Marina Ghisi Massimo Gobbino Esercizi di Analisi Matemática I (Parte A) Versione 2010/2011 PrOGQTToWBm LeONARDO ESCULAPIO • BOLOGNA [6] M. Ghisi, M. GobbinO; Esercizi di Analisi Matemática I - Parte B. Descrizione. Raccolta di esercizi un po’ meno standard su calcolo differenziale ed integrale in una variabile. Target. Studenti dei corsi di servizio che non si accontentano degli esercizi base [4]. Studenti di corsi in cui I’Analisi Matemática viene trattata in modo piii approfondito (ad esempio a Matemática o Fisica). [7] M. Ghisi, M. Gobbing; Test d’esame di Analisi Matemática I. Descrizione. Raccolta dei test d’esame assegnati in corsi di servizio, con risposte. Target. Studenti dei corsi di base di Analisi Matemática. [8] M. Ghisi, M. Gobbing; Scritti d’esame di Analisi Matemática I. Descrizione. Raccolta degli scritti d’esame assegnati in corsi di servizio, con risposte ed “aiutini”. Target. Studenti dei corsi di base di Analisi Matemática. Sicuramente utile anche per studenti di Matemática o Fisica per iniziare la preparazione alia prova scritta. [9] M. Ghisi, S. Spagnolo; Prove d’esame di Analisi Matemática I. Descrizione. Raccolta degli scritti d’esame assegnati a Matemática e Fisica in corsi su argomenti di Analisi Matemática I (calcolo differenziale e integrale in una variabile), con risposte ed “aiutini”. Target. Studenti di corsi in cui I’Analisi Matemática viene svolta in maniera approfondita. [10] M. Ghisi, S. Spagnolo; Prove d’esame di Analisi Matemática II. Descrizione. Raccolta degli scritti d’esame assegnati a Matemática e Fisica in corsi su argomenti di Analisi Matemática II (calcolo differenziale e integrale in piu variabili), con risposte ed “aiutini”. Target. Studenti di corsi in cui 1’Analisi Matemática viene svolta in maniera approfondita. Indice 1 Precorso 9 Precorso 2000 - Test finale.................................................................................................. 9 Precorso 2002 - Test finale.................................................................................................. 12 2 Test di allenamento 17 Funzioni 1 ............................................................................................................................ 18 Punzioni 2 ............................................................................................................................ 19 Funzioni 3 ............................................................................................................................ 20 Parametriche 1 .................................................................................................................. 21 Limiti 1 ............................................................................................................................... 22 Limiti 2 ............................................................................................................................... 23 Limiti 3 ............................................................................................................................... 24 Limiti 4 ............................................................................................................................... 25 Limiti 5 ............................................................................................................................... 26 Limiti 6 ............................................................................................................................... 27 Limiti 7 ............................................................................................................................... 28 Limiti 8 ................................................................................................................................ 29 Limiti 9 ............................................................................................................................... 30 Limiti 10............................................................................................................................... 31 Limiti 11............................................................................................................................... 32 Serie 1 .................................................................................................................................. 33 Serie 2 .................................................................................................................................. 34 Serie 3 .................................................................................................................................. 35 Serie 4 .................................................................................................................................. 36 Serie 5 .................................................................................................................................. 37 Serie parametriche 1 .......................................................................................................... 38 Serie parametriche 2 .......................................................................................................... 39 Serie parametriche 3 .......................................................................................................... 40 Serie parametriche 4 ........................................................................................................... 41 Funzioni 4 ............................................................................................................................ 42 Funzioni 5 ............................................................................................................................ 43 Parametriche 2 ................................................................................................................... 