Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren V a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r jaargang 70 8 1994-1995 juni Van algebra naar analyse Wiskunde in een boorput Integreren, of niet Beveiliging tegen kopiëren Themanummer Wiskunde B vwo Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren Voorzitter dr. J. van Lint, Spiekerbrink 25, 8034 RA Zwolle, tel. 038-539985. Secretaris R.J. Bloem, Kornoelje 37, 3831 WJLeusden Ledenadministratie F.F.J. Gaillard, Jorisstraat 43, 4834 VC Breda, tel. 076-653218; fax 076-653218. Giro: 143917 t.n.v. Ned. Ver. v. Wiskundeleraren te Amsterdam. De contributie bedraagt f65,00 per verenigingsjaar; voor studentleden Redactie en Belgische leden die ook lid zijn van de VVWL f 47,50; contributie Dr. A.G. van Asch zonder Euclides f 40,00. Drs. R. Bosch Opgave van nieuwe leden aan de Drs. J.H. de Geus ledenadministratie. Drs. M.C. van Hoorn hoofdred. Opzeggingen vóór 1 juli. J. Koekkoek Ir. P. ten Kortenaar Ir. W.J.M. Laaper Abonnementen niet-leden N.T. Lakeman W. Schaafsma Abonnementsprijs voor niet-leden Ir. V.E. Schmidt penningmeester f 71,00. Een collectief abonnement Mw. Y. Schuringa-Schogt eindred. (6 exemplaren of meer) kost per Mw. drs. A. Verweij abonnement f 48,00. Opgave bij de A. van der Wal ledenadministratie (adres: zie Drs. G. Zwaneveld voorzitter boven). Abonnees wordt dringend verzocht Euclides is het orgaan van de te wachten met betalen tot zij een Nederlandse Vereniging van acceptgiro hebben ontvangen. Wiskundeleraren. Het blad Abonnementen gelden telkens verschijnt 8 maal per cursusjaar. vanaf het eerstvolgend nummer. Reeds verschenen nummers zijn op aanvraag leverbaar. Artikelen/mededelingen Annuleringen dienen vóór 1 juli te worden doorgegeven aan de Artikelen en mededelingen worden ledenadministratie. in drievoud ingewacht bij Losse nummers f12,50. drs. M.C. van Hoorn, Noordersingel 12, 9901 BP Appingedam. Advertenties Voor meer informatie: zie ‘Richtlijnen voor auteurs’ op Advertenties sturen naar: bladzijde 282. De auteur van een C. Hoogsteder, Prins Mauritshof 4, geplaatst artikel ontvangt kosteloos 7061 WR Terborg; tel. 08350-24337 2 exemplaren van het nummer of naar: waarin het artikel is opgenomen. L. Bozuwa, Merwekade 90, 3311 TH Dordrecht; tel. 078-145522. Euclides 70-8 Inhoud Voorwoord 254 A. van Rooij Het advies van de Studiecommissie Wiskunde B vwo 254 Korrel 258 A.H.G. Rinnooy Kan Wiskunde B en de samenleving 259 Kees Hoogland Van algebra naar analyse 260 Jos Alkemade Wiskunde in een boorput 264 Ramiro Wanga Informatietechnologie in het nieuwe wiskunde B-programma 267 Roel Verstappen Waarom wiskunde? Ik studeer toch scheikunde! 270 Jan M. Aarts Integreren, of niet 273 Middenpagina’s met o.a. Verenigingsnieuws 275 Oproep Derde-Wereldfonds 283 M. van Hoorn Openheid-beslotenheid 284 Brief aan de Staatssecretaris 285 Sijbrand Spannenburg/Hans Oltmans Beveiliging tegen kopiëren vanuit de wiskunde. Screen Angle Modulation (SAM) en Sample-Band Image Coding (SABIC) 286 Henk Barendregt Getallen: eigenschappen, rijen en bewijzen 291 Thijs Jansen/Hans Peters Kostenverdeelproblemen 294 Martinus van Hoorn ‘Wiskunde B: voor het beste wat de wiskunde te bieden heeft’Interview 296 Guido Helmers Wiskunde B 298 40 jaar geleden 299 Werkbladen 300 Recreatie 302 Euclides 70-8 253 De Nederlandse Onderwijscommissie voor de Voorwoord Wiskunde (NOCW) heeft aan prof. dr. A. van Gezien de ontwikkelingen in de bovenbouw van het Rooij gevraagd een artikel te schrijven over het havo/vwo, en dan vooral ten aanzien van het B-program- advies van de Studiecommissie Wiskunde B ma voor het vwo, heeft de redactie gemeend een thema- voor het vwo, waarvan prof. van Rooij lid was. nummer te moeten wijden aan wiskunde B op het vwo. Omdat