0 Capítulo 0 Precálculo CCCCCooooonnnnnttttteeeeennnnniiiiidddddooooo bbbbbrrrrreeeeevvvvveeeee Módulo 1 El sistema de los números reales Módulo 2 El sistema de coordenadas cartesianas. La línea recta Módulo 3 Funciones y sus gráficas Ejercicios Capítulo 0, módulos 1 al 3 Presentación En este capítulo, denominado «Precálculo», se presentan algunos temas no trata- dos en el curso de álgebra y trigonometría, los cuales son fundamentales para abordar el estudio de un primer curso de cálculo diferencial. 1 El sistema de los números reales Introducción El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el llamado sistema de los números reales. Números tales como 1, 3, 35, π, e, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas. Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos comienza con un sistema más primitivo –tal como el conjunto de los números naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ...–, y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales1. En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe) por medio de un conjunto fundamental de propieda- des (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades. Objetivos del módulo 1. Hacer una construcción intuitiva del conjunto ℜ de los números reales y pre- sentarlo como un campo ordenado. 2. Presentar los intervalos como subconjuntos infinitos de ℜ y efectuar operacio- nes de conjunto con ellos. 3. Estudiar el valor absoluto de un número real x y sus propiedades. Preguntas básicas 1. Usando los signos de ∈,∉,⊂,⊄ llene los espacios en blanco de manera que se obtenga una proposición verdadera: 5.41 _____ (cid:93); (cid:95)_____(cid:96) − 216_____(cid:93); ℜ+ ____(cid:96) 2. La desigualdad triangular establece que para todo x, y ∈ℜ, x+y ≤ x + y. ¿En qué casos se verifica la igualdad? 1. El matemático Italiano G. Peano (1858-1932) presentó en 1889 un conjunto de cinco axiomas para los números naturales. Puede verse una discusión detallada en el desarrollo del sistema de los números reales por medio de los axiomas de Peano en el libro Foundations of analysis, de F. Landau, Nueva York, Chelsea, Publishing Co., 1951. Contenidos del módulo 1.1 Conjunto de los números reales 1.2 Axiomas de campo 1.3 Axiomas de orden 1.4 Representación geométrica de los números reales 1.5 Intervalos y valor absoluto 1.6 Solución de desigualdades (inecuaciones) U de @ - Educación no presencial 22 Módulo 1: El sistema de los números reales 1.1 Conjunto de los números reales En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjuntoℜde los números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto(cid:96)de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axio- mático del mismo. El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de núme- ros. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos: Conjunto de los números naturales El conjunto de los números naturales, que se denota por(cid:96)o también por (cid:93)+,co- rrientemente se presenta así: (cid:96) = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter infor- mal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales. Conjunto de los números enteros El conjunto de los números enteros, que se denota por (cid:93),corrientemente se pre- senta así: (cid:93) = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}. En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en (cid:96),como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –2. Puede notarse que (cid:96)⊂(cid:93). Conjunto de los números racionales El conjunto de los números racionales, que se denota por (cid:95),se define de la si- guiente manera: ⎧m ⎫ (cid:95)=⎨ : conm,nenterosyn≠0⎬. ⎩n ⎭ La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación ax = b, con a,b∈(cid:93), a≠0. Elementos básicos de cálculo diferencial 23 Capítulo 0: Precálculo Esta ecuación sólo tiene solución en (cid:93),en el caso particular en que a sea un divisor de b. Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en conse- cuencia, se puede concluir que (cid:96)⊂(cid:93)⊂(cid:95). En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que a, b, c, d, ... son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero. Conjunto de los números irracionales En muchos temas de la geometría se plantean, en general, problemas para cuya solución el conjunto de los números racionales resulta insuficiente. Así por ejem- plo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x satisface la ecuación x2 = 2. Puede demostrarse fácilmente que no existex∈(cid:95)que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a∈(cid:95) y n∈(cid:96),carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace necesario, por tanto, describir otro conjunto, en el cual ecuaciones como las anteriores tengan solución. El conjunto de los números irracionales, que se denota por (cid:95)∗, está constituido por los números reales que no admiten la representación racional. Ejemplos de esta clase de números son el número e (base del logaritmo natu- ral),π, 2, etc. En este conjunto se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en (cid:95), como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 = 2, cuyas soluciones son x = ± 2, que no son números racionales. Conjunto ℜde los números reales Se define como ℜ=(cid:95)∪(cid:95)∗. En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas también axiomas de campo). 1.2 Axiomas de campo AC1: Uniforme Si se suman entre sí dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único. Si se multiplican entre sí dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único. U de @ - Educación no presencial 24 Módulo 1: El sistema de los números reales AC2: Conmutativa ⎧a+b=b+a. Para todo a,b∈ℜ, ⎨ ⎩ a⋅b=b⋅a. AC3: Asociativa ⎧a+(b+c)=(a+b)+c. Para todo a,b,c∈ℜ,⎨ ⎩ a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c. AC4: Modulativa Existe el real 0 (cero) tal que para todo a∈ℜ, a + 0 = 0 + a = a. Existe el real 1 (uno), 1 ≠ 0, tal que para todo a∈ℜ, a⋅1=1⋅a=a. El real 0 es llamado módulo o elemento neutro para la adición. El real 1 es llamado módulo o elemento neutro para la multiplicación. AC5: Invertiva Para cada número real a existe un real único llamado el opuesto de a, y que se denota (−a),tal que a+(−a)=0. Para cada número real a ≠ 0 existe un real único llamado el recíproco de a, y que se denota por a−1 o 1/a, tal que a⋅a−1 =a⋅(1 a)=1. Así por ejemplo, el opuesto de 5 es−5;el recíproco de−2 es 1 −2. Debe notarse que (−a)no significa un número negativo, aunque en algu- nas ocasiones puede serlo. Así,−3es negativo y es el opuesto de 3, mien- tras que –(−5) es positivo y es el opuesto de −5. El opuesto de a también se conoce como inverso aditivo, y el recíproco de a también es llamado inverso multiplicativo de a. Elementos básicos de cálculo diferencial 25 Capítulo 0: Precálculo AC6: Distributiva Para todo a,b,c∈ℜ, a⋅(b+c)=a⋅b+a ⋅c. Consecuencias importantes de los axiomas de campo A continuación se presentan, sin demostración, las consecuencias más importantes de los axiomas de campo. Más que una simple lista, son propiedades conocidas por el estudiante y que le serán bastante útiles en el desarrollo del curso. En algunas demostraciones de los teoremas del cálculo haremos referencia a ellas. C1: Ley cancelativa para la adición (multiplicación) x + y = x + z ⇒ y = z. Si x≠0, entonces xy = xz ⇒ y = z. C2 Para todo a,b∈ℜ, la ecuación x + a = b tiene una y sólo una solución enℜ. C3 Para todo x∈ℜ, x⋅0=0. C4 x⋅y=0⇒x=0∨y=0. 1 C5 Para todo x∈ℜ, si x≠0, entonces x−1 = ≠0. x x C6 Si y≠0, entonces =0⇔ x=0. y C7 Para todo x∈ℜ, −(−x)= x. C8 Si x≠0, entonces (x−1)−1 = x. C9 Para todo x,y∈ℜ, −(x+y)=(−x)+(−y). 1 1 1 C10 Si x≠0, y≠ 0, entonces (x⋅y)−1 = x−1⋅y−1. Equivalentemente, = ⋅ . xy x y a c a⋅d+b⋅c C11 Si b≠0, d≠0, entonces + = . b d b⋅d a a⋅d C12 Si b≠0, d≠0, entonces = . b b⋅d a c a⋅c ⋅ = . C13 Si b≠0, d≠0, entonces b d b⋅d C14 Para todo x∈ℜ, −x=(−1)x. C15 (−1)⋅(−1)=1. U de @ - Educación no presencial 26 Módulo 1: El sistema de los números reales C16 (−x)⋅(−y)=xy. C17 −(xy)=(−x)y=x(−y). x −x x − = = , C18 y ≠0. y y −y C19 x(y−z) = xy – xz. C20 (x−y) + (y−z) = x−z. C21 (a−b)−(c−d) = (a + d) – (b + c). C22 (a + b) . (c + d) = (a · c + b · d) + (a · d + b · c). C23 (a−b) . (c−d) = (a · c + b · d) − (a · d + b · c). C24 a−b = c – d ⇔ a + d = b + c. C25 Si x2 = x · x, entonces x2 – y2 = (x−y) . (x + y). 1.3 Axiomas de orden Los axiomas o propiedades del sistema de los números reales que se enuncian a continuación se expresan en términos de un cierto subconjunto especial deℜ (este subconjunto, denotado por ℜ+, se identifica con el conjunto de los reales positivos). En general, cualquier campo que tenga un subconjunto P con las pro- piedades AO mencionadas a continuación, es llamado un campo ordenado. En el caso particular que se estudiará, estas propiedades permiten establecer que el sis- tema de los números reales es un campo ordenado. AO1 Existe un subconjunto ℜ+de ℜ tal que: i. Si a,b∈ℜ+, entonces (a+b)∈ℜ+. a⋅b∈ℜ+. ii. Para cada a∈ℜ, una y sólo una de las siguientes proposiciones es verdadera: −a∈ℜ+; a=0; a∈ℜ+. Los elementos a∈ℜ, para los cuales a∈ℜ+,serán llamados reales positivos. Los elementos a∈ℜ, para los cuales −a∈ℜ+,serán llamados reales negativos. Elementos básicos de cálculo diferencial 27 Capítulo 0: Precálculo Desigualdades Usando solamente el subconjunto ℜ+ descrito en AO1, se deducen todas las reglas usuales en el trabajo con desigualdades de números reales. Definiciones Sean x, y números reales. i. Los símbolos «<» y «>» (que se leen «menor que» y «mayor que», respectivamente) se definen por las afirmaciones: x< y⇔ y−x∈ℜ+. x> y⇔ x−y∈ℜ+. ii. Los símbolos «≤» y «≥» (que se leen «menor o igual que» y «mayor o igual que», respectivamente) se definen por las afirmaciones: x≤ y⇔ x< y ∨ x= y. x≥ y⇔ x> y ∨ x= y. Cada una de las expresionesx< y, x> y, x≤ y, x≥ yes llamada desigualdad. De la definición anterior se sigue que las desigualdades x > y e y < x son equivalentes. Igualmente, las desigualdades x ≤ y e y ≥ x son equivalentes. iii. La expresión x < y < z se usa para indicar las dos desigualdades simultá- neas: x < y e y < z. Igualmente, la expresión x > y > z se usa para indicar las dos desigualdades simultáneas: x > y e y > z. En cualquiera de los dos casos de la definición iii, se dice que y está entre x y z. Interpretaciones similares pueden establecerse para las desigualdades: x≤ y≤z; x≥ y≥z; x< y≤z; x≤ y<z,etc. Claramente, a∈ℜ+ ⇔a>0. a es negativo ⇔a<0. Las propiedades siguientes, que enunciamos sin demostración, son con- secuencia inmediata de la propiedad de orden y serán útiles en el trabajo con desigualdades. U de @ - Educación no presencial 28