Alexander Wynands Ursula Wynands Elektronische Taschenrechner in der Schule Ein Arbeits- und Aufgabenbuch fOr Lehrer und Schuler Vieweg CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Wynands, Alexander Eiektronische Taschenrechner in der Schule: e. Arbeits u. Aufgabenbuch fUr Lehrer u. SchUler I Alexander Wynands; Ursula Wynands. - 1. Auf!. - Braunschweig: Vieweg,1978. NE: Wynands, Ursula: 1978 Aile Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig, 1978 Die Vervielfaltigung und Obertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch fur Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag vorher vereinbart wurden. 1m Einzelfall muB uber die Zahlung einer Gebuhr fur die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt fUr die Vervielfiiltigung durch aile Verfahren einschlieBlich Speicherung und jede Obertragung auf Papier, Transparente, Filme, Bander, Platten und andere Medien. Dieser Vermerk umfaBt nicht die in den §§ 53 und 54 URG ausdrucklich erwahnten Ausnahmen. Satz: Vieweg, Wiesbaden Druck. fotokop, Darmstadt Buchbinderische Verarbeitung: Junghans, Darmstadt Umschlaggestaltung: Peter Morys, Wolfenbuttel ISBN-13: 978-3-528-04087-1 e-ISBN-13: 978-3-322-84333-3 DOl: 10.1007/978-3-322-84333-3 III Vorwort Nach einer (von uns im Herbst 1976 durchgefuhrten) Schulerbefragung verfugten ca. 70 % aller Schuler der Klassen 5 bis 10 (Sekundarstufe I) uber einen elektro nischen Taschenrechner (ETR). In der parallel durchgefuhrten Lehrerbefragung hielten mehr als 80 % aller befragten Lehrer den Einsatz von ETR ab Klasse 8 fur sinnvoll, weil sie im ETR ein Hilfsmittel zum okonomischen Rechnen sahen. Gleich zeitig wunschte man I nformationen zum fachdidaktisch begrundeten und methodisch sinnvollen Einsatz des ETR in der Schule. Dieses Buch richtet sich daher in erster Linie an den Lehrer, der einerseits uber den standig wachsenden, haufig unkontrollierten EinfluB des ETR im Unterricht MiBbe hagen empfindet, dem andererseits aber Arbeitsmaterialien und -methoden zur Effektivierung des Unterrichts durch ETR fehlen. Zudem wird hier allen aktiven und zukunftigen Lehrern Gelegenheit geboten, ihr Fachwissen zum Thema "Sachrechnen im Unterricht" aufzufrischen oder zu erweitern (vgl. die Abschnitte ab 2.8). Von daher ist das Buch auch als Grundlage entsprechender Veranstaltungen im Lehrer studium zu benutzen. Der erste Teil befaBt sich mit der Frage: Was leistet der ETR bei der Erarbeitung von mathematischen Begriffen, Funktionen, Gesetzen, Regeln? Der zweite Teil soli zeigen, daB der ETR als okonomisches Rechenhilfsmittel dem Schuler den Zugang erleichtert zum umweltbezogenen Sachrechnen, zum Erstellen und Interpretieren von Tabellen, Graphiken und Formeln und damit zur Mathemati sierung und Losung von Problemen seiner Umwelt. Die Abschnitte enthalten, je nach Gegenstand gewichtet: 1. Eine Zielsetzung mit Hinweisen zum methodischen Einsatz des ETR, 2. Beispiele zur Einfiihrung von Begriffen und Rechenverfahren, 3. Merkregeln, Formeln, Rechenablaufplane (RAP), 4. Eine breite Aufgabensammlung, 5. Losungen oder Losungshinweise ausgewahlter Aufgaben unmittelbar hinter der @ Aufgabenstellung. Diese sind durch gekennzeichnet. IV Vorwort Besonders wegen der Vielzahl der Aufgaben aus dem Unterricht der Klassen 7-11 ist dieses Buch neben dem "normalen" Schulbuch als Schiilerarbeitsbuch punktuell vom Lehrer einsetzbar. Es sollen hier u.a. Antworten aufgezeigt werden zu den Fragen: a) Was sollen Lehrer und SchUler uber ETR wissen? b) Was sollen Lehrer und Schuler mit ETR anfangen? Alexander und Ursula Wynands Aachen, im Herbst 1977 v I nhaltsverzeichnis 0.1 Vorbemerkungen ......................................... 