Copenhagen Business School Institut for Finansiering Kandidatafhandling Cand.merc.(mat.) Empirisk Analyse af 2 Udvidelser til Black Scholes Modellen Skrevet af: Christian Philip Kjeldgaard ____________________________ og Aage Møller Holst ____________________________ Afleveringsdato: 27-08-2009 Vejleder: Martin Richter Censor: Abstract The famous Black Scholes model assumes that the underlying asset follows a geometric Brownian motion with constant drift and volatility. This assumption implies that returns are lognormally dis- tributed and that the volatility is constant, although it is very easy to show that this is not the case for empirical return series. In this thesis we examine the effect of changing the Black Scholes as- sumption in such a way that we address the two implications. First, we implement a Normal Inverse Gaussian (NIG) option pricing model that addresses the implication of the marginal distribution of the logreturns. Second, we implement S. Heston’s stochastic volatility model that addresses the im- plication of constant volatility, thereby also changing the marginal distribution of the logreturns. To ensure that we use liquid options in our calibration, we examine Volume and Open Interest and find a suitable slice of strikes. We calibrate the parameters of our three models daily to liquid S&P 500 plain vanilla options under a risk neutral probability measure Q. We use several ‘goodness of fit’ criteria to ensure that our comparison of the three models does not depend on a single criterion. We see that the Heston model fits observed option prices reasonably well but that the NIG model dis- plays systematical errors, which suggest that it is not a very good model. In order to decide whether one model outperforms the other models, we use the calibrated parameters to perform three differ- ent types of delta hedges. The main result of the paper is that the Heston model outperforms the two other models, especially if we aggregate the P&L of the individual options into a portfolio. Al- though the Heston model is superior to the Black Scholes model, it should be noted that the Black Scholes model is much easier to implement and that the Black Scholes model performs quite well and outperforms the NIG model. The NIG model turns out to be the worst model on all accounts. Keywords: Option pricing, Black Scholes, Normal Inverse Gaussian (NIG), Heston stochastic vola- tility model, delta hedge, minimum variance delta, risk neutral probability measure, martingale pric- ing. Indholdsfortegnelse 1 Indledning ........................................................................................................................................ 1  2.1 Afgrænsning ........................................................................................................................... 2  2.2 Opbygning .............................................................................................................................. 3  2.3 Notation .................................................................................................................................. 4  2 Grundlæggende om optioner ......................................................................................................... 5  2.1 Udviklingen i det underliggende aktiv, S ............................................................................... 6  3 Marginale fordelinger og stokastiske processer for Black Scholes og NIG modellen .............. 7  3.1 Normalfordelingen ................................................................................................................. 7  3.1.1 Den brownske bevægelse ............................................................................................ 8  3.2 Den normal invers gaussiske (NIG) fordeling...................................................................... 11  3.2.1 NIG processen ........................................................................................................... 15  3.3 Den momentgenererende funktion ....................................................................................... 18  3.3.1 Normalfordelingens momenter ................................................................................. 19  3.3.2 NIG fordelingens momenter ..................................................................................... 20  3.4 Fit til empiriske logafkast ..................................................................................................... 21  3.5 Diskussion ............................................................................................................................ 27  4 Marginale fordeling og stokastiske processer for Hestons stokastiske volatilitetsmodel ....... 29  4.1 Hestons stokastiske volatilitet model ................................................................................... 29  4.2 Simulering af den marginale fordeling for X ....................................................................... 