Fachbereich Informatik und Mathematik ISMI - Institut fu¨r Stochastik & Mathematische Informatik Einfu¨hrung in die Mathematik I (Elementare Algebra und Lineare Geometrie) WS 2007/08 H. Dinges i Vorwort Die Mathematik ist in der O¨ffentlichkeit pr¨asent, und sie gilt als wichtig. Als Lerngebiet hat sie zur Zeit aber leider nicht die Attraktivit¨at, die sie haben k¨onnte oder sollte. Es gelingt nicht so leicht, auf den Wegen der Mathematik die Sehnsucht nach den Weiten der Wissenschaft zu evozieren. Man kann vielleicht daru¨ber streiten, ob unser Bildungssystem genu¨gend viele reine Mathematiker hervorbringt, es steht aber ausser Zweifel, dass unsere Gesellschaft mehr mathe- matisch Gebildete gut brauchen k¨onnte, Leute, die nicht nur die mathematischen Techniken des 19. Jahrhunderts (im Sinne der Schulmathematik) leidlich beherrschen, sondern auch mit den abstrakteren mathematischen Denkweisen des 20. Jahrhunderts flu¨ssig umgehen k¨onnen, und sich dabei von einem positiven und offenen Verh¨altnis zur Mathematik leiten lassen. Die gegenw¨artige Umstellung aller Studieng¨ange auf das Bachelor-Master-Schema sind ein drin- gender Anlass neu nachzudenken, inwieweit die mathematischen Anf¨angervorlesungen dem An- spruch einer in die Breite wirkenden Einfu¨hrung ins mathematische Denken genu¨gen k¨onnen. Nach meiner Meinung ist ein Umdenken erforderlich. Die mathematischen Fachbereiche soll- ten es als einen gesellschaftlichen Auftrag auffassen, fu¨r die einschl¨agig begabten Studierenden dem (wohl zutreffenden aber oft billig gebrauchten) Schlagwort von der zunehmenden Mathe- matisierung aller Wissenschaften fassbare Konturen zu geben. Es w¨are wu¨nschenswert, dass die Anf¨anger mit mathematiknahen Studienzielen (insbesondere im Lehramt, in der Physik und in der Informatik) in den mathematischen Anf¨angervorlesungen etwas vom frischen Geist der Mathematik spu¨rten. Das kann weder durch ein Training in den gebr¨auchlichsten Anwendungen geleistet werdennochdurcheineEinweisungindieRoutineneinerabgehobenenmathematischen Forschung. Esw¨areeinestr¨aflicheAbkehr von den(von denBildungstheoretikern) zurechthoch- gesch¨atzten Prinzipiendes akademischen Studierens,wenndiemathematischen Fachbereiche die Pflege des mathematischen Weltverstehens von Anfang an organisatorisch und inhaltlich sepa- rierten von den durch das Bachelor-System nahegelegten schematischen Pflichtmoduln ‘Mathe- matik’ ohne großen geistigen Anspruch. Es sollte den Anf¨angervorlesungen darauf ankommen, m¨oglichst vielen Studienanf¨angern die fu¨r die Mathematisierung charakteristischen Denkweisen der Abstraktion und Verallgemeinerung nahezubringen. Der hier vorgelegte Text ‘Einfu¨hrung in die Mathematik I’ macht Vorschl¨age, wie Themen aus Elementarer Algebra und Linearer Geometrie im Anschluss an die Schulmathematik so wei- terentwickelt werden k¨onnen, dass ein modernes Mathematikverst¨andnis sichtbar wird. Mein Text sucht in den Abschnitten I – IV immer wieder Anschluss an die zentralen Gegenst¨ande der Schulmathematik: Rechengr¨oßen, Abbildungen, Ungleichungen und euklidische analytische Geometrie. Erst der Abschnitt V zeigt den Charakter einer mathematischen Theorie. Er ordnet mit vollst¨andigen Beweisen die vorher adhoc entwickelten Techniken der Vektor- und Matrizen- rechnung. Bei meiner Abkehr von den u¨blichen Einfu¨hrungen war ich durch große Vorbilder ermutigt. Vor allem m¨ochte ich Feynman’s ‘Lectures on physics’ nennen und den ‘Course in mathematics for students of physics’ von P. Bamberg und S. Sternberg (erschienen 1988 bei Cambridge Uni- versity Press). Durch Meisterwerke dieser Art kann man eine Idee bekommen, wie tragf¨ahige didaktische