mathematik-abc fOr das Lehramt P. Gothner Elemente der Algebra mathematik-abc fOr das Lehramt Herausgegeben von Prof. Dr. Stefan Deschauer, Dresden Prof. Dr. Klaus Menzel, Schwabisch GmOnd Prof. Dr. Kurt Peter MOiler, Karlsruhe Die Mathematik-ABC-Reihe besteht aus thematisch in sich abgeschlossenen Einzel banden zu den drei Schwerpunkten: Algebra und Analysis, Bilder und Geometrie, Computer und Anwendungen. In diesen drei Bereichen werden Standardthemen der mathematischen Grundbildung gut verstandlich behandelt, wobei Zielsetzung, Methoden und Schulbezug des behandelten Themas im Vordergrund der Darstellung stehen. Die einzelnen Bande sind nach einem "Zwei-Seiten-Konzept" aufgebaut: Der fach liche In halt wird fortlaufend auf den linken Seiten dargestellt, auf den gegenOber liegenden rechten Seiten finden sich im Sinne des "learning by doing" jeweils zugehorige Beispiele, Aufgaben, stoffliche Erganzungen und Ausblicke. Die Beschrankung auf die wesentlichen fachlichen Inhalte und die Erlauterungen anhand von Beispielen und Aufgaben erleichtern es dem Leser, sich auch im Selbst studium neue Inhalte anzueignen oder sich zur PrOfungsvorbereitung konzentriert mit dem notwendigen ROstzeug zu versehen. Aufgrund ihrer Schulrelevanz eignet sich die Reihe auch zur Lehrerweiterbildung. Elemente der Algebra Eine EinfUhrung in Grundlagen und Denkweisen Von Doz. Dr. Peter Gothner Universitat Leipzig B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart . Leipzig 1997 Doz. Dr. habil. Peter G6thner Geboren 1932 in Leipzig. Studium an der Padagogischen Hochschule Potsdam. Von 1961 bis 1970 Lehrer fUr Mathematik an der Erweiterten Oberschule Grimma. Ab 1970 tatig an der Uni versitat Leipzig, vorwiegend in der Fachausbildung von Lehrem fUr Mathematik. Promotion 1976, Habilitation 1985 an der Sektion Mathematik der Universitat Leipzig. Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Gothner, Peter: Elemente der Algebra: eine Einfijhrung in Grundlagen und Denkweisen I Peter Gothner. - Stuttgart; Leipzig: Teubner, 1997 (Mathematik-ABC fijr das Lehramt) ISBN-13: 978-3-8154-2122-2 e-ISBN-13: 978-3-322-85163-5 001: 10.1007/978-3-322-85163-5 Das Wer!< einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschatzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulassig und strafbar. Das gilt besonders fijr Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. © B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1997 Druck und Bindung: Druckhaus .Thomas Mantzer" GmbH, Bad Langensalza Einfiihrung Das Wort Algebra entstammt dem Titel .Hisab aljabr W'almugabalah" (Erganzung und Ausgleich) von MUHAMED IBN MUSA AL CHW ARAZMI, einem Mathema tiker und Astronom, der urn 810 bis 840 am Hofe des Sohnes von HARUN AL RASCHID in Bagdad wirkte. Algebra wurde zunachst als Bezeichnung fur die Lehre von der .Auflosung von Gleichungen durch Hinzufugen und Weglassen von Gliedern auf beiden Seiten einer Gleichung" benutzt. Die Behandlung von Um formungsregeln fur Glezchungen, in den en mit VIETA (1540 - 1603) auch Variable auftraten, war uber einen langen Zeitraum Gegenstand der (klassischen) Algebra. Am Ende des 18. Jahrhunderts traten Fragen nach der Existenz von Losungen alge braischer Gleichungen sowie die Suche