Elementary Mathematics Teacher   Preparation in an Era of Reform: The   Development and Assessment of   Mathematics for Teaching    Ann Kajander  Lakehead University      Teachers’ understanding of the elementary school mathematics curriculum forms  part, but not all, of the newly emerged field of mathematics for teaching, a term that  describes the specialised mathematics knowledge of teachers. Pre‐service teachers  from a one‐year teacher preparation program were studied in each of three years,  using a pre‐test/post‐test survey of procedural and conceptual knowledge of mathem‐ atics required by elemtary teachers . Beliefs about mathematics were also examined  through post‐test interviews of 22 of the participants from one of the cohorts. Each  cohort of teacher‐candidates was consistently found to be initially weak in conceptual  understanding of basic mathematics concepts as needed for teaching. The pre‐service  methods course, which included a strong focus on specialised mathematical concepts,  significantly improved pre‐service teachers’ understandings, but only to a minimally  acceptable level. Program changes, such as extra optional course in mathematics for  teaching, together with a mandatory high‐stakes examination in mathematics for  teaching at the end of the methods course, have been subsequently implemented and  show some promise.    Keywords: mathematics teacher education, pre‐service teacher education, teacher  mathematics knowledge, conceptual knowledge, teacher preparation, mathematics  for teaching        CANADIAN JOURNAL OF EDUCATION 33, 1 (2010): 228‐255  ©2010 Canadian Society for the Study of Education/  Société canadienne pour l’étude de l’éducation ELEMENTARY MATHEMATICS TEACHER PREPARATION    229  La compréhension qu’ont les enseignants du curriculum de mathématiques au pri‐ maire fait partie d’un nouveau domaine de recherche – les mathématiques en prati‐ que d’enseignement – axé sur les notions mathématiques spécialisées dont les ensei‐ gnants ont besoin. Des étudiants en pédagogie inscrits dans un  programme de forma‐ tion à l’enseignement d’un an pour le primaire ont fait l’objet d’une étude sur trois  ans à l’aide d’une enquête pré‐test et post‐test portant sur leurs connaissances des  méthodes et concepts liés aux mathématiques au primaire. Les  croyances d’une ving‐ taine des participants au sujet des mathématiques ont également été analysées à l’aide  d’entrevues  post‐test.  L’auteure  a  constaté  qu’au  départ  la  compréhension  des  concepts mathématiques pour enseigner au primaire était faible dans chaque cohorte  enseignant‐étudiants. Le cours de méthodologie, fortement axé sur des notions ma‐ thématiques spécialisées,  a amélioré nettement la compréhension des étudiants, mais  seulement à un niveau tout juste acceptable. Des changements ont été par la suite  apportés au programme, comme un choix plus vaste de cours optionnels de mathé‐ matiques en pratique d’enseignement et l’ajout d’un examen de mathématiques en  pratique d’enseignement obligatoire et à enjeux élevés à la fin du cours de méthodo‐ logie. Ces changements semblent prometteurs.  Mots  clés :  formation  à  l’enseignement  des  mathématiques,  formation  à  l’enseignement, connaissances mathématiques de l’enseignant, connaissance concep‐ tuelle, mathématiques en pratique d’enseignement ___________________    A wave of curricular changes in elementary school mathematics teach‐ ing, both in Canada and the United States, has been more or less influ‐ enced by the research described in the revised Principles and Standards for  School Mathematics document re‐released in 2000 by the National Council  of Teachers of Mathematics (National Council of Teachers of Mathem‐ atics [NCTM], 2000). In Ontario, for example, changes to the curriculum  were released in 1997, with the most recent and current version emerg‐ ing some years later (Ontario Ministry of Education, 2005). The Ontario  curriculum, which is often referred to as a Standards‐based or reform‐based  curriculum, reflects the five content strands described in the NCTM’s  Standards document; this recent curriculum is a much broader mathem‐ atics curriculum than was used prior to 1997. As well, changes inherent  in the Standards make recommendations as to how students are to learn  mathematics, with a considerable emphasis placed on the development  of conceptual understanding through problem solving (NCTM, 2000). A  similar emphasis is described in Ontario’s elementary‐level mathematics 230                                                                               ANN KAJANDER  curriculum (Ontario Ministry of Education, 2005). These changes in con‐ tent as well as recommended teaching style represent a significant depar‐ ture from traditional mathematics teaching.  