren leggen tussen schoolconcept en ICT als spil van schoolontwikkeling. ICT zal in de toekomst Hoeken belangrijk gereedschap zijn voor de leraar bij het Het eerste voorbeeld (zie figuur 1) is het programma ontwerpen en begeleiden, en voor de leerling bij het Hoeken (Macco, Sittard; tel.: 046 4110340). De kracht leren. van dit programma is vooral dat het heel doelgericht is Op dit moment is er voldoende digitaal materiaal en in spelvorm door twee leerlingen wordt gespeeld. beschikbaar –in de vorm van educatieve software of Binnen een les hebben leerlingen het verschil door internetopdrachten– dat specifiek geschikt is om in het tussen een scherpe en stompe hoek en kunnen ze een vmbo in te zetten. Maar het blijkt veel tijd te vergen en goede schatting maken van een willekeurige hoek geld te kosten om ICT goed te implementeren in het tussen 0 en 180 graden. Als de leerlingen dit onderwijs. Het motto is dan ook: langzaam aan, maar programma geoefend hebben, kun je een gedeelte van wel steeds kleine stappen zetten. de leerstof uit het boek overslaan. De computer bij wiskunde Wiskie Naast het leren werken met de computer als tekst- Zo zijn er op dit moment nog een aantal programma’s verwerker is het even belangrijk ICT te benutten voor die in de nabije toekomst in het vmbo zeker naast het het leren van wiskunde en het aanpakken van boek een plaats zullen verwerven binnen de wiskunde- wiskundige en toegepaste problemen. Maar op dit les. Eén van die programma’s is Wiskie (te downloaden moment doen zich op sommige scholen een aantal via http://www.fi.uu.nl). Het bevat de onderdelen problemen voor. De techniek laat de school nogal eens schatten, tafels, getallenfabriek, weetjesquiz, bollen- in de steek, veel scholen hebben geen goed systeem- schieten, eiland, oppervlakte, ballonvaren en grafieken. beheer en hebben te maken met overbezetting van het In het programma staat het oefenen en automatiseren computerlokaal, en internet wil nog wel eens erg traag van efficiënte strategieën centraal. Het zijn kleine zijn. Gelukkig groeit het aantal scholen met goede ICT- overzichtelijke oefenprogramma’s, heel visueel en faciliteiten gestaag. De afgelopen jaren is gebleken dat zelfsturend. Deze programma’s zijn ontwikkeld door het computerprogramma’s een positieve bijdrage kunnen Freudenthal Instituut. Het onderdeel Eilandkan leveren aan de wiskundeles. De computer blijkt op gebruikt worden om leerlingen te leren redeneren met verschillende manieren goed ingezet te kunnen worden: behulp van kijklijnen (zie figuur 2).Dit onderdeel sluit om te oefenen, om leerstof te herhalen of te vervangen, aan bij domein C meetkunde, kerndoel 19: de leerlingen simulaties uit te voeren, te remediëren, om een kunnen vlakke afbeeldingen van ruimtelijke situaties probleem te verkennen, om begrip te ontwikkelen, als interpreteren, beschrijven, zich ruimtelijk voorstellen en 2 2 7 euclides nr.5 / 2002 FIGUUR 4 Doorzien FIGUUR 5 Dobbelsteen al dan niet op schaal weergeven op papier of scherm. VU-Stat Daarbij gaat het om: foto’s, patroontekeningen, Waar vroeger, door tijdrovende berekeningen, statistiek plattegronden, landkaarten en bouwtekeningen. op school niet wezenlijk tot zijn recht kon komen, is Een ander onderdeel is Grafieken(zie figuur 3), geschikt dat nu, dank zij de computer, verleden tijd. Met het voor de brugklas om allerlei soorten grafieken in een programma VU-Stat kunnen leerlingen met grote context te leren interpreteren en te verkennen. Dit databestanden werken waardoor echte statistiek in onderdeel sluit aan bij domein B, algebraïsche verbanden, beeld komt. Verder is het mogelijk om simulaties