januari 2002/nr.4 jaargang 77 BOTTEMA EEN EEUW 1901-1992 EEN EEUW MEETKUNDE! Euclides is het orgaan van de Nederlandse Nederlandse Vereniging van Contributie 4 Vereniging van Wiskundeleraren. Het blad Wiskundeleraren verschijnt 8 maal per verenigingsjaar. Contributie per verenigingsjaar: €36,50 ISSN 0165-0394 www.nvvw.nl Studentleden: €18,00 Leden van de VVWL: €25,00 Lidmaatschap zonder Euclides: €25,00 Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden Redactie geven zich op bij de ledenadministratie. Opzeggingen vóór 1 juli. Bram van Asch j a Marja Bos, hoofdredacteur n Rob Bosch Voorzitter Abonnementen niet-leden Hans Daale Marian Kollenveld u Gert de Kleuver, voorzitter Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk Abonnementen gelden steeds vanaf het a Dick Klingens, eindredacteur tel. 070-3906378 eerstvolgende nummer. r Wim Laaper, secretaris e-mail: [email protected] Abonnementsprijs voor personen: €38,50 i Secretaris per jaar. 2 Wim Kuipers Voor instituten en scholen: €110,00 per jaar. 0 Artikelen/mededelingen Waalstraat 8, 8052 AE Hattem Betaling geschiedt per acceptgiro. 0 tel. 038-4447017 Losse nummers op aanvraag leverbaar voor Artikelen en mededelingen naar: e-mail: [email protected] €13,50. Opzeggingen vóór 1 juli. 2 Marja Bos Ledenadministratie Mussenveld 137, 7827 AK Emmen Elly van Bemmel-Hendriks e-mail: [email protected] De Schalm 19, 8251 LB Dronten Advertenties J tel. 0321-312543 A e-mail: [email protected] Informatie, prijsopgave en inzending: Richtlijnen voor artikelen: Leen Bozuwa, Merwekade 90 A 3311 TH Dordrecht, tel. 078-639 08 90 R •goede afdruk met illustraties/foto’s/ Colofon fax 078-6390891 G formules op juiste plaats of goed in de tekst e-mail: [email protected] A aangegeven. ontwerp Groninger Ontwerpers of Freek Mahieu, Dommeldal 12 •platte tekst op diskette of per e-mail: foto omslag Peter Tahl, Groningen 5282 WCBoxtel, tel. 0411-67 34 68 N WP, Word of ASCII. produktie TiekstraMedia, Groningen G •illustraties/foto’s/formules op aparte vellen: druk GiethoornTen Brink, Meppel genummerd, zwart/wit, scherp contrast. 7 7 Va n d e r e d a c t i e t a f e l 109 Van de redactietafel [Marja Bos] [ Marja Bos ] 110 Vooraf aan … [Dick Klingens] Bottema-nummer 112 Over de Verscheidenheden van De redactie van Euclides heeft de 100-ste geboortedag van Oene Bottema op Prof.Dr. O. Bottema [Bert Zwaneveld] 25 december jongstleden aangegrepen om een bijzonder nummer samen te 116 Mijn herinneringen aan stellen: een nummer gewijd aan Bottema en meetkunde. Eindredacteur Dick Oene Bottema [A.W. Grootendorst] Klingens heeft hiervoor al een jaar geleden het initiatief genomen, en het resultaat heeft u nu in handen. Veel Bottema- en/of meetkunde-fans bleken 120 Herinneringen aan Bottema bereid iets moois op papier te zetten. [H.J.A. Duparc] Prof. dr. Oene Bottema (1901-1992) heeft onder meer met zijn langjarige serie 122 Herinneringen aan O. Bottema ‘Verscheidenheden’– korte stukjes die vaak over meetkunde gingen - veel [N.G. de Bruijn] voor Euclides betekend. Zijn boek ‘Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde’werd en wordt zeer veel gelezen. Bottema was een internationaal 126 Herinneringen aan mijn vriend befaamd wiskundige, maar trok tegelijkertijd zijn sporen in het Nederlandse Prof.Dr. O. Bottema [Harrie Stal] wiskundeonderwijs. Daarover is in deze extra dikke Euclides het nodige te 128 Bottema en Veldkamp lezen. [M.C. van Hoorn] Meetkunde nu 135 40 jaar geleden [M.C. van Hoorn] Meetkunde is in Nederland een tijd ‘buiten beeld’ geweest; een