Scholars have argued that the knowledge of classroom teachers is  critical to the success of reform‐based classroom practice (Barbeau &  Taylor, 2005; Stein, Remillard, & Smith, 2007), and they have argued that  teachers’ knowledge of mathematics is a fundamental prerequisite for  student achievement (Ball, Hill, & Bass, 2005; Heck, Banilower, Weiss, &  Rosenberg, 2008; Wong & Lai, 2006). Yet in Ontario, in‐service opportun‐ ities for teachers of mathematics have been uneven at best (Kajander &  Mason, 2007), leaving the responsibility for teacher professional devel‐ opment largely up to pre‐service programs. Hence, pre‐service mathem‐ atics programs must address changes to content as well as pedagogy in  an effective way so that they encourage new teachers to continue to ac‐ tively seek opportunities for further professional learning.   The attainment of these goals is even further challenged in provinces  such as Ontario that have a one‐year teacher certification program. For  example, the mathematics methods course at my institution is 36 hours.  In fact, if the real classroom time is calculated by factoring in teacher  candidates’ travel to the next class as well as class breaks, the total actual  learning time in the methods course is closer to 24 hours. Of these 24  hours, I, as instructor, also need to discuss non‐mathematics topics such  as classroom management and assessment. Thus with even the most  careful twinning of mathematics content with pedagogical aspects, the  reality is that not much more than 12 hours are available to significantly  focus on mathematics understanding for teaching during my methods  course, the focus of this article. These circumstances suggest the need for  very careful use of this instructional time, as well as reconsideration of  how much time should in fact be allotted to teacher preparation in math‐ ematics.  The purpose of the research in the present study was to analyse what  pre‐service teachers entering our program might be expected to know  about mathematics as needed for elementary school teaching, as well as  to document growth in their understanding from their methods course. I  studied three separate cohorts over three years. From my results, I have ELEMENTARY MATHEMATICS TEACHER PREPARATION    231  developed recommendations for program change. Preliminary outcomes  of these program changes show promise.  FRAMEWORK  Teacher Mathematics Knowledge  There continues to be lack of consensus in the literature as to what teach‐ ers need to know about mathematics to teach it well. In‐service oppor‐ tunities that provide teachers with experiences similar to what their stu‐ dents would receive in reform‐based classrooms, such as those described  in Langham, Sundberg, and Goodman (2006), are arguably founded on  the premise that a deep understanding of the curriculum is sufficient  mathematical knowledge for teachers. Others have argued that “special”  mathematics for beginning teachers is not required and that “the starting  point for mathematics education for both students and teachers should be  a  sophisticated  and  deep  exploration  of  mathematics” (Gadanidis &  Namukasa, 2007, p. 17). The assumption here is that the mathematical  topics are those appropriate for teaching at the elementary school level.  Alternately, a growing body of work (e.g., Hill, Sleep, Lewis, & Ball,  2007; Philipp et al., 2007; Stylianides & Ball, 2008) argues that the kinds  of mathematical understandings teachers need include knowledge that  goes beyond a deep curricular understanding. Ball, Hill, and Bass (2005)  state that “knowing mathematics for teaching demands a kind of depth  and detail that goes well beyond what is needed to carry out the algo‐ rithm reliably” (p. 21). However, the nature of this depth is not well de‐ fined (Ball, Bass, & Hill, 2004), which is problematic in determining how  teachers’ knowledge of mathematics for teaching might be best devel‐ oped in teacher education programs.  Shulman (1986) initially described the concept of a specialised sub‐ ject‐matter knowledge for teachers, or “pedagogical content knowledge.”  More recently, Leikin (2006) has proposed a model to describe teachers’  knowledge including kinds of teachers’ knowledge (p. 2), which refers to  teachers’ subject matter knowledge, teachers’ pedagogical content know‐ ledge, and teachers’ curricular knowledge. Moreira and David (2008)  argue that the integration of academic mathematics (i.e., the kind of    mathematics typically learned in school and used in formal settings)  with the mathematics needed for school teaching practice is taken too 232                                                                               ANN KAJANDER  much for granted. They further describe how the values and principles  of academic mathematics differ from those needed to teach students and  may even be in conflict. Strategies may be needed to support the evolu‐ tion of teachers’ initial knowledge as developed during their own school‐ ing to knowledge more appropriate for teaching, an evolution that may  include changes in beliefs and values.   