Elementargeometrie Ilka Agricola • Thomas Friedrich Elementargeometrie Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht 4., überarbeitete Aufl age Ilka Agricola Th omas Friedrich FB 12/Mathematik u. Informatik Institut für Mathematik Philipps-Universität Marburg Humboldt-Universität zu Berlin Marburg, Deutschland Berlin, Deutschland ISBN 978-3-658-06730-4 ISBN 978-3-658-06731-1 (eBook) DOI 10.1007/978-3-658-06731-1 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografi e; detaillierte bibliografi sche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufb ar. Springer Spektrum © Springer Fachmedien Wiesbaden 2005, 2009, 2011, 2015 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht aus- drücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfi lmungen und die Ein- speicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk be- rechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürft en. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.springer-spektrum.de Vorwort zur vierten Auflage Zum zehnten Geburtstag dieses Buches wurden einige Ver¨anderungen vorgenom- men. In Marburg werden bei den Vorlesungen in Elementargeometrie zahlreiche ModellederMarburgerModellsammlungzurVeranschaulichungverwendet;einige AufnahmensolcherModellenwurdenhierindenTextaufgenommen.Siesollenals Anregungdienen,wiemanModelleimUnterrichteinsetzenkannunddieSch¨onheit der Geometrie illustrieren. Fu¨r weitere Informationen u¨ber die Modellsammlung sei auf deren Internetseite verwiesen, http://www.uni-marburg.de/fb12/modellsammlung Im Abschnitt u¨ber Kegelschnitte ist die Behandlung der Dandelin’schen Sph¨aren neu hinzugekommen. Das einleitende erste Kapitel wurde gestrichen und statt- dessen in den laufenden Text integriert, dadurch hat sich die Nummerierung der Kapitel verschoben. Unser besonderer Dank gilt Herrn Dr. Nicolas Ginoux (Re- gensburg/Metz)fu¨rzahlreicheHinweiseaufFehlerundm¨oglicheVerbesserungen. Alle bekannten Schreibfehler wurden wie immer bei der U¨berarbeitung beseitigt, obgleich wir keinen Zweifel haben, dass fu¨r die n¨achste Auflage noch genu¨gend u¨brig sind. Die Bemerkungenzur dritten Auflage haben weiterhin Gu¨ltigkeit; ins- besondere kanndasBegleitheft fu¨r Dozentengratisper e-mailbei uns angefordert werden. Marburg, im August 2014 Ilka Agricola & Thomas Friedrich Vorwort zur dritten Auflage In der vorliegenden dritte Auflage wurden diverse bekannt gewordene Fehler kor- rigiertund die U¨bungsaufgabenu¨berarbeitet und erweitert; dies gilt insbesondere fu¨r das Begleitheft fu¨r Dozenten, welches auch weiterhin gratis per e-mail bei uns angefordert werden kann. Die Internetseite des Buches ist umgezogen nach Mar- burg, http://www.mathematik.uni-marburg.de/˜agricola/elemgeo.html undwirdauchweiterhinneuentdeckteFehlerundZusatzmaterialienbereitstellen. Zudemfindetmandortpdf-DateienderU¨bungsaufgaben31-33ausKapitel3zum Herunterladen;aufdiese Weise muss sichder Leserdie Ornamentenichtkopieren, um ihre Symmetrien beschreiben zu k¨onnen. Marburg, im August 2010 Ilka Agricola & Thomas Friedrich vi Vorwort zur zweiten Auflage ZuunsererFreudehatsichnun,dreiJahrenachdemerstenErscheinendiesesBuch- es, eine Gelegenheit zu einer zweiten Auflage ergeben. Wir haben diese genutzt, umeineReihekleinererKorrekturenvorzunehmen,diehieraufzulistennichtlohnt. Inhaltliche Erg¨anzungen wurden bei den Ornamentgruppen sowie in der hyper- bolischen und der sph¨arischen Geometrie vorgenommen; wir denken, dass diese Passagen dadurch verst¨andlicher und interessanter geworden sind. Ein neuer An- hang enth¨alt Musterl¨osungen ausgew¨ahlter U¨bungsaufgaben aus jedem Kapitel. Wir danken den zahlreichen Lesern der ersten Auflage, die auf Ungenauigkeit- en und m¨ogliche Verbesserungen im Text hingewiesen haben – vor allem Gu¨nter Ewald(Bochum),ChristianHartfeldt(Magdeburg),LutzHille(Bielefeld/Mu¨nster), Wolfgang