zoals en domein D, informatieverwerking en statistiek. het gooien van een munt of dobbelsteen te laten zien, Bij de onderdelen Getalfabriek, Schatten, Oppervlakte heel geschikt om het begrip ‘kans’ aanschouwelijk te en Bollenschietenis het ook mogelijk kant-en-klare maken (zie figuur 5). lesbrieven te downloaden (eveneens via http://www.fi.uu.nl). Deze lesbrieven zijn geschikt voor Xamen klas 1 en 2 van het vmbo. Xamen 1 en 2, zogenaamde methodesoftware, zijn ontworpen voor gebruikers van Getal en Ruimte. De Andere software leerlingen kunnen deze software gebruiken bij het Naast bovengenoemde programma´s leveren uitgevers oefenen van de stof (in principe voor gebruik thuis); de educatieve software bij de schoolboeken. De kracht van docent kan het gebruiken voor ondersteuning bij de les. deze programma’s zit vooral in het feit dat ze dicht bij Het onderdeel ‘het hele hoofdstuk door elkaar’, een mix de stof staan, leerlinggericht zijn en zowel vervangend, van alle paragrafen van een hoofdstuk, geeft een goede verrijkend als ondersteunend gebruikt kunnen worden. serie oefenopgaven, geschikt als extra oefening of als Een paar voorbeelden: voorbereiding op een proefwerk. Tijdens het oefenen kun je hints krijgen; wanneer de leerling veel goede Doorzien antwoorden geeft, zullen de opgaven automatisch Doorzien (zie figuur 4) is een computerprogramma moeilijker worden. Tevens is het mogelijk een score bij voor het ruimtemeetkundeonderwijs. Het helpt bij het te houden. Een onderwerp als grafieken of Pythagoras leren interpreteren van vlakke afbeeldingen van komt in andere wiskundemethoden natuurlijk ook voor. ruimtelijke figuren. Het helpt leerlingen bij de overgang De software is dan ook heel geschikt -op onderwerp- te van het werken met concreet materiaal naar projectie- gebruiken bij andere wiskundemethoden (zie figuur 6). figuren. Doorzien is een uitstekend programma in klas 2 van het vmbo om klassikaal een demonstratie te Internet geven met een beamer rondom de onderdelen Tot nu toe is internet buiten beschouwing gelaten. Er ‘doorsnede’ en ‘bouwplaat’. Het interactieve aspect zijn nog steeds scholen waar internet niet of nauwelijks spreekt leerlingen erg tot de verbeelding: een werkt. Maar in de toekomst zal internet een steeds ‘doorsnede’ klapt open tot een ‘bouwplaat’. grotere rol gaan spelen in onze maatschappij; ook in het onderwijs neemt nut en belang ervan toe. Zo VU-Grafiek langzamerhand zijn er op internet ook echt heel Het bijzondere van VU-Grafiek is dat het met geschikte onderdelen te vinden voor het vmbo. (eenvoudige) woordformules kan werken; de invoer van Internet wordt vooral gebruikt als informatiebron, als formules en tabellen gaat op dezelfde manier zoals de naslagwerk en als opzoekmedium, handig bij een GWA leerling dat gewend is in het leerboek. VU-Grafiek kent of een praktische opdracht. Maar internet kan voor het geen handleiding, maar wel een uitgebreide hulpfunctie wiskundeonderwijs meer zijn dan een encyclopedie of die door taalgebruik en veel afbeeldingen speciaal bibliotheek. Er zijn plaatsen op internet waar kant-en- geschikt is voor leerlingen. klaar onderwijs te vinden is. Leerlingen kunnen naar 2 2 8 euclides nr.5 / 2002 FIGUUR 6 Pythagoras FIGUUR 7 Aanzichten raden zo’n plaats en ze kunnen direct aan de slag. Als docent Rol van de docent hoef je niet veel te doen en het vervangt een gedeelte Een belangrijke rol bij dit alles is weggelegd voor de van een hoofdstuk uit het boek. Het Wisweb van het docent. Leerlingen moet geleerd worden op een goede Freudenthal Instituut is zo’n plaats met heel veel manier met de computer om te gaan, ICT op de