Esercitazione IV/1 2003 Trasmissione a ingranaggi Prof. Luca Corno TRASMISSIONE A INGRANAGGI 1) PROPORZIONAMENTO MODULARE Caratteri geometrici delle ruote Si chiede di dimensionare un ingranaggio, inteso come coppia di ruote dentate che ingranano fra loro. Sono noti la potenza, W, e il rapporto di trasmissione τ fra le ruote. Il fattore principale sul quale si basa la geometria di una ruota dentata è il modulo, m, definito come rapporto fra il diametro primitivo e il numero di denti: D m = p (1.) z Il modulo è legato al passo (distanza fra due fianchi omologhi) dalla relazione p = πm (UNI 6773) (2.) Oltre ai fattori propri della dentatura, quali l’addendum, il dedendum, ecc., vi sono altre dimensioni macroscopiche della ruota legate al modulo: § la larghezza della dentatura, b, in direzione assiale: b = γm (3.) in cui γ è un fattore tabulato che dipende dalla qualità di lavorazione della dentatura. § il raccordo alla base del dente, con la circonferenza di troncatura interna: ρ =0,2⋅m (4.) f Fra le dimensioni caratteristiche di un ingranaggio si definisce anche il rapporto di ingranaggio, che è l’inverso del rapporto di trasmissione: 1 u = τ Costruzione di Macchine I (N.O.) Prof. Sergio Baragetti Pag. 1 di 19 Esercitazione IV/1 2003 Trasmissione a ingranaggi Prof. Luca Corno Qualità della dentatura e condizioni di lavoro γ Dentatura fusa precisa oppure tagliata alla fiamma; pignone con supporti esterni 6 … 10 non rigidi Dentatura non rettificata, temprata 5 … 15 Dentatura lavorata bene, supporti nello stesso carter del ruotismo rigidi e ben 10 … 20 allineati Dentatura lavorata di precisione, n ≤ 3000 min-1 20 … 40 1 Superficie dei denti pressoché perfetta, elevata precisione di dentatura, supporti 40 … 80 rigidi, n ≥ 3000 min-1 1 Condizione affinché due ruote dentate a proporzionamento modulare possano ingranare, è che abbiano modulo uguale. I denti vengono creati da una macchina (creatore) per mezzo di un utensile detto dentiera, a forma di pettine, contro cui la ruota viene fatta avanzare assialmente e messa in rotazione in modo sincrono in modo che si asporti la quantità di materiale adeguata a creare un profilo ad evolvente. Se il proporzionamento non è corretto, si hanno errori, fra cui il sottotaglio, per effetto del quale la punta del creatore asporta il materiale alla base del dente. Un altro fenomeno è l’interferenza, in cui la punta di un dente ingranando tocca il raccordo di base della dentatura dell’altra ruota. Si dimostra per via geometrica che il sottotaglio si evita se il numero di denti è superiore a un valore minimo, definito dalla relazione 2⋅h z = a min m⋅sen2(α) In particolare, per ruote a proporzionamento modulare, con angolo di pressione di 20°, si trova: 2 z = ≅17 (5.) min sen2(α) Se il numero di denti della ruota condotta è un multiplo di quello della motrice, un dente del pignone ingrana sempre con gli stessi denti della ruota; eventuali imperfezioni della costruzione gravano sempre negli stessi punti, determinando un più rapido deterioramento delle condizioni di lavoro. Una soluzione è fare in modo che il numero di denti della ruota e del