30  t 4.3 Fit til empiriske logafkast i Heston Modellen ...................................................................... 33  4.4 Diskussion ............................................................................................................................ 38  5 Prisfastsættelse under det risikoneutrale sandsynlighedsmål .................................................. 39  5.1 Udledning af Black Scholes og NIG modellen med Esscher transformation ...................... 42  5.1.1 Black Scholes under Q-mål ...................................................................................... 45  5.1.2 NIG modellen under Q-mål ...................................................................................... 46  5.2 Udledning af Heston modellen under Q-mål ........................................................................ 47  6 Den generelle optionsmodel.......................................................................................................... 50 6.1 Risikoneutrale out-of-the-money sandsynligheder for de 3 optionsmodeller ...................... 52  6.2 Partielle afledte ..................................................................................................................... 54  7 Data ................................................................................................................................................ 57  7.1 Dataperiode og priser ........................................................................................................... 57  7.2 Futures pris, F til tid t med udløb T ................................................................................... 58  t 7.3 Valg af optioner .................................................................................................................... 60  7.3.1 Open Interest samt Volume ...................................................................................... 60  7.3.2 Valg af løbetider og udløbstidspunkter ..................................................................... 61  7.3.3 Valg af Strikes ........................................................................................................... 62  7.3.4 Filtrering af optioner - Strike monotonicity .............................................................. 65  7.4 Risikofri kontinuert diskonteringsrente ................................................................................ 66  7.5 Data til hedging .................................................................................................................... 68  7.6 Kontrol af data med udgangspunkt i Put-Call pariteten ....................................................... 69  8 Kalibrering af modellen ............................................................................................................... 73  8.1 Valg af algoritme .................................................................................................................. 74  8.2 Valg af Kriteriefunktion ....................................................................................................... 75  8.3 Modelspecifikke initialgæt ................................................................................................... 78  8.3.1 Initialgæt for Black Scholes ...................................................................................... 78  8.3.2 Initialgæt for NIG modellen ...................................................................................... 79  8.3.3 Initialgæt for Heston modellen ................................................................................. 80  8.4 Kalibreringsresultater ........................................................................................................... 82  8.4.1 Black Scholes modellens kalibreringsresultater ....................................................... 83  8.4.2 NIG modellens kalibreringsresultater ....................................................................... 87  8.4.3 Heston modellens kalibreringsresultater ................................................................... 93  8.5 Diskussion ............................................................................................................................ 99  9 Hedging ........................................................................................................................................ 101  9.1 Delta i NIG og Black Scholes modellen ............................................................................ 102  9.2 Delta i Heston modellen ..................................................................................................... 102  9.3 Optionshedging i praksis .................................................................................................... 107  9.4 Den replikerende portefølje ................................................................................................ 