Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren V a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r jaargang 72 6 1996-1997 maart r 53 R r 0 Verslag Vierkant- zomerkamp 1996 Verslag winter- symposium 4-1-'97 Kaartprojecties Nederlandse Vereniging van Adresgegevens auteurs Wiskundeleraren M. Akveld, R. Iemhoff Voorzitter Mathematisch Instituut dr. J. van Lint Niels Bohrweg 1 Spiekerbrink 25 2333 CA Leiden Euclides is het orgaan van de Neder- 8034 RA Zwolle landse Vereniging van Wiskunde- tel. 038-4539985 J. van den Brenk leraren. Het blad verschijnt 8 maal Secretaris Freudenthal Instituut per verenigingsjaar. W. Kuipers Tiberdreef 4 Burg. Bijleveldsingel 38 3561 GGUtrecht 8052 AP Hattem Redactie tel. 038-4447017 L. van den Broek Ledenadministratie Graafseweg 387 Dr. A.G. van Asch Mw. N. van Bemmel-Hendriks 6532 ZN Nijmegen Drs. R. Bosch De Schalm 19 Drs. J.H. de Geus 8251 LB Dronten T.H. Chen Drs. C.P. Hoogland hoofdredacteur tel. 0321-312543 4e Binnenvestgracht 44 Ir. W.J.M. Laaper secretaris 2311 NV Leiden N.T. Lakeman Contributie per ver. jaar: ƒ70,00 W. Schaafsma Studentleden: ƒ47,50 M. v. Glabbeek Ir. V.E. Schmidt penningmeester Leden van de VVWL: ƒ50,00 E. de Boer v. Rijkstraat 15 Mw. Y. Schuringa-Schogt eindred. Lidmaatschap zonder Euclides: ƒ50,00 2331 HH Leiden Mw. drs. A. Verweij Betaling geschiedt per acceptgiro. A. van der Wal Nieuwe leden geven zich op bij de V.E. Schmidt Drs. G. Zwaneveld voorzitter ledenadministratie. Verlengde Grachtstraat 43 Opzeggingen vóór 1 juli. 9717 GE Groningen Artikelen/mededelingen J. Smit Abonnementen niet-leden Houtsniplaan 31 Artikelen en mededelingen naar: 1873 JT Groet Kees Hoogland Abonnementen gelden steeds vanaf Gen. Cronjéstraat 79 rood het eerstvolgende nummer. St. Willibrordcollege 2021 JC Haarlem. Abonnementsprijs voor personen: Fruitlaan 3 ƒ80,00 per jaar. Voor instituten en 4462 EP Goes Richtlijnen voor aanlevering: scholen: ƒ240,00 per jaar. • goede afdruk met illustraties/foto’s/ Betaling geschiedt per acceptgiro. G. Zwaneveld formules op juiste plaats of goed in Losse nummers op aanvraag lever- Bieslanderweg 18 de tekst aangegeven. baar voor ƒ20,00. 6213 AJ Maasstricht • platte tekst op diskette: WP of ASCII Opzeggingen vóór 1 juli. • illustraties/foto’s/formules op aparte vellen: genummerd, zwart/wit, scherp contrast. Advertenties Nadere richtlijnen worden op ver- zoek toegezonden. Informatie, prijsopgave en inzending: C. Hoogsteder, Prins Mauritshof 4 7061 WR Terborg, tel. 0315-324337 of naar: L. Bozuwa, Merwekade 90 3311 TH Dordecht, tel. 078-6390890 fax 078-6390891. Inhoud 222 Kees Hoogland 251 40 jaar geleden Van de redactietafel 252 Werkbladen 222233 Jan Smit, Leon van den Broek Envelop met inhoud (2) 254 Recreatie 226 Waar zit de fout? 256 Kalender 228 Bert Zwaneveld Over ICME-8, maar vooral over het wiskundeonderwijs in Zuid-Afrika interview 223 230 Boekbespreking 231 Boekbespreking 232 Ingezonden brief 233 Reactie 234 T.H. Chen Is de wiskunde als een nacht- kaars uitgegaan? 