Ku¨hnel (Stuttgart), Christine Scharlach (Berlin) und Dorothee Schu¨th (Berlin). Natu¨rlich freuen wir uns auch in Zukunft u¨ber Hinweise & Anregungen, die wir wie bisher auf der Internetseite des Buches sammeln werden: http://www-irm.mathematik.hu-berlin.de/˜agricola/elemgeo.html zudem danken wir Julia Becker-Bender fu¨r ihr gewissenhaftes Korrekturlesen des gesamten Manuskripts. Berlin, im Juni 2008 Ilka Agricola & Thomas Friedrich Vorwort zur ersten Auflage fu¨r Julius Die Geometrie ist ein umfangreicher Bestandteil des Mathematikunterrichts in der Schule. Die Inhalte beziehen sich haupts¨achlich auf die Eigenschaften ele- mentargeometrischer Figuren der Ebene (Gerade, Dreieck, Kreis), Transforma- tionen der Ebene und auf Fl¨achen und K¨orper im Raum. In der Sekundarstufe II kommen die analytische Geometrie, die Trigonometrie, spezielle Kurven und die Kegelschnitte hinzu. Als Erweiterungskurse sind Elemente der nichteuklidis- chen Geometrie m¨oglich. Insgesamt ist dies ein breites Spektrum geometrischer Themen, das der Mathematiklehrer seinen Schu¨lern vermitteln soll. W¨ahrend des Studiums fu¨r Lehramtskandidaten an der Universit¨at sind es in der Grundausbil- dung zun¨achst die Vorlesungen zur linearen Algebra und analytischen Geometrie imerstenStudienjahrsowiedieVorlesungzurElementargeometrieimzweitenStu- dienjahr, welche dem angehenden Lehrer in mathematisch systematischer Form die Inhalte der genannten geometrischen Themen nahe bringen sollten. Betra- chtet man jedoch den universit¨aren Unterricht u¨ber einen l¨angeren Zeitraum, so ist unschwer zu erkennen, dass in der Vorlesung zur linearen Algebra schrittweise die geometrischenThemen immer mehr reduziert worden sind, manchmal nahezu vollst¨andig ausgeblendet werden. Insgesamt ergibt sich damit das Bild, dass die Vorlesung zur Elementargeometrie in der Grundausbildung der Lehramtskandi- dateneinwesentlicherBestandteil ihrergeometrischenAusbildung mit damitklar festgelegtem Inhalt ist. Das vorliegende Buch entstand nach einer einsemestrigen Vorlesung fu¨r Lehramt- skandidatenimzweitenStudienjahru¨ber Elementargeometrie“ anderHumboldt- ” Universit¨at zu Berlin. Die Studenten hatten bereits die einj¨ahrigen Vorlesungen zur linearen Algebra und Analysis geh¨ort, im ersten Kapitel stellen wir nochmals einigeAspektedieserVorlesungensummarischzusammen.Grunds¨atzlichsetztun- sere Behandlung der Elementargeometrie diese Kenntnisse voraus, obgleich sie in weiten Teilen des Textes kaum ben¨otigt werden. Entsprechend ist dieser Text als Begleitbuch zu einer solchen Vorlesung sowie zu Seminaren geeignet. Weiterhin erhoffen wir uns, dass das Buch als Kompendium des Schulstoffes zur Elemen- targeometrie von im Beruf stehenden Lehrern genutzt wird. Ausgew¨ahlte Teile des Textes sind auch guten Schu¨lern der Klassenstufen 11 bis 13 zug¨anglich und vii viii Vorwort zur ersten Auflage k¨onnen im Idealfall als Grundlage fu¨r Vortr¨age, Vertiefungsprojekte oder Fachar- beiten genutzt werden. Das Kapitel 2 ist den elementargeometrischen Figuren und deren Eigenschaften gewidmet. Wir beginnen mit den Strahlens¨atzen fu¨r Geraden und wenden uns danach dem Dreieck zu. Nach den Kongruenz- und A¨hnlichkeitss¨atzen verwen- den wir insbesondere die S¨atze von Menelaos und Ceva, um die Schnittpunkte der besonderen Linien im Dreieck zu behandeln. Weiterhin besprechen wir die In- , Um- und Ankreise des Dreiecks, dessen Fl¨acheninhalt und seine Beziehung zu den Radien der genannten Kreise. Auf ¨ahnliche Weise behandeln wir den Kreis und diskutieren insbesondere den Feuerbachschen Kreis, die Simsonsche und die Steinersche Gerade. Mit Hinblick auf die in Kapitel 4 darzulegende hyperbolische Geometrie fu¨gen wir bereits an dieser Stelle einen Abschnitt u¨ber Inversionen am Kreisein.EsfolgendieKegelschnitte,die Herleitung