de NOCW het van belang vindt dat van Dit themanummer ligt thans voor u. Opgenomen zijn bij- de inhoud van dit artikel in brede kring kennis dragen die vanuit geheel ver- schillende gezichtshoeken genomen kan worden, biedt zij het aan voor zijn geschreven. Een lid van de Studiecommissie Wiskun- publicatie aan zowel Euclides als Nieuw Archief de B vwo opent het nummer. Hij wordt gevolgd door pro- voor Wiskunde. fessor Rinnooy Kan, voorzit- ter van het VNO en zelf wis- kundige. Hij pleit voor Het advies van de ruimte voor toepassingen. Inderdaad zullen degenen die de (school-)wiskunde later gebruiken dat veelal doen in Studiecommissie toepassingssituaties. Dat betekent nog niet dat het B- programma bijzonder con- Wiskunde B vwo textrijk moet zijn. De redac- tie heeft gemeend wel ruim aandacht aan toepassingen te moeten geven, maar neemt A. van Rooij hiermee niet het standpunt in dat deze het B-programma zouden moeten domineren. In de Korrel plaatst Jan de Lange een kanttekening bij de De Studiecommissie Wiskunde B tisch tot stand gekomen samenvat- wijze waarop beleid gevoerd vwo is op 23 mei 1993 ingesteld ting. Ik heb ernstig geprobeerd niet wordt. Op de werkbladen laat door Staatssecretaris Wallage om alleen mijn eigen stokpaardjes te Vierkant voor Wiskunde een (ik parafraseer de instellings- en berijden, maar het blijft mijn visie bewijs voor de dag komen. opheffingsbeschikking) de proble- op het werk van de commissie. Van men te inventariseren die zich een ander lid had u een ander ver- In de komende jaargang voordoen bij het onderwijs en het haal gekregen met (waarschijnlijk) neemt professor Rob Tijde- examen in het vak wiskunde B vwo andere accenten. man ons mee in enkele lessen en voorstellen te doen voor de Er zijn allerlei onderwerpen aan de getaltheorie, en komt ook oplossing daarvan. De commissie orde geweest die ik hier onbespro- nog een bijdrage van Susanne heeft in oktober '94 een eindrap- ken laat. Zo heeft onze commissie Weber (K.N.M.I.). port uitgebracht. een enquête onder vwo B-docenten Als lid van de commissie is mij uitgevoerd, waarop 938 antwoor- gevraagd, voor u een stuk te schrij- den binnenkwamen. Op deze ant- De redactie ven dat enigszins een beeld geeft woorden ga ik in dit stuk niet in. Ze van de overwegingen en de conclu- hebben echt wel een rol gespeeld in sies. Het volgende is geen democra- de discussies binnen de commissie, 254 Euclides 70-8 maar ik wil het hebben over de opi- ken. Uit x (cid:1)aen y(cid:1)bconcludeert neren en te formuleren. Het gaat nies en de conclusies, niet over het iedereen feilloos dat x(cid:2)y(cid:1)a(cid:2)b, hierbij niet om axiomatiek. De zin commissiewerk zelf. De resultaten maar het is frappant hoeveel er van axioma's zie je pas nádat je van de enquête zijn bewerkt en te even onbekommerd uit halen dat ervaring met wiskunde hebt opge- vinden in het rapport van de com- x(cid:3)y(cid:1)a(cid:3)b. daan. Behoefte aan precieze rede- missie, voor de som van ƒ 15,– te Natuurlijk is de ene student de neringen ontstaat op natuurlijke verkrijgen bij het Freudenthal insti- andere niet, maar de meesten schij- wijze als je begint met eenvoudige tuut te Utrecht. Daar kunt u ook de nen niet te beseffen dat ze zelf ver- probleempjes over situaties die je bewerkingen aantreffen van andere antwoordelijk zijn voor wat ze zeg- kunt overzien, en daarna de com- commissie-activiteiten zoals een gen en opschrijven. Toch is het plicatie opvoert. Of, zeg 349 + 512 enquête onder universitaire docen- essentieel voor de wiskunde, en als deelbaar is door 7 is een elementai- ten, interviews door de Werkgroep deze kwestie op school kennelijk zó re en heel begrijpelijke vraag, maar Vrouwen en Exacte Vakken. U weinig aan de orde geweest is, dan voor het antwoord