236 223366 Meike Akveld, Rosalie Iemhoff Zomerkampen Vierkant, 1997 238 Aankondiging 239 Brief aan de staatssecretaris nvvw 224400 Jan van den Brink Mercatorprojectie en de 240 centrale projectie 246 Michel van Glabbeek TWIN: de stand van zaken 247 Aankondiging 248 Victor Schmidt Een historische dag 72 |6 Euclides 221 N et verschenen bij de SLO is de schoolexamen moeten bepalen. Deze voorlichtingsbrochure Wiskun- verandering in de gangbare werkwijze bij de havo/vwo met de actuele wiskunde lijkt wat aan de aandacht te stand van zaken bij de invoering van de zijn ontsnapt tot nu toe. De vraag wat nu Tweede Fase. Voor degenen die deze precies onder een praktische opdracht (nog) niet gelezen hebben, hierbij de verstaan moet worden zal, door het grote meest in het oog springende punten. gewicht dat aan deze opdrachten wordt toegekend, in de komende tijd een belangrijk punt van discussie zijn. r Grafische rekenmachine Voor de goed orde: in het examenpro- gramma wordt ook gesproken over een De grafische rekenmachine zal ingevoerd profielwerkstuk, waar wiskunde al dan e worden bij wiskunde in augustus 1998. niet aan mee kan doen. Dit werkstuk De afbakening zal waarschijnlijk gelegd heeft niets te maken met de praktische d worden bij machines die geen algebraï- opdrachten. Het profielwerkstuk is een sche manipulaties kunnen uitvoeren. afzonderlijk onderdeel dat ook afzonder- e Desondanks zal dit voor het werken in de lijk op de cijferlijst zal komen. a klas en het ontwikkelen van allerlei wis- Genoeg maar weer over havo en vwo. d kundige begrippen een flinke verande- ring betekenen. nc Vbo/mavo at Examenprogramma’s In het verenigingsnieuws een brief van het bestuur van de Vereniging aan de v De examenprogramma’s zijn, op goed- staatssecretaris. In de nieuwe plannen i keuring in de Tweede Kamer na, nu ook voor de inrichting van vbo/mavo lijkt de vastgesteld. Het wiskunde B-programma situatie weer te kunnen gaan ontstaan e vwo (voor de profielen ‘Natuur en dat na de tweede klas veel leerlingen geen Gezondheid’ en ‘Natuur en Techniek’) wiskunde meer in hun pakket hebben. t staat nog niet vast. Daar is het Freuden- Dat lijkt toch wel een ernstige verspilling thal instituut nog mee aan het experi- van de expertise die vbo/mavo-docenten a menteren. In de loop van het volgend wiskunde de afgelopen jaren met veel schooljaar zal daar meer helderheid over inspanningen hebben opgebouwd om komen. grote groepen leerlingen naar een f vbo/mavo-examen te begeleiden. e Praktische opdrachten Ten slotte In de brochure wordt ook nader uitge- l weid over het schoolexamen (voorheen Speciaal aanbevolen in dit nummer het schoolonderzoek). Zo’n schoolexamen interview van Bert Zwaneveld met Renu- bestaat uit een examendossier met daarin ka Vithal, een wiskundedocente in Zuid- gewone toetsen, maar ook praktische Afrika. Levensbedreigende situaties in opdrachten. Daarbij kan gedacht worden klaslokalen vormen toch een heel andere aan werkstukken, onderzoeksopdrach- problematiek daar dan de zorg hier of de ten, computeropdrachten, etcetera. Min- leerlingen de haakjes nog wel kunnen stens één zo’n opdracht dient uitgevoerd verdrijven bij de formule van een kogel- te worden in een groepje van minstens baan. drie leerlingen. Deze ontwikkeling is niet verrassend te noemen. Wat wel verrassend is, is dat Kees Hoogland voor alle profielen (behalve Cultuur en Maatschappij, havo) deze praktische opdrachten voor 60% het cijfer voor het 222 Euclides 72 |6 Envelop met inhoud (2) Jan Smit, Leon van den Broek In de vorige aflevering hebben we een envelop verbouwd tot een viervlak met vier gelijke grensvlakken. Vorm en inhoud van het viervlak hangen af van de keuze van punt C (en D) aan de bovenrand van de envelop (zie figuur 1 en 2). Als ontvanger van de envelop wil je die inhoud graag zo groot mogelijk hebben. Waar moet je dan punt C kiezen ? Een bijzonder geval