Chamberlain (2007) argues for a progression in content‐based pro‐ fessional development courses from teachers taking the role of student,  to one reflecting on that knowledge from the point of view of a teacher,  to develop “pedagogical strategies that support students’ making sense  of the material” (p. 895). Ball and her colleagues have put forth strong  arguments to support the development of a specialised knowledge of  mathematics for teaching as part of teachers’ development (Ball & Bass,  2003; Ball, Bass, & Hill, 2004). Ball et al. (2005) have described teachers’  knowledge under the headings common content knowledge, described as  “the basic skills that a mathematically literate adult would possess,” and  specialized content knowledge, or “a sort of applied mathematical know‐ ledge unique to the work of teaching” (p. 45). An example of the former  might be knowledge of the definition of a prime number, while the latter  might include knowledge of appropriate models for learning fractions  operations. They further argue that “effective teaching entails knowledge  of mathematics that is above and beyond what a mathematically literate  adult learns” (p. 45) and suggest that “there is a place in professional  preparation for concentrating on teachers’ specialised knowledge” (p.  45).   Two recently released reports in the United States further describe  current issues related to teacher preparation in mathematics. The Report  of the National Mathematics Advisory Panel (2008) states that “teachers  must know in detail and from a more advanced perspective the mathem‐ atical content they are responsible for teaching” (p. xxi) and note the  need in teacher preparation programs for “special emphasis on ways to  ensure appropriate content knowledge for teaching” (p. 40). Similarly,  the report on teacher preparation by the National Council on Teacher  Quality (2008) states the need for teachers to “acquire a deep conceptual  knowledge of mathematics” and further argues that “teacher candidates ELEMENTARY MATHEMATICS TEACHER PREPARATION    233  should  demonstrate  a  deeper  understanding  of  mathematics  content  than is expected of children” (p. 40).   Ma (1999) states that what teachers need “is the awareness of the  conceptual structure . . . inherent in elementary mathematics, and the  ability to provide a foundation for that conceptual change . . . in stu‐ dents” (p. 124). A focus on conceptual development, a particularly im‐ portant aspect of the kinds of mathematical concepts teachers need to  know, forms a starting point for the current study.   Conceptual Knowledge  Moving beyond procedural knowledge to support the development of  conceptual knowledge is a particular challenge at the pre‐service level  (Adler & Davis, 2006). An important aspect of mathematics for teaching  may be the relationship between procedural knowledge and conceptual  knowledge because in reform‐based learning the procedures should be  developed from, and built upon, students’ understanding of the underly‐ ing concepts (Ambrose, 2004; Hiebert, 1999; Hill & Ball, 2004; Lloyd &  Wilson, 1998; Rittle‐Johnson & Kroedinger, 2002). This approach may be  particularly challenging for pre‐service teachers who have been schooled  in a more traditional or procedural mode, which may include simply  learning formulae by rote.  Procedural knowledge may be thought of as a sequence of actions, or  the computational skills needed to negotiate set methods, while concept‐ ual knowledge, rich in relationships, requires an understanding of the  underlying structure of the ideas (Eisenhart, Borko, Underhill, Brown,  Jones, & Agard, 1993; Hiebert, 1992; McCormick, 1997). In reform‐based  learning,  the  development  of  generalisations  and  procedures  should  evolve from students’ reasoning about mathematical ideas. Often these  ideas are represented with examples, models, or with manipulatives, and  ideally students consider multiple representations, leading to a flexible  understanding. To support such learning, teachers need to (a) probe  stages of student understanding, (b) comprehend multiple student solu‐ tions and methods, and (c) provide powerful classroom models with  which to work (Hill & Ball, 2004). Clearly, such reform‐based classroom  environments are highly dependent on the quality of the mathematical  contexts offered by a teacher. 