is een nauwkeu- vindt er ook een samenvatting van mankeert daar iets. rige redenering nodig, die je zonder ongevraagde schriftelijke reacties Wil in het onderwijs enig idee over- veel theorie kunt ontdekken. die ons van diverse kanten bereikt gebracht worden van waar het bij Moraal: Begin met een overzien- hebben. wiskunde om draait, dan zullen we baar stuk wiskunde en eis dan Het is alleen maar comme il faut hier wat aan moeten doen. In deze exactheid, niet op het niveau van de dat ik eerst even opmerk dat ik conclusie voelt de commissie zich beroepswiskundige maar op dat nooit aan een middelbare school gesteund door de uitslagen van de van de leerling. Analyse (in de zin gewerkt heb, maar dat ik al heel enquêtes en de opiniepeilingen. van differentiatie en integratie) is lang Analyse-onderwijs geef aan Dat universitaire docenten in het hiervoor veel te gecompliceerd. De eerstejaars wiskunde- en natuur- algemeen begrip (op elementair commissie stelt voor, een deel van kundestudenten. niveau) belangrijker vinden dan het programma te wijden aan beheersing van technieken ligt mis- natuurlijke getallen (deelbaar- schien voor de hand, maar ook van heidskwesties) en getalrijen (inclu- Een kwestie van mentaliteit de schooldocenten wenst ruim de sief convergentie). helft meer aandacht voor redene- Deze aanpak heeft een bijprodukt. Sta mij toe dat ik begin met het ren en bewijzen (en vrijwel nie- Leerlingen die bezig zijn met een aspect dat mij persoonlijk het mand wil minder). onderwerp waarvan het begrip bin- meest bewogen heeft om aan het Een moeilijkheid bij de realisering nen hun bereik ligt (en van wie dat werk van de commissie mee te van deze wens is uiteraard de a pri- begrip ook werkelijk gevraagd doen. ori gegeven omvang van het pro- wordt) zullen eerder in staat zijn Iets dat mij erg opvalt bij pas aan- gramma. Blijkens de enquête vin- zelf oplossingen te bedenken en gekomen wiskundestudenten is dat den drie van de vier school- ook natuurlijk opkomende vragen ze zo vaak vragen of iets mag. ‘Mag docenten het huidige programma te zien, creatief te zijn, en te zien ik links en rechts met xvermenig- overladen. Er zal zeker voor dat wiskunde niet ooit door een vuldigen?’ ‘Mag ik nu opschrijven gezorgd moeten worden dat het hogere macht geopenbaard is, maar dat…?’ Erger: als ik dan antwoord niet zwaarder wordt. In ruil voor in de loop der tijden opgebouwd is dat ze het gerust mogen opschrij- betere begripsvorming zullen door mensen zoals zij. In verband ven zijn ze content, en als ik vervol- onderwerpen die nu nog voorko- daarmee vindt de commissie het gens wil weten of ze hun conclusie men moeten verdwijnen. De com- wenselijk, dat meer dan in het ver- wel kunnen verantwoorden kijken missie is van mening dat dit inder- leden aandacht besteed wordt aan ze me aan of ik ze bedrogen heb. daad mogelijk is. geschiedenis: Hoe is de theorie ont- Nu weet ik ook wel dat ze eigenlijk staan, en naar aanleiding waarvan? bedoelden ‘Als ik nu opschrijf dat..., krijg ik er dan een rode Consequenties streep doorheen?’ maar de zaak is Verdere overwegingen dat dàt hun criterium is en niet hun De leerling zal zich een andere eigen geweten. mentaliteit eigen moeten maken. Om praktische redenen zal het niet Een andere vorm van hetzelfde ver- Idealiter dient hij zich voortdurend doenlijk zijn, het hele programma schijnsel is dat ze zich zo weinig bewust te zijn van de betekenis van op deze leest te schoeien; ook voor rekenschap geven van de betekenis zijn uitspraken. Daartoe zal hij zich Analyse heeft onze commissie een van de formules waar ze mee wer- moeten aanwennen helder te rede- plaats ingeruimd. Ook daar dient Euclides 70-8 255 het streven naar meer begrip te Het gewenste programma - rekenen modulo