heeft wel erg mooie eigenschappen: het A-viervlak. Dit viervlak blijkt ‘ruimtevullend’ te zijn. Met papieren modellen van dit viervlak als bouwelemen- ten maken we grotere lichamen. figuur 2 Maximale inhoud van de envelop In figuur 1 en 2 uit de voorgaande aflevering zie je de envelop als viervlak met vier gelijke grensvlakken. Zeg dat de afmetingen van de envelop cen hzijn. Het punt F x C c – 2x D x E h b a A c B figuur 3 C(en daarmee D) aan de bovenrand kan nog willekeu- rig gekozen worden (als hoek ACBmaar scherp is). Voor welke keuze van C krijgt de envelop maximale inhoud ? Dat kan door de inhoud met behulp van onze formule uit te drukken in c,hen x(cid:1)FCen van die functie het maximum te bepalen. figuur 1 a en b 72 |6 Euclides 223 B tussen de vlakken ACD en BCD90°is. Dan is BE(cid:1)h de hoogte van het viervlak, zodat de maximale inhoud Qy ch2is. Uit de stelling van Pythagoras volgt dan (zie figuur 4): h AB2(cid:1) AF2 (cid:2) FE2 (cid:2) EB2ofwel c2(cid:1)h2(cid:2)(c − 2x)2(cid:2)h2, zodat (c − 2x)2(cid:1)c2 − 2h2. Dus moet CF(cid:1) Qw (CD − FE) c = Qw (c − (cid:1)c(cid:2)2(cid:2)−(cid:2)2h(cid:2)2(cid:2)) gekozen worden om maximale inhoud te krijgen. Dit kan alleen als c2(cid:4)2h2. x F c – 2x E x C D Als c2(cid:5) 2h2, dan is de standhoek op ribbe CD altijd kleiner dan 90°. De standhoek, en daarmee de inhoud, h wordt maximaal als we C(en D) in het midden van de bovenrand van de envelop kiezen. We bekijken hiervan drie speciale gevallen. A • Als de envelop vierkant is: h(cid:1)c. Dan is de inhoud figuur 4 maximaal bij een standhoek van 60°. • Als h : c= Qw (cid:1)3(cid:2)(cid:1)0,866…. Maximale inhoud geeft Met a2(cid:1)h2(cid:2)(c− x)2en b2(cid:1)h2(cid:2)x2krijgen we na dan het regelmatige viervlak. enig herschrijven: • Als de envelop een A-formaat heeft: Inhoud2= Qo (cid:3)c2(cid:3)(cx − x2)(cid:3)(h2−(cx−x2)). De factoren h : c= Qw (cid:1)2(cid:2) = 0,707…. Het viervlak met maximale cx−x2en h2−(cx−x2) zijn opgeteld h2; hun produkt is inhoud heeft standhoek 90°en de ribben verhouden dus maximaal als cx − x2(cid:1) Qw h2, dus als zich als 2 : (cid:1)3(cid:2): (cid:1)(cid:2)3. x(cid:1) Qw c± Qw (cid:1)(cid:2)c2(cid:2)−(cid:2)2h(cid:2)2(cid:2)(tenminste als c(cid:4)(cid:1)(cid:2)2h). Meer over dit viervlak in de volgende paragraaf. h = 1 h = 0,866 h = 0,707 h = 0,577 h = 0,5 h = 0,4 figuur 5 Er is ook een meetkundige manier om de maximale In figuur 5 wordt de inhoud van het viervlak als func- inhoud te vinden. Daarbij hebben we de formule tie van x(cid:1)FCin beeld gebracht voor verschillende voor de inhoud niet nodig. We zetten het viervlak verhoudingen h : c(waarbij voor het gemak c(cid:1)1 is met een van zijn grensvlakken op tafel, zeg met drie- gesteld). De overgang van een tweetoppige naar een hoek ACD; zie figuur 4. De zijden AFen BEvan de ééntoppige grafiek treedt op bij h : c= Qw (cid:1)2(cid:2). Het bijbe- oorspronkelijke envelop zijn hoogtelijnen in de drie- horende maximale viervlak, het A-viervlak met ribben hoeken ACDen BCD. De inhoud is Qe (cid:3)opp. ACD(cid:3) a : b : c(cid:1)(cid:1)3(cid:2): (cid:1)3(cid:2): 2, blijkt zeer bijzondere eigen- hoogte. De oppervlakte van driehoek ACDis Qw ch. Het schappen te hebben. Het is ruimtevullend en sterker is duidelijk dat de inhoud maximaal is als BElood- nog, zelfvullend. recht staat op het grondvlak, dus als de standhoek 224 Euclides 72 |6 u D H v G C w F B figuur 7 E A het driedimensionale analogon van het bekende