juiste onderwerpen: http://www.fi.uu.nl/wisweb. Een manier en op het goede moment in te zetten. Er moet voorbeeld hiervan isAanzichten raden(zie figuur 7), oog voor zijn om ICT als vervanging of verrijking van een twintigtal opdrachten rondom boven-, zij- en de leerstof uit het boek in te zetten. De docent zal er vooraanzicht. verder zorg voor moeten dragen dat de leerling niet Daarnaast zijn sommige docenten heel actief in het blijft steken in de instructie van een programma, maar plaatsen van allerlei materiaal op internet. Erwin ook daadwerkelijk aan de wiskundige inhoud toekomt. Broekema heeft oefenmateriaal op zijn site staan Uit bovengenoemde voorbeelden mag duidelijk zijn dat rondom de onderwerpen abc-formule, lineaire formules, er ook voor het vmbo kansen liggen om ICT voor de oppervlakte, Pythagoras, coördinaten, eerstegraads wiskundeles te benutten. vergelijkingen en negatieve getallen (http://wiskunde/hacom.nl/wiskunde/leerl/oefenmat.html). Als docent moet je natuurlijk wel kijken of het aansluit bij jouw manier van lesgeven, bij het niveau van de leerlingen en wat de toegevoegde waarde ervan is. Tot slot nog twee adressen waar zonder meer veel informatie en ideeën op te doen zijn: Bronnen http://www.digischool.nl/wiskundeen http://www.nvvw.nl/Lesmateriaal2.html [1] Wouter de Beukelaer: Rekenen op Wiskie (juni 2000, scriptie), Instituut voor Leraar en School (Faculteit Educatie, Van Schuijlen- Meerwaarde burgweg 3, 6538 LH Nijmegen, tel.: 024 3459973) Als men naar bovengenoemde voorbeelden voor het [2] E. Harskamp, C. Suhre: Software voor rekenen en wiskunde in de vmbo kijkt, zit de meerwaarde vooral in de visuele brugklas, GION 1999 ondersteuning in de vorm van grafieken en drie- [3] Hans Stam, Peter van Wijk: Computergebruik bij wiskunde, APS dimensionale figuren, afwisseling, feedback-functie, (2000, ISBN 90 6607 337 3) eindeloze oefening, individueel en in eigen tempo aan [4] Jos Geerlings, Willem Hoekstra, Martin van Reeuwijk, Peter van een probleem kunnen werken, interactieve opdrachten, Wijk: Wiskunde en internet, APS (1999, ISBN 90 6607 313 6) vervanging van een gedeelte van een hoofdstuk, [5] Carel van de Giessen, Piet van Blokland: VU-Stat voor Windows, mogelijkheden om op de actualiteit in te spelen, Kennismaken en Toepassen, Wolters-Noordhoff (1999, ISBN 90 01 voorbereiden van een proefwerk en eindeloos geduld 83296 2) van de computer. [6] Carel van de Giessen, Anne van der Horst: VU-Grafiek voor Met de computer is het mogelijk op een speelse en Windows, Kennismaken en Toepassen, Wolters-Noordhoff (2001, uitdagende manier wiskunde en rekenen te oefenen. ISBN 90 01 83303 9) Speels dankzij het uiterlijk, de lage drempel en de [7] Michiel Doorman: Doorzien, EPN (2000, ISBN 90 11 06208 6) feedback van de programma’s, uitdagend door snelle [8] Xamen, EPN feedback, helpfunctie, vormgeving en score. Het belang van dit oefenen is versteviging van begrip en leerlingen Over de auteur het vertrouwen geven dat ze bepaalde vaardigheden beheersen. Met name dit laatste kunnen sommige Peter van Wijk (e-mailadres: [email protected]) is docent aan leerlingen in het vmbo hard gebruiken. College De Klop te Utrecht en medewerker van APS-wiskunde. 