234                                                                               ANN KAJANDER  The Role of Beliefs  Teachers’ beliefs and values may also be an essential aspect of their  classroom practices (Ambrose, Clement, Philipp, & Chauvot, 2004; Coon‐ ey, Shealy, & Arvold, 1998; Ernest, 1989; Ross, McDougall, Hogaboam‐ Gray, & LeSage, 2003; Stipek, Givvin, Salmon, & MacGyvers, 2001), and  hence considering teacher knowledge without examining their beliefs  may yield an incomplete picture. Further, recent research has shown that  teacher beliefs about mathematics had a stronger effect on teachers’ prac‐ tice than beliefs about teaching (Philipp et al., 2007; Wilkins, 2008). Be‐ cause much research on beliefs has been of a case study nature, investi‐ gating the relationship among these variables on a larger scale is impor‐ tant (Adler, Ball, Krainer, Lin, & Novotna, 2005).  Based on their own previous classroom learning experiences, pre‐ service teachers may have come to believe that mathematics is mainly  comprised of rules, formulae, and equations, and that they present these  routines to students. In other cases, however, pre‐service teachers may  believe that mathematics is about interacting with problems, being crea‐ tive, finding solutions without following a fixed classroom structure  (Boaler, 1999). Hence beliefs may be a factor in the development of pre‐ service teachers’ mathematical knowledge (Philipp et al., 2007; Wilkins,  2008).  GOALS AND METHODOLOGY   Goals  My main goal in the present study was to examine teacher candidates’  knowledge and understanding of mathematics as needed for elementary  school teaching, and how these might develop during a teacher prepara‐ tion program. My second goal, through interviewing a subset of the par‐ ticipants at the post‐test, was to examine their beliefs about the impor‐ tance of developing conceptual understanding of elementary school ma‐ thematics as needed to teach well.  I  investigated  teacher  candidates’  mathematical  understandings  based on the constructs of procedural knowledge (PK) and conceptual know‐ ledge (CK), which are supported by the notions of common content know‐ ledge and specialised content knowledge. For the purposes of the present ELEMENTARY MATHEMATICS TEACHER PREPARATION    235  study, I defined procedural knowledge as participants’ knowledge of  traditional elementary school content such as standard computational  procedures. I expected that participants would demonstrate reasonably  strong performance in this area, and I intended to use results to support  teacher candidates’ self‐confidence by sharing the individual results with  them.   I defined conceptual knowledge as the ability to provide alternative  approaches, such as through models, justifications, or explanations of the  fundamental mathematical procedures addressed by PK, a definition I  based to a large extent on the similar construct described by Ma (1999),  which she terms profound understanding of fundamental mathematics. I ex‐ pected that this type of mathematical knowledge would be weaker in‐ itially. I had expected that participants, who were interested in their stu‐ dents’ conceptual learning and who saw themselves as weaker concept‐‐ ually but strong procedurally, might be willing to focus on their own  conceptual learning, without feeling that they were “bad” at “every‐ thing” in mathematics. I was also interested in how beliefs about math‐ ematics might evolve during such mathematical development.    Methodology  The context of the study was a Canadian pre‐service teacher education  program situated at Lakehead University, where I teach. Ontario teacher  education programs are of one‐year duration. The mathematics methods  course taken by participants in the study is a 36 hour half‐course that  spans both semesters. Participants were elementary teacher candidates in  the “junior‐intermediate” (grades 4 to 10) cohort; more than 300 partici‐ pants were studied over three years, during which I taught 12 separate  class groupings of the methods course.  Measuring Mathematical Knowledge  Several instruments are available to measure teachers’ understanding of  mathematics as needed for teaching, with the best known one being the  Learning Math for Teaching instrument (Hill et al., 2007). Although tasks  and open‐response items may have higher face validity than multiple  choice items, they have seldom been studied regarding their validity or  reliability (Hill et al., 2007). 