Modularisierungen aussehen k¨onnen, und wie man bei den hochmotivierten Studie- renden Begeisterung n¨ahren kann, ohne die weniger leistungsf¨ahigen abzuh¨angen. Wenn diese Vorbilder den Alltag der Ausbildung noch nicht in gr¨oßerem Umfang erreicht haben, so haben sie doch die Landschaft ver¨andert, in welcher die ju¨ngeren Dozenten den Vorlesungsstil suchen k¨onnen, welcher den lokalen Erfordernissen gerecht wird. @Prof. Dr. H.Dinges, Einfu¨hrungindieMathematikI(WS2007/08), 19.M¨arz2008 ii Einfu¨hrung in die Mathematik I Das prim¨are Anliegen unserer Einfu¨hrung sind die mathematischen Sachverhalte, das Ideal des kunstgerechten Beweisens stellen wir zun¨achst einmal zuru¨ck. Eine klare Unterscheidung zwi- schen Aussagen u¨ber Tatbest¨ande und Beweisen erwarten wir natu¨rlich vom Dozenten und (mit Abstrichen) von den Tutoren. Aufwendigere Beweise werden in unserem Text ausgespart, wenn sie keinen wesentlichen Beitrag leisten, die Einsicht in den Sachverhalt zu bef¨ordern, oder wenn sie durch ihre Methodik herausfu¨hren aus der aktuellen Lernumgebung. Gute Themen sind fu¨r uns diejenigen, bei denen die Studierenden jenseits der Beweise Erkenntnisse gewinnen, nach dem Muster ‘Ach so verh¨alt sich die Sache’. In den U¨bungen ermutigen wir sie zu einsichtigem Argumentieren; wir versuchen zu vermeiden, dass das (fu¨r die forschende Mathematik unab- dingbare) penible mathematische Schliessen die inhaltlich orientierten Anf¨anger l¨ahmt. Unser Ansatz sollte die Heranbildung ‘echter’ Mathematiker nicht gef¨ahrden; die prim¨ar am Beweisen interessierten Studierenden werden mit Sicherheit in sp¨ateren Mathematikvorlesungen ausrei- chend bedient. Die Anf¨anger machen sich erfahrungsgem¨aß kaum Gedanken u¨ber den Aufbau eines Vorlesungs- zyklus. Wir wollen nichts dagegen einwenden, wenn sie zun¨achst einmal jeden einzelnen Unter- abschnitt so verstehen, dass hier jeweils zwei oder drei wichtige mathematische Ideen skizziert werden, die dann sp¨ater bei Bedarf in mathematisch streng aufgebaute Theorien einzubauen sind. Fu¨r eine Einfu¨hrung, die in die Breite wirken soll, passt u. E. weder das Ideal eines stren- gen Aufbausnochdas IdealderMethodenreinheit.Viele derwichtigen elementaren Sachverhalte enthalten im Kern Denkmuster aus Linearer Algebra und Analysis; wir halten nichts von einer Trennung dieser Bereiche in der Anf¨angerausbildung. Die meisten Unterabschnitte sind im Rahmen von Anf¨angervorlesungen fu¨r Mathematiker, Physiker und Lehramtskandidaten mehrfach erprobt worden. Die Erfahrung hat gezeigt, dass man in einer vierstu¨ndigen Vorlesung etwas mehr als 20 Unterabschnitte durchnehmen kann. Grunds¨atzlichistjederUnterabschnittals dasThemaeinerDoppelstundekonzipiert, wobeiaber nicht intendiert ist, dass das Thema in der Doppelstunde ‘erledigt’ wird. Das auf der betreffen- den Ebene Verbindliche wird jeweils gleich zu Beginn des Unterabschnitts vorgestellt. Gegen Ende des Unterabschnitt bietet der Text dann aber mehr als das, was in der Ku¨rze der Zeit durchgenommen werden kann. Es wird vorgeschlagen, dass die Studierenden im ersten Durch- lauf (parallel zu den U¨bungen) die ersten Seiten jedes Unterabschnitts gru¨ndlich bearbeiten; der (mehr oder weniger umfangreiche) Rest kann den Studierenden zum freiwilligen Lesen empfoh- len werden. Manche Unterabschnitte haben in der Tat gegen Ende eher den Charakter einer Erz¨ahlung zum Zweck einer untechnischen Allgemeinbildung als den Charakter eines Lehrtexts. Es liegt u. E. in der Natur der wichtigen mathematischen Ideen, dass sie bei einer ersten Be- gegnung nicht vollst¨andig erfasst und abgearbeitet werden k¨onnen. Viele wichtige Ideen haben einen recht elementaren