44 Parametriche 3 ................................................................................................................... 45 Inf - Sup - Max - Min 1 ..................................................................................................... 46 Inf - Sup - Max - Min 2 ..................................................................................................... 47 Inf - Sup - Max - Min 3 ..................................................................................................... 48 Successioni per ricorrenza 1 ............................................................................................... 49 Successioni per ricorrenza 2 ............................................................................................... 50 Successioni per ricorrenza 3 ............................................................................................... 51 Successioni per ricorrenza 4 ............................................................................................... 52 Integrali 1 ............................................................................................................................ 53 Integrali 2 ............................................................................................................................ 54 Integreili 3 ............................................................................................................................ 55 Integrali 4 ............................................................................................................................ 56 Integrali 5 ............................................................................................................................ 57 Integrali 6 ............................................................................................................................ 58 Integrali 7 ............................................................................................................................. 59 Serie di potenze................................................................................................................... 60 Integrali impropri 1 ............................................................................................................. 61 Integrali impropri 2 ............................................................................................................. 62 Integrali impropri 3 ............................................................................................................. 63 Numeri complessi 1 ............................................................................................................. 64 Numeri complessi 2 ............................................................................................................. 65 Numeri complessi 3 ............................................................................................................. 66 Numeri complessi 4 ............................................................................................................. 67 Numeri complessi 5 ............................................................................................................. 68 Numeri complessi 6 ............................................................................................................. 69 Numeri complessi 7 ............................................................................................................. 70 Elquazioni differenziadi 1 .................................................................................................... 71 Equazioni differenzieili 2 .................................................................................................... 72 Equazioni differenziali 3 .................................................................................................... 73 Equazioni differenziali 4 .................................................................................................... 74 Esercitazioni scritte 75 Esercitazione scritta 1999.1 .............................................................................................. 76 Esercitazione scritta 1999.2 .............................................................................................. 78 Esercitazione scritta 2000.1 80 Esercitazione scritta 2000.2 .............................................................................................. 82 Esercitazione scritta 2000.3 .............................................................................................. 84 Esercitazione scritta 2000.4 .............................................................................................. 86 Esercitazione scritta 2001.1 .............................................................................................. 88 Esercitazione scritta 2001^.............................................................................................. 90 4 Precorso - Risposte 93 5 Test di allenamento - Risposte 97 6 Esercitazioni scritte - Risposte 125 Prefazione Questo volume nasce da una piü che decennale esperienza di insegnamento in corsi di Analisi Matemática. I programmi di Analisi Matemática nelle facoltá scientifiche sono in continuo cambiamento, e questo testo tenta di seguirne l’evoluzione. II materiale contenuto in questo fascicolo copre la tradizionale Analisi Matemática I, cioé il cedcolo differenziale ed intégrale in una variabile, piü le serie di potenze e le equazioni differenziali. II livello é calibrato sui corsi in cui l’Analisi Matemática é pensata come una materia di servizio, come ad esempio Ingegneria, o Scienze dell’Informazione. Per i corsi in cui l’Analisi Matemática é una materia di base, come nei corsi di studio in Matemática o Fisica, gli esercizi di questo fascicolo sono utili per una prepeurazione di base, che sarebbe pero utile integrare con