ihrerallgemeinenGleichung, der nummerischen Exzentrizit¨at und des Parameters sowie die Bestimmung der BrennpunkteundBrenngeraden.EinigemarkanteEigenschaftenderKegelschnitte beweisen wir direkt im Text, einige analoge Eigenschaften findet der Leser in den U¨bungsaufgaben am Ende von Kapitel 2. Danach wenden wir uns Fl¨achen und K¨orpern im Raum zu. Wir leiten die Formeln fu¨r die Oberfl¨ache einer Rotations- fl¨ache sowie die Formel fu¨r das Volumen eines Rotationsk¨orpers ab, beweisen den Euler’schen Polyedersatz (fu¨r konvexe Polyeder) und beenden das Kapitel 2 mit der Klassifikation der platonischen K¨orper. Kapitel 3 besch¨aftigt sich mit den Symmetrien des euklidischen Raumes. Wir be- sprechenkurzaffineAbbildungen,dieihnenentsprechendenlinearenAbbildungen und den Schwerpunkt eines endlichen gewichteten Punktsystems. Parallelprojek- tionen auf Ebenen entlang von Geraden und auf Geraden entlang von Ebenen sind erste Beispiele affiner Abbildungen. Danach behandeln wir ausfu¨hrlich zen- trische Streckungen und Translationen. Zun¨achst charakterisieren wir sie durch eine gemeinsame geometrische Eigenschaft und folgern, dass sie zusammen eine nichtabelsche Gruppe von Transformationen des Raumes in sich bilden. Danach bestimmen wir in der Ebene ausfu¨hrlich ihre Kompositionen und besprechen als Anwendungdie StreckungszentrenzweierKreise,mit derenHilfe mandie gemein- same Tangenten an zwei Kreise konstruiert. Es folgt das Studium der Isome- trienderEbene.Zun¨achstsindAchsenspiegelungen,TranslationenundDrehungen Beispiele, und wir studieren erneut deren Kompositionen. Wichtig sind die Fix- punkte: Eine Isometrie der Ebene mit drei nicht kollinearen Fixpunkten ist die Identit¨at. Analog charakterisierenwir alle Isometrienmit genauzweiFixpunkten, einemFixpunkt sowie die fixpunktfreien Isometrien.Die vonallenIsometrienund allenzentrischenStreckungenerzeugteGruppebestehtausdenA¨hnlichkeitstrans- formationen der Ebene. Auf ¨ahnliche Weise behandeln wir die Transformatio- nen des dreidimensionalen Raumes. Zun¨achst studieren wir die Verknu¨pfung ver- schiedenersolcherAbbildungenundwendenunsdannerneutderBeschreibungder Fixpunktmengen r¨aumlicher Isometrien zu. Diese Fixpunktmengen ergeben eine KlassifikationderIsometrienvonE3.DieletztenbeidenAbschnittediesesKapitels Vorwort zur ersten Auflage ix sinddemStudiumdiskreterIsometriegruppendeseuklidischenRaumesgewidmet. Im Fall der Ebene behandeln wir die zyklischen Drehgruppen, die Dieder-Gruppe und Gitter. Wir leiten eine notwendige Bedingung an die Punktgruppe einer dis- kretenIsometriegruppeder Ebene her und erhaltenschlussendlicheine Klassifika- tionallerfraglichenGruppen.ImFalldesRaumesbeschr¨ankenwirunsdarauf,die endlichen Isometriegruppen zu klassifizieren. Diese sind die Invarianzgruppen der platonischenK¨orpersowie die Symmetriegruppe einer Pyramideoder eines Zylin- ders mit regelm¨aßiger polygonaler Basis. Die Tetraedergruppe, die Wu¨rfelgruppe sowie die Dodekaedergruppe werden ausfu¨hrlich beschrieben. Das Kapitel 4 beginnen wir mit der Axiomatik der Elementargeometrie und der Bedeutung des Parallelenaxioms. Die hyperbolische Geometrie konstruieren wir in der oberen Halbebene, in ihr sind die Geraden euklidische Kreisb¨ogen oder Halbgeraden. Wir behandeln unterschiedliche Ausdru¨cke fu¨r den hyperbolischen AbstandzweierPunkte. NebeneinerdirektenFormelkanndiesergleichfallsdurch ein Doppelverh¨altnis dargestelltwerden. Insbesondere istdie Dreiecksungleichung richtig, und die hyperbolische Ebene wird ein metrischer Raum. Wir bestimmen dessen Isometriegruppe und beweisen die Formeln fu¨r die hyperbolische L¨ange einer Kurve sowie den hyperbolischen Fl¨acheninhalt eines Gebietes. Mittels der Cayley-Transformation gehen wir zum Scheibenmodell der hyperbolischen Geo- metrie u¨ber. Danachbehandeln wir ausgew¨ahlte Eigenschaftender geometrischen Figuren