2 2 9 euclides nr.5 / 2002 SCHUIFBALKEN IN EXCEL Met schuifbalken kunnen tabellen en grafieken in Excel op een prachtige manier dynamisch gestuurd worden. [Peter Mulkerrin; vertaald en bewerkt door Pauline Vos] Vooraf Hoe maak je een schuifbalk? Dit artikel gaat over het gebruik van schuifbalken in De knop voor het creëren van een schuifbalk het computerprogramma Excel. Met schuifbalken zijn (ziefiguur 1) is te vinden in de werkbalk ‘Formulieren’ tabellen verrassend actief te maken. (zit onder ‘Beeld’ in de taakbalk; zie figuur 2). In het eerste deel van dit artikel wordt beschreven hoe Klik op deze knop, en bepaal de positie en afmeting in een schuifbalk in een spreadsheet geplaatst kan worden. het werkblad door de muis te slepen. De schuifbalk kan In het tweede deel staat een kort verslag van een horizontaal of verticaal staan. De positie en afmeting Engelse wiskundeles waarin schuifbalken in Excel kunnen later opnieuw aangepast worden (zie figuur 3). werden ingezet. Nu moet de schuifbalk gereed voor gebruik gemaakt Het oorspronkelijke artikel,geschreven door de Engelse worden. Klik met de rechter muisknop op de schuifbalk wiskundedocent Peter Mulkerrin, verscheen eerder in en er verschijnt een keuzemenu. Kies voor MicroMath 16(2), een tijdschrift over computergebruik ‘Besturingselement opmaken’ (zie figuur 4).Er komt in de wiskundeles van onze Engelse zustervereniging dan een dialoogvenster met dezelfde titel. Klik hier op ATM (Association of Teachers of Mathematics). de tab voor ‘Besturingselement’. Hier moet de koppeling Schuifbalken zijn ook prima inzetbaar in het met de cel aangebracht worden door het cel-adres Nederlandse wiskundeonderwijs, bijvoorbeeld bij ervan in te typen. Praktische Opdrachten. Dit gegeven leidde tot een Voorts moeten de minimale en maximale waarden vertaling en bewerking van het Engelse artikel. aangegeven worden. Dit is dus het bereik van de variabele. De mogelijkheden zijn hier enigszins beperkt Inleiding doordat de waarden geheeltallig moeten zijn en tussen De schuifbalk is een eenvoudig middel voor het 0 en 30000 moeten liggen. Met deze beperking kan invoeren en manipuleren van variabelen. In Excel kun men echter creatief omgaan. De waarden in de je deze in een werkblad plaatsen en er de waarde van gekoppelde cel kunnen getransformeerd worden naar één cel mee sturen. Van te voren moet worden een tweede cel, bijvoorbeeld door te delen door 100. aangegeven wat het bereik is van de betreffende cel. Aldus worden dan indirect aan de schuifbalk de Ook moet de toename aangegeven worden waarmee de decimale waarden van de tweede cel gekoppeld. Een waarde van de cel verandert als er aan de schuifbalk transformatie naar negatieve getallen gaat analoog. wordt geschoven. In het bovenstaande keuzemenu kunnen de toename- 2 3 0 euclides nr.5 / 2002 FIGUUR 1, 2, 3, 4 stapjes aangegeven worden waarmee de waarde kan een toenamegrafiek vormden van de cumulatieve oplopen; in Excel heet dit de ‘oplopende wijziging’. grafiek (zie figuur 6). Deze is nodig bij het gebruik van de pijlen aan weerszijden van de schuifbalk. De ‘paginawijziging’ is Een les over spiegeling de toename in grotere stappen, als er binnen de schuif- Anders dan in Nederland is transformatiemeetkunde balk wordt geklikt. een vast onderdeel van het Engelse leerplan. Voor een En dan zijn we nu klaar voor het echte werk. De schuif- les over spiegeling in de derde klas maakte Peter balk geeft een ideale manier om variabelen in een Mulkerrin een set spreadsheets waarmee het verband spreadsheet handzaam onder controle te houden. Het is tussen de coördinaten van beeld en origineel ook mogelijk om meerdere schuifbalken in een bestudeerd konden worden. Het ging hem erom, dat de werkblad te zetten. leerlingen handig de spiegellijn konden verschuiven en eenvoudig konden aflezen hoe dit gevolgen had voor Toepassingen in de les de coördinaten van het beeldpunt. Voor het verschuiven Peter Mulkerrin heeft de Excel-schuifbalken bij van de spiegellijn werd weer een schuifbalk gebruikt. verschillende lessen gebruikt. De leerlingen