Kern; und dieser sollte aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet wer- den, bevor man die einzelnen Aspekte in Systeme presst und dort endgu¨ltig fixiert. Gem¨aß dieser U¨berzeugung werden in unserem Text die großen Ideen in einem spiraligen Sinn ¨ofters beru¨hrt; sie erscheinen nach und nach in weiter gespannten Horizonten, und sie werden mit immer h¨oher entwickelten Methoden bearbeitet, (wobei wir penibel darauf achten, nichts zu sagen, was sp¨ater revidiert werden muss). Beim spiraligen Vorgehen muss der Anf¨anger keine bleibenden Wissenslu¨cken befu¨rchten, wenn ihm ein wichtiger mathematischer Gegenstand bei der ersten Konfrontation dunkel oder gar abschreckend erscheint. Das spiralige Vorgehen sorgt fu¨r weitere Gelegenheiten, eine positive Beziehung zu den Gegenst¨anden aufzubauen, wenn sie @Prof. Dr. H.Dinges, Einfu¨hrungindieMathematikI(WS2007/08), 19.M¨arz2008 iii anderswo aus einem anderen Blickwinkel beleuchtet werden; nicht selten erscheint dann auch der urspru¨ngliche Zugang auf einmal licht und einsichtig. Die wiederholte Zuwendung zu wichtigen mathematischen Gegenst¨anden wirkt erfahrungs- gem¨aß aufdieStudierendennichtlangweilend, sondernim Gegenteil motivierend.DieErfahrung zeigt andererseits, dass das verst¨andnisarme Auswendiglernen fu¨r die Pru¨fung durch den spi- raligen Aufbau erschwert wird. Der objektive Vorteil des spiraligen Vorgehens gegenu¨ber dem linearen ist im gelungenen Fall eine bessere Vernetzung und Flexibilisierung des Wissens, was bekanntlich ein vielbeschworenes aber nicht unbedingt bequemes Anliegen eines akademischen Studiums ist. Wir skizzieren noch einige Leitlinien der Gliederung unserer Einfu¨hrung: I Im Abschnitt I erweitern wir die Arithmetik; das ‘Buchstabenrechnen’ wird u¨ber die in der Schule betrachteten Zahlbereiche hinausgefu¨hrt. Dabei folgen wir nicht dem Weg der abstrakten Algebra, auf dem die Studierenden mit den Axiomensystemen fu¨r Gruppen, Ringe und Vektorr¨aume u¨berfallen werden. Wir bevorzugen den ‘synthetischen’ Zugang gegenu¨ber dem ‘analytischen’; und das heisst hier, dass die neuen Typen von Rechen- gr¨ossen zun¨achst einmal konkret in Erscheinung treten. Es du¨rfte deutlich werden, dass es im Folgenden darum gehen muss, die konkreten Rechengr¨oßen, insbesonderedie Matri- zen (und die Matrizenmultiplikation) von den ‘Anwendungen’ her gru¨ndlich zu verstehen. II DieIdeederAbbildungen,dienichtaneinebestimmteDarstellungsformgebundensind,ist erfahrungsgem¨assfu¨rdieAnf¨angerschwererzubegreifenalsdieIdeederRechengr¨oßenund die Idee der in der Schule behandelten Funktionen auf einem Intervall. Die Abbildungen in abstrakter Form und die Gruppen von Abbildungen signalisieren den Anfang einer modernen Auffassung von Geometrie. III Wir befassen uns mit Ungleichungen, insbesondere mit der Dreiecksungleichung und mit der Sublinearit¨at. Die topologischen Grundbegriffe fu¨r metrische R¨aume werden vorge- stellt. Wir behandeln normierte Vektorr¨aume und Trennungss¨atze fu¨r konvexe Mengen sowie (im endlichdimensionalen Fall) die Legendre-Dualit¨at. Im Begriff der konvexen Funktion ergeben sich auch Beziehungen zur elementaren Analysis, die aber nicht ver- tieft werden. In einem Anhang werden die in unserer Einfu¨hrung betrachteten speziellen Funktionentypen zusammengestellt. IV Der Abschnitt IV ist lang geraten zugunsten der Studierenden der Physik. Hier wird die intuitive Geometrie des euklidischen Anschauungsraums weiterentwickelt zur axiomatisch aufgebauten Geometrie des Hilbertraums. Es sollte klar werden, dass die R¨aume, in denen die Physik operiert, nicht als vorgegeben zu betrachten sind; sie mu¨ssen mathematisch konstruiert