pignone siano primi fra loro, ad esempio aumentando o diminuendo di 1 il numero di denti della ruota. Costruzione di Macchine I (N.O.) Prof. Sergio Baragetti Pag. 2 di 19 Esercitazione IV/1 2003 Trasmissione a ingranaggi Prof. Luca Corno Continuità dell’ingranamento L’ingranamento ha luogo, per una coppia di denti, sulla retta di pressione, che è tangente comune alle due circonferenze di base, e passa per il punto di tangenza fra le due primitive. Figura 1 - Ingranamento. Basandosi sullo schema geometrico della trasmissione si individuano: E1 intersezione fra la retta di pressione e la circonferenza di testa o di troncatura esterna della ruota condotta. E2 intersezione fra la retta di pressione e la circonferenza di testa o di troncatura esterna della ruota motrice. E1E2 g è la linea di condotta, misurata lungo la retta delle pressioni. Sulle circonferenze primitive, AC e arco di accesso misurato sulla circonferenza primitiva della condotta. 1 CB e arco di recesso misurato sulla circonferenza primitiva della motrice. 2 La somma dei due archi forma l’arco di condotta, e=e +e . 1 2 Per avere un buon ingranamento, che non provochi sobbalzi, vibrazioni, urti, è necessario che al termine del contatto fra due denti coniugati, sia già iniziato il contatto fra i denti successivi; questo significa che l’arco di condotta deve essere maggiore del passo della dentatura: e > p In una ruota dentata, la distanza fra due fianchi consecutivi di evolvente, misurata lungo la retta di azione si chiama passo base: p = pcos(α) b Costruzione di Macchine I (N.O.) Prof. Sergio Baragetti Pag. 3 di 19 Esercitazione IV/1 2003 Trasmissione a ingranaggi Prof. Luca Corno Generalmente, per misurare la “bontà” dell’ingranamento in questi termini, ci si riferisce a una grandezza chiamata rapporto di condotta, ε ; α g ε = >1 (6.) α p b La linea di condotta si può misurare secondo la formula g = r2 −r2 + r2 −r2 −a⋅sen(α) a1 b1 a2 b2 in cui a=r +r , somma dei raggi primitivi delle ruote. 1 2 Sostituendo ai raggi di troncatura esterna e di base si sostituiscono le relazioni in funzione del modulo m, si trova 1 g= ⎡ (mz +2m)2 −(mz cos(α))2 + (mz +2m)2 −(mz cos(α))2 −m(z +z )⋅sen(α)⎤ 2⎢⎣ 1 1 2 2 1 2 ⎥⎦ 1 g= m⎡ (z +2)2 −(z cos(α))2 + (z +2)2 −(z cos(α))2 −(z +z )⋅sen(α)⎤ (7.) 2 ⎢⎣ 1 1 2 2 1 2 ⎥⎦ e anche p = πmcos(α) (8.) b Si ricava quindi: 1 ⎡ (z +2)2 −(z cos(α))2 + (z +2)2 −(z cos(α))2 −(z +z )⋅sen(α)⎤ 2⎢⎣ 1 1 2 2 1 2 ⎥⎦ ε = (9.) α πcos(α) da cui si nota che il rapporto di condotta non dipende dal modulo, ma solo dal numero dei denti: è perciò possibile determinarlo anche in fase di dimensionamento. Dimensionamento a usura (Teoria di Hertz) Il fenomeno principale di danneggiamento delle dentature è l’usura, che ne provoca il progressivo deterioramento, per effetto dello strisciamento fra i denti. La teoria di Hertz stabilisce le condizioni di cimento di due cilindri che sono tenuti a contatto per mezzo di una forza F. Le ipotesi su cui si basa sono: 1. il materiale dei cilindri sia omogeneo e isotropo; 2. si trovi in condizioni di comportamento elastico lineare; 3. mancanza di attrito; 4. forza