hele generatie wiskundedocenten is opgegroeid zonder noemenswaardige meetkundige 136 De tritmetische lijn van P.J. Baudet [Danny Beckers] achtergrond. Maar dat is aan het veranderen! Vlakke meetkunde is bijvoorbeeld terug in het examenprogramma wiskunde B2 vwo, en ook 143 Ook 40 jaar geleden daarbuiten lijkt de belangstelling weer sterk te groeien. Misschien is dat wel mede dankzij de fantastische mogelijkheden van diverse interessante 144 Bijzondere mechanismen en bijna dynamische meetkundesoftware zoals Cabri en allerlei bewegende applets op rechte lijnen [Hendrik Blauwendraat] het internet. 150 Tien punten op één cirkel Mocht u nog niet meetkunde-enthousiast zijn, dan wordt u het vast. Naast [Aad Goddijn] een aantal artikelen voor de ‘gevorderde’ (met in de bijdrage van Floor van Lamoen zelfs een aantal interessante recente resultaten) vindt u in dit 156 Het traphekje, werken met Cabri in nummer ook meerdere insteken voor de ‘beginneling’ op het gebied van de de onderbouw [Sieb Kemme] meetkunde. 159 Boekbesprekingen/Verschenen Het B-team 160 Sangaku en inversie [Dick Klingens] Kent u ‘The A-team’nog, die tv-serie van een aantal jaren terug? De hoofdfiguren: een paar heldhaftige redders in de nood, voor geen kleintje 166 Een raadselachtige rechte vervaard! [Lodewijk van Schalkwijk] Voor dit bijzondere nummer had de redactie een speciaal team van kritische 172 Orthoptica [Martin Kindt] lezers samengesteld om de binnengekomen bijdragen te becommentariëren: het Bottema-team, binnenskamers ook wel het B-teamgenoemd. Dit 178 Van achtpunts-, via zespunts-, naar fantastische team bestond uit Martinus van Hoorn, Chris van der Heijden, negenpuntscirkel [Dick Klingens] Herman Bloem, Jan Smit en Dick Klingens. Speciale dank gaat naar hen uit! 182 Napoleons driehoeken en Kieperts perspectors [Floor van Lamoen] Redactie De redactie ondergaat op dit moment enige wijzigingen. Om uiteenlopende 188 Over de lijnen van Fermat [Paul Yiu] redenen hebben we afscheid moeten nemen van Jan de Geus, Wim Knoester- Doeve en Johannes Sinnema. Jan heeft jarenlang de recreatierubriek 194 Twee schoolvoorbeelden van verzorgd; de schare enthousiaste puzzelaars zal hem missen! Wij zijn op zoek schoolmeetkunde [Anne van Streun] naar een waardig vervanger. Mocht u zelf interesse hebben of ons een 198 Kegelsneden snijden echt suggestie willen doen, het redactie-adres vindt u op de bladzijde links. [Wim Pijls, Jos van der Slot] Ook Wim en Johannes hebben een substantiële bijdrage aan Euclides geleverd. 204 Spiralen van driehoeken Jan, Wim, Johannes: bedankt voor jullie inzet; het ga je goed! [Leon van den Broek] 208 Bottema ten tweeden male: Tweede fase op niveau [Jan van den Brink] 214 Verenigingsnieuws 220 Aankondiging 221 Recreatie 224 Servicepagina VOORAF AAN ‘EEN EEUW BOTTEMA 1901-1992 EEN EEUW MEETKUNDE!’ [ Dick Klingens ] Niet van elke Nederlandse wiskundige houd ik de In Euclides verschenen in de jaren 1945-1977 honderd geboortedatum bij. Die van Bottema, 25 december Verscheidenheden, korte stukjes wiskunde, werk van de 1901, 100 jaar geleden, behoort echt tot de hand van Bottema. Van diverse kanten is voorgesteld uitzonderingen. Waarom? het boekje te herdrukken, ja zelfs alle Door wie mij de liefde voor de meetkunde is Verscheidenhedenter gelegenheid van Bottema’s bijgebracht, kan ik niet zo duiden. Mijn docent honderdste geboortedag opnieuw uit te geven. De wiskunde in de vijfde en zesde klas van de middelbare redactie is niet ongevoelig voor een dergelijke school, Drs. H. Pleijsier, was in ieder