N. BOURBAKI N. BOURBAKI GROUPES ET ALGEBRES DE LIE Chapitres 7 et 8 Q- Springer Réimpression inchangée de l'édition originale de 1975 O Herman, Pais, 1975 O N. Bourbaki, 1981 O Masson, Pais, 1990 O N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 ISBN-10 3-540-33939-6 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-33939-7 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Touie représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quclquc procédé que ce soit, sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media springer.com Maquette de couverture: design &production, Heidelberg Imprimé sur papier non acide 4113100lYL - 5 4 3 2 1 0 - CHAPITRE VI1 Dans ce chapitre, k désigne un corps commutatif. Par Q espace vectoriel O,o n entend espace vectoriel sur k a; de même pour algèbre de Lie R, etc. Toutes les algèbres de Lie <( <( sont supposé& de dimension$nie. 8 1. Décomposition primaire des représentations linéaires 1. Décomposition d'une famille d'endomorphismes Soient V un espace vectoriel, S un ensemble, et r une application de S dans End(V). Notons P l'ensemble des applications de S dans k. Si A E P, on note Vh(S) (resp. Vh(S))l 'ensemble des v E V tels que, pour tout s G S, on ait r(s)v = A(s)v (resp. (r(s) - A(s))% = O pour n assez grand). Les ensembles Vh(S) et Vh(S) sont des sous-espaces vectoriels de V, et l'on a Vh(S) c Vh(S). On dit que V,(S) est le sous-espace propre de V relatif à A (et à r), que Vh(S) est le sous-espace primaire de V relatif à A (et à Y),q ue VO(S)e st le nilespace de V (relatif à r). On dit que A est un poids de S dans V si Vh(S) # 0. En particulier, quand S est réduit à un seul élément s, P s'identifie à k; on emploie les notations V,(,,(s) et VA(S)(so),u V,,,,(r(s)) et VhCs)(r(s))a,u lieu des notations Vh((s)), Vh({s}); on parle des sous-espaces propres, des sous-espaces primaires, du nilespace de r(s) ; un élément v deVh,,,(s) est appelé un vecteur propre de r(s), et, si v # O, A(s) est appelé la valeurpropre correspondante (cf. A, VII, 5 5). On a aussitôt, pour tout A E P, les realati ons (1) VX(S)= V"'" (s), Soit k' une extension de k. L'application canonique de End(V) dans End(V 8,k '), donne par composition avec r, une application r' : S +End(V @ , k') . Dc même, toute application A de S dans k définit canoniquement une application, notée encore A , de S dans k'. Avec ces notations, on a la proposition suivante: 8 SOUS-ALGÈBRES DE CARTAN. ÉLÉMENTSR ÉGULIERS Ch. VII, 5 1 Soit (ai) unc hase du k-espace vectoriel k'. Si v E V @ , kt, v se met de manière 1 unique sous la forme vi @ a,, où (vi) est une famille à support fini d'éléments de V. On a, pour tout s E S, 2 (rr(s) - h(~))~(=u ) (r(s) - A(s))~u@, a,. Il s'ensuit que u E (V Bk kf)'(S) u v, E Vh(S) pour tout i, u E (V Bk kf),(S) c. O,E V,(S) pour tout i, ce qui entraîne la proposition. PROPOSITIO2.N - Soient V, V', W des espaces riectoriels. Soient r: S -t End(V), r' : S -t End (V') et q: S -t End (W) des applications. (i) Soit f: V -t W une application linéaire telle que q(s)f (v) = f (r(s)v) pour s E S et v E V. Alors, pour tout h E P, f applique VA(S)( resp. V,(S)) dans Wh(S) 1. (resp. WAF) (ii) Soit B: V x V' W une application bilinéaire telle que -t + q(s)B(v, v') = B(r(s)v, v') B(v, r1(s)v') pour s E S, u E V, v' E V'. Alors, pour tous A , p. E P, B applique Vh(S) x VfCL(S) (resp. V,(S) x V;(S)) dans Wh+C L(S()r esp. Wh ,(S)). + (iii) Soit B: V x V' + W une application bilinéaire telle que q(s)B(v, v') = B(r(s)v, r'(s)vl) pour s E S, u E V, U' E VI. Alors, pour tous A, p E P, B applique Vh(S) x VtU(S)( resp. Vh(S) x VI(S)) dans WhCL(S(r)e sp. Wh,(S)). Dans le cas (i), on a (q(s) - A ( s ) ) ~(v~) = f ((r(s) - A(s))'v) pour s E S et v E V, et l'on conclut aussitôt. Dans le cas (ii), on a pour s E S, u E V, U' E V', d'où par récurrence sur n On en déduit immédiatement Ics asscrtions de (ii). Dans le cas (iii), on a pour s E S, u E V, ut E V', d'où par récurrence sur n On en déduit immédiatement Ics assertions de (iii). 