UNITEXT 107 Rocco Chirivì · Ilaria Del Corso Roberto Dvornicich Esercizi scelti di Algebra Volume 1 UNITEXT – La Matematica per il 3+2 Volume 107 Editor-in-Chief A.Quarteroni SeriesEditors L.Ambrosio P.Biscari C.Ciliberto C.DeLellis M.Ledoux V.Panaretos W.J.Runggaldier www.springer.com/series/5418 Rocco Chirivì (cid:2) Ilaria Del Corso (cid:2) Roberto Dvornicich Esercizi scelti di Algebra Volume 1 RoccoChirivì RobertoDvornicich DipartimentodiMatematicaeFisica DipartimentodiMatematica UniversityofSalento UniversityofPisa Lecce,Italy Pisa,Italy IlariaDelCorso DipartimentodiMatematica UniversityofPisa Pisa,Italy ISSNversionecartacea:2038-5722 ISSNversioneelettronica:2532-3318 UNITEXT–LaMatematicaperil3+2 ISBN978-88-470-3960-5 ISBN978-88-470-3961-2(eBook) DOI10.1007/978-88-470-3961-2 ©Springer-VerlagItaliaSrl.2017 Quest’operaèprotettadallaleggesuldirittod’autoreelasuariproduzioneèammessasoloedesclu- sivamenteneilimitistabilitidallastessa.Lefotocopieperusopersonalepossonoessereeffettuatenei limitidel15%diciascunvolumedietropagamentoallaSIAEdelcompensoprevistodall’art.68.Le riproduzioniperusononpersonalee/ooltreillimitedel15%potrannoavveniresoloaseguitodispeci- ficaautorizzazionerilasciatadaAIDRO,CorsodiPortaRomanan.108,Milano20122,e-mailsegrete- [email protected]. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all’utilizzo di illustrazioni e tabelle,allacitazioneorale,allatrasmissioneradiofonicaotelevisiva,allaregistrazionesumicrofilmoin database,oallariproduzioneinqualsiasialtraforma(stampataoelettronica)rimangonoriservatianche nelcasodiutilizzoparziale.Laviolazionedellenormecomportalesanzioniprevistedallalegge. L’utilizzoinquestapubblicazionedidenominazionigeneriche,nomicommerciali,marchiregistrati,ecc. anchesenonspecificatamenteidentificati,nonimplicachetalidenominazioniomarchinonsianoprotetti dallerelativeleggieregolamenti. Immaginedicopertina:“Quadrati,cerchiesimmetrie”diRoccoChirivì©(2017) QuestaedizioneèpubblicatadaSpringerNature LasocietàregistrataèSpringer-VerlagItaliaSrl. AdAndrea, chesa cos’èlamatematica Rocco AFrancesca, conl’augurio chesappia scoprire ecoltivarelepropriepassioni Ilaria Aigiovanichegiàamanoochepotrebbero amare lamatematica Roberto Prefazione Questoèunlibrodiesercizidialgebra,comprensivodellenotediteorianecessarie qualeriferimentoperlasoluzionedeitestiproposti.Èbasatosull’esperienzadivari decenni di insegnamento dell’algebra all’Università di Pisa e raccoglie i testi e le relativesoluzionidegliesercizipropostiagliesamineglianni. Unmotivochecihaportatoallapreparazionediquestolibroèl’ideachelamate- maticasipossaimpararesoloreinventandola,eperfareciònonc’èmodomigliore cheelaborarelesoluzionidegliesercizi.Altroforteimpulsoalnostrolavoroèstata laconvinzionechegliesercizipresentatiabbianodellecaratteristichechelirendono diversidatuttiglialtri.Laprimaèlanonserialità:nonesistonoesercizi“ripetuti”, ossiaesercizichesidifferenzianofralorosoloperlavariazionedialcuniparametri, mailcuimetododisoluzioneèessenzialmentelostesso.Laseconda,eforsefonda- mentale,è quellache nonproponiamoeserciziche si possano affrontare con sem- plicistrumentidiroutine:ogniesercizio,peressererisolto,habisognodiun’idea. Chiunque si sia cimentato con la matematica sa come questo cambi completa- mente, da una parte, il livello di difficoltà di un esercizio, e, dall’altra, il suo in- teresse intrinseco. Il progresso culturale che deriva dal risolvere un esercizio che richiede delle idee è incomparabilmente superiore a quello della soluzione di un esercizio per cui basta la mera applicazione di tecniche apprese. Abbiamo inoltre l’ambizione di ritenere che le idee necessarie per risolvere i nostri esercizi si dif- ferenzino abbastanza nettamente l’una dall’altra, e che questo aspetto sia uno dei motividimaggioreinteressedellibro.Daquestopuntodivista,potremmodescri- vereilnostrocomeunlibrodiproblemidialgebrapiuttostocheunlibrodiesercizi. Invirtùdellastoriadell’UniversitàdiPisa,chehatraisuoistudentianchequelli della Scuola Normale Superiore, è possibile che gli esercizi proposti in questo li- bro siano a volte più difficili rispetto alla media degli esercizi proposti nei testi di esamenelleuniversitàitaliane.Tuttavia,loscopodiquestolibroèdistimolareilra- gionamentoepreparareglistudenti,nelmodomigliore,allostudiodell’algebra.Il nostroconsiglioimportantissimoailettorièquindi:noncadetemainellatentazione diguardarelasoluzionesenzaaverprovatoabbastanzaalungoarisolvereuneser- cizio.Studiareunasoluzionegiàpronta,anchesesitrattadiunasoluzioneelegante, non porta ad una vera crescita; come dicevamo sopra, per imparare la matematica vii viii Prefazione bisognafarelamatematica.