geval een van suggestie en wil dan ook een heruitgave op CD-rom in hen. Naar ik me herinner was hij degene die me overweging nemen. Lezers kunnen hun belangstelling aanried Bottema’s Hoofdstukkeneens te bekijken: ‘Niet hiervoor kenbaar maken met een berichtje aan de eenvoudig, maar het laat zich eenvoudig lezen’. En redactie (per e-mail of gewone post; zie het colofon daardoor(het zal 1961 of 1962 zijn geweest) maakte ik voor de adressen). voor het eerst kennis met de negenpuntscirkel, de rechte van Euler, …, en al die andere fraaie driehoeks- Dat meetkunde vooral ook mooi, en soms niet eigenschappen. Hoofdstukkenwas dan ook een van de eenvoudig, is, kunt u op de volgende pagina’s eerste wiskundeboeken die ik kocht, en tijdens m’n (opnieuw) ervaren; maar zeker ook dat het werk van wiskundestudie kwam de naam ‘Bottema’ook bij Bottema nog heden ten dage als basis kan dienen voor herhaling terug - via zijn Verscheidenhedenin Euclides creativiteit van anderen. en zijn artikelen in het Nieuw Tijdschrift voor Dank van de redactie gaat daarom naar de auteurs, in Wiskunde. het bijzonder ook naarde heer Rinze J.W. Bottema die Niet dat ikdaarvoor heb zitten wachten op het jaar welwillend enkele foto’s van zijn vader ter beschikking 2001, maar eenmaal toegetreden tot de redactie van stelde. Euclides, kon (of mocht) ik eigenlijk niets anders dan En er gaat een wens naar de lezers van dit blad: veel opperen een Bottema-nummer te maken ter leesgenoegen! gelegenheid van zijn 100-ste geboortedag. Echter, het voorstel is zeker ook ingegeven door het feit dat we in het vwo weer echte meetkunde mogen doen. Het was verheugend te merken dat - na een oproep om aan zo’n Euclides-aflevering mee te werken – velen dat initiatief waardeerden en daadwerkelijk toezegden een artikel over Bottema, over de meetkunde of over Bottema en de meetkunde te schrijven. Hun werk vindt u op de hierna volgende pagina’s. 1 1 1 euclides nr.4 / 2002 OVER DE VERSCHEIDENHEDEN VAN PROF. DR. O. BOTTEMA [ Bert Zwaneveld ] 1 1 2 euclides nr.4 / 2002 Tussen 1945 en 1977 verschenen in Euclides honderd Nu zouden we deze Verscheidenheden overigens Verscheidenheden van de hand van Prof. Dr. O. Bottema. wellicht aanduiden als ‘wiskundige columns’. De Zij verschenen onregelmatig, soms een of geen in een bijdragen van Jo Vaessens aan het jubileumboek van aflevering van Euclides, soms wel drie tegelijk. Nadat de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren, Bottema het aantal van honderd had vol gemaakt zijn verschenen in november 2000, zijn een hedendaagse er in 1977, op initiatief van de redactie van Euclides, variant van Bottema’s Verscheidenheden. vijftig gebundeld en in een boekje verschenen dat Bij (her)lezing van de Verscheidenheden in 2001 vallen uitgegeven is door de NVvW. Het boekje is samen- een paar dingen op. Heel vaak geeft Bottema aan dat gesteld door Dr. J.T. Groenman, overigens in overleg naar zijn oordeel een en ander in de klas bruikbaar is. met Bottema. Om een indruk te krijgen van de inhoud De lezer moet zich daarbij wel de leerlingen van de van de Verscheidenheden volgt hier een deel van het laatste twee jaar van de b-afdelingen van de hbs en Voorbericht bij de bundel met de vijftig geselecteerde het gymnasium, en later bij wiskunde II van het vwo, Verscheidenheden. voor ogen stellen. Heel vaak gaat het om lang geen triviale wiskunde! De lezer moet eigenlijk steeds een Het centrale thema van de Verscheidenheden is de potlood en papier bij de hand hebben, zelf een schetsje meetkunde. De belangstelling van de