2 1 PR~PO~ITI3O. -N La somme VX(S)e st directe. La somme V,(S) est directe. AEP hsP La seconde assertion est conséquerice de la première; il suffit de prouver celle-ci. Distinguons plusieurs cas. a) S est vide. L'assertion est triviale. b) S est réduit à un élément S. Soient A,, A,, . . . , A, des éléments distincts de k. Pour i = 0, 1, . . ., n, soit v, E Vh~(se) t supposons que v, = v, + . . . + v,. Il s'agit de prouver que v, = O. Pour i = O, . . ., n, il existe un enntier q, > O tel que (r(s) - hi)qsui = O. Considérons les polynômes P(X) = (X - A,)@%et i21 Comme P et Qsont prcmiers entre eux, l'identité de Bezout prouve que v, = O. c) S estJini non cide. Raisonnons par récurrence sur le cardinal de S. Soient - s E S et S' = S {s). Soit (v,),,, une famille à support fini d'éléments de V tels 2 que v, = O ct v, E Vh(S).S oit A, t P. Notons P' l'ensemble des A E P tels que A 1 S' h=€P ho 1 S'. D'après l'hypothèse de récurrence appliquée à Sr, on a 2 v, = 0. hep' Si A, sont des éléments distincts de P', on a h(s) # p(s). Comme la somme 2 Va(s) est directe d'après b), ct quc v, EV~(~)(oSn) ,a U, = O pour tout atk h E Pl, et en particulier vAo = O, ce qu'il fallait démontrer. d) Cas général. Soit (v,), , une famille à support fini d'éléments de V telle que 2 v, = O et v, E Vh(S). Soit P' l'ensemblc fini des A E P tels que v, # O, et soit AEP S' une partie finie de S telle que les conditions A E Y', p E P', 1 S' = p 1 S' entraînent A = p. On a v, E VAIS'(S'); appliquant c), on voit que v, = O pour h E Pl, ce qui achève la démonstration. Rappelons que, si x E End(V), on note ad x l'application y Hx y - yx = [x, y] de End(V) dans lui-même. Lemme 1. - Soient x, y E End (V). (i) Supposons V de dimensionjnie. Pour que x soit trigonalisable, ilf aut et il su@ que v 2 = va@). (iai~ )e- kS 'il existe un entier n tel que (ad ~ ) =~ O, ycha que Va(x) est stable par y. 2 (iii) Supposons V de dimemionjnie. Si V = Va(x) et si chaque Va(x) est stable aEk par y, il existe un entier n tel que (ad ~ ) =~ O. y La partie (i) résulte dc A, VII, 5 5, no 2, prop. 3. Soit E = End(V). Soit B l'application bilinéaire (u, u) K- u(v) de E x V dans V. Par définition de ad x, on a 10 SOUS-ALGÈBRESD E CARTAN. ÉLÉMENTSR ÉGULIERS Ch. VIE, § 1 pour x E E, u E E, v E V. Faisons opérer x sur E par ad x. D'après la prop. 2 (ii), on a B(EO(x)V, a(x)) c Va(x) pour tout a E k. Si (ad x)"y = O, alors y E EO(x), donc y(Va(x)) c Va(x), ce qui prouve (ii). Pour prouver (iii), on peut remplacer V par Va(x),x (resp. y) par sa restriction à Va(x). Quitte à remplacer x par x - a, on peut donc supposer x nilpotent. Alors (ad x ) ~= O~ (1, ~3 4, ~no 2)~, ce -qui ~prou ve (iii). Remarque. -La démonstration prouve que, si V est de dimension finie et s'il existe un entier n tel que (ad ~ ) =~ O, yalo rs (ad ~ ) ~= 0~. ~ ~ ~ - ~ y Dans la suite, nous dirons que l'application r: S + End(V) satisfait à la condition (PC) (de presque commutativité O) si l'on a: (( (PC) Pour tout couple (s, s') d'éléments de S, il existe un entier n tel que (ad r(s))"r(s') = 0. THÉORÈM1E. - Supposom V de dimensionjnie. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) La condition (PC) est vérijiée et, pour tout s E S, r(s) est trigonalisable. 2 (ii) Pour tout A E P, Vh(S) est stable par r(S), et l'on a V = Vh(S). 