1 0.2 Auswahlkriterien fur ETR .................................. 2 0.3 Empfehlungen und Hinweise ................................ 8 1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 Addition [±] ........................................... 9 B ......................................... 1.2 Subtraktion 11 1.3 Multiplikation!Kl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13 B ............................................ 1.4 DIvIsion 16 1.5 Wurzelfunktionen Ift\ ................................... 19 vi 1.6 Speichern von Daten Ix ..... MI Ix +--+ ISTol ...... . . . . . . . . .. 22 1.7 Gemischte Obungen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24 1.8 Scherzhaftes oder Ernsthaftes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28 1.9 Schatzen, Runden, Fehler .................................. 34 1.10 Winkelfunktionen ISinl Icosl Itanl larcl ................... 37 110 i 1.11 Exponential- und Logarithmusfunktionen ~ lin xl x lIog xl 40 2 Sachrechnen im Mathematikunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 2.1 Vorbemerkungen zum Einsatz von ETR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 2.2 Zur Klassifikation von Zuordnungsaufgaben .................... 44 2.3 Rechnen mit gemessenen Gr6~en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45 2.4 Proportionale Zuordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47 2.4.1 Zuordnungen zwischen zwei Gr6~enbereichen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49 2.4.2 Zuordnungen zwischen mehreren Gr6~enbereichen . . . . . . . . . . . . . .. 52 2.4.3 Zuordnungen in einem Gr6~enbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54 2.4.3.1 Prozentrechnung ......................................... 54 2.4.3.2 Zinsrechnung ............................. . . . . . . . . . . . . . .. 62 2.5 Lineare Zuordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67 2.6 Umgekehrt (oder anti-) proportionale Zuordnung . . . . . . . . . . . . . . . .. 71 2.7 Weitere Zuordnungsaufgaben ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74 2.8 Wachstums- und Zerfallsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77 2.9 Logarithmen und e-Funktion .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87 2.10 Rechnen mit Tabellen (Matrizen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90 2.11 Wahrscheinlichkeit und Statistik ............................. 96 2.11.1 Kombinatorische Grundaufgaben und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . .. 96 2.11.2 Statistik................................................ 103 VI Inhaltsverzeichnis 3. Niiherungsverfahren und Grenzwerte .......................... 106 3.1 Das "Probierverfahren" zur Nullstellenbestimmung von Funktionen .. 106 3.1.1 Eine Halbierungsstrategie zur Berechnung von alog y 0 mit der -Taste ........................................ 108 3.1.2 Spezielle Verfahren zur Wurzel-Annaherung .................... 109 3.2 Approximation von e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111 3.3 Approximation der Kreiszahl7r .............................. 