Collana di Fisica e Astronomia A cura di: Giorgio Parisi Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guido Montagna Oreste Nicrosini Franco Pacini Luca Peliti Alberto Rotondi Esercizi di Fisica: Meccanica e Termodinamica G. Dalba, P. Fornasini Esercizi di Fisica: Meccanica e Termodinamica 1 3 GIUSEPPEDALBA,PPPAOLOFORNASINI Dipartimento di Fisica Università di Trento Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.it © Springer-Verlag Italia,Milano 2006 ISBN 10 88-470-0404-7 ISBN 13 978-88-470-0404-7 Quest’opera è protetta dalla legge sul diritto d’autore.Tutti i diritti,in particolare quelli relativi alla tradu- zione,alla ristampa,all’uso di figure e tabelle,alla citazione orale,alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfilm o in database,alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale.Una riproduzione di quest’opera,oppu- re di parte di questa,è anche nel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d’au- tore,ed è soggetta all’autorizzazione dell’Editore.La violazione delle norme comporta sanzioni previste dalla legge. L’utilizzo di denominazioni generiche,nomi commerciali,marchi registrati,ecc.,in quest’opera,anche in assenza di particolare indicazione,non consente di considerare tali denominazioni o marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio. Riprodotto da copia camera-ready fornita dagli Autori Progetto grafico della copertina:Simona Colombo,Milano Stampato in Italia:Signum,Bollate (Mi) Prefazione La soluzione di esercizi rappresenta non solo uno strumento di verifica dell’apprendimento,maancheesoprattuttounmodopermegliocomprendere e assimilare i concetti di base e le procedure logiche della Fisica. Questa raccolta `e nata da una lunga pratica degli Autori nell’insegnamento della Meccanica e della Termodinamica nei corsi di laurea in Fisica, Mate- matica e Ingegneria presso l’Universit`a di Trento. Ilprimocapitolo`ededicatoallapresentazionedialcuniimportanti“strumenti di lavoro”: si inizia con i sistemi di unita` di misura (in particolare il Sistema Internazionale)econl’usodell’analisidimensionale;sipassapoialsignificato eall’usodellecifresignificativeedelletecnicheperl’arrotondamento;vengono infine forniti suggerimenti per disegnare in modo corretto ed efficace grafici con scale lineari e non lineari. I capitoli successivi contengono gli esercizi, suddivisi per argomenti: statica, cinematica, dinamica del punto, dinamica dei sistemi, dinamica del corpo rigido,oscillazioni,termodinamica.Generalmente,lastaticavieneintrodotta come caso particolare della dinamica. La scelta di iniziare questa raccolta dalla statica consente di acquistare subito familiarita` con il formalismo vet- toriale. La definizione di forza basata sui principi della dinamica verra` co- munque introdotta nel capitolo dedicato alla dinamica del punto. Ogni capitolo si articola in paragrafi, costituiti da una scheda riassuntiva e da alcuni esercizi completamente svolti. Ogni capitolo si conclude con una serie di problemi non risolti. Leschederiassuntivehannoloscopodirichiamareinmodosinteticoconcetti chesisuppongonogia`acquisitiinformasistematicaeapprofonditaseguendo le lezioni in aula e studiando i libri di testo. Le schede di questo volume non costituiscono (e quindi non sostituiscono) un libro di testo. Gliesercizicompletamentesvoltihannoloscopodifamiliarizzarelostudente conunametodologiadirisoluzionerazionale,basatasempresull’analisiaccu- ratadeidatiadisposizioneesulriferimentoaiprincipiealleleggidellaFisica, maisullasolaintuizione.Siraccomandalostudentedicercaredirisolvereda soloanchegliesercizicompletamentesvolti,esolodopodiconfrontarsiconla VI Prefazione nostrasoluzione.Glisiconsigliaanchedirifletteresugliargomentievidenziati da un punto interrogativo al termine degli esercizi. Al termine del volume si possono trovare lesoluzioni dei problemi non risolti che concludono ogni capitolo. Povo (Trento), Giuseppe Dalba settembre 2005 Paolo Fornasini Sommario 1 Introduzione: strumenti di lavoro ......................... 