n, restklassen worden bevorderd, of althans niet - de kleine stelling van Fermat in gehinderd. Het zal daarom nodig De opdracht van de commissie verband met het testen van pri- zijn, dat ook in de Analyse meer omvatte niet het opstellen van een maliteit aandacht aan ondubbelzinnig taal- gedetailleerd programma. Toch gebruik besteed wordt. Er moet, volgt hier een schets van een pro- bijvoorbeeld, duidelijk onderscheid gramma, ter illustratie van de I.B. Rijen en recursie gemaakt worden tussen termen als gedachten van de commissie en om Onderwerpen: ‘functie’, ‘functievoorschrift’, ‘ver- te laten zien hoe het zou kunnen. - volledige inductie gelijking’ en ‘gelijkheid’. Funda- De schets is heel globaal en daar- - eindige en oneindige rijen, ver- mentele begrippen als ‘functie’, door weinig zeggend. Je kunt wel schilrijen ‘vergelijking’ en ‘oplossing’ dienen ‘het begrip afgeleide functie’ als - recursief gedefinieerde rijen en meer aandacht te krijgen , en in de onderwerp opvoeren, maar daar- asymptotisch gedrag loop van de jaren in verschillende mee is nog volstrekt niet duidelijk contexten geplaatst te worden. hoe algemeen of tot in wat voor Een moeilijk punt in de besprekin- detail zoiets behandeld wordt. Dat I.C. Convergentie van rijen gen van onze commissie was de kan ook niet in een programma Onderwerpen: vraag wat er aan toepassingen van aangegeven worden; daarvoor zou - limiet van een rij de wiskunde gedaan moet worden. minstens steekproefsgewijs van een Voor- en nadelen springen in het aantal onderwerpen een heel pre- oog: toepassingen zijn motiverend cieze afbakening gegeven moeten en verhelderend; ze kosten tijd en worden, bijvoorbeeld door uit te vereisen niet-wiskundige kennis; ze werken hoe een hoofdstuk van een geven problemen bij het examine- schoolboek eruit kan zien, of wat ren. Na lang beraad was de slotsom voor opgaven de leerling voor ogen dat voor toepassingen binnen het zou krijgen. In principe kan dat, en totale wiskunde B-programma niet het rapport van de commissie geeft veel ruimte gereserveerd moet wor- een paar voorbeelden; in het kader den, maar dat wel plaats dient te van dit artikel is dat ondoenlijk. zijn voor een onderwerp naar keu- Daarom alleen de lijst met onder- ze van de leraar, te examineren via werpen. Deze lijst moet steeds een schoolonderzoek en niet cen- gezien worden binnen het kader traal. van twee krachtige aanbevelingen Een andere kwestie is het gebruik van de commissie: Besteed aan- van informatietechnologie. De ont- dacht aan begripsvorming, en zorg wikkeling van de computeralgebra dat het programma niet te zwaar zal op den duur een belangrijke wordt. verschuiving in het Analyse-onder- De stof is hier schattenderwijs ver- wijs teweegbrengen. Het klassieke deeld over tien blokjes van 25 les- functie-onderzoek wordt helemaal uren, waarvan er drie het onder- routinewerk zodra de goede appa- werp ‘discrete analyse’ vormen, ratuur er is. Het resultaat is dat drie ‘continue analyse’, en drie ruimte vrijkomt voor begripsvor- ‘meetkunde’; het tiende blokje ming. Zover is het nog niet hele- bevat een toepassing. maal maar ook nu kan het functie- onderzoek grotendeels vervallen en de begripsvorming gesteund wor- I.A. Grepen uit de getaltheorie den door verstandig toepassen van Onderwerpen: informatietechnologie. Wel moet - deelbaarheid van natuurlijke ervoor gezorgd worden dat het pro- getallen gramma niet vastgepind wordt aan - de grootste gemene deler, algorit- specifieke apparatuur en daarmee me van Euclides elke paar jaar verouderd is. - priemgetallen, hoofdstelling van de getaltheorie 256 Euclides 70-8 - convergentie II.B. Functie en grafiek III.A. Incidenties in de ruimte - rekenregels voor limieten Onderwerpen: Onderwerpen: - sommeerbare meetkundige