ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA SABO COORDINATE CARTESIANE Ascisse dei Punti di una Retta Data una retta orientata (verso di percorrenza positivo da sinistra verso destra per rette orizzon- tali; dal basso verso l’alto per rette verticali), detto O un suo punto fisso e P un suo punto mobile, il numero x, distanza di P da O misurata rispetto ad un’unità di misura prestabilita, si dice ascissa del punto P. In tali ipotesi il punto fisso O ha ascissa nulla e viene detto origine. Per definire un punto dotato di ascissa si scrive P(x); -x x P così il simbolo P(3) indica che il punto P, di ascissa 3, è P O P x distante tre unità di misura dal punto origine O ed è O situato alla sua destra; mentre il simbolo P(-5) indica x che il punto P, di ascissa –5, è distante cinque unità di - misura dal punto origine O ed è situato alla sua sinistra. P Distanza di Due Punti su una Retta Data una retta orientata e due punti su essa, A(a) e B(b), la loro distanza è data da: AB = AO + OB = OB – OA a b e risultando: AO = -OA ; OB = b ; OA = a A(a) O B(b) La distanza di B da A, misurata nel verso che va da A a B, è: AB = b – a Ciò si traduce nel dire: La distanza di due punti su una retta cartesiana è data dalla differenza tra l’ascissa del secondo punto e quella del primo punto. Ascissa del Punto Medio di un Segmento Considerato su una retta orientata un segmento AB, essendo A(a) e B(b), e detto M(m) il suo punto medio (punto che divide esattamente a metà il segmento) si ha: AM = MB m – a = b – m 2m = a + b a b m 2 ciò si traduce nel dire: L’ascissa del punto medio di un segmento è uguale alla semisomma delle ascisse degli estremi del segmento. Coordinate Cartesiane di un Punto del Piano Date due rette orientate tra loro perpendicolari nel punto origine O, esse definiscono il piano cartesiano. La retta orizzontale si dice asse delle ascisse o delle x, la retta verticale si dice asse delle ordinate o delle y. Nel loro insieme costituiscono un sistema di assi coordinati; il punto di intersezione O è detto origine delle coordinate. Considerato un punto P del piano, non appartenente ad alcuno dei due assi, ed indicato con P e x P le sue proiezioni sugli assi x e y, il numero x, distanza del segmento Op , si dice ascissa di P; y x le sue proiezioni sugli assi x e y, il numero x, distanza del Y segmento OP , si dice ascissa di P; il numero y, distanza x del segmento OPy, si dice ordinata di P. Py P E’ possibile, in tal modo, associare ad un qualunque punto del piano una coppia ordinata di numeri reali (x,y) che definisce in modo univoco la posizione del punto rispetto ad un sistema di assi coordinati e tutto ciò si O Px X sicl r ive simbolicamente P(x,y). E’ importante sottolineare la priorità di x rispetto ad y; infatti, scrivere P(2,3) non è la stessa cosa che scrivere P(3,2), rappresentando essi punti diversi del Y piano come si nota anche dal grafico. P(2,3) In base alle precedenti definizioni, i punti sull’asse delle 3 P(3,2) 2 ascisse hanno ordinata nulla A(x,0) e i punti sull’asse delle ordinate hanno ascissa nulla B(0,y); il punto origine ha entrambe le coordinate nulle O(0,0). O 2 3 X Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti, convenzionalmente numerati in verso antiorario; il primo quadrante ha entrambe le coordinate positive, il secondo quadrante ha ascisse negative ed ordinate positive, il terzo quadrante ha entrambe le coordinate negative, il quarto quadrante ha ascisse positive ed ordinate negative. Ricordando, poi, che la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo, ogni punto sulla bisettrice del primo e terzo quadrante ha ascissa uguale all’ordinata, mentre ogni punto sulla bisettrice del secondo e quarto quadrante ha ascissa uguale ed opposta all’ordinata. Dai teoremi sulla simmetria risulta che due punti P e P’ simmetrici rispetto all’asse delle x, hanno ascisse uguali ed ordinate opposte; due punti Q e Q’ simmetrici rispetto all’asse delle y, hanno ascisse opposte ed ordinate uguali. Distanza di Due Punti nel Piano La distanza di due punti A(x ,y ) e B(x ,y ) si ottiene dal teorema di Pitagora; detto, infatti, C 1 1 2 2 L’intersezione tra la perpendicolare per B all’asse Y delle x e la parallela per A all’asse delle x, si considera il triangolo ABC, retto in C, la cui B y ipotenusa AB = d è la distanza cercata. Applicando 2 d il teorema di Pitagora si ha: AB2 = AC2 + CB2 d2 = AC2 + CB2 A y C 1 AC = x – x ; CB = y – y 2 1 2 1 d2 = (x – x )2 + (y – y )2 x x 2 1 2 1 O 1 2 X d x x 2 y y 2 2 1 2 1 Ciò si traduce nel dire: La distanza di due punti nel piano è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle coordinate omonime dei due punti, In particolare se il punto A coincide con l’origine degli assi, indicando con x e y le coordinate di B, si ha: d x2 y2 che rappresenta la distanza di un punto dall’origine. Punto Medio di un Segmento Dato un segmento nel piano di estremi A(x ,y ) e B(x ,y ) e detto M(x ,y ) il suo punto medio 1 1 2 2 m m (punto che divide esattamente a metà il segmento), si indichino con A’, M’, B’ le proiezioni di tali punti sull’asse delle ascisse; dovendo essere AM = MB, per il teorema di Talete (un fascio di rette parallele determina su due trasversali segmenti proporzionali) risulta anche A’M’ = M’B’ cioè: A’M’ = OM’ – OA’ = x – x ; M’B’ = OB’ – OM’ = x – x m 1 2 m punti sull’asse delle ascisse; dovendo essere AM = MB, per il Y teorema di Talete (un fascio di rette parallele determina su due B y trasversali segmenti proporzionali) risulta anche A’M’ = M’B’ 2 cioè: ym M A’M’ = OM’ – OA’ = x – x ; M’B’ = OB’ – OM’ = x – x A y m 1 2 m 1 O x1 xm x2 X x – x = x – x 2x = x + x m 1 2 m m 1 2 x x x 1 2 m 2 In modo analogo si procede per ottenere l’ordinata di M: y y y 1 2 m 2 ciò si traduce nel dire: Le coordinate del punto medio di un segmento sono date dalla semisomma delle coordinate degli estremi del segmento. FUNZIONI Grandezze Costanti e Grandezze Variabili  Grandezza costante: grandezza che mantiene inalterato il suo valore;  grandezza variabile: grandezza che può assumere valori diversi;  variabile indipendente: variabile a cui si può assegnare un valore arbitrario;  variabile dipendente: variabile il cui valore dipende da un altro valore e varia al variare di esso. Concetto di Funzione Matematica Se due o più variabili, presenti in uno stesso problema, si presentano legate tra loro da relazioni matematiche, simbolicamente scritte: y = f(x), così che la variabile y è determinata dai valori assegnati alla variabile x, si parla di funzione matematica. Il simbolo y = f(x) si legge “y è funzione di x” ed indica che x è una variabile indipendente (può assumere qualunque valore), y è una variabile dipendente (assume valori che dipendono dai valori di x). Le funzioni matematiche si dicono algebriche se le operazioni che legano le variabili sono di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione; ogni funzione non algebrica si dice trascendente. Le funzioni algebriche si dividono in:  funzioni razionali: la variabile x non si trova sotto il segno di radice  razionale intera: la x non compare al divisore,  razionale fratta: la x compare al divisore.  Funzioni irrazionali: la variabile x compare sotto il segno di radice  irrazionale intera: la x non compare al divisore,  irrazionale fratta: la x compare al divisore. Rappresentazione Grafica di una Funzione Data una funzione y = f(x) e considerato un piano cartesiano, riportando sulle ascisse i valori assegnati alla x e sulle ordinate i corrispondenti valori di y, si ottiene un insieme di punti nel piano che, uniti tra di loro, danno luogo ad una linea (luogo geometrico dei punti del piano) detta Grafico o Diagramma della funzione. Viceversa ad una qualunque linea geometrica corrisponde una funzione che traduce in termini matematici una proprietà comune a tutti i punti della linea ed è espressa in funzione delle coordinate dei punti stessi. In definitiva si può affermare: Il grafico di una funzione y = f(x) rappresenta il luogo geometrico dei punti del piano le cui coordinate verificano l’equazione y = f(x) Per rappresentare graficamente una funzione si attribuiscono dei valori alla x e si calcolano i corrispondenti valori della y; si ottiene in tal modo un insieme di punti P(x,y) che segnati sul piano permettono di tracciare il grafico voluto. Lo studio dei grafici o delle relative funzioni che li rappresentano in termini matematici costituisce il punto di partenza della Geometria Analitica. FUNZIONI DI PRIMO GRADO Il luogo dei punti del piano le cui coordinate si ottengono da un’equazione di primo grado nelle variabili x e y ax + by + c = 0 rappresenta una retta. Tale funzione si dice implicita perché le due variabili compaiono nello stesso membro dell’equazione; considerando nota la x e risolvendo rispetto all’incognita y si ha: a c y x b b che è equivalente a quella data e viene detta esplicita perché le due variabili compaiono una ad un membro l’altra all’altro membro dell’equazione. Ponendo, poi, nell’equazione –a/b = m e –c/b = p si ottiene: y = mx + p che viene detta equazione parametrica della retta. I coefficienti a, b, c non devono risultare contemporaneamente nulli (si otterrebbe l’identità 0 = 0), possono però esserlo separatamente, dando origine a casi diversi. 