auteur beslaat maken – hoewel er ook wel tekeningen bij staan –, zelf echter een veel ruimer gebied. Sommige een berekening verifiëren, zelf even nadenken hoe het Verscheidenheden gaan over de mechanica, andere zijn ook al weer zat met bijvoorbeeld de poollijn of de van historische aard, terwijl enkele zelfs een meer inversie, of zo iets zelfs even opzoeken. Maar Bottema literair karakter hebben. houdt de lezer bij de hand. Dat betekent dat je er als 1 1 3 euclides nr.4 / 2002 lezer op kunt vertrouwen dat je, als je gewoon de van de door Verne beschreven maanreis onder de loep: onverwachte dingen volgt (zoals het invoeren van een soms blijkt die te kloppen, soms niet. Echt iets om met bepaalde variabele, het berekenen van een leerlingen in de klas te doen. discriminant, het op een bepaalde, soms zeer Verscheidenheid LVI is getiteld Euler, altijd weer Euler. verrassende wijze kiezen van een coördinatenstelsel, In deze Verscheidenheid gaat het over het benaderen om een paar onverwachte wendingen te noemen), vanπdoor middel van een rij veelhoeken, niet een rij altijd bij interessante resultaten komt. Nu moet om- en ingeschreven veelhoeken bij dezelfde cirkel, natuurlijk niet uit het oog worden verloren dat in de maar een rij waarbij elke veelhoek in de rij zo bepaald periode waarin Bottema zijn Verscheidenheden schreef, wordt dat deze dezelfde omtrek heeft als zijn iedere wiskundeleraar aan een hbs of gymnasium nog voorganger. In deze Verscheidenheid komt geen zeer doorkneed was in de meetkunde: de vlakke tekening voor. Overigens komt Euler heel wat vaker in meetkunde en de stereometrie, de trigonometrie en de de Verscheidenheden voor. Kennelijk was hij voor analytische meetkunde, en zelfs de projectieve Bottema een groot voorbeeld. meetkunde. Van een heel ander karakter is Verscheidenheid XXI, verschenen in 1948. Daarin bespreekt hij de Tot slot van deze kleine bijdrage, naast de hierbij toonaangevende wiskundigen van het Europese opgenomen overdrukken (I en LVII, [1]), een paar revolutiejaar 1848: Jacobi, Bessel, Grassmann, voorbeelden. Poncelet, Dirichlet, Steiner, Kummer, Liouville en In Verscheidenheid XIII gaat het over Jules Verne en Kronecker, om er een aantal te memoreren. diens Reis naar de maan. Bottema neemt de mechanica Een van de alleraardigste Verscheidenheden is de 1 1 4 euclides nr.4 / 2002 laatste, C, die de titel Geen commentaarheeft. Daarin Over de auteur citeert hij drieendertig over het algemeen heel bekende mensen, lang niet allemaal wiskundigen. Citaat Bert Zwaneveld(e-mailadres: [email protected]) is sinds 1967 nummer 8 in die lijst, een negentiende-eeuwse wiskundeleraar, eerst in het voortgezet onderwijs en sinds 1986 bij de zegswijze van een anoniem iemand luidt: Open Universiteit Nederland. In 1999 is hij gepromoveerd op een vakdidactisch proefschrift, Kennisgrafen in het wiskundeonderwijs, Mathematicus non est collega. over het (leren) structureren van wiskundige kennis en vaardigheden. Daarnaast is hij actief in het wiskundeonderwijs (geweest): eerst als We mochten willen dat we Bottema, die niet alleen lid van de didactiekcommissie van de NVvW, daarna als voorzitter van wiskundeleraar was geweest maar die daarna tijdens de redactie van Euclides (in de jaren zeventig van de vorige eeuw hield zijn hoogleraarschap elk jaar opnieuw de eindexamens dat tevens het hoofdredacteurschap in), en sinds 1997 als voorzitter vóór afname screende, af en toe nog als collega van de vaksectie wiskunde-A van de CEVO. zouden hebben. Noot [1] Verscheidenheid I uit: Euclides 