111 3.3.1 Die Exhaustions-Methode nach Eudoxos und Archimedes . . . . . . . . .. 111 3.3.2 "Vieta-Produkte" zur 7r-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 114 3.3.3 7r-Approximation durch numerische Integration. . . . . . . . . . . . . . . . .. 115 4. Anhang: Funktionen und ihre Graphen 118 5. Literaturverzeichnis ....................................... 121 6. Namen-und Sachverzeichnis ................................ 124 0.1 Vorbemerkungen Diskussionen zum "Pro und Contra Taschenrechner im Unterricht" scheinen wegen der Tatsache, daB Elektronische Taschenrechner (ETR) von Schiilern und vielen Lehrern begehrt sind und de facto (auch bei Hausaufgaben) benutzt werden (laut Umfrage 1976 von ca. 40 %) weitgehend 1T'~3ig zu sein. Die nun anstehende wesentliche Frage nach dem kontrollierten, fachdidaktisch begriinaeten und methodisch sinnvollen Einsatz des ETR 5011 hier behandelt werden. Dabei geht es nicht urn eine vollstiindige Auflistung von Lernzielen, sondern urn das Aufzeigen von Lerninhalten an Hand um fangreicher Beispiel·Aufgaben, aus denen die enthaltenen Lernziele (vom Lehrer) ablesbar sind. Foigende Punkte sind als Vorbemerkung wesentlich: 1. Die Beispiele und Aufgaben der Abschnitte 1.1 bis 1.9 und 2.1 bis 2.7 beziehen sich vorwiegend auf den Unterricht (ab Klasse 5) der Sekundarstufe I mit Schwergewicht Haupt· und Realschule (Klasse 7 bis 10). 2. Unter ETR verstehen wir hier nicht den programmierbaren Elektronischen Taschenrechner (PTR). 3. Das Argument "Durch ETR verliert man die Kopf-Rechenfertigkeit" ist ernst zu nehmen. Daher sollte man in der Schule a) (wieder) vermehrt Kopfrechen Konzentrations·Obungen zum Beginn einer Unterrichtsstunde pflegen und b) z. B. durch "Wettkiimpfe: Kopfrechner gegen ETR" dem Schuler demonstrieren, daB hiiufig Kopfrechnen schneller und okonomisch ist. 4. Es muB den Schulern gezeigt werden, daB der ETR eine von Menschen gemachte Maschine (black box) ist, die nur genau seine Anweisungen ausfuhrt. Dabei wird wie durch das Aufzeigen von Fehlern und Grenzen des ETR eine bedrohliche "Computer-Gliiubigkeit" verhindert. 5. Der Einsatz des ETR wirkt besonders am Anfang fur den Schuler motivierend, weil er durch ein modernes (oder modisches) Hilfsmittel viele Berechnungen (Mathematik?) spielerisch erledigen kann. Dabei sollte man als Lehrer bedenken: a) Jeder motivierende Zugang zur Mathematik ist zu begruBen, aber b) Rechnen gehort zur Mathematik, ist jedoch nicht identisch dam it. c) Andererseits erleichtert der ETR den Umgang mit Zahlen, liefert schnell eine Fulle von Informationen und gibt damit die Moglichkeit, ein "Gefiihl" fur funktionale Zusammenhiinge zu entwickeln. Anders ausgedriickt: d) der ETR liefert fur viele Begriffe, Regeln, Gesetze und Algorithmen (Rechenverfahren) einen empirischen Zugang durch handelndes, aktives Lernen. 6. Die Beispiele und Aufgaben dieses Buches sind zum groBten Teil mit einfachen ETR auszufuhren E1B0 B OEJ \" ,I \+/-1 (Funktionstasten: Speicher) Eine Vielzahl von ETR-Typen in einer Schulklasse kann beim Versuch einer einheitlichen Arbeits anweisung (Rechenablaufplan) storend sein. Sie kann aber auch interessante Fragestellungen z.B. 0 zur Rechenlogik, Rechengenauigkeit, Datenanzeige und zu neuen Funktionen (~, usw.) motivieren. 