uniformemente distribuita lungo la dimensione assiale dei cilindri, in modo che le pressioni di contatto abbiano lo stesso andamento in ogni sezione perpendicolare all’asse dei cilindri. Costruzione di Macchine I (N.O.) Prof. Sergio Baragetti Pag. 4 di 19 Esercitazione IV/1 2003 Trasmissione a ingranaggi Prof. Luca Corno Figura 2 - Pressioni di contatto secondo Hertz. L’area di contatto si estende attorno alla generatrice teorica di contatto, e assume forma rettangolare. È possibile dimostrare che il profilo di pressione ha forma semiellittica, e il massimo vale 1 ⎛ 1 1 ⎞F p2 = ⎜ + ⎟ (10.) max ⎛1−ν2 1−ν2 ⎞⎜⎝ρ ρ ⎟⎠b π⎜ 1 + 2 ⎟ 1 2 ⎜ ⎟ E E ⎝ ⎠ 1 2 La norma prescrive che si esegua il calcolo nel punto di contatto primitivo, correggendolo con opportuni coefficienti per tenere conto delle reali condizioni di funzionamento dell’ingranaggio. I raggi di curvatura dei profili dei denti a contatto sono pari ai raggi dei cerchi osculatori dell’evolvente, dati da: ρ=r sen(α) F è la forza diretta secondo la retta binormale, che vale: F F = t bn cos(α) Per la teoria di Hertz, dalla relazione (10.) si ha: 1 ⎛ 1 1 ⎞ F σ =p = ⎜ + ⎟ bn (11.) p,max max ⎛1−ν2 1−ν2 ⎞ ⎜⎝rsen(α) r sen(α)⎟⎠ b π⎜ 1 + 2 ⎟ 1 2 ⎜ ⎟ E E ⎝ ⎠ 1 2 1 2 Poiché = , possiamo scrivere: r d 1 1 1 2 ⎛ 1 1 ⎞ F σ =p = ⎜ + ⎟ t (12.) p,max max ⎛1−ν2 1−ν2 ⎞ sen(α)cos(α) ⎜⎝d d ⎟⎠ b π⎜ 1 + 2 ⎟ 1 2 ⎜ ⎟ E E ⎝ ⎠ 1 2 Costruzione di Macchine I (N.O.) Prof. Sergio Baragetti Pag. 5 di 19 Esercitazione IV/1 2003 Trasmissione a ingranaggi Prof. Luca Corno Si ricavano da questo i coefficienti che determinano le condizioni di funzionamento: 1 Z = fattore di elasticità (13.) E ⎛1−ν2 1−ν2 ⎞ π⎜ 1 + 2 ⎟ ⎜ ⎟ E E ⎝ ⎠ 1 2 che dati i fattori del materiale (acciaio), vale circa 189,812. 2 Z = fattore di zona (14.) H sen(α)cos(α) che per la geometria “classica” con angolo di pressione di 20° vale 2,495. Infine, per tenere conto delle reali condizioni di ingranamento, si introducono una serie di coefficienti correttivi: σ = Z K K σ (15.) H ε A V p,max in cui 4−ε Z = α fattore del rapporto di condotta (16.) ε 3 K fattore di applicazione del carico per tenere conto dei sovraccarichi esterni; A Tabella 1 - Fattori di servizio K . A K fattore dinamico che dipende dalla qualità di lavorazione delle ruote dentate,e dalla V velocità periferica della circonferenza primitiva. Poiché K dipende dalla velocità, è legato anche al modulo; il procedimento di calcolo perciò deve V essere iterativo, perché il modulo è la grandezza che dobbiamo determinare. In base alla lavorazione cui sono sottoposte le ruote, e quindi secondo la precisione con cui sono costruite, si risale alla “classe di precisione”; si entra poi nella seconda tabella, individuando, in funzione della precisione e della velocità periferica, il parametro cercato. Costruzione di Macchine I (N.O.) Prof. Sergio Baragetti Pag. 6 di 19 Esercitazione IV/1 2003 Trasmissione a ingranaggi Prof. Luca Corno Figura 3 - Coefficiente di velocità K . V Si ottiene: F ⎛ 1 1 ⎞ σ = Z K K Z Z t ⎜ + ⎟ (17.) H ε A V E H b ⎜d d ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 in cui sostituendo le relazioni geometriche dei