108 10 P&L for de 3 modeller .............................................................................................................. 111  10.1 Simulationsstudie af P&L for de 3 modeller .................................................................... 111  10.2 Empirisk undersøgelse af daglige P&L ............................................................................ 115  10.3 Empirisk undersøgelse af P&L når optionerne holdes til udløb....................................... 120  10.4 Diskussion ........................................................................................................................ 123  11 Konklusion ................................................................................................................................. 124  12 Perspektivering.......................................................................................................................... 127  A Appendiks: Den momentgenererende funktion ...................................................................... 128  A.1 Den momentgenererende funktion for normalfordelingen ................................................ 128  A.2 NIG fordelingen ................................................................................................................. 129  B Appendiks: Udledning af udtryk til Esscher transformation ................................................ 130  C Appendiks: Volume og Open Interest ...................................................................................... 131  D Appendiks: Nødvendige resultater for Heston modellen ....................................................... 132  D.1 Diffusionsled ..................................................................................................................... 132  D.2 Udledning af df for Heston modellen ................................................................................ 134  D.3 Udledning af PDE’en for Heston modellen ....................................................................... 135  E Appendiks: Grænse for α i NIG modellen under Q ................................................................ 137  F Appendiks: Forholdet mellem Δ ,Δ og Δ samt δMV,δMV og δMV ............................ 139  St Sˆt Ft St Sˆt Ft G Appendiks: Monte Carlo simulering ........................................................................................ 140  G.1 Black Scholes modellen..................................................................................................... 140  G.2 NIG modellen .................................................................................................................... 141  G.3 Heston modellen ................................................................................................................ 142  H Appendiks: Problemer med bid-ask spænd ............................................................................ 143  Litteraturliste ................................................................................................................................. 144 1 Indledning Den berømte Black Scholes model (Black & Scholes, 1973) og (Merton, 1973) fra 1973 til prisfast- sættelse af optioner er en af hjørnestenene i kvantitativ finansiering, både indenfor den akademiske verden men også på trading floors verden over. Modellen bygger på en række simplificerende anta- gelser, hvoraf nogle af dem strider mod empiriske observationer. Vores fokus er på Black Scholes modellens antagelse om, at aktiekurser S følger en geometrisk brownsk bevægelse: t dS =μS dt +σS dW hvor μogσ er konstante (2.1) t t t t Denne antagelse implicerer at logaritmen til afkastet (logafkastet) på det underliggende aktiv er normalfordelt, og at der er konstant volatilitet. Den empiriske marginale fordeling af logafkastet for det underliggende aktiv er imidlertid typisk leptokurtosisk (Cont, 2001) og kan desuden være skæv. I denne kandidatopgave ønsker vi at undersøge effekten af at ændre Black Scholes modellens anta- gelse (2.1) ved to forskellige fremgangsmåder for bedre at ramme den empiriske marginale forde- ling af logafkastene. I den første fremgangsmåde antager vi, at logafkastet følger den normal invers gaussiske (NIG) fordeling med konstante parametre. NIG fordelingen er udviklet af Barndorff-Nielsen (Barndorff- Nielsen, 1997), og har vist sig at kunne fitte den empiriske marginale fordeling af finansielle data fortrinligt (Rydberg, 1997). Fordelen ved denne fordeling er, at den ud over at afhænge af middel- værdi og varians som normalfordelingen gør, også inddrager kurtosis og skævhed. Med udgangs- punkt i NIG fordelingen indfører vi en NIG optionsmodel. I den anden fremgangsmåde udvider vi Black Scholes modellen med stokastisk volatilitet og ændrer som følge deraf også den marginale fordeling af logafkastene. Til dette formål indfører vi Hestons stokastiske volatilitets model (Heston, 1993) fra 1993. Denne model har siden sin