7. Viele Teilgebiete dieses Buches (z. B. Genauigkeit, Fehler, Prozent-und Zinsrechnung, Wachstums prozesse) sind von den Autoren in Hauptschulen (seit 1973) erprobt worden. 2 0.2 Auswahlkriterien fOr ETR Bei der Vielzahl von ETR-Typen, die seit 1971/1972 fUr "jedermann" entwickelt wurden und sich explosionsartig verbreiteten, kann man sicherlich nicht den besten ETR benennen_ Wir wollen hier jedoch versuchen, einige typische Unterschiede von ETR und Kriterien zu nennen, die Sie beim Kauf eines ETR beachten sollten. Entscheiden Sie zunachst, wozu Sie den ETR brauchen wollen. Fur spezielle Einsatzgebiete gibt es heute ein breites Angebot von ETR mit vielen Sonderfunktionen (z. B. aus Wirtschaftsmathematik, Statistik), worauf wir hier nicht eingehen. Gehen Sie von folgenden Faustregeln aus: a) In den meisten Fallen ist schon ein "einfacher" ETR ausreichend. b) Die Preise teurer ETR (1977 mehr als DM 50,-) werden starker fallen als die Preise von billigen ETR. Unsere Erfahrung mit ETR im Unterricht (der Hauptschule) zeigen, daB der schulereigene ETR in der Sekundarstufe I wiinschenswert ist. Fur Ausfalle dieser ETR, z. B. bei Klassenarbeiten, sollten entsprechende schuleigene Gerate zur Verfugung stehen (die in einem verschlieBbaren "Ladekoffer" sinnvoll aufzubewahren sind). Nun zu den Auswahlkriterien. Sehen wir zunachst auf das AuBere und dann auf das Innere des ETR: 1. Tastatur Wir geben einige Merkmale und (unsere) Wertung an. Es bedeutet: ** notwendig sehr empfehlenswert GroBe und farbige Tasten- Zeichen auf Druckpunkt- Prellfreie Doppel- Form Merkmal blocke den Tasten tasten Tasten belegung (quadratisch- rund, hohl, gewolbt) Wertung * * * ** nicht bei einfachen ETR Anmerkungen: Bei den Druckpunkt-Tasten spurt man einen Gegendruck beim Eintippen; es macht "klick" (click keys), wenn man die Taste "richtig" betatigt. Testen Sie den ETR auf Prellfreiheit der Tasten: Einschalten (On), aile (Ziffern-)Tasten mal kurz, mal lange runterdriicken, Tasten auch schief oder "kantig" driicken. Erscheint in der Anzeige genaum das, was Sie eingeben oder erscheinen z. B. plotzlich drei Funfen, obwohl Sie nur einmal die Taste betatigen? Eine Doppelbelegung der Tasten (z. B. eine Taste fur ~ und Ivx I) ist nach unserer Erfahrung auch in der Hauptschule zulassig. Sie erfordert zwar mehr Konzentration bei der Bedienung [£J (z. B. Aufruf der Wurzelfunktion durch IFI oder 12nd II vxl) reduziert aber die Anzahl der Tasten. 2. Anzeige B) Schalten Sie den ETR ein (z.B. IONIIEINI und tippen nacheinander die Ziffern 1+/-1. 0,0,1,2, ... 9,0,0,0 und (wenn vorhanden) auf die Taste Was erscheint wie im Anzeigefeld, Auswahlkriterien 3 in dem der Inhalt des Anzeigeregisters angezeigt wird? Es sollten die unwesentlichen ersten Nullen unterdriickt werden und von rechts nach links die weiteren Ziffern wandern: Eingabe Anzeige Foigerung o dann 0 dann 1 ... dann 4 112341 Nullenunterdriickung 1 dann 2 dann ... 8 dann 9 1123456781 8· (bzw. 10-) stellige Anzeige mit Vorzeichen und Nullen- 1 dann 2 dann ... dann 9, 1+/-1 1-12345678 1 unterdriickung o dann 1 dann ... 9 dann 0,0, 1+/-1 1-1234567890 1 Geben Sie die Zah1123,4567 ein. 1m (mind.) 8-stelligen Anzeigefeld mit FlieBkomma(-Arithmetik) erscheint 1123.45671. Der Dezimalpunkt (statt Komma " , ") erscheint an der gewiinschten Stelle. Bei Festkomma (-Arithmetik) erscheint immer eine gleiche Anzahl (der zuletzt eingegebenen Ziffern) hinter dem Punkt (Komma). Viele ETR verfiigen iiber eine Exponentialanzeige (~-Taste). Beispiele: Aufgabe E rgebn isanzeige Foigerung 2000·3000 6000000 } z. B. 8-stellige Anzeige 2000·30000 60000000 20 000 . 