begrip vlakvullendin twee dimensies. Ook een willekeurig recht vierzijdig prisma is ruimte- vullend. Dit is een direct gevolg van het feit dat elke vierhoek vlakvullend is (figuur 8). D' H' G' C' figuur 6 Het A-viervlak De disphenoïde ABCDmet ribben a(cid:1)b(cid:1)(cid:1)3(cid:2)en c(cid:1)2 past in een doosje AEBF.GCHDmet afmetingen u(cid:1)v(cid:1)(cid:1)2(cid:2), w(cid:1)1. Twee grensvlakken van het doosje zijn vierkant, de andere vier zijn rechthoeken van het A-formaat (de zijden verhouden zich als 1 : (cid:1)2(cid:2)). Spie- geling van het doosje in vlak AEBFgeeft een doosje G’C’H’D’.AEBFmet daarin het A-viervlak ABC’D’. figuur 8 Herhalen we dit naar boven en naar beneden, dan ont- staat een vierkante zuil van doosjes. De A-viervlakken Maar hoe zit het met viervlakken ? in aangrenzende doosjes hebben steeds een ribbe We hebben gezien dat het A-viervlak ruimtevullend is. gemeen. Het mooie is nu dat de overblijvende ruimtes Van der Vegt suggereert (zie [1], blz. 58) dat dit de enige in de zuil ook weer A-viervlakken zijn, bijvoorbeeld ruimtevullende disphenoïde is. Wij weten niet zeker of CABC’ in figuur 6. De vierkante zuil is dus helemaal dat inderdaad zo is. Wel is bekend dat het regelmatig gevuld met A-viervlakken. Maar dan kunnen we ook de viervlak niet ruimtevullend is. (Samen met het regel- heleruimte vullen met A-viervlakken, namelijk door de matige achtvlak vormt het wel een ruimtevullend kop- zuilen zonder kieren tegen elkaar te plaatsen. pel, omdat je met twee regelmatige viervlakken en één Lichamen zoals het A-viervlak waarmee de ruimte vol- regelmatig achtvlak een parallellepipedum kunt bou- ledig opgevuld kan worden zijn tamelijk zeldzaam. wen.) Daarom zullen we hier bij stilstaan. Er zijn ons nog drie andere ruimtevullende viervlakken bekend, alle drie af te leiden uit het A-viervlak; zie ver- derop. We weten niet of er nog meer ruimtevullende Ruimtevullend viervlakken zijn. Dat het A-viervlak geschikt is om te stapelen, blijkt ook Een kubus, en algemener ieder parallellepipedum, is als je de standhoeken bepaalt: die zijn 90°(op de ribben ruimtevullend. Dat wil zeggen dat we congruente met lengte 2) en 60°(op de ribben met lengte (cid:1)(cid:2)3). De kopieën van een parallellepipedum zó tegen elkaar lezer moet eigenlijk een paar van zulke A-viervlakken kunnen leggen, dat de hele ruimte wordt opgevuld zon- bij de hand hebben. In een volgende paragraaf geven der tussenruimten of overlappingen (figuur 7). Dit is we een bouwvoorschrift voor het A-viervlak. Je kunt 72 |6 Euclides 225 ? t u o f e d t De quizkandidaat i z Een quizkandidaat heeft de keuze uit twee gesloten dozen. r In de dozen bevinden zich twee a geldbedragen. In de ene doos a zit twee keer zoveel als in de W andere. De kandidaat kiest een figuur 9 doos. Daarin blijkt een bedrag van 100 gulden te zitten. De dan zelf constateren dat je zes A-viervlakken (langs de quizmaster geeft de kandidaat ribbe met standhoek 60°) kunt samenvoegen tot een de mogelijkheid alsnog voor de parallellepipedum, dat begrensd wordt door zes ruiten. andere doos te kiezen. Wat Ook een manier om in te zien dat het A-viervlak ruim- moet de kandidaat doen: bij tevullend is. Nog een andere benadering vind je in [2]. zijn keuze blijven of van doos De kunstenaar Popke Bakker laat daar zien hoe je uit wisselen? een vierkante balk scheve driezijdige prisma’s kunt zagen; ‘tentjes’ noemt hij ze. Zie figuur 9. Zo’n tentje De kans dat de gesloten