nach Methoden zum Losen solcher Gleichun gen in den Vordergrund. Insbesondere fuhrte die Frage nach .Radikaldarstellungen" fur Losungen - die bekannte Losungsformel fur quadratische Gleichungen kann als solche bezeichnet werden - bereits vor etwa 200 J ahren zu Methoden, bei denen Eigenschaften algebraischer Strukturen genutzt wurden. Zunachst waren diese nur Hilfsmittel zur Untersuchung von Problemen der klassischen Algebra; es zeigte sich jedoch bereits am Ende des 19. Jahrhunderts, daB ihre Bedeutung wesentlich weiter reicht und daB sie sich auf zahlreiche Probleme in anderen mathematischen Gebie ten und in den Naturwissenschaften anwenden lassen. Aus solchen Erkenntnissen heraus entwickelte sich die .moderne" C.abstrakte" oder Jormale" oder .axiomatische") Algebra. Die mit dem Wort Algebra verbundenen Auffassungen haben sich also in der ma thematikhistorischen Entwicklung mehrfach verandert. Heute ist die klassische Algebra in der .modernen" Algebra aufgehoben. Man inter essiert sich -sehr vereinfacht gesagt -in der Algebra weniger dafur, womit man rech net, sondern vielmehr wie man rechnet, und untersucht, welche .Rechenregeln" und Zusammenhange aus Grundeigenschaften von Operationen und Relationen folgen. Beim Umgang mit Operationen und Relationen in speziellen Mengen erkennt man Analogien: So besitzen z.B. die Addition von Matrizen, die Multiplikation von po sitiven rationalen Zahlen, die Addition von Folgen reeller Zahlen ubereinstimmende Eigenschaften. Sieht man von der Spezifik der genannten Mengen und Operationen ab und betrachtet eine (beliebige) Menge G, in der eine (beliebige) Operation .0" mit gewissen Grundeigenschaften definiert ist, so spricht man von einer speziellen .J, algebraischen Struktur. Eines der oben genannten konkreten Gebilde, z.B. [Q+; ist genau dann ein Modell fur eine Struktur (G; 0), wenn man die Elemente von G mit positiven rationalen Zahlen belegt, die Operation .0" als Multiplikation rationaler Zahlen interpretiert und nachweist, daB in [Q+; .J die fiir .0" geforderten Grundei genschaften erfiillt sind. Analogiebetrachtungen konnen also zu einer algebraischen Struktur fiihren, und Kenntnisse iiber algebraische Strukturen ermoglichen umge kehrt das Vergleichen, Ordnen und Systematisieren mathematischer Inhalte. tIber diese Systematisierungsmoglichkeit hinaus hat die Beherrschung algebraischer Strukturen einen weit bedeutungsvolleren Vorzug: Aus relativ wenigen Grundei genschaften kann eine ganze Theorie fiir die jeweilige Struktur abgeleitet werden. 6 Einfiihrung J ede (allgemeine) Aussage in einer solchen Strukturtheorie gilt dann "automatisch" in jedem konkreten Verkniipfungsgebilde, welches Modell dieser Struktur ist. Man muB damit diese Aussage fiir solche Modelle gar nicht mehr beweise~.' sondern stiitzt sich auf den einmaligen Beweis innerhalb der Strukturtheorie. Uber diese Bewelsokonomie hinaus erweist sich die durch die Konzentration auf das Wesentliche erreichte Klarheit in der Beweisfiihrung als psychologischer Vorteil. In den Kapiteln 1 und 2 werden die Anfiinge von Strukturtheorien erarbeitet. Sind zwei Gebilde Modell ein und derselben Struktur, so konnen sie dennoch nicht notwendig identifiziert werden. Es gibt z.B. sowohl Gruppen mit