2 2 he- p- Si V = Vh(S),o n a V = Va(s) pour tout s E S, et il rCsulte du lemme 1 hsP ask que (ii) entraîne (i). Supposons la condition (i) vérifiée. Le lemme 1 et la formule (1) entraînent que chaque Vh(S) est stable par r(S). Reste à prouver que V = 2 Vh(S). Nous raisonnerons par récurrence sur dim V. Distinguons deux cas. hep a) Pour tout s E S, r(s) admet une seule valeur propre A(s). Alors V = Vh(S). b) Il existes E S tel que r(s) admette au moins deux valeurs propres distinctes. Alors V est somme directe des Va(s) pour a E k, et dim Va(s) < dim V pour tout a. Chaque Va(s) est stable par r(S), et il suffit d'appliquer l'hypothèse de récur- rence. COROLL~U1R. E- Supposons V de dimemion jnie et la condition (PC) vénJiée. Soit k' une extnrntnrdneo kn. On suppose que, pour tout s E S, I'endom~phher (s)é p 1 de V 8,k ' est trigonalisable. Soit P' l'ensemble des applications de S dam k'. Alors V @, k' = 2 (V épk k'Y(S). A'EP' Soit r': S -+ End(V Bkk ') l'application définie par r. Si s,, s, E S, il existe un entier n tel que (ad r(s,))nr(s,) = O, d'où (ad r'(s,))nr'(s,) = O. Il suffit alors d'appliquer le th. 1. COROLLAJR2.E -S upposons V de dimensionfinie et la condition (PC) vérijiée. Notons 2 ( n V (S) le sous-espace actoriel r (5)'~)A. lors : + SES (i) V0( S) et V (S) sont stables par r (S) ; + (ii) V = VO(S)@ V+( S) ; (iii) tout sous-espace vectoriel W de V, stable par r(S) et tel que WO(S)= 0, est contenu dans V (S) ; 2+ (iv) on a r(s)V+(S)= V+(S). ses En outre, V+( S) est le seul sous-espace vectoriel de V possédant les propriétés (i) et (ii). Bk ak Pour toute extension k' de k, on a (V kt) (S) = V+( S) k'. + La dernière assertion est immédiate. Pour prouver les autres, on peut alors, compte tenu de la prop. 1, supposer k algébriquement clos. On a, d'après le th. 1, V = Vh(S),e t les Vh(S)s ont stables par r(S). Si s E S, le polynôme caractéris- hsP 1 .n tique de r(s) Vh(S) est (X - ~(s))~'~i~l s''(en~su)it; que r(s)'Vh(s) est nul $21 si A(s) = O et égal à Vh(S) si ~(s#) 0; par conséquent v+ 2 (S) = Vh(S), AoP,A#O ce qui prouve (i), (ii) et (iv). Si W est un sous-espace vectoriel de V stable par 2 r(S), on a W = Wh(S) et Wh(S) = W n Vh(S). Si WO(S)= 0, on voit XEP que W c V (S), ce qui prouve (iii). + Soit V' un sous-espace vectoriel de V stable par r(S) et tel que V' n VO(S)= 0. + On a VfO(S)= O, donc V' c V (S) d'après (iii). Si de plus V = VO(S) V', + on voit que V' = V (S). C.Q.F.D. + On dit parfois que (VO(S)V, +( S)) est la décomposition de Fitting de V, ou de l'application r: S -+ End(V). Si S est réduit à un seul élément s, on écrit V+( s) ou V+( (5)) au lieu de V+( (5)). On a V = VO(s)@ V+( s), VO(s)e t V+( s) sont 1 1 stables par r(s), r (s) VO(s)e st nilpotent et r (s) V (s) est bijectif. + COROLLAI3R. E- Soient V et V' des espaces vectoriels de dimemionfinie, r: S + End(V) et Y' : S + End (V') des applications vériiant la condition (PC). Soit f: V -+ V' une application linéaire surjective telle que f (r(s)v) = r'(s)f (v) pour s E S et v E V. Alors f (Vh(S)) = V'h(S) pour tout A E P. Grâce à la prop. 1, on se ramène au cas où k est algébriquement clos. On a 2 V = @Yh(s), V' = @ Vh(S) d'après le th. 1, et V' = f(V) = f(VA(S)). h€P AEP AEP Enfin, f (Vh(S)) c Vfh(S)d 'après la prop. 2 (i), d'où le corollaire. PROPOSITIO4.N - Supposons k parfait. Soient V un espace vectoriel de dimension finie, u un élément de End(V), us, un les composantes semi-simple et nilpotente de u (A, VII, 4 5, no 8). (i) Pour tout h E k, on a Vh(u) = Vh(uS)= Vh(uS). (ii) Si V est muni d'une structure d'algèbre et si u est une dérivation de V, us et un sont des dérivations de V. 12 SOUS-ALGÈBRDEE SC ARTANÉL. ÉMENTS RÉGULIERS Ch. VII, 1 (iii) Si V est muni d'une structure d'algèbre et si u est un automorphisme de V, alors + us et 1 u;lun sont des automorphismes de V. Grâce à la prop. 1, on peut supposer k algébriquement clos, d'où La composante semi-siniple de 21 IVh(u) est l'homotliétie de rapport A dans Vh(u).C ela prouve (i). Supposons désormais V muni d'une structure d'algèbre. Soient x