21 (1945-1946), pp.13-15 en pp.51-53 Verscheidenheid LVII uit: Euclides 39 (1963-1964), pp.307-309 1 1 5 euclides nr.4 / 2002 MIJN HERINNERINGEN AAN OENE BOTTEMA Met veel genoegen ben ik ingegaan op de uitnodiging van de redactie van het tijdschrift Euclides om een bijdrage te leveren aan de speciale aflevering ter gelegenheid van de honderdste geboortedag van prof. dr. O. Bottema (1901-1992), vanaf 1961 erelid van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren, gedurende dertig jaren hoogleraar aan de Technische Hogeschool/Universiteit Delft, waarvan ruim acht jaren als Rector Magnificus, in dit geval beter te formuleren als Rector Magnae Severitatis. [ A.W. Grootendorst ] Men ontmoet in het leven zelden mensen van de Deze kennismaking groeide uit tot een hechte signatuur van Bottema. Zelf heb ik het voorrecht vriendschap. Oene werd voor mij allengs van een gehad hem gedurende 36 jaren regelmatig te geduchte rector tot een vaderlijke vriend, naar wie het ontmoeten in tal van wisselende verhoudingen, -op grond van zijn wijze oordeel in velerlei zaken- gedurende vele jaren nagenoeg dagelijks, later -na zijn goed luisteren was. emeritaat- toch wel wekelijks, totdat zijn contacten Een van de hoogtepunten daarbij wordt gevormd door met de wereld om hem heen teloorgingen in de de woorden die hij schreef bij mijn 25-jarige ambts- schemering van zijn laatste jaren. jubileum: Ik stel vast dat tussen ons een vertrouwelijke Wanneer ik zeg dat wij met elkaar kennismaakten in vriendschap is gegroeid, die mij zeer dierbaar is. 1956, dan formuleer ik dat eigenlijk niet goed. ‘Met U begrijpt dat deze woorden ook mij zeer dierbaar zijn. elkaar’ duidt namelijk op een symmetrische relatie en suggereert gelijkwaardigheid, maar zo werkte dat Wanneer ik de indruk die hij op mij maakte, kort moet toen niet. samenvatten, dan zou ik met weinig woorden kunnen Als aankomend medewerker werd ik in 1956 bij de volstaan: erudiet, begiftigd met een uitzonderlijke Rector ontboden voor een kennismakingsgesprek en werkkracht, wijs en eenvoudig. dat had ook veel van een mondeling examen. Zo moest ik in tien minuten uitleggen waarover mijn promotie- Allereerst zijn grote eruditie en belezenheid. Naast zijn onderzoek handelde, dat al twee jaren liep. ‘Vertel me uitgebreide kennis en grote vaardigheid op het gebied dat maar eens, daar weet ik namelijk niets van,’ zo van de exacte vakken had Oene ook grote affiniteit werd dit gesprek ingeleid. met wat hij (liever dan geesteswetenschap) cultuur- Hiermee heb ik meteen al een wezenlijke trek in het wetenschap noemde. Huizinga was één van zijn karakter van Bottema gesignaleerd. Hij was oprecht geliefde schrijvers, maar ook in de Engelse, Franse en geïnteresseerd in datgene wat een ander wist en Duitse literatuur voelde hij zich thuis. Eigenlijk zei en waarmee een ander bezig was. Vooral juist als hij echt schreef hij liever in zijn uitmuntende, ietwat niets van andermans activiteiten wist, was hij extra archaïsche, stijl te huis. De literatuur uit de klassieke belangstellend, dit in tegenstelling tot de velen die ik oudheid was hem via vertalingen bekend geworden, ontmoet heb die ervan uitgingen dat wat een ander maar hij mocht graag weten wat er ‘eigenlijk’ stond. wist (en betrokkene niet) onmogelijk iets kon Terugdenkend aan onze vele gesprekken, vermoed ik voorstellen, anders -zo denken zij vaak- zouden zij het dat bij dit alles een voorname rol gespeeld is door zijn zelf immers wel weten. wiskundeleraar aan de Groningse H.B.S., 1 1 6 euclides nr.4 / 2002