Etude des équations stationnaires de Stokes et Navier-Stokes dans des domaines extérieurs Frédéric Alliot To cite this version: Frédéric Alliot. Etude des équations stationnaires de Stokes et Navier-Stokes dans des domaines extérieurs. Mathématiques [math]. Ecole des Ponts ParisTech, 1998. Français. ￿NNT: ￿. ￿tel- 00005589￿ HAL Id: tel-00005589 https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-00005589 Submitted on 5 Apr 2004 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. TH¨SE prØsentØe pour l’obtention du dipl(cid:244)me de DOCTEUR DE L’(cid:201)COLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS(cid:201)ES SpØcialitØ : MathØmatiques AppliquØes prØsentØe par FrØdØric ALLIOT Sujet de la thŁse Etude des Øquations stationnaires de Stokes et Navier-Stokes dans des domaines extØrieurs Soutenue le 3 Juillet 1998 devant le jury composØ de : PrØsident : Jean-Claude NEDELEC Directeur de thŁse : ChØrif AMROUCHE Rapporteurs : Jean-Yves CHEMIN Vivette GIRAULT Jacques SIMON Examinateurs : Jean GIROIRE Claude LE BRIS Pour mes parents, avec amour et admiration. Pour mon frŁre, Pascal, pour ma soeur, Emilie. Pour Laurent. Jean-Claude NØdØlec m’a fait le grand honneur de prØsider le jury de cette thŁse. Je souhaite lui exprimer ici mon respect et ma gratitude. ChØrif Amrouche est (cid:224) l’origine de ce travail et l’a dirigØ en donnant beaucoup de son temps. Son exigence de clartØ et de rigueur m’a beaucoup apportØ. Je lui en suis trŁs reconnaissant comme du soutien qu’il m’a tØmoignØ lors de moments dØcisifs. Je suis trŁs honorØ que Jean-Yves Chemin, Vivette Girault et Jacques Simon aient acceptØ de rØdiger un rapport sur mon travail. Leur patience et leurs conseils appellent mes sincŁres remerciements. JeremercievivementJeanGiroired’avoirparticipØaujuryetdesesencouragements. Claude Le Bris a suivi avec attention la progression de mon travail. Il a su Œtre (cid:224) l’Øcoute de mes prØoccupations et ses conseils m’ont ØtØ prØcieux. Il m’a en(cid:28)n honorØ de sa prØsence dans le jury. Pour tout cela et aussi pour sa sympathie quotidienne, je lui dis merci. J’aieulachance d’e(cid:27)ectuer mathŁseauCERMICS.Je suisreconnaissant (cid:224) Bernard Larrouturou et (cid:224) Bernard Lapeyre de m’avoir permis de bØnØ(cid:28)cier des conditions de travail remarquables de ce laboratoire. Le soutien chaleureux de mes collŁgues, leur gentillesse et leurs encouragements ont aussi contribuØ (cid:224) l’aboutissement de cette thŁse; je les en remercie. Jean-FrØdØric Gerbeau m’a fait cadeau de son amitiØ. Je ne sais que lui dire merci. Pour leur sympathie lors de mon passage (cid:224) l’universitØ d’Amiens, je remercie StØ- phane Ducay, Dominique Schneider, Louis Pernas ainsi que toute l’Øquipe des ATER de mathØmatiques. Je voudrais aussi remercier VØronique Serre, Imane Hamade et Sylvie Petit dont le sourire et la disponibilitØ ont rendu mon travail au CERMICS encore plus agrØable. En(cid:28)n, mes remerciements vont (cid:224) tous ceux qui m’ont accompagnØ, de prŁs ou de loin, ces derniŁres annØes. TABLE DES MATI¨RES 5 Table des matiŁres Introduction 7 I Le problŁme de Stokes dans Rn 17 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Gradient et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 Preuve de la densitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Primitives et espaces avec poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Existence et unicitØ pour le problŁme de Stokes . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1 UnicitØ des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Existence dans les espaces avec poids . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Comportement asymptotique des solutions . . . . . . . . . . . . . 31 4 Solutions explicites du problŁme (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.1 Le cadre classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2 Extension (cid:224) des donnØes non rØguliŁres . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3 DØveloppements asymptotiques gØnØralisØs . . . . . . . . . . . . . 39 5 RØgularitØ des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.1 RØgularitØ des dØrivØes secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 p 5.2 D’autres rØsultats de rØgularitØ L . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3 RØgularitØ et espace 1(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 H 6 Le cas p=+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1 Annexe: A propos de l’hypothŁse (H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 II Le problŁme extØrieur de Stokes 59 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2 Espaces avec poids, gradient et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.1 Traces et relŁvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2 Gradient et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3 Existence et unicitØ pour le problŁme (Sext) . . . . . . . . . . . . . . . . 63 p 3.1 CaractØrisation des noyaux l ((cid:10)) . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 N 3.2 Existence dans les espaces avec poids . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4 RØgularitØ des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6 TABLE DES MATI¨RES 5 DØveloppements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 IIIEquations stationnaires de Navier-Stokes: Solutions faibles 85 1 Solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.1 Existence de solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2 RØgularitØ des solutions faibles en dimension 3. . . . . . . . . . . . . . . 88 p 2.1 RØsultats de rØgularitØ L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.2 Un rØsultat de rØgularitØ pour la pression dans R3 . . . . . . . . 96 3 Quelques solutions explicites en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1 Construction de solutions explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.2 IntØgrabilitØ et dØcroissance des solutions explicites. . . . . . . . 100 3.3 UnicitØ des solutions explicites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Annexe: UnicitØ des solutions faibles en dimension 4 . . . . . . . . . . . . . 110 IVMØthodes de point (cid:28)xe et applications 113 1 Notations et principaux rØsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2 Existence de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.1 Le cadre abstrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.2 Application aux Øquations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . 118 3 EgalitØ d’Ønergie et unicitØ des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4 Le problŁme (NS) dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.1 Existence de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 1 4.2 Un rØsultat de rØgularitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 H 4.3 UnicitØ des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5 Retour sur le problŁme extØrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.1 Identi(cid:28)cation de la partie homogŁne . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.2 Un rØsultat de rØgularitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Annexe: Preuve de la Proposition 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Bibliographie 154 introduction 7 Introduction La modØlisation des Øcoulements (cid:29)uides a connu au dix-neuviŁme siŁcle une avancØe considØrable. Les Øquations dØrivØes par L.M.H. Navier et C.G. Stokes, qui portent aujourd’hui leurs noms, en sont sans aucun doute la trace la plus marquante. Celles- ci gouvernent l’Øvolution du champ de vitesses u et de la pression (cid:25) dans un (cid:29)uide homogŁne incompressible soumis (cid:224) des forces extØrieures. Elles tiennent compte d’une part des propriØtØs de transport des particules (cid:29)uides dØj(cid:224) mises en Øquation par