E Vh(u), . y E V ~ U ) Si u est une dérivation de V, on a xy E Vh+u(~(p)r op. 2 (ii)), donc Cela prouve que us est une dérivation de V. Alors un = u - us est aussi une dérivation de V. Si u est un automorphisme de V, on a Ker(us) = VO(u)= O, donc us est bijectif, D'autre part, xy rVhu(u) (prop. 2 (iii)), donc Cela prouve que us est un automorphisme de V; il en est de même de 2. Cas d'une famille linéaire d'endomorphismes Nous supposons maintenant que S est muni d'une structure d'espace vectoriel, que l'application r: S + End(V) est linéaire, et que V et S sont de dimensionjnie. PROPOSITIO5N. - Supposons lu condition (PC) vér$ée, et soit A: S + k tel que Vh(S) # O. Si k est de caractéristique 0, L'afiplication h est linéaire. Si k est de caractéristique p # 0, il existe une puissance q de p divisant dim Vh(S), et une fonction polynomiale homogène P: S + k de degré q, telles que A(s)~= P(s) pour tout s E S. Comme Vh(S) est stable par r(S) (lemme 1 et formule (1) du no l), on peut supposer que V = Vh(S). Soit n = dim V, Pour s E S, on a alors det(X - r(s)) = (X - A(s))~. D'autre part, le développement du déterminant prouve que où a,: S -+ k est une fonction polynomiale homogène de degré i. Ecrivons n = qm où q est une puissance de l'exposant caractéristique de k et où (q, m) = 1. On a alors (X - A(s))~= (Xq - A(S)~)d~'o;ù -mh(~)=~ a,(s), ce qui entraîne le résultat. PROPOSITIO6N. - Supposons k injni et la condition (PC) vér$ée. Soit k' une extension de k. Posons V' = V @ , k', S' = S @, k'. Soit r': S' + End(V1)l 'application déduite de r par extension des scalaires. Alors VO(S)@ , k' = V'O(S) = VfO(S'). La première égalité résulte de la prop. 1. Pour prouver la deuxième, on peut supposer V = VO(S)d 'où V' = VfO(S).S oient (s,, . . . , s,) une base de S et (el, . . . ,e n) une base de V. Il existe des polynômes Pii(X1,. . ., X,) tels que pour 1 < j < n et a;, . . . , am E k'. Par hypothèse, on a r'(s)" = O pour tout s E S, c'est-à-dire P,,(a,, . . . , a,) = O pour 1 < i, j ,< n et a,, . . . , a, E k. Comme k est infini, on a donc Pz, = O. Par suitc, tout élément de r'(Sf) est nilpotent et V' = VIO(S'). PROPOSITIO7N. - Supposons k injini et la condition (PC) vérijiée. Soit l'ensemble des s E S tels que VO(s) = VO(S).S i s E S, soit P(s) le déterminant de l'endomorphisme de V/VO(S)d &ni par r(s) (no 1, cor. 2 (i) au th. 1). s 1 (i) La fonction s H P(s) est polynomiale sur S. On a = {s E S P(s) # O); c'est un ouvert de S pour la topologie de Zariski (App. 1). (ii) S est non vide, et, pour tout s E 3, on a V (5) = V (S). + + Le fait que s t->P (s) soit polynomiale résulte de la linéarité de r. Si s E S, on a VO(s)3 VO(S),a vec égalité si et seulement si r(s) définit un automorphisme de . V/VO( S), d'où (i) Soit maintenant k' une clôture algébrique de k, et introduisons V', S', Y' comme dans la prop. 6. Remarquons que S' vérifie la condition (PC) par pro- longement de l'identité polynomiale ad(r( s,)) dimv- lr(s,) = O valable pour s,, s, E S (no 1, remarque). Appliquant le th. 1, on en deduit une décomposition avec A, # O pour 1 < i ,< m. Pour 1 < i < m, il existe une fonction polynomiale Pi non nhlle sur S' et un entier q, tels que A: = Pi (prop. 5). Puisque k est infini, il existe s E S tel que (Pl. . .Pm)( s) # O, cf. A, IV, 3 2, no 3, cor. 2 à la prop. 9. On a alors Ai(s) # O pour tout i, d'où V'O(S1) = VIO(s) et par suite VO(S)= VO(s) (prop. 6),c e qui montre que 3 # 0. Si s E 3, le fait que V+( S) soit stable par r(s) et supplémentaire de Vo(s)d ans V entraîne que V (S) = V (s) (cor. 2 au th. 1). + + 3. Décomposition des représentations d'une algèbre de Lie nilpotente Soient P une algèbre de Lie et M un @-module.P our toute application A de b dans k, on a défini au no 1 les sous-espaces vectoriels MA(@e)t Mh(b) de M. En