Èinfattilaricercadiunasoluzionechearricchisceefa scoprireilegamifralecose,legamichesonoestremamenteimportantinellostudio. Inoltre,speriamoinquestomododiincuriosireglistudentiall’approfondimentodei temitracciatinellepocherighedeltestodiunproblema. L’organizzazione del libro segue lo sviluppo storico dell’insegnamento dell’al- gebraneiprimiannidelcorsodilaureainmatematicadell’UniversitàdiPisa.Dopo unperiodoincuilostudioeraconcentratoinuncorsochesisvolgevainteramenteil primoanno,conilpassaggioalladifferenziazionefralaureatriennaleelaureama- gistraleilcorsoèstatodivisoindueparti,unachiamataAritmeticaeunachiamata, inunprimomomento,StruttureAlgebricheesuccessivamenteAlgebra1.Essecor- rispondonoesattamenteall’organizzazionediquestolibroinduevolumi. La parte di Aritmetica riguarda essenzialmente lo studio di strumenti di base, qualil’induzione,alcunielementidicalcolocombinatorio,inumeriinterielecon- gruenze.Aciòsegueun’introduzioneallostudiodelleproprietàbasilaridellestrut- turealgebriche:igruppiabeliani,glianelli,ipolinomielelororadici,leestensioni dei campi e i campi finiti. Nel secondo volume, relativo a Strutture Algebriche e Algebra1,siapprofondisconolateoriadeigruppi,glianellicommutativiconparti- colareriferimentoallafattorizzazioneunica,leestensionideicampiesiintroducono lenozionifondamentalidellateoriadiGalois. Ciascunaparteèaccompagnatadarichiamiteoriciriguardantilamateriaoggetto degli esercizi. Tale parte teorica, benché esaustiva non ha comunque la pretesa di sostituireunlibroditestodialgebrae,inparticolare,irisultatirichiamatinonhanno dimostrazione.(Perogniapprofondimentoillettorepuòconsultare,adesempio,il volume “Algebra” di I.N. Herstein, Editori Riuniti, oppure “Algebra” di M. Artin, BollatiBoringhieri.) Illibrocontieneinoltreunaseriediesercizipreliminari.Essidovrebberoessere affrontatiperprimiinquantoleloroconclusionisonospessousatenellesoluzioni degliesercizisuccessivi.Vogliamoinfinesottolinearechetuttelesoluzioniquipro- posteusanosologlistrumentiteoricirichiamatiegliesercizipreliminari.L’utilizzo diteoremipiùavanzatipermetterebbedirisolvereinmodopiùagevole,oinalcuni casirenderebbebanali,gliesercizi;maciòèdeltuttocontrarioallospiritoconcui questolibroèstatoscritto. Ringraziamenti.VogliamoringraziareCiroCilibertoperilsuosostegno,ladotto- ressaFrancescaBonadeidiSpringerItaliaperilpreziosoaiutoe,inparticolarmodo, glistudentichenegliannihannoseguitolenostrelezionieaffrontatoglieserciziqui propostiagliesami. Aggiornamenti. Invitiamo i lettori a farci avere le loro impressioni e a segna- larci eventuali errori, quasi inevitabili in un libro con dettagliate soluzioni di ol- tre 250 esercizi, via posta elettronica a [email protected], [email protected]@unipi.it. Per aggiornamenti e errata corrige è possibile consultare la pagina web http:// www.dmf.unisalento.it/~chirivi/libroEserciziAlgebra.html. PisaeLecce,Italia RoccoChirivì giugno2017 IlariaDelCorso RobertoDvornicich The nicethingaboutmathematicsisdoing mathematics PierreDeligne Indice 1 Richiamiditeoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Nozionifondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Gliinsiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Leapplicazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Lerelazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Ilprincipiodiinduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Leoperazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.6 Inumeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Inumeriinteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Ladivisibilitàtrainteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Lecongruenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 L’aritmeticamodulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Igruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.1 Definizioneeprimeproprietà . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.2 Sottogruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.3 Prodottodisottogruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.4 Classilateralidiunsottogruppo . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.5 Sottogruppinormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.6 Ilgrupposimmetrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.7 Omomorfismidigruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.8 Prodottodirettodigruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5 Glianelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5.1 Definizioneeprimeproprietà . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5.2 Sottoanelli,idealiequozienti . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.5.3 Anellidipolinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5.4 Divisibilitàtrapolinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.5.5 Fattorizzazionedipolinomi . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.5.6 Quozientidianellidipolinomi . . . . . . . . . . . . . . 42 1.6 Icampi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 xi