esercizi meno standard (a cui é dedicato un apposito fascicolo della collana). Gli esercizi sono stati suddivisi per categorie. • Precorso. Contiene due test di verifica della preparazione di base assegnati in anni passati. • Test di allenamento. Contiene una raccolata di esercizi suddivisi per argumento su tutto il programma. • Esercitazioni scritte. Ogni esercitazione scritta contiene esercizi di ricapitolazione, e serve per valutare la preparazione complessivamente raggiunta. Per ogni categoría di esercizi sono riportate, nella secunda parte del fascicolo, le risposte ai vari quesiti. Siamo consapevoli che la risposta ad un esercizio puó risultare corretta anche se non lo é il ragionamento che vi ha condotto; tuttavia la mole di esercizi su ogni argumento é tale da rendere praticamente nulla la possibilitá che questo si verifichi spesso. Consigliamo quindi a chi giungesse a risultati errati usando tecniche che in precedenza avevano dato esito positivo di riconsiderarle criticamente. Per istruzioni dettagliate sui vari capitoli si veda l’introduzione agli stessi. Buon lavoro! Capitolo 1 Precorso Come? Quando? Perché? La nostra pluriennale esperienza ci dice inequivocabilmente che sono proprio le lacune o le dimenticanze negli argomenti di base (equazioni, disequazioni, potenze, logaritmi, esponenziali, trigonometria) a pregiudicare i risultati successivi in Analisi Matemática. Non ha quindi senso intraprendere lo studio delVAnalisi Matemática prima di aver colmato completamente tali lacune. In tal senso i test iniziali che si svolgono ormai in molte Facoltá rischiano da un certo punto di vista di essere fuorvianti. Se da un lato infatti é chiaro che quando non vengono superati vuol dire che c’é qualche lacuna da colmare, d’altro canto quando vengono invece superati rischiano di attribuire un falsa patente di sicurezza. Niente di piü sbagliato! Questi test di solito sono calibrati con una soglia di sufficienza molto bassa, in modo da lasciare fuori meno studenti possibile. Ad esempio, ad ingegneria a Pisa la soglia di sufficienza é 7 punti su 20. E chiaro che chi prende meno di 7 deve preoccupaxsi e molto. Dovrebbe pero essere amche chiaro che chi prende 8 o 9 non puó dormiré sonni tranquilli, perché la sua preparazione di base presenta comunque molte lacune. In parole povere, la sufficienza burocrática é a 7, ma la sufficienza vera inizia dopo i 15! Contenuto In questo capitolo sono contenuti due test di verifica assegnati in anni passati. II nostro consiglio é di affrontarli molto seriamente, lavorando singolarmente e tenendo conto del tempo e dei punteggi indicati. Se il risultato é buono, allora va tutto bene e si puó procederé. Se i risultati sono incerti o deludenti, allora niente pánico, ma occorre prendere prowedimenti, e farlo subito. II nostro consiglio c di procurarsi i testi della collana relativ! al precorso e lavorarci sopra molto seriamente. 10 Esercizi di Analisi Matemática I (Parte A) - Versione 2010/2011 Precorso 2000 - Test finale Tempo concesso: 120 minuti Valutazione: risposta esatta +1, errata —1, mancante 0 punti (per 32 domande) Trovare i valori di a che rendono vere le seguenti uguaglianze: Uguaglianza Valore di o Uguagliamza Valore di a y/2 • = y/a V ^ = \/2 \/2 • v/8 = 2“ 2^ . 2^ = 2“ (2^)^ = 2“ 27 + 2^ = 2“ loga 5 + loga 6 = loga « log4 64 = loga ® Per ciascuna delle seguenti equazioni, determinare il numero di soluzioni reali distinte (met- tendo 0 se non ci sono soluzioni). Indicare poi in ordine crescente le 4 soluzioni piú piccole, lasciando delle caselle vuote se le soluzioni sono meno di quattro. Ad esempio se l’equazione fosse = 1, occorrerebbe rispondere 2, —1, 1. Equazione Sol. Xi X2 X4 2z® -7 x ^ + 3x = 0 — 2x + 1 = 0 6x^ — 5x^ + 4 = 0 X* — 5x^ X® - 6x^ - 7 = 0 — 3 = 5 - X \/x |x^ — 2x| = |x — 2| log4 X + log4(x - 6) = 2 tanx + sinx = sin2x, x € [0,27t] Precorso 2000 - Test finale Capitolo 1: Precorso - Testi 11 Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false: Proposizione Vera Falsa Se X < y, allora x^ < □ □ L’equazione x^ + 2000 = 0 ammette soluzioni reali □ □ 50* < 1 /50 per ogni x < 0 □ □ Se a < 6 e c < d, allora a + d < 6 + c □ □ Se X < y, allora 2x < 3y □ □ Esistono a > 0, 6 > 0 tali che (a~^ + = a + b □ □ Se cosx = 1/2, allora x = tt/3 □ □ cos X + 2 sin X < 4 per ogni x reale □ □ Risolvere le seguenti disequazioni. Se possibile, indicare la risposta come unione di intervalli: ad esempio, se la disequazione fosse < 1, occorrerebbe rispondere [—1,1]; se la disequazione fosse > 1, occorrerebbe rispondere ] — oo, —1] U (1, +oo[. Disequazione Soluzione (x + l)(x — 4) < 0 x(x^ + l)(x^ — 4) > 0 x^ + X — 10 ^ X — 1 “ |x — 2| < X y/x'^ — 1 > X — 2 (2*)2.2*“ < 8 log5(2x + 3) < 2 2 cos 2x + 1 > 0, X G [0, 27t] Ofinn — TRoo^ 12 Esercizi di Analisi Matemática I (Parte A) - Versione 2010/2011 Precorso 2002 Test finale - Tempo concesso: 120 minuti Valutazione: risposta errata 0 punti, mancante +2, esatta +5 (sufficienza: 110) Nota: “N.P.” sta per “nessuna delle precedenti”. 1. Se a/(a + 6) = 2ea — 6=3, allora a vale (A) -1 (B) 2 (C)3 (D) N.P. 2. 1000^°®° = (A) 10i®®3 (B) lO^oo® (C) 100‘®®®® (D) N.P. 3. >/7 >/5 = (A) y/ñ (B) 3/Ï 2 (C) ^ (D) N.P. 4. log3 35 — loga 12 = (A) log3(35/12) (B) logj23 (C) log3 (D) N.P. 5. sin 240° = (A) -v/3/2 (B) -1/2 (C) 1/2 (D) N.P. 6. La negeizione dell’enunciato “Nessuna matricola di ingegneria é in grado di pensare” é (A) “Tutte le matricole di ingegneria sono in grado di pensare” (B) “Almeno una matricola di ingegneria é in grado di pensare” (C) “Tutte le matricole di ingegneria non sono in grado di pensare” (D) “Almeno una matricola di ingegneria non é in grado di pensaure” 7. Siano /(x) = x^, ^(x) = sinx, h{x) = |x|. Allora f{g(h{x))) è uguale a (A) sin^ |x| (B) sin (|x|^) (C)|sin(i3)| (D) N.P. 8. log2(32 -8‘ ) = (A) 8 (B) 15 (C) 17 (D) N.P. Precorso 2002 - Test finale