in der hyperbolischen Ebene. Wir berechnen den Umfang von Kreisen, deren hyperbolischen Fl¨acheninhalt, leiten den hyperbolischen Satz von Pythago- ras sowie andere Formeln der Trigonometrie her. Die Formel fu¨r den Fl¨achenin- halt eines Dreiecks und dessen Winkeldefekt wird vollst¨andig bewiesen. In den U¨bungsaufgaben findet der Leser eine Vielzahl weiterer, zur euklidischen Geome- trie analoger Resultate der hyperbolischen Elementargeometrie. Diese betreffen Paare von hyperbolischen Geraden, Dreiecke und deren merkwu¨rdige Punkte, In- und Umkreise von Dreiecken sowie die sogenannten Horozyklen. In einem weit- erenAbschnittgebenwirdie EinteilungderIsometrieninelliptische, parabolische und hyperbolische Transformationensowohl mittels der JordanschenNormalform als auch unter Verwendung von Fixpunktmengen an. Ausfu¨hrlich studieren wir die Frage, welchen Typ der Kommutator zweier Isometrien hat. Der letzte Ab- schnitt dieses Kapitels ist Fuchs’schen Gruppen gewidmet. Dabei handelt es sich um diskrete Untergruppen der Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene. Neben einer Reihe von Beispielen derartiger Gruppen fu¨hren wir deren Limesmenge ein und beweisen, dass diese Menge entweder 0,1,2 oder unendlich viele Punkte hat. Fuchs’sche Gruppen mit nicht mehr als zweiLimespunkten nennt man elementar. Wir klassifizieren alle elementaren Fuchs’schen Gruppen. In Anlehnung an die hyperbolische Geometrie behandeln wir im letzten Kapi- tel die sph¨arische Geometrie. Wir betrachten die Menge aller Punkte der zwei- dimensionalen Sph¨are S2. Die Großkreise spielen die Rolle sph¨arischer Geraden und realisieren den ku¨rzesten Abstand zwischen zwei Punkten im sph¨arischen Raum. Wir bestimmen die Isometriegruppe sowie die Gruppe aller konformen x Vorwort zur ersten Auflage Abbildungen vollst¨andig. Anschließend beweisen wir die wichtigsten Formeln der sph¨arischen Trigonometrie und studieren das jedem sph¨arischenDreieck zugeord- netePolardreieck.DarausergebensichdieFormelnfu¨rdenFl¨acheninhaltsph¨arisch- erZwei-undDreieckesowiediverseUngleichungenzwischendenSeitenl¨angenund Winkeln. Am Ende jedes Kapitels findet der Leser eine Auswahl von U¨bungsaufgaben, die unseren H¨orern meist im Rahmen der Hausaufgaben gestellt wurden. Jeder Stu- dent, der beim L¨osen dieser Aufgaben auf Schwierigkeiten st¨oßt, ist herzlich ein- geladen,uns ineinerE-MailseinProblemzuschildern.Wirwerdenunsbemu¨hen, ihm sodann zu helfen. Fu¨r Lehrende an Schulen und Universit¨aten haben wir ein kleines Heft mit L¨osungshinweisen erstellt, welches auf Anfrage ebenfalls bei uns erh¨altlich ist. Weiterhin besitzt das Buch eine eigene Internetseite, http://www-irm.mathematik.hu-berlin.de/˜agricola/elemgeo.html Aufdieserfindetmanneben einerListebekanntwerdenderSchreibfehlervorallem pdf-DateienderjenigenSeiten,aufdenenBildervorkommen,dieimOriginalmehr- farbig sind, aus Kostengru¨nden hier aber in schwarz-weissabgedruckt sind. Weit- erhinfindetsichdorteineSammlung vonwww-LinkszurElementargeometrie,die jedoch keinerlei Anspruch auf Vollst¨andigkeit erhebt. Den H¨orern unserer Lehrveranstaltungen danken wir fu¨r zahlreiche Hinweise, die zur Erg¨anzung und Verbesserung des Textes gefu¨hrt haben. Herr Dr.sc. Hu- bert Gollek und Herr Dipl.-Phys. Christof Puhle haben das gesamte Manuskript durchgelesen und in vielen Kapiteln auf notwendige Korrekturen hingewiesen. Nicht zuletzt danken wir Frau Schmickler-Hirzebruch vom Vieweg Verlag fu¨r die Bereitschaft, einige Seiten dieses Buches im Zweifarbdruck herzustellen. Uns ist bewusst,dassdieseinseltenes(wennauchsehrwu¨nschenswertes)Privilegist.Wir hoffen,dassdies indermathematischenLiteraturkeinEinzelfallbleiben wirdund dass die Leser sich an dieser nicht selbstverst¨andlichen Bereicherung des Textes erfreuen werden. Berlin, im Dezember 2004 Ilka Agricola Thomas Friedrich