endlich vielen als auch solche mit unendlich vielen Elementen; es gibt Gruppen, in welchen die Grup penoperation kommutativ ist, aber auch nichtkommutative Gruppen. Manche Gebilde sind jedoch "strukturell vollkommen identisch" , sie unterscheiden sich eigentlich nur durch die Bezeichnung der Elemente und die Bezeichnung der Operation. Man nennt solche Gebilde zueinander isomorph. Mitunter sind zwei Gruppenmodelle zwar nicht isomorph, doch so "verwandt" , daB eines als "vergrober tes Abbild" des anderen aufgefaBt werden kann. Man spricht dann von einem ho momorphen Bild eines Gruppenmodells (Kapitel 3). Die Frage nach Moglichkeiten, aus gegebenen Strukturen weitere zu konstruieren oder eine Struktur in eine an dere emzubetten, fiihrt zu allgememen K onstruktionspnnziplen, die sich wiederum auf Modelle der "beteiligten" Strukturen anwenden lassen. So konnen Zahlberelchs erwezterungen als Spezialfall allgemeiner algebraischer Konstruktionen betrachtet werden (Kapitel 4), und die Teilbarkeltslehre fiir ganze Zahlen (oder auch fiir Poly nome) ordnet sich der "Teilbarkeitstheorie" in (speziellen) Ringen unter (KapiteI5). Das Problem der Losbarkeit algebraischer Gleichungen wird im Kapitel 6 aufgegrif fen. SchlieBlich wird (im Kapitel 7) zusiitzlich zu den in einer Struktur festgelegten Operationen eine mit diesen "vertriigliche" OrdnungsrelatlOn eingefiihrt. Es ist das Ziel des Bandes "Elemente der Algebra", in die Anfiinge der Begriffswelt algebraischer Strukturen und in ihre gegenseitigen Beziehungen einzufiihren. Inso fern stehen allgemeine Begriffe und allgemeine Methoden im Vordergrund; einige wichtige Resultate, die zur klassischen Algebra gehoren, werden in den strukturellen Rahmen eingeordnet. Die algebraischen Inhalte werden fortlaufend auf den linken Seiten dargestellt; auf den gegeniiberliegenden rechten Seiten findet der Leser jeweils zugehorige Beispiele und Ubungen. 1m Zusammenhang mit der Darstellung begriffiicher Inhalte ist es vor allem Anliegen des Buches, den Leser mit Denkweisen der Algebra vertraut zu machen. SchlieBlich ist es mir ein Bediirfnis, der B.G. Teubner Verlagsgesellschaft fiir die verstiindnisvolle Zusammenarbeit und Frau Jacqueline Muller fiir ihre Unterstiit zung bei der technischen Bearbeitung des Manuskriptes herzlich zu danken. Leipzig, Juni 1997 Peter Gothner Inhalt 1 Strukturen mit einer binaren Operation 11 1.1 Gruppen und Halbgruppen 12 1.1.1 Der Gruppenbegriff 12 1.1.2 Additive bzw. multiplikative Schreibweise von Gruppen 14 1.1.3 Halbgruppen, Ordnung von Gruppen und Halbgruppen 16 1.2 Folgerungen aus Gruppen- und Halbgruppenaxiomen 18 1.2.1 Neutrale Elemente in Gruppen und Halbgruppen 18 1.2.2 Losbarkeit von Gleichungen in Gruppen 20 1.2.3 Unterschiedliche Axiomensysteme fur Gruppen 22 1.2.4 Potenzen von Gruppenelementen 24 1.3 Isomorphie 26 1.3.1 Begriff der Iso~?rphie 26 1.3.2 Isomorphie als Aquivalenzrelation 28 1.3.3 Ubertragung von Struktureigenschaften durch Isomorphismen 30 1.4 U nterstrukturen 32 1.4.1 Untergruppen und Unterhalbgruppen 32 1.4.2 Durchschnitt von Untergruppen - Komplexe erzeugen Untergruppen 34 1.5 Nebenklassen - der Satz von LAGRANGE 36 1.5.1 Konstruktion von Nebenklassen 36 1.5.2 Zusammenhang zwischen Gruppenordnung und