30 000 600000000 6.08 bedeutet ----- oder: 6.u08 6 00 000 000 = 6 . 108 t ("Leerstelle") 8 Nullen 1200000 . 300000 3.6~11 3.6ul1 = 3,6.1011 -1 200000 . 300000 -3.6u11 -3.6u11 =-3,6.1011 0,000002 . 0,0003 6.-10 6.-10 = 6.10-10 Mit dieser exponentie~len Zahldarstellung (oder "scientific notation") erfaBt man "sehr groBe" und "sehr kleine" (positive) Zahlen (z. B. 9.9999999.1099 bis 1· 10-99). Weitere Auswahlkriterien fiir ETR stehen in Zusammenhang mit der Farbe des Anzeigefeldes: Anzeige Energie- Empfind- Ablesemoglichkeit Beleuchtu ngs- Farbe Art verbrauch lichkeit Leuchtstarke Ziffern- abhangigkeit (StoB, groBe Fallen) rot Leucht- groB gering gut klein je heller die \ ",'b,,· dioden leuch- 1- Umgebung, griin Digitron gering groB gut tend groB umso schlechter (oder Anzeige ablesbar blau) grau Fliissig- sehr mittel nicht groB nur im Dunkeln (farb- Kristalle klein selbst- nicht lesbar los) leuchtend 4 Auswahlkriterien 3. Operationstasten G, G 0 B Fur den "Normalverbraucher" reichen ETR mit den vier Grundrechenarten und 0 dem Ergebnisabruf aus. Der ETR fur die Sekundarstufe I sollte zudem uber folgende Erweite· rungen (in der Reihenfolge ihrer Wichtigkeit) verfugen: (0) 1. Speicher (Memory z.B. mit ·Ruckruf (recall z.B. IMRll. 2. Wurzeltaste 1,.,.,-><1 (oder 1",1) Kehrwerttaste ~, I 3. Vorzeichenwechseltaste 1+/-1 Speicher-bzw. Registeraustauschtaste (z. B. x -<-+ y Ilx -<-+ M I) und Ouadrattaste ~. Nach diesen Ausstattungen sollten erst die trigonometrischen Funktionen und die Exponentialfunk tionen errechenbar sein. Bei den zahlreichen "Sonderfunktionen" ist hiiufig die Prozenttaste ~ anzutreffen, deren Gebrauch im "Alltag sehr beliebt" ist. In der Schule sollte man jedoch - wenn man aus "praktischen" Grunden nicht darauf verzichten will - aus fachdidaktischen Grunden viel mehr zur Berechnung eines Endwertes nach einer Erhohung von p% des Ausgangswertes a die 1::0) 0 Identitiit a + a· l~O = a· (1 + ausnutzen, wonach die Berechnung mit der Taste genauso schnell gehtwie mit der Taste [!] (dabei rechnet man z.B. doch wohl (1 + 11~) = 1,13 im Kopf!) 0 Sinnvoll (vielleicht auch motivierend zum Kennenlernen) scheint uns die Abrufmoglichkeit (mit oder ~) eines Niiherungswertes von 1T ("'=' 3.141592654), wiihrend man auf viele "Umrechnungs funktionen", z. B. "BogenmaB in (Neugrad in) Altgrad" oder gar "Gramm in Kilogramm" fur den Unterricht verzichten kann (oder 5011). 4. Korrektur- und Loschtasten @] Jeder ETR sollte neben der Gesamtloschung (z. B. ICLRI oder ICAI fur "Clear all") eine Loschmoglichkeit fur die letzte Eingabe oder falsch betiitigte Funktionstaste (z. B. I CE I fur "clear I entry") haben. ETR mit Speicher sollten auch diesen einzeln loschen konnen (z. B. CMI). Letztere ETR besitzen hiiufig einen saldierenden Speicher (z. B. I M+I und 1M-I!, wodurch ein Eingabewert automatisch zum Speicherinhalt addiert bzw. von diesem subtrahiert werden kann. 5. Rechenlogik Es gibt (grob klassifiziert) drei unterschiedliche Rechnerlogiken oder "Notationen": Bezeichnung zu erkennen an Beispiel Tastenfolge algebraische 8Taste 4+3= !Il--8-0