diametri primitivi e della larghezza di dentatura si ottiene: 2M 1 ⎛ 1 1 ⎞ σ = Z K K Z Z t ⎜ + ⎟ (18.) H ε A V E H mz γm⎜mz mz ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 2 introducendo il rapporto di ingranaggio, u, definito prima, si ha: 2M ⎛1+u⎞ σ = Z K K Z Z t ⎜ ⎟ (19.) H ε A V E H γm3z2 ⎝ u ⎠ 1 Il valore di sforzo puntuale individuato si confronta con un valore di confronto che la norma definisce come: σ σ = Hlim Z Z Z Z Z Z (20.) HP s W L R X V N Hmin in cui: HB−130 Z è il fattore di rapporto fra le durezze, che vale 1,2− W 1700 Questo è vero solo se la durezza è superiore a 130 e inferiore a 400; evidentemente si usa solo per la ruota costruita di materiale più tenero. Se la durezza Brinell non è compresa fra questi valori, il fattore Z vale 1. W Costruzione di Macchine I (N.O.) Prof. Sergio Baragetti Pag. 7 di 19 Esercitazione IV/1 2003 Trasmissione a ingranaggi Prof. Luca Corno Z è il fattore di lubrificazione, ottenuto dal diagramma riportato; L Figura 4 - Fattore di lubrificazione Z . L Z è il fattore di rugosità che è diagrammato secondo la rugosità totale media della R dentatura; R è il valore medio della rugosità fra ruota e pignone all’interasse tm100 100, con espressione R +R 100 R = tm1 tm2 3 (21.) tm100 2 a Figura 5 - Fattore di rugosità Z . R Z fattore dimensionale, che dipende dal materiale della ruota: si pone = 1 se la ruota è X di acciaio trattato termicamente in modo corretto. Z fattore di velocità, diagrammato, che richiede un comportamento iterativo come il V precedente fattore K . V Costruzione di Macchine I (N.O.) Prof. Sergio Baragetti Pag. 8 di 19 Esercitazione IV/1 2003 Trasmissione a ingranaggi Prof. Luca Corno Figura 6 - Fattore di velocità Z . V Z fattore di durata che è diverso da 1 solo se si richiede la durata “a termine” N dell’ingranaggio Figura 7 - Fattore di durata Z . N Costruzione di Macchine I (N.O.) Prof. Sergio Baragetti Pag. 9 di 19 Esercitazione IV/1 2003 Trasmissione a ingranaggi Prof. Luca Corno σ pressione limite di fatica superficiale, tabulata secondo il materiale Hlim Tabella 2 - Sforzi limite. s coefficiente di sicurezza. Hmin Il procedimento deve essere iterativo: innanzitutto, dovendo imporre una dimensione iniziale della ruota, si sceglierà un modulo di primo tentativo, sul quale si condurranno tutte le considerazioni. Si ricava la forza tangenziale, il diametro primitivo, la velocità periferica; sulla base di questi, si individuano i fattori K e Z . V V Si deve, dopo avere individuato tutti i coefficienti, valutare la disuguaglianza 2M ⎛1+u⎞ σ Z K K Z Z t ⎜ ⎟ ≤ Hlim Z Z Z Z Z Z , (22.) ε A V E H γm3z2 ⎝ u ⎠ s W L R X V N 1 Hmin da cui: 2M (1+u) ⎛ Z Z Z s ⎞2 m≥3 γtz2u KAKV⎜⎜σ Zε ZE ZH ZHmiZn Z ⎟⎟ (23.) ⎝ ⎠ 1 Hlim W L R X V N il valore del modulo così ottenuto dovrà essere arrotondato al valore normalizzato più prossimo per eccesso; se tale valore non concorda con l’ipotesi formulata in precedenza, si dovrà procedere scegliendo un nuovo valore, dalla iterando il calcolo sul nuovo valore trovato, fino alla convergenza definitiva. Costruzione di Macchine I (N.O.) Prof. Sergio Baragetti Pag. 10 di 19