werden. V Der Abschnitt V enth¨alt die u¨bliche Lineare Algebra I ohne die Determinanten. Neben den Matrizen studieren wir die Tableaus; dabei wird einerseits die fundamentale Idee der Vektorraumdualit¨at deutlicher als u¨blich herausgestellt und andererseits die Technik der linearen Programmierung vorbereitet. Jedem einzelnen Abschnitt ist eine Themenu¨bersicht vorangestellt, damit man ihn fu¨r spe- zielle Lehrzwecke leichter aus dem Gesamtzusammenhang herausl¨osen kann. Ein ausfu¨hrlicher Index ganz am Ende des erm¨oglicht einen schnellen U¨berblick u¨ber die Themenverwandtschaf- ten quer durch unsere ‘Einfu¨hrung’. @Prof. Dr. H.Dinges, Einfu¨hrungindieMathematikI(WS2007/08), 19.M¨arz2008 iv Einfu¨hrung in die Mathematik I Ich hoffe, dass die Themenauswahl und der Rhythmus des hier vorgelegten Ansatzes einige Kol- legen ermutigen werden, aus den u¨berholten Bahnen der Anf¨angerausbildung auszubrechen und nach Wegen zu suchen, die Mathematik des 20. Jahrhundertsbeiden verschiedenen potentiellen Nutzniessern popul¨arer zu machen. Ich wage die These, dass eine spiralig aufgebaute Samm- lung von Vorlesungen wie die hier vorgelegte dem Ansehen der Mathematik in einer breiteren O¨ffentlichkeit besser dienen kann als eine linear aufgebaute mathematische Theorie. Fu¨r den U¨bungsbetrieb erwarte ich, dass sich aus den Einzelbetrachtungen vielseitige An- regungen fu¨r attraktive (und doch nicht zu schwierige) Aufgaben ergeben. Gute Aufgaben sind fu¨r uns solche, bei welchen der Anf¨anger spu¨rt, dass er (unter guter Anleitung) selbst¨andig vorankommen kann beim Studium mathematischer Gegenst¨ande. Die Anf¨angerveranstaltungen sollten sich nicht aufhalten mit solchen Aufgaben, die den Studierenden, die noch recht wenig von mathematischen Inhaltenwissen,dasBeweisen von mathematischen Kleinigkeiten zumuten. Schliesslich hoffe ich, dass unsere Texte auch fortgeschrittene Studierende ansprechen. Ich habejedenfalls geh¨ort und beobachtet, dass die Tutoren, die die Anf¨angeru¨bungen betreuen,die Texte sch¨atzen; sie erarbeiten sich durch diese Texte eine reifere Einstellung zu den Sachver- halten, die sie als Anf¨anger zwar irgendwie aufgenommen, aber in ihrer Bedeutung und ihrer Vernetzung nicht einsch¨atzen konnten. Frankfurt, 19. M¨arz 2008 @Prof. Dr. H.Dinges, Einfu¨hrungindieMathematikI(WS2007/08), 19.M¨arz2008 INHALTSVERZEICHNIS v Inhaltsverzeichnis I Rechengr¨oßen 1 I.1 Von den Zahlen zu den Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Komplexe Zahlen; die Euler’sche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.3 Polynome als Rechengr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 I.4 Allerlei komplexe n n-Matrizen. Faktorisierungen . . . . . . . . . . . . . 31 × I.5 Vektoren sind Elemente eines Vektorraums. Basiswechsel . . . . . . . . . . 41 I.6 Minimalpolynome. Verallgemeinerte Eigenvektoren. . . . . . . . . . . . . . 51 I.7 Das Faltungsprodukt u¨ber Z. Trigonometrische Polynome . . . . . . . . . . 59 I.8 Newton’s Binomialreihe. Formale Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . 71 II Abbildungen 83 II.1 Abbildungen, Permutationen, Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 II.2 Die Riemann’sche Zahlenkugel; Kreisverwandtschaften . . . . . . . . . . . 91 II.3 Einige spezielle Transformationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 II.4 Affine R¨aume, affine Funktionen, affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . 111 II.5 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 II.6 Polynome als Abbildungen von C in sich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 III Metrik, Norm, Konvexit¨at 151 III.1 Dreiecksungleichung und Subadditivit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 III.2 Normierte Vektorr¨aume und stetige Linearformen . . . . . . . . . . . . . . 