rijen - kritische analyse van grafieken - onderlinge ligging van punten, - decimale ontwikkeling van ratio- - berekening van extreme waarden lijnen, vlakken in de ruimte nale en irrationale getallen - numerieke methoden - redeneren vanuit enkele grondre- gels - construeren in ruimtefiguren II.A. Differentiëren II.C. Bewegingen in het vlak - hoeken en afstanden Onderwerpen: Onderwerpen: - parallelprojectie en centrale pro- - raaklijn van een grafiek - bewegingsvergelijkingen, para- jectie - het begrip afgeleide functie metervoorstelling van een krom- - rekenregels voor het differentië- me ren - snelheidsvector en raaklijn III.B. Vlakke meetkunde - het differentiëren van rationale - spiraalkrommen, cycloïde, car- Onderwerpen: functies, wortelfuncties, expo- dioïde, figuren van Lissajous - invariante eigenschappen van nentiële functies, logaritmische vlakke figuren bij parallelprojec- functies en goniometrische func- tie en centrale projectie ties - verhouding en dubbelverhouding Studiecommissie Wiskunde B vwo, van links naar rechts: mevr. drs. A. Breeman, prof. dr. A.C.M. van Rooij, prof. dr. J. de Lange (voorzitter), mevr. drs. A. Verweij, dr. J.A. van Maanen, drs. J.W. Maassen, prof. dr. P.L. Cijsouw. Euclides 70-8 257 - oneigenlijke punten van het vlak - bijzondere lijnen in een driehoek Korrel - harmonische ligging en volledige vierhoek De uitvinding van het wiel - dualiteit De (struc)stuurgroep Profielen heeft con- touren geschetst van vernieuwingen in de III.C. Meetkunde en analyse bovenbouw van het vwo en havo. Con- Onderwerpen: touren van structuren. En hoe vaag dat - vectoren in een driedimensionaal ook klinkt: die kloppen nog niet eens. Zo dreigt een verantwoorde invulling van het rechthoekig assenstelsel, inpro- vak wiskunde voor het havo ernstig dukt en loodrechte stand bekneld te raken tussen de structuren. - analalytische voorstellingen van Het ministerie pleegde een ingreep: wis- lijn, cirkel, schroeflijn, vlak, cilin- kunde wordt uit het algemeen verplichte der, kegel, bol deel verwijderd. Daarmee benadrukkend dat wiskunde geen algemeen vormend - raaklijnen en vlakken karakter heeft. - inhoudsberekening met toepas- Inhouden vindt men niet terug in de sing van de analyse plannen van de stuurgroep. Die inhou- den worden immers ontwikkeld door vakontwikkelgroepen met vakinhoudelij- IV. Toepassingen (naar keuze) ke deskundigen? En wel heel erg snel, want op 20 juni vindt de veldraadpleging Naar keuze een van de volgende plaats. De vakontwikkelgroep heeft een onderwerpen: grote vrijheid in het ontwikkelen van - cryptosystemen (bijvoorbeeld het acht examenprogramma’s en RSA-systeem) mag het wiel opnieuw uitvin- - discrete dynamische modellen den. Dus veldraadpleging en inhoudelijke experimenten - optimaliseringsproblemen lijken op hun plaats. - de wetten van Kepler Inhoud stond voorop bij de - kaartprojecties Studiecommissie Wiskunde - construeren in perspectief B. Dat verklaart waarschijn- - een onderwerp naar keuze te lijk dat geen enkel lid van de bepalen door de docent Wiskunde B-commissie in de vakontwikkelgroep zit. Waarom ook inhoud en structuur op elkaar afstemmen? De vaardigheid ‘afstemmen’ moet waarschijnlijk nog in het studiehuis ontwikkeld worden. Het ministerie heeft in april besloten dat er geen project komt om de nogal revolu- tionaire plannen van de vakontwikkel- groep van inhoud te voorzien. Het tijd- pad moet gehaald worden, de zaak niet onnodig complex, en de vakinhouden niet vernieuwd. Terwijl de leek dacht dat de stuurgroepplannen op inhoude- lijke vernieuwing waren gericht. VSNU, NOCW, NVvW, Vakontwik- kelgroep en Freudenthal instituut heb- ben in niet mis te verstane bewoordin- gen geprotesteerd. Structuurvernieuwingen zonder in- houd - dat wiel wordt op het