konden aan Het origineel (in de vorm van een dikke stip) was ook de balken schuiven, en aldus wiskundige ontdekkingen verschuifbaar. Het spreadsheet berekende de doen. coördinaten van het beeld en tekende alles Hij gebruikte bijvoorbeeld een eenvoudig spreadsheet (ziefiguur7). voor lineaire formulesvan de vorm y(cid:1)ax(cid:2)bmet twee Door het gebruik van Excel werden de leerlingen niet schuifbalken, één voor aen één voor b. Het spreadsheet afgeleid door het tekenwerk dat normaliter veel tijd berekende een verzameling punten (buiten beeld) en vergt in een les over spiegeling. Hierdoor konden ze tekende de grafiek (in beeld; zie figuur 5). zich beter richten op het redeneren. Het doel van de les Bij een hoofdstuk over statistiek ontwierp Peter een was dat de leerlingen de getallenpatronen zouden gaan spreadsheet voor een staafgrafiek en de bijbehorende herkennen, een algebraïsch verband zouden vinden, en cumulatieve grafiek. Door de waarden voor de staven deze zouden koppelen aan meetkundige eigenschappen. met schuifbalken te veranderen, bleek de stijging van De leerlingen kregen de taak, te voorspellen wat de de cumulatieve grafiek ook te veranderen. Hierdoor coördinaten van een beeldpunt zouden zijn bij werd op een dynamische manier duidelijk dat de staven spiegeling in een verticale lijn. Dit was een open 2 3 1 euclides nr.5 / 2002 FIGUUR 5, 6 FIGUUR 7 opdracht waarmee zij op verschillende manieren aan over hun verklaringen te overleggen. Ze vorderden van het werk zouden kunnen. een vertrouwde aanpak voor spiegeling naar een Na een korte inleiding werkten de leerlingen in algebraïsch verband en zelfs met een verklaring voor tweetallen gedurende 50 minuten. De docent liep rond hun formule. Het gebruik van de schuifbalken gaf hen en luisterde. Hij stelde vragen, ontlokte verklaringen een gereedschap om met hun ideeën te experimenteren, voor wat ze ontdekten, en bevestigde telkens opnieuw en het gaf hen direct resultaat. het belang van de vraag ‘waarom?’ De meeste leerlingen ontdekten zelfstandig het verband (x, y)→(2r(cid:3)x, y) waarbij rde waarde is van spiegellijn Bron x(cid:1)r. De verklaring voor het constant blijven van de y-coördinaat was het makkelijkst. Heel wat lastiger was Peter Mulkerrin: ‘Scroll Bars in Excel’ in MicroMath, vol. 16 no 2. het verband tussen de horizontale coördinaten van Met dank aan ATM (Association of Teachers of Mathematics). origineel en beeld. Alle leerlingen merkten op dat de x-coördinaat van het beeld met 2 stappen veranderde Opmerking als de spiegellijn met één stap veranderde. Als daarentegen de spiegellijn op z’n plaats bleef en het De Excel-files zijn te downloaden vanaf de Euclides-pagina op de origineel werd verschoven, dan verschoof het beeld in website van de NVvW (http://www.nvvw.nl). omgekeerde richting. Dat maakte de min bij de xin het voorschrift aanschouwelijk. Uiteindelijk ontdekten veel Over de auteur leerlingen, dat het verband kon worden afgeleid uit: 2r(cid:3)x(cid:1)x(cid:2)2(r(cid:3)x). Peter Mulkerrin (e-mailadres: [email protected]) geeft les aan De verklaring hiervoor luidde als volgt: de afstand het Penrice Community College in Cornwall (Engeland). tussen x-coördinaat en spiegellijn moet worden verdubbeld, en dan worden uitgezet vanaf de Over de bewerkster oorspronkelijke x-coördinaat. Andere afleidingen waren ook mogelijk. Pauline Vos (e-mailadres: [email protected]) werkt aan de Gedurende de les waren de leerlingen geheel opgeslokt Universiteit Twente waar zij internationaal vergelijkend onderzoek doet door de taak, en ze waren erop gebrand om met elkaar naar wiskundeonderwijs. 2 3 2 euclides nr.5 / 2002