236                                                                               ANN KAJANDER  The Learning Math for Teaching (LMT) instrument, a test with teach‐ ing‐related, multiple choice items, was developed to measure the know‐ ledge of large groups of teachers based on their ability to use mathemati‐ cal content (Hill & Ball, 2004). The validity of the LMT instrument has  been studied and the results show evidence of construct validity (Hill &  Ball, 2004). The reliability of the LMT instrument was also examined  with alpha coefficients for a classical test theory of reliability measures,  and the reliabilities within each scale ranged from 0.71 to 0.84. However  its multiple choice format may not allow examination of all the mathem‐ atical concepts teachers need to know (Hill et al., 2007) or how they  might develop.  The LMT instrument (Hill & Ball, 2004) includes multiple‐choice  items related to “common” content knowledge, and those related to “. . .  teachers’ grasp of representations of content” (Hill et al., 2007, p. 130).  Both aspects are important for teaching.  Instrument Development  An instrument was needed to assess knowledge at the beginning and  end of the two‐semester, mathematics methods course for elementary  teacher candidates. Because of the time constraints of the program, brevi‐ ty of the instrument was important; I did not use other existing beliefs  instruments such as the IMAP [Integrating Mathematics and Pedagogy]  Web‐Based Beliefs Survey (Ambrose et al., 2004). As well, as described,  because the dual foci of procedural as well as conceptual learning were  of interest, I needed an instrument that separated these two constructs,  yet was brief to administer. For these reasons, I developed the Perceptions  of Mathematics (POM) survey.  The survey consists of separate sets of (open‐response) knowledge  items that separated the provision of procedures leading to correct an‐ swers (procedural knowledge or PK) from the ability to provide alterna‐ tive solutions, explanations, justifications, or models (conceptual know‐ ledge or CK) which is the hallmark of teacher understanding as needed  for teaching. Face validity of the CK items draws heavily on the items  used in Ma’s (1999) landmark study.  I conducted a one‐year pilot study to test and improve the survey  with a preliminary group of 100 teacher candidates (Kajander, 2005) as ELEMENTARY MATHEMATICS TEACHER PREPARATION    237  well as with a group of in‐service teachers (Kajander, Keene, Zerpa, &  Siddo, 2006). Based on item analysis, I revised the initial POM survey,  lengthened it, and retested it on a group of 30 grade‐7 teachers who were  participating in a mathematics‐related, professional development initia‐ tive at their Board (Kajander et al., 2006). I used the Middle School LMT  instrument (Hill & Ball, 2004) in parallel with the POM. Both tests util‐ ized a paper and pencil pre‐test/post‐test format. I again performed an  item analysis, and correlated the POM measures of mathematical know‐ ledge (conceptual and procedural knowledge) to the LMT measures of  mathematical content knowledge (number and operation, algebra and  geometry) for the two administrations of the instruments (pre‐test and  post‐test). I used the correlations to show evidence of concurrent validity  of the POM instrument when measuring mathematical knowledge (Zer‐ pa, 2008). I again performed item analysis and shortened the instrument  to 20 items (10 per variable, hence a maximum score of 10 points) and  slightly revised them based on this second analysis. I used the third and  current version of the instrument (Kajander, 2007) with the three cohorts  of pre‐service students at the beginning and end of their one‐year math‐ ematics methods courses as I further discuss in this article.  I surveryed about 100 teacher‐candidates each year for the three  years of the present study, using the final version of the POM survey (see  Kajander, 2007, or Kajander & Mason, 2007, for the actual survey items).  The survey was administered during the very first class of the mathem‐ atics methods course and again at the second last class. A team of two  graduate students and me, as researcher and course instructor, scored  the survey each year, working together until we achieved consistency.  We developed a detailed scoring guide, which included sample res‐ ponses of the open‐response knowledge items to standardize scoring. A  graduate student then scored participants’ answers and I did not view  individual survey results during the course. In each case, graduate stu‐ dents shared individual results of the survey with participants in the  class immediately following the administration of the survey. I encour‐ aged participants to use their scores for self‐reflection and for setting  personal goals. I encouraged participants to think about their procedural  knowledge scores as what they had learned thus far, and reminded them