1 1.1 Sistemi di unita` di misura ............................... 1 1.2 Il Sistema Internazionale ................................ 2 1.3 Altri sistemi di unita` di misura........................... 3 1.4 Analisi dimensionale .................................... 5 1.5 Cifre significative e arrotondamenti ....................... 9 1.6 Grafici ................................................ 11 2 Statica.................................................... 15 2.1 Forze attive e reazioni vincolari .......................... 15 2.2 Forze concorrenti ....................................... 17 2.3 Momento di una forza................................... 22 2.4 Forze complanari ....................................... 24 2.5 Forze parallele nello spazio............................... 26 2.6 Equilibrio di una carrucola .............................. 35 2.7 Problemi non risolti .................................... 40 3 Cinematica ............................................... 45 3.1 Moto unidimensionale................................... 45 3.2 Moto tridimensionale ................................... 54 3.3 Moto circolare ......................................... 63 3.4 Cinematica dei moti relativi ............................. 72 3.5 Problemi non risolti .................................... 82 4 Dinamica del punto....................................... 87 4.1 I principi della dinamica................................. 87 4.2 Lavoro ed energia - Conservazione dell’energia ............. 97 4.3 Momento angolare di un punto materiale .................. 112 4.4 Dinamica dei moti relativi ............................... 118 4.5 Attrito tra superfici solide ............................... 126 4.6 Problemi non risolti .................................... 135 5 Dinamica dei sistemi...................................... 141 5.1 Quantita` di moto di un sistema .......................... 141 5.2 Energia di un sistema ................................... 146 VIII Sommario 5.3 Momento angolare di un sistema ......................... 150 5.4 Urti .................................................. 156 5.5 Meccanica dei fluidi..................................... 167 5.6 Gravitazione........................................... 175 5.7 Problemi non risolti .................................... 184 6 Dinamica del corpo rigido ................................ 189 6.1 Densit`a, centro di massa, momento d’inerzia ............... 189 6.2 Rotazione intorno ad un asse fisso ........................ 196 6.3 Moto generico del corpo rigido ........................... 217 6.4 Rotolamento........................................... 232 6.5 Problemi non risolti .................................... 243 7 Oscillazioni ............................................... 251 7.1 Oscillatore armonico .................................... 251 7.2 Uso dei numeri complessi................................ 262 7.3 Oscillazioni smorzate.................................... 264 7.4 Oscillazioni forzate ..................................... 270 7.5 Problemi non risolti .................................... 288 8 Termodinamica: i principi ................................ 291 8.1 Equilibrio termodinamico e trasformazioni ................. 291 8.2 Primo principio della termodinamica...................... 295 8.3 Gas ideali ............................................. 301 8.4 Secondo principio della termodinamica .................... 316 8.5 L’entropia ............................................. 328 8.6 Problemi non risolti .................................... 345 A Unit`a di misura........................................... 349 A.1 Sistema Internazionale (S.I.) ............................. 349 A.2 Unita` di misura non ammesse dal S.I. ..................... 353 A.3 Sistemi anglosassoni .................................... 354 A.4 Unita` non S.I. di uso corrente in Fisica.................... 355 A.5 Sistema c.g.s. di Gauss .................................. 