doos bestaat uit drie A-viervlakken. Omdat een driezijdig 200 gulden bevat, is uiteraard prisma ruimtevullend is, is het A-viervlak dat ook. Ook gelijk aan Qw . De kans dat de laat Popke Bakker nog zien dat je met acht tentjes een gesloten doos slechts 50 gulden ruitentwaalfvlak kunt maken. En dat het ruitentwaalf- bevat, is ook gelijk aan Qw . De vlak ruimtevullend is, zullen nu gaan bekijken. verwachtingswaarde van de gesloten doos is dus gelijk aan Qw (cid:6)200(cid:2) Qw (cid:6)50(cid:1)125; van Het ruitentwaalfvlak keuze veranderen dus. Denk je de ruimte gevuld met kubussen met ribbe 2. In Bovenstaande geldt voor ieder figuur 10 zijn de vier lichaamsdiagonalen van een bedrag Bdat de kandidaat in de kubus getekend. Iedere kubus kan zo verdeeld worden doos van zijn keuze vindt. Immers de verwachtingswaar- de van de andere doos is dan Qw (cid:6)2B(cid:2) Qw (cid:6) QwB= 1 QrB. Advies aan de kandidaat: ga nooit af op uw eerste keuze. T D C M A B U figuur 10 226 Euclides 72 |6 D C 0,25 P Q A B figuur 11 figuur 12 in zes piramides die de grensvlakken van de kubus als Twee van zulke ruiten aan elkaar geplakt geeft een A- grondvlak hebben en het middelpunt van de kubus als viervlak; de driehoeken ABQen PCDdienen als plak- top. Op deze manier is de hele ruimte opgevuld met randen. vierzijdige piramides. Door steeds de piramides met Iedere leerling maakt er minstens een. (Een argument gemeenschappelijk grondvlak twee aan twee bij elkaar waarom een klas niet groter dan 24 leerlingen mag te voegen krijg je een opvulling van de ruimte met (niet zijn.) Met 24 A-viervlakken bouwt de klas dan een regelmatige) achtvlakken. Een voorbeeld is achtvlak prachtig ruitentwaalfvlak. Als van ieder viervak een UABCDT. Het achtvlak wordt door de diagonaalvlak- grensvlak (versierd met de naam van de maker) aan de ken AUCTen DUBTverdeeld in vier A-viervlakken: buitenkant blijft, kan het niet misgaan. Hier en daar met ribben 2, (cid:1)(cid:2)3en (cid:1)(cid:2)3. een stukje plakband kan helpen het geheel bij elkaar te De zes achtvlakken die in punt T samenkomen vormen houden. een ruitentwaalfvlak (rombendodecaëder): de twaalf grensvlakken zijn ruiten met diagonalen 2 en 2(cid:1)(cid:2)2; zie literatuur figuur 11. En deze ruitentwaalfvlakken zijn ruimtevul- lend. Dat zie je goed als volgt. Kleur de kubussen waar- 1 A.K. van der Vegt mee we de ruimte gevuld hebben afwisselend zwart en Regelmaat in de ruimte wit, als een driedimensionaal schaakbord. Verdeel de Delftse Uitgevers Maatschappij (1991) witte kubussen in zes piramides zoals in figuur 10. Elke ISBN 90-6562-141-5 witte piramide voegen we toe aan de zwarte kubus 2 Popke Bakker, Jan van de Craats, Klaas Lakeman waaraan hij grenst. Zodoende wordt een witte kubus Zagen, zagen,… opgedeeld onder zijn zes zwarte buren; deze zwarte Pythagoras, jaargang 26, nr 5, juli 1987 kubussen worden daardoor aangevuld tot ruitentwaalf- vlakken. Uit het bovenstaande blijkt dat we met 24 A-viervlak- ken een ruitentwaalfvlak kunnen bouwen. En dat gaan we doen. Aan de slag in de klas Materiaal: 48 (eventueel gebruikte) A4-tjes, plakstiften. Met twee A4-tjes maak je als volgt een A-viervlak. ABCDis een A4-tje (figuur 12). De lange zijden zijn (cid:1)(cid:2)2keer zo lang als de korte zijden. Meet op de lange zijden de punten Pen Qaf op een kwart van de hoeken. Ga na dat AQCPeen ruit is met diagonalen in de ver- houding 1 : (cid:1)(cid:2)2. Maak scherpe vouwenPC, AQen PQ. 72 |6 