ministerie steeds weer uitgevonden. Jan de Lange 258 Euclides 70-8 Wiskunde B voortgezet onderwijs zelf. Dat onderzoek leidt mede tot aanbeve- lingen voor de inhoud van het vak en de samen- wiskunde-B die mij in het algemeen buitengewoon verstandig lijken. Ik kan mij met name goed voorstellen dat de commissie bezorgd is over de leving omvang van het vak voor het profiel Natuur en Techniek, waar toch de basis gelegd moet worden voor de A.H.G. Rinnooy Kan opleiding van de hoog gekwalifi- ceerde technische specialisten waar- naar het bedrijfsleven in Nederland nu al af en toe tevergeefs op zoek gaat. Als op één punt de commissie Een wereld zonder wiskunde is niet hoger tempo over de wereldmarkt nog wel iets ambitieuzer had mogen voorstelbaar, zeker niet voor van hot naar her, voorafgegaan zijn, dan is het wat mij betreft op het (ex)wiskundigen. En een (ex)wis- door en opgevolgd door stromen punt van de toepassingen van de kundige die thans de belangen van van geld en informatie, en het is wiskunde. Daar kan, volgens de het bedrijfsleven behartigt, voegt opnieuw de wiskunde die het in- commissie, ’niet veel ruimte voor daar zonder aarzeling aan toe: een strumentarium biedt dat orde kan worden ingeruimd’. Het spreekt economie zonder wiskunde is ook scheppen in deze niet altijd alleen vanzelf dat de wiskunde zelf voorop niet voorstelbaar. Wie daaraan nog ogenschijnlijke chaos. Ja, het is zelfs moet blijven staan, maar juist om mocht twijfelen, kan zich dagelijks alleen de wiskunde die de chaos zelf jonge leerlingen (en in het bijzonder laten overtuigen door berichten in analyseerbaar, hanteerbaar en ver- meisjes) te motiveren voor een in de media. De moderne industrie klaarbaar wist te maken. eerste aanleg abstract ogend vak als laat zich niet denken zonder hoog- wiskunde zijn goede en actuele toe- waardige technische produktiepro- Als een economie zonder wiskunde passingen essentieel. Er ligt hier een cessen, waaraan wiskundige inzich- niet voorstelbaar is, dan heeft een mogelijke relatie met de door de ten ten grondslag liggen, en laat zich economie zonder wiskundigen wei- commissie bepleite grotere variatie ook niet denken zonder een hoog- nig kans van overleven. Aan die wis- in schooltoetsen - naast schriftelijke waardige besturing van die produk- kundigen is behoefte, maar breder toetsen ook mondelinge toetsen en tieprocessen die eveneens gebaseerd nog is de behoefte aan belangstelling projectwerk, eventueel zelfs door is op wiskundige modelbouw. Waar en waardering voor het vakgebied groepen uit te voeren. Juist die gro- de mens teruggedrongen wordt en dat zij vertegenwoordigen. Zelfs wie tere variatie zou aan kunnen sluiten vervangen wordt door de perfectie niet de pure wiskunde of informati- bij een grotere variatie in de wijze van de automaat, gebeurt dat zon- ca als specialiteit kiest, krijgt met waarop onderwerpen worden aan- der uitzondering op basis van wis- wiskunde te maken en zal zich niet geboden. Verlevendiging en diep- kundige analyse, of het nu gaat om kunnen permitteren daar met een gang hoeven elkaar hier absoluut de robot, de spraakcomputer of het schrikreactie afstand van te nemen. niet uit te sluiten. schaakprogramma dat aan de Goed en aanstekelijk wiskunde- lopende band grootmeesters weet te onderwijs is van essentiële beteke- Ieder die intensief met de wiskunde kloppen. Computers leveren dag en nis. Er valt op dit vakgebied nog een heeft kennis gemaakt, herkent de nacht meer gegevens aan ten dienste hardnekkig negatief vooroordeel bij door de commissie genoemde ver- van de besturing van economieën scholieren, studenten en hun ouders rassendheid en elegantie als wezens- en ondernemingen dan ooit voor weg te werken. kenmerken van het vakgebied. Maar mogelijk werd