opdagelse opnået en utrolig popularitet, da den udtrykker optionsprisen ved et semianalytisk udtryk, der er bekvemt at arbejde med, hvilket også er årsagen til at vi har valgt at benytte den. Man kunne argumentere for, at normalfordelingen er en nogenlunde approksimation for den margi- nale fordeling af de observerbare logafkast under ”normale” markedsvilkår, hvor der ikke sker sær- ligt mange voldsomme ændringer i markedspriserne. Man kunne også argumentere for, at der til- nærmelsesvis er en konstant gennemsnitlig volatilitet under normale markedsvilkår. For sådanne perioder kunne man derfor forestille sig, at der ikke er meget at hente ved at lave mere sofistikerede modeller. Vi har derfor valgt at benytte et datasæt, der indeholder finanskrisen anno 2008/2009. 1 Vores sammenligning af de 3 modeller henholdsvis Black Scholes modellen, NIG modellen og Heston modellen foretages i 3 trin. Først sammenligner vi de marginale fordelinger for de 3 model- ler, for at undersøge hvor godt de rammer empiriske logafkast. Dernæst kalibrerer vi modellerne og ser hvor godt de fitter faktiske markedsdata. Til slut undersøger vi, hvor gode de 3 modeller er til at delta hedge med, hvilket endegyldigt afgør, hvilken model der er mest robust. Det er her vigtigt at holde sig for øje, at uanset hvilken af de 3 modeller man vælger, vil den med al sandsynlighed al- drig kunne fange hele den virkelige verdens kompleksitet. En sammenligning af de 3 optionsmodel- ler ud fra rigtige markedsdata er derfor en øvelse i sig selv og en grundig databehandling er altså vigtig. Udfordringen i denne kandidatopgave er altså, at ændre Black Scholes modellen i to forskellige retninger og stadig holde en ensartet gennemgang, samtidigt med at alle konklusioner træffes på baggrund af data fra den virkelige verden. 2.1 Afgrænsning Som nævnt i indledningen giver et studie af virkelige markedsdata potentielt ophav til inkonsistens i forhold til de teoretiske modeller vi ønsker at undersøge. Da vi udelukkende er interesserede i at undersøge effekten af de to udvidelser til Black Scholes modellen, nøjes vi med at undersøge euro- pæiske put og call optioner skrevet på S&P 500 indekset med løbetider på op til ca. 9 måneder. Denne afgrænsning gøres for ikke at inddrage yderligere kompleksitet i form af indviklede eksoti- ske produkter eller likviditetseffekter. Markedsmodellen kommer således til at bestå af S&P 500 indekset som underliggende risikofyldte aktiv, og et risikofrit aktiv (bankbog). Vi har valgt ikke at fokusere på stokastisk rente, da den primære årsag til prisændringer i finansielle produkter med kort løbetid primært skyldes ændringer i det underliggende aktiv og ikke ændringer i renten (Macbeth & Merville, 1979). Vi antager, at den risikofri rente kan approksimeres ud fra LIBOR-renten og at investorer kan låne og udlåne ubegrænset til denne rente. Opgaven henvender sig til folk med baggrund indenfor kvantitativ finansiering, og selvom vi be- stræber os på at beskrive al den teori vi bruger, må det forventes at læseren er bekendt med sand- synlighedsteori, stokastiske differential ligninger, ito’s lemma mv. 2 2.2 Opbygning I Kapitel 2 introducerer vi teorien bag optioner og hvilke egenskaber netop den type option vi vil beskæftige os med opfylder og vi forklarer hvilke statistiske egenskaber aktivet antages at opfylde. I Kapitel 3 introduceres fordelingerne for det underliggende aktiv for Black Scholes og NIG model- len samt de tilhørende processer. De centrale momenter beregnes og vi undersøger effekten af for- delingernes parametre. Til slut fitter vi fordelingernes parametre til empiriske logafkast. I Kapitel 4 introduceres Heston modellen og vi undersøger effekten af modellens parametre. Vi udleder herefter en funktion for den marginale fordeling for S, som vi benytter til at fitte modellens parametre til empiriske logafkast. I Kapitel 5 gennemgår vi prisfastsættelse under det risikoneutrale sandsynlighedsmål, Q. For Black Scholes modellen og NIG modellen introduceres Esscher transformationen for at udlede funk- tionerne til prisfastsættelse af call- og putoptioner under Q-målet. Da Esscher transformationen kun gælder for Lévy processer, tager vi for Heston modellens udgangspunkt i dens partielle differential- ligning for at udlede funktionerne til prisfastsættelse af call- og putoptioner under Q-målet. I Kapitel 6 udleder vi en generel optionsmodel og undersøger de tre modellers sandsynligheder for at en option ender out-of-the-money. Herefter beregner vi forskellige partielle afledte for options- modellerne til brug ved hedging. I Kapitel 7 beskriver vi vores data, samt de nødvendige transformationer og filtreringer. Vi kontrol- lerer desuden kvaliteten af vores data vha. put-call pariteten. I Kapitel 8 gennemgår vi kalibreringen af de tre modeller med hensyn til implementering og kali- breringsresultater. I Kapitel 9 gennemgår vi teorien bag hedging og udleder delta for alle 3 modeller. For Heston mo- dellen viser det sig at være en smule kompliceret pga. korrelationen og vi benytter derfor en mini- mum varians metode til at udlede delta. Vi gennemgår til sidst hedging proceduren for en option over tid ved at indgå en position en futures og en bankbog. I Kapitel 10 udfører vi 3 forskellige typer af delta hedging og sammenligner resultaterne for de 3 modeller. Vi beregner P&L jf. forrige kapitels hedging procedure. I Kapitel 11 konkluderer vi på opgavens resultater og giver forslag til udvidelser i forlængelse af denne kandidatopgave. 