161 III.3 Konvexe Mengen und konvexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 IV Inneres Produkt. Orthogonalit¨at 189 IV.1 Parallelogrammgleichung und Polarisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 IV.2 Hauptachsen, Orthogonale Zerlegungen, Spektralsatz. . . . . . . . . . . . . 199 IV.3 Einparametrige Matrixgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 IV.4 Gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 IV.5 Die schwingende Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 IV.6 Diskrete Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 IV.7 Drehungen im Minkowskiraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 IV.8 Zerlegung einer Gruppendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 IV.9 Spurfunktionen. Die Charaktertafel einer endlichen Gruppe G. . . . . . . . 271 IV.10Unit¨are und hermitische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 V Lineare Algebra 295 V.1 Vektorr¨aume: Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 V.2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 V.3 Tableaus. Vollst¨andiger Austausch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 V.4 Eliminationsmethode; LU-Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 V.5 Matrizen vom Rang r, Singul¨arwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 V.6 Kleinste Quadrate und lineare Sch¨atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 A Anhang : Mengen und Relationen 348 @Prof. Dr. H.Dinges, Einfu¨hrungindieMathematikI(WS2007/08), 19.M¨arz2008 INHALTSVERZEICHNIS vii Erl¨auterungen zum Inhalt I. Rechengr¨oßen Wir beginnen mit algebraischen Themen, die zum Teil schon im Schulunterricht vorge- zeichnet sind.DieSpracheunddieNotationdernaivenMengenlehre,diewiramkonkreten Stoff benu¨tzen, ist im Anhang zusammengestellt. I.1 Von den Zahlen zu den Matrizen Zahlbereichserweiterungen N Z Q R C. Die Assoziativgesetze und die Dis- ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ tributivgesetze gelten auch fu¨r Matrizen. Was versteht man unter der Inversen einer I J-Matrix? Die Determinante einer 2 2-Matrix; die Multiplikativit¨at dieser Deter- × × minantenfunktion det( ). · I.2 Komplexe Zahlen; die Euler’sche Formel Komplexe Zahlen als Punkte in der Gauss’schen Zahlenebene. Darstellung durch spezielle reelle 2 2-Matrizen. Konjugation. Der Betrag einer komplexen Zahl. Polarkoordinaten × und die Euler’sche Formel z = |z| (cosϕ+isinϕ) = |z| eiϕ . Wechselstr¨ome. · · Die Exponentialreihe im Reellen und im Komplexen. z n 1 1 ez = lim 1+ = 1+z+ z2+ z3+... n 2! 3! (cid:16) (cid:17) Nicht nur fu¨r Zahlen, sondern auch fu¨r kommutierende Matrizen gilt: exp(A + B) = exp(A) exp(B) · I.3 Polynome als Rechengr¨oßen Der Polynomring C[z] ist ein kommutativer Ring mit Einselement. Der Grad eines Poly- noms. Horner-Schema. Umzentrieren. Teilen mit Rest. Euklidischer Algorithmus. Gebro- chenrationale Funktionen. Partialbruchzerlegung. I.4 Allerlei komplexe n n–Matrizen. Faktorisierungen. × Dieser Abschnitt dient der Eingew¨ohnung in Rechentechniken, die sp¨ater immer wieder gebraucht werden. Das Rechnen in C wird (mit der n¨otigen Vorsicht und den n¨otigen A¨nderungen) auf einen allgemeineren Objektbereich, n¨amlich die Algebra der komplexen n n–Matrizen ausgedehnt: Addition, Multiplikation und die (hermitische) Konjugation × sind die Rechenoperationen. Hinweis zum Aufbau: Die Abbildungen, die man oftmals mit den Matrizen verbin- det,interessieren unshier nochnicht. Wirinteressieren unsauchnochnicht fu¨r die(reellen