356 Soluzioni ..................................................... 357 1 Introduzione: strumenti di lavoro In questo primo Capitolo introdurremo alcuni concetti e tecniche utili per la soluzione dei problemi di Fisica. Ci occuperemo innanzitutto delle unita` di misura delle grandezze fisiche, e in particolare del Sistema Internazionale, e introdurremo i fondamenti dell’analisi dimensionale. Vedremo poi come si arrotondano i risultati dei calcoli. Infine daremo alcune indicazioni sul modo di realizzare grafici bidimensionali. 1.1 Sistemi di unita` di misura Allabasediognioperazionedimisurastalapossibilita`chealcunegrandezze siano misurate in modo diretto per confronto con un campione di unita` di misura. Nella descrizione del mondo fisico vengono introdotte molte grandezze,collegatetralorodarelazionianalitiche.Inlineadiprincipio,e`del tutto lecito scegliere per ogni grandezza un’unita` di misura arbitraria. Cio` porta pero` in genere all’introduzione di scomodi fattori di proporzionalita`, oltre alla necessit`a di definire e mantenere un grande numero di campio- ni di unita` di misura. Risulta pertanto conveniente scegliere in modo arbi- trariol’unita`dimisurasoloperunnumeromoltopiccolodigrandezze(dette grandezze fondamentali). Per le altre grandezze (dette grandezze derivate) l’unita`dimisuraverra`definitainmodounivocomedianterelazionianalitiche. Costruire un sistema di unita` di misura significa: – scegliere una determinata ripartizione delle grandezze fisiche tra fonda- mentali e derivate; – definire le unita`di misura e gli eventuali campioni delle grandezze fonda- mentali. Un sistema di unita` di misura `e detto: – completo se tutte le grandezze fisiche si possono ricavare dalle grandezze fondamentali tramite relazioni analitiche; – coerente se le relazioni analitiche che definiscono le unita` delle grandezze derivate non contengono fattori di proporzionalita` diversi da 1; – decimale se multipli e sottomultipli delle unita` di misura sono tutti potenze di 10. G. Dalba et al., Esercizi di Fisica: Meccanica e Termodinamica © Springer-Verlag Italia, Milano 2006 2 1 Introduzione: strumenti di lavoro Le unita` di misura delle grandezze fondamentali sono realizzate mediante campioni. Esistono campioni di unita` di misura anche per molte grandezze derivate. Le proprieta` principali che caratterizzano un campione sono: preci- sione, invariabilita` (nel tempo), accessibilit`a, riproducibilita`. Si distinguono due tipi fondamentali di campioni: i campioni naturali, la cui definizione fa riferimento a fenomeni naturali, ed i campioni artificiali, costruiti appositamente. I campioni naturali assicurano la riproducibilita` e l’invariabilita`, anche se talora a scapito dell’accessibilit`a. 1.2 Il Sistema Internazionale Il primo tentativo di costruire un sistema coerente di unita` di misura per la meccanica`erappresentatodalSistemaMetricoDecimale,propostoinFrancia nel 1795. Solo pero` a partire dal 1895 (Convenzione del metro) `e iniziata la stipuladiconvenzioniinternazionaliperl’unificazionedeivarisistemiinuso. Negliultimiannisi`erealizzatalaconvergenzaversounbendefinitosistema, il Sistema Internazionale (S.I.), introdotto nel 1960 dalla XI Conferenza Ge- nerale dei Pesi e Misure e perfezionato dalle Conferenze successive. Oggetto di direttive della Comunita` Europea fin dal 1971, il S.I. `e stato legalmente adottatoinItalianel1982.IlS.I.`ecompleto,coerenteedecimale(tranneche per la misura degli intervalli di tempo). Grandezze fondamentali IlSistemaInternazionale(S.I.)`ebasatosu7grandezzefondamentali,elencate intabella1.1insiemeconlerispettiveunita`dimisuraesimboli.Ledefinizioni delle unita` sono riportate in Appendice A.1. Tabella 1.1. Grandezze fondamentali del Sistema Internazionale, con unit`a di misura e relativi simboli Grandezza Unit`a Simbolo intervallo di tempo secondo s lunghezza metro m massa chilogrammo kg quantit`a di materia mole mol temperatura kelvin K intensit`a di corrente elettrica ampere A intensit`a luminosa candela cd