3 2.3 Notation I nedenstående tabel forklares den valgte notation i opgaven. Tabel 2.1 Inputparametre Symbol Forklaring og sammenhæng t Det anskuede tidspunkt i år. Ofte sættes t = 0. T Udløbstidspunktet i år, hvor T −t angiver antal år til udløb. t Beregningstidspunktet i dage. Ofte sættes t =0. d d Udløbstidspunktet i dage, hvor T −t angiver antal dage til T d d d udløb Udløbstidspunktet i dage, hvor TL kun kan antage et antal TL i i dage svarende til i =½,1,2,3,...,11eller 12 måneder . rˆ t ,TL LIBOR-renten til tid t med en løbetid, TL. d i d i Den annualiserede kontinuerte rente til tid t med en løbetid d r rˆ,t ,T på T .Den findes ved passende interpolation og transformation d d d af de 2 tidsmæssigt nærmeste LIBOR-renter. q Den kontinuerte dividenderate Aktiekursen på det dividendebetalende underliggende aktiv. I ˆ S t de empiriske afsnit repræsenterer den S&P 500 Indekset. S S =e−q(T−t)Sˆ Aktiekursen på underliggende aktiv, Sˆ diskonteret med q. t t t t F =e(r−q)(T−t)Sˆ ⇔ Futures pris til tid t med udløb T og med Sˆ som det underlig- F t t t t F =er(T−t)S gende aktiv. t t K Strikepris for option Prisen for en calloption til tid t med S som underliggende f S ,K,t,T t C t aktiv, med udløb T og med en strike på K. Prisen for en putoption til tid t med S som underliggende ak- f S ,K,t,T t P t tiv, med udløb T og med en strike på K. Parametervektor som angiver parametre for den tilhørende fordelingsfunktion. Er angivet ved P eller Q afhængigt af Ωˆ P,Ωˆ Q,ΩQ sandsynlighedsmål. Hatten, ”^” angiver, om parametervekto- ren skal estimeres. Δ ,δMV Δ betegner den partielle afledte ifht. ξ for Black Scholes og Sˆ Sˆ ξ Δ ,δMV Se appendiks F NIG modellen, mens δMV betegner den vægt, der minimerer S S ξ og Δ ,δMV variansen for optionen ifht. ξ for Heston modellen. F F p betegner en tæthedsfunktion, mens P betegner en forde- p,Pog P,P lingsfunktion. P og P skal ikke forveksles med P, da de er 1 2 1 2 de betingede sandsynligheder defineret i Heston modellen. 4 2 Grundlæggende om optioner Der findes mange forskellige slags optioner. I denne opgave tager vi udgangspunkt i den europæi- ske option, der er en af de mest simple og mest handlede optioner. Når vi i resten af opgaven refere- rer til en option er det underforstået, at vi referer til en europæisk option. En option er en kontrakt, der giver ejeren ret, men ikke pligt, til at købe eller sælge et bestemt aktiv til et aftalt tidspunkt til en forudbestemt pris. En option kaldes også for et derivat eller et afledt aktiv, da værdien af optionen afhænger af et andet aktiv, også kaldt det underliggende aktiv. En option, der giver ret til at købe det underliggende aktiv kaldes en calloption, mens en option, der giver ret til at sælge det underlig- gende aktiv kaldes en putoption. Den forudbestemte pris som det underliggende aktiv kan handles til, kaldes strike prisen eller blot striken. ˆ Kursen på det underliggende aktiv til tid t er givet ved S , og der må derfor til udløbstidspunktet, T t ( ) ( ) ˆ ˆ gælde, at værdien af en calloption er max S −K,0 , og værdien af en putoption ermax K −S ,0 . T T Vi er interesserede i at prisfastsætte en option til et tidspunkt t < T, og vi har derfor brug for en sta- ˆ tistisk model for udviklingen af det underliggende aktiv S . Da vi i ønsker at se bort fra dividendebetalinger, korrigerer vi kursen på det underliggende aktiv ved at erstatte Sˆ med S = Sˆ e−q(T−t). Der gælder så ifølge Hull, (Hull, 2005, s. 313), at fordelingen af t t t det underliggende aktiv til tid T er ens i de følgende to tilfælde: ˆ 1. Det underliggende aktiv starter ved kurs S og udbetaler dividende med raten q. t 2. Det underliggende aktiv starter ved kurs S = Sˆ e−q(T−t) og udbetaler ingen dividender. t t Man kan vise en række egenskaber og grænser for optionspriserne, der gælder uanset de bagvedlig- gende statistiske antagelser. En af de vigtigste egenskaber er put-call pariteten. Hvis man går lang i en calloption og kort i en putoption vil man til udløb, T uanset værdien S have følgende payoff: ( ) ( ) max S −K,0 −max K −S ,0 =S −K. Forudsat, at der ikke er arbitragemuligheder må der til tid T T T 0 så gælde følgende sammenhæng, som kaldes put-call pariteten (Hull, 2005, s. 212): f − f = S −e−rTK (2.1) C P 0 Det kan desuden vises, at der gælder følgende øvre og nedre grænser for optionspriser (Hull, 2005, s. 209-212): ( ) ( ) Calloption: max S −Ke−rT,0 ≤ f ≤S , Putoption: max Ke−rT −S ,0 ≤ f ≤ Ke−rT (2.2) 0 C 0 0 P 5