symmetrischen) Matrizen als Darstellungsform fu¨r quadratische Funktionen oder fu¨r die (hermitischen) Matrizen als Darstellungsform fu¨r (hermitische) Sesquilinear-Formen. Wir formulieren hier schon einmal ohne Beweise einige Faktorisierungss¨atze fu¨r nichtsin- gul¨are Matrizen; die u¨blichen Verallgemeinerungen und die dazugeh¨origen Algorithmen sind Thema von Abschnitt V. @Prof. Dr. H.Dinges, Einfu¨hrungindieMathematikI(WS2007/08), 19.M¨arz2008 viii INHALTSVERZEICHNIS Einfu¨hrung in die Mathematik I I.5 Vektoren sind Elemente eines Vektorraums. Basiswechsel. Das Axiomensystem fu¨r einen K-Vektorraum. Mengen von Matrizen als Beispiele. Ver- schiebungsvektoren und Ortsvektoren“ im Anschauungsraum. Didaktisches: Es ist zu ” eng, wenn man sagt: Alle Gr¨oßen, die wie ein Schritt im Raum eine Richtung besitzen, ” werden Vektoren genannt“. Die Matrizen eines Basiswechsels. I.6 Minimalpolynome. Verallgemeinerte Eigenvektoren. Dieser Unterabschnitt kombiniert die Rechenregeln fu¨r Polynome mit den Rechenregeln fu¨rquadratische Matrizen.Ausserdem kommt der Vektorraumaller n-SpalteninsSpiel.In einem leichten Vorgriff auf sp¨ater (‘Abbildungen’) kommen neben den Matrizen eines Ba- siswechsels hier auch die quadratischen Matrizen zur Darstellung eines Endomorphismus ins Bild. Zum ersten Mal treffen wir auch auf direkte Zerlegungen. Die haupts¨achlichen Anwendungen der verallgemeinerten Eigenvektoren liegen in Bereichen, die wir erst viel sp¨ater in den Blick nehmen (n¨amlich bei den einparametrigen Matrixgruppen oder bei den linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten). Der Unterabschnitt I.6 kann daher zuru¨ckgestellt werden. Hinweis zum Aufbau: Die beiden folgenden Unterabschnitte I.7 und I.8 enthalten Bru¨cken zur elementaren Analysis und zur Stochastik (im Sinne der Schulmathematik). Dabei bieten sich Aufgaben mit MAPLE an. Von der Technik her ist ein Sprung von I.5 (Axiomatik der Vektorr¨aume) direkt in den Abschnitt V m¨oglich; dort dringen wir tiefer ein in die Welt der K- Vektorr¨aume. Einen solchen Sprung wollen wir aber nicht empfehlen, weil reine ‘Lineare Algebra’ den Hori- zont einer Einfu¨hrung in die Mathematik doch allzusehr einschr¨ankt. Dem ausschliesslich algebraisch orientierten Leser wird empfohlen, sofort in den Abschnitt II (‘Abbildungen’) zu springen. I.7 Das Faltungsprodukt u¨ber Z. Trigonometrische Polynome. Hier studieren wir einige konkrete C-Vektorr¨aume mit zus¨atzlicher Struktur. Gewisse R¨aume von komplexen Gewichtungen auf Z tragen (verm¨oge des Faltungsprodukts) eine ¨ahnliche algebraische Struktur wie die oben besprochene (assoziative und kommutative) Algebra C[z] der Polynome. Das Interesse geht allerdings in eine andere Richtung; bei den trigonometrischen Polynomen und bei den formalen Potenzreihen gibt es kein Teilen mit Rest und kein Umzentrieren; andere Strukturen treten in den Vordergrund. Das Falten von Gewichtungen a = (an)n Z. ”Schriftliches Multiplizieren“ ist Falten mit U¨bertrag. Charakteristische Funktionen.∈Die geometrische Reihe und die geometri- schen Gewichtungen werden ausfu¨hrlich behandelt. Trigonometrische Polynome und Reihen. I.8 Newton’s Binomialreihe. Formale Potenzreihen Der Begriff der erzeugenden Funktion ist eine Variante des Begriffs der charakteristischen Funktion. Die erzeugenden Funktionen leisten manchmal gute Dienste, wenn es um ‘Ge- wichtungen’ auf Z+ geht. Newton’s Binomialreihe bringt die Binomialkoeffizienten in den Blick. Der im Weiteren entwickelte Kalku¨l der formalen Potenzreihen kann auch als eine Einstimmung auf die komplexe Funktionentheorie verstanden werden. @Prof. Dr. H.Dinges, Einfu¨hrungindieMathematikI(WS2007/08), 19.M¨arz2008