Ordnung einer Untergruppe 38 1.6 Zyklische Gruppen 40 1.6.1 Erzeugende Elemente 40 1.6.2 Struktur zyklischer Gruppen 42 1.7 Permutationsgruppen, Restklassengruppen und Gruppen von Deckabbildungen 44 1.7.1 Gruppen von Permutationen 44 1.7.2 Restklassengru pp en 50 1.7.3 Der kleine FERMATsche Satz 52 1.7.4 Gruppen von Deckabbildungen 54 1.8 Isomorphieklassen von Gruppen kleiner Ordnung 60 8 Inhalt 2 Strukturen mit zwei binaren Operationen 62 2.1 Ringe und Korper 62 2.1.1 Die Struktur eines Ringes 62 2.1.2 Die Struktur eines Korpers 64 2.2 Folgerungen aus Ring- und Korperaxiomen 66 2.2.1 Rechenregeln in Ringen 66 2.2.2 Nullteiler 68 2.2.3 Potenzgesetze und Gesetze der Vervielfachung in Ringen 70 2.3 Unterstrukturen von Ringen und Korpern 72 2.3.1 Unterringe und Unterkorper 72 2.3.2 Charakteristik von Ringen und Korpern - Primkorper 74 2.4 Isomorphe Einbettungen 76 3 Strukturerhaltende Abbildungen 78 3.1 Homomorphe Abbildungen 78 3.1.1 Gruppen- und Ringhomomorphismen 78 3.1.2 Eigenschaften homomorpher Abbildungen 80 3.1.3 Der Kern homomorpher Abbildungen 82 3.2 Homomorphiesatze 84 3.2.1 No rmalteiler, Gruppenhomomorphismen und Faktorgruppen 84 3.2.2 Der Homomorphiesatz fur Gruppen 86 3.2.3 Ideale, Restklassenringe, der Homomorphiesatz fur Ringe 88 4 Konstruktion von Strukturen 90 4.1 Direkte Produkte 90 4.2 Konstruktion von Integritatsbereichen aus Halbringen 92 4.2.1 Von einer kommutativen reguliiren Halbgruppe zur Gruppe 92 4.2.2 Vom Modul [~; +J zum Integritiitsbereich [~; +; .J 94 4.3 Konstruktion eines Quotientenkorpers aus einem Integritatsbereich 96 4.3.1 Zielstellungen und Ansiitze bei der Konstruktion eines Quotientenkorpers 96 4.3.2 Existenz und Eindeutigkeit des Quotientenkorpers 98 Inhalt 9 4.4 Polynomringe 100 4.4.1 Addition und Multiplikation von Polynomen 100 4.4.2 Polynomringe und ihre Eigenschaften 102 4.4.3 Einsetzungshomomorphismen 104 4.5 Quadratische Erweiterungsringe 106 4.6 Korpererweiterungen 108 4.6.1 Zielstellungen und Ansiitze fur Korpererweiterungen 108 4.6.2 Einfache Korpererweiterungen 110 4.6.3 Algebraische Korpererweiterungen 112 5 Teilbarkeit 114 5.1 Teilbarkeit in Integritatsbereichen 114 5.1.1 Eigenschaften der Teilerrelation 114 5.1.2 Einheiten und Assoziiertheit 116 5.1.3 Primelemente 118 5.1.4 GroBter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches 120 5.2 Euklidische Ringe 122 5.2.1 Der euklidische Algorithmus im Ring der ganzen Zahlen 122 5.2.2 Teilbarkeitsaussagen in euklidischen Ringen 124 5.2.3 Zerlegung in Primelemente 126 5.2.4 Teilbarkeitsaussagen in ZPE-Ringen 128 5.2.5 Diophantische Gleichungen und lineare Kongruenzen 130 6 Algebraische Gleichungen 132 6.1 Abspaltung von Linearfaktoren 132 6.2 Die Menge C der komplexen Zahlen als algebraisch abgeschlossener Korper 134 6.3 Darstellung von Nullstellen durch Radikale 136 6.4 Algebraische Behandlung von Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 138 10 Inhalt 7 Angeordnete Strukturen 140 7.1 Positivitatsbereiche in Gruppen und Ringen 140 7.2 Ordnungsrelationen und Positivitatsbereiche 142 7.3 Archimedische Anordnungen und Dichtheit 144 7.4 Vollstandig angeordnete Korper 146 L8sungshinweise zu den Ubungen 148 Uberblick iiber benutzte Symbole 167 Literatur 168 Sachverzeichnis 169