gehouden, en de ver- daarnaast is wat wel de onberede- werking van al die gegevens is Het is dan ook een gelukkige zaak neerbare bruikbaarheid van wis- opnieuw een taak waar de wiskunde dat een studiecommissie nog eens kunde wordt genoemd ook een de basis voor moet leggen, variërend kritisch gekeken heeft naar het wis- belangrijk aspect van het vak. Wie van descriptieve conjunctuuranaly- kunde-B pakket van het vwo. Ver- langs die route tot de wiskunde se tot normatieve kwaliteitsbewa- standig is het ook dat daarbij is uit- bekeerd wordt, kan in het 21-ste king. Goederenstromen in steeds gegaan van uitgebreid veldonder- eeuwse Nederland een meer dan grotere volumina gaan in steeds zoek bij universiteiten en in het nuttige bijdrage leveren. Euclides 70-8 259 Dit artikel gaat over de aansluiting van het dien werden veel technieken stuk voor stuk en redelijk geïsoleerd nieuwe onderbouwprogramma op de huidige aangeboden. Ik ben van mening dat veel leerlingen hebben geleerd bovenbouw van havo en vwo. Op de vraag naar ‘optisch’ te manipuleren. Daarmee bedoel ik dat leerlingen in geïso- mogelijke knelpunten bij die aansluiting wordt leerde situaties leerden om mani- pulaties uit te voeren volgens een vrijwel altijd ‘algebra’ genoemd. Grote zorg van te voren aangeboden vergelijk- baar voorbeeld. Zo werden letters bestaat dan over de aansluiting op wiskunde B. verplaatst (naar links, naar rechts) of verwijderd (wegstrepen), en Volgend schooljaar gaat de eerste lichting werden haakjes geplaatst of verdre- ven, soms zelfs zonder dat het ach- ‘basisgevormde’ leerlingen naar de derde klas terliggende idee van vermenigvul- digen en delen nog expliciet aan de havo en vwo. Misschien een goed moment om orde werd gesteld. Als nu later, bij- voorbeeld in de bovenbouw, een stil te staan bij de rol van algebra in dit en het beroep gedaan wordt op deze vaar- digheden om daarmee functies en vorige onderbouwprogramma. Er zijn duidelijke verbanden te analyseren, blijken veel leerlingen niet thuis te geven. verschillen tussen deze programma’s. Of die Als vaardigheden aangeleerd wor- den los van de bijbehorende pro- verschillen uitpakken ten nadele van het nieuwe bleemsituaties is het later op het juiste moment toepassen van die programma is de vraag. vaardigheden natuurlijk uiterst las- tig. Van algebra Algebraïsche expressies Laten we eens even stil staan bij een naar analyse aantal algebraïsche expressies zoals die in onderbouw aan de orde kwa- men: Kees Hoogland a 2x (cid:2)4(cid:4)2(x(cid:2)2) b 2x(cid:2)4(cid:4)10 c (x(cid:2)a)2(cid:4)x2(cid:2)2ax(cid:2)a2 d y(cid:4)ax(cid:2)b e x(cid:4)(cid:3)b/2a Algebraïsche vaardigheid waren dan de formules en functie- f ap(cid:5)aq(cid:4)ap(cid:2)q voorschriften die op datzelfde g a(cid:5)b(cid:4)b(cid:5)a Het probleem van de algebra en de moment aan de orde waren. De voorbereiding op wiskunde B ver- legitimatie was dat vaardig zijn in Komen deze expressies voor in een dient het om wat meer uiteengera- het manipuleren als belangrijkste redelijk geïsoleerd hoofdstuk voor- feld te worden. hulpmiddel werd gezien voor het zien van een aantal locale didactie- In het oude onderbouwprogram- oplossen van wiskundige proble- ken, dan vinden wij dat de leerlin- ma nam het letterrekenen een men. Het oefenen vond extensief gen de door deze expressies belangrijke plaats in. Het letterre- plaats, meestal zonder dat de daad- gesuggereerde handelingen moeten kenen gebeurde met vormen als werkelijk op te lossen problemen, beheersen. Als je ze zo bij elkaar zet a2(cid:2)7a(cid:3) 18, a2bc3/ab4c6, 4p2(cid:3) waarvoor de oefening uiteindelijk dan spreekt er toch wel enige 24pq(cid:2)9q2, die veel ingewikkelder nodig was, in zicht waren. Boven- inconsistentie uit onze pogingen. 260 Euclides 70-8