Euler. D’autre part, elles dØcrivent de plus les pertes d’Ønergie cinØtique dues aux "frictions" entre particules qui produisent en contrepartie de la chaleur. Ce phØnomŁne se traduit mathØmatiquement par l’introduction d’un terme de dissipation dont l’intensitØ est quanti(cid:28)Øe par un coe(cid:30)cient (cid:23) > 0, dit viscositØ cinØmatique. Pour un (cid:29)uide de densitØ 1, on obtient alors le systŁme: @u (cid:23)(cid:1)u +u: u + (cid:25) =f; @t (cid:0) r r divu = 0: Ce modŁle, relativement simple du point de vue physique, est pertinent pour dØ- crire nombre de situations rØelles. Pour le mathØmaticien, il reste source de multiples questions, malgrØ des progrŁs consØquents dans les cinquante derniŁres annØes. Pour un large panorama des rØsultats classiques et des problŁmes ouverts, nous invitons le lecteur (cid:224) consulter par exemple R. Temam [66] et P.L. Lions [51]. Dans ce travail, nous nous e(cid:27)or(cid:231)ons, (cid:224) notre mesure, d’apporter une meilleure comprØhension de quelques aspects mathØmatiques liØs (cid:224) ces Øquations. 0 Etant donnØ un ouvert bornØ rØgulier (cid:10) et (cid:10) le complØmentaire de son adhØrence, nous considØrons plus prØcisØment, en dimension 2 ou 3, le problŁme stationnaire: (cid:23)(cid:1)u +u: u + (cid:25) =f dans (cid:10); (cid:0) r r (NS) divu =0 dans (cid:10); u =0 sur @(cid:10): L’Øtude mathØmatique du problŁme (NS) a ØtØ initiØe, comme celle du problŁme d’Øvolution, par les travaux des annØes trente de J. Leray [47, 48]. Il a notamment 8 introduction montrØ l’existence de solutions d’Ønergie (cid:28)nie, c’est (cid:224) dire, telles que: 2 u L ((cid:10)): r 2 Ajoutons de plus la condition (cid:224) l’in(cid:28)ni jxj!+1 u(x) u1; (0.1) (cid:0)! oøu1 estunvecteurnon-nul.Alors,lesystŁmerØgitl’ØcoulementstationnaireengendrØ 0 par un obstacle ((cid:10)) se dØpla(cid:231)ant (cid:224) la vitesse u1 dans un (cid:29)uide au repos (cid:224) l’in(cid:28)ni, (cid:0) vitesse et pression Øtant dØcrites dans un repŁre attachØ (cid:224) l’obstacle. La condition au bord modØlise l’adhØrence du (cid:29)uide (cid:224) l’obstacle. La construction e(cid:27)ectuØe par J.Leray nepermet pasde prendre en compte lacondi- tion (0:1), Øtape qui est franchie dans les annØes soixante, avec les articles de R. Finn [21, 23, 22] et D.R. Smith [60, 24]. Par exemple, en dimension 3, ceux-ci Øtablissent l’existence pour une viscositØ assez grande d’une seule solution du problŁme (NS) sa- tisfaisant (cid:224) l’in(cid:28)ni (cid:0)1 u(x) u1 = O(r ): (cid:0) Elle est en particulier d’Ønergie (cid:28)nie sous des hypothŁses convenables de rØgularitØ et de dØcroissance de f. De plus, pour cette solution, l’Ønergie dissipØe par viscocitØ Øquilibre le travail des forces extØrieures dans l’Øcoulement. Plus important encore, une Øtude (cid:28)ne de la structure asymptotique de la vitesse met en Øvidence la formation d’un sillage parabolique (cid:224) l’arriŁre de l’obstacle. Ce fait est remarquable poursaconcordance qualitative avec les caractØristiques physiques de l’Øcoulement considØrØ. La restriction sur la taille de la viscositØ est ensuite levØe en dimension 3 par K.I. Babenko dans [7]. En l’occurence, lorsque f = 0, mais u1 = 0 est quelconque, les 6 propriØtØsmisesenØvidenceparR.FinnsontenfaitvØri(cid:28)Øespartoutesolutiond’Ønergie (cid:28)nievØri(cid:28)ant(0:1).EnvisageantplusrØcemmentdesforcesf plusgØnØrales,desrØsultats comme ceux de C.G. Galdi (voir [25], Chap. IX) ou de R. Farwig [20] prolongent les prØcØdents. A l’exception de J. Leray, les auteurs citØs ci-dessus fondent leurs dØmonstrations sur une Øtude (cid:28)ne du problŁme (NS) linØarisØ autour de u1 = 0. C’est (cid:224) dire, en 6 supposant u1 orientØ selon le premier vecteur de base de Rn et en notant v =u u1, (cid:0) le problŁme d’Oseen: @v (cid:23)(cid:1)v + u1 + (cid:25) = f (cid:0) j j@x1 r dans (cid:10); divv =0 vj@(cid:10) = u1; lim v(x) = 0: (cid:0) jxj!+1