Euclides 227 I N T E R V I E W Over ICME-8 , maar vooral over het wiskunde- inspraak in de keuze. Vaak kiezen zij een school dichtbij huis.Dit betekent onderwijs in dat Indische studenten dikwijls stage lopen op voormalige Indische scholen en zwarte studenten op scholen in de zogenaamde townships.De Indische Zuid-Afrika scholen hebben de laatste jaren grote aantallen zwarte leerlingen aange- nomen. De zwarte townshipscholen zijn exclusief zwart. Het personeel van de verschillende scholen is nog vrijwel onveranderd sinds de dagen van de apartheid. Veel van de town- Renuka Vithalis lecturer in mathe- een eenjarige opleiding na een drie- shipscholen zijn bepaald niet veilig matics education (lerarenopleider) jarig voorprogramma in verschillen- vanwege de hoge criminaliteit en de aan de universiteit van Durban- de faculteiten. Het vierjarige pro- armoede in de townships. Een flink Westville, Zuid-Afrika. Zij spreekt gramma wordt gedoceerd in de aantal scholen zou je ronduit gevaar- van huis uit Engels en kan Afri- Faculty of Education en leidt op tot lijk kunnen noemen. Sommige stu- kaans en daardoor ook Nederlands leraar of lerares wiskunde voor het denten geven aan dat ze niet op deze lezen. basisonderwijs. Het eenjarig pro- scholen stage willen lopen. Zelf gramma is voornamelijk bestemd bezoek ik die gevaarlijke scholen wel, voor studenten die wiskunde hebben maar je moet goed oppassen. Laatst Zou je, om jezelf bij de Nederland- gestudeerd en les in het middelbaar zijn er op zo’n school twee leerkrach- se lezers te introduceren, iets over je onderwijs willen geven. De meerder- ten doodgeschoten. Er is toen in de werksituatie willen vertellen? heid van de leraren en leraressen in hele provincie een staking geweest tot Vóór het afschaffen van de apart- Zuid-Afrika wordt echter opgeleid in de provinciale regering de veiligheid heid waren er vier soorten universi- zogenaamde Colleges of Education van het personeel garandeerde. Je teiten: voor blanken, voor zwarten, en niet aan de universiteit. ziet nu veel leger en politie in en rond voor Indiërs zoals ik, en voor men- de scholen. sen die ‘kleurlingen’ genoemd wor- Kun je een indruk geven van de den. Mijn universiteit was oor- scholen waar je studenten tijdens Wat is op dit moment het grootste spronkelijk alleen voor Indiërs, ik hun stage en later als leraar terecht probleem voor het wiskundeonder- ben daar zelf ook opgeleid. Nu is er komen? wijs in Zuid-Afrika? iets meer dan de helft van de stu- Vroeger waren de scholen strikt Zonder enige twijfel het gebrek aan denten zwart, bijna de helft Indiër gescheiden. Hoewel die scheiding nu wiskundedocenten. Er wordt op dit en ongeveer 5% blank. formeel is opgeheven, is dat in de moment in onze provincie onder- praktijk nog helemaal niet zo. In de zocht welke docenten van andere Hoe is de lerarenopleiding globaal buurt van Durban en in Durban zelf vakken in staat en bereid zijn om georganiseerd? zijn er vooral Indiërs en zwarten, wiskunde te gaan geven. Die docen- Er zijn twee manieren binnen de maar de laatste zijn in de meerder- ten worden vervolgens omgeschoold universiteit om tot leraar te worden heid. De studenten worden in ver- van bijvoorbeeld docent geschiedenis opgeleid. Er is de vierjarige graad schillende praktijkscholen geplaatst tot docent wiskunde. Docenten die van Bachelor of Education en er is voor hun stage. Ze hebben zelf ook niet willen, kunnen, als ze boven een 228 Euclides 72 |6