1° caso: a = 0 b 0 c 0 L’equazione assume la forma: by + c = 0 y = -c/b = p i punti che si ottengono da tale equazione hanno ordinata costante e ciò si traduce graficamente una retta parallela all’asse delle ascisse perché, pur variando la x (si Y ricordi che è a = 0 e non la x), la y mantiene sempre lo stesso valore; è il caso dell’equazione: y= 3 2y – 6 = 0 y = 3 Un caso particolare si ha quando anche C = 0, si ottiene infatti y = 0 O X in che rappresenta l’equazione dell’asse x. 2° caso: a 0 b = 0 c 0 L’equazione assume la forma: ax + c = 0 x = -c/a i punti che si ottengono da tale equazione hanno ascissa costante e ciò Y si traduce graficamente in una retta parallela all’asse delle ordinate perché, pur variando la y (si ricordi che è b = 0 e non la y), la x 2 = mantiene sempre lo stesso valore; è il caso dell’equazione: x x – 2 = 0 x = 2 O X Un caso particolare si presenta quando anche c = 0, si ottiene infatti x = 0 che rappresenta l’equazione dell’asse delle y. 3° caso: a 0 b 0 c = 0 L’equazione assume la forma: ax + by = 0 y = (-a/b) x = mx per x = 0 si ottiene y = 0, il che indica che la retta passa per l’origine degli assi; per x = 1 si ottiene y = m, ciò significa che il grafico della funzione passa per i punti O(0,0) e A(1,m). Tracciata, allora, la retta OA, si consideri su di essa un punto Y generico P(x,y) così che risulta: P OA’ = 1 ; AA’ = m ; OP’ = x ; PP’ = y dai triangoli simili OAA’ e OPP’, essendo i loro lati in A proporzione si ricava: AA' PP' y m OA' OP' x O A' P' X se m > 0 i punti della retta sono nel primo e nel terzo quadrante, x e y hanno segno concorde e quindi y/x > 0. Se m < 0 i punti della retta sono nel secondo e nel quarto quadrante, x e y hanno segno discorde e quindi y/x < 0. Da ciò scaturisce che la relazione precedente è sempre valida e può essere scritta nella forma m = y/x da essa si ricava, inoltre, che l’inclinazione della retta rispetto all’asse delle x dipende dal valore di m, che per tale motivo viene detto coefficiente angolare. 4° caso: a 0 b 0 c 0 L’equazione assume la forma: ax + by + c = 0 y = mx + p per x = 0 si ottiene y = p, cioè la retta passa per il punto (0,p); il termine noto p rappresenta, pertanto, l’ordinata del punto di intersezione tra la retta e l’asse delle y. In conclusione i parametri che caratterizzano la retta sono:  m: coefficiente angolare, valore che determina l’inclinazione della retta rispetto all’asse delle x e indica, inoltre, se la retta è crescente o decrescente;  p: termine noto, valore che determina il punto di intersezione tra la retta e l’asse delle y. Rette Parallele Due rette sono parallele se hanno la stessa inclinazione rispetto all’asse delle ascisse (se formano angoli omologhi con l’asse delle x), il che significa che devono avere lo stesso coefficiente angolare. Quindi se le due rette sono date da: ax + by + c = 0 ; a’x + b’y + c’ = 0 risultando i coefficienti angolari pari a m = -a/b e m’ = -a’/b’ la condizione di parallelismo comporta che sia: a a' a a' a b m m' - a:a' b:b' b b' b b' a' b' Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è che abbiano i coefficienti delle incognite in proporzione. Da notare che se due rette sono parallele la differenza tra i termini noti (p – p’) è un valore costante e determina la distanza tra le due rette. Rette Perpendicolari Date due rette generiche: y = mx + p ; y m’x + p’ se esse risultano tra loro perpendicolari, per le relazioni di parallelismo, lo saranno anche le rette passanti per l’origine e ad esse parallele di equazioni: y = mx ; y = m’x Si considerino sulle due rette passanti per l’origine Y due punti P(1,m) e P’(1,m’), dal triangolo OPP’, retto in O, per il teorema di Euclide (in un m x + p y = y triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa = m x m' è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti P y = x + p' sull’ipotenusa) risulta che l’altezza OP’ = 1 è m 1 O P'' X media proporzionale tra le proiezioni PP’’ = m e y m' P’’P’ = m’ dei cateti sull’ipotenusa PP’ e quindi è: = m' x m : 1 = 1 : m’ m m’ = 1 P' essendo d’altra parte m e m’ di segno contrario per la condizione di perpendicolarità imposta, il loro prodotto deve avere segno negativo e quindi è: m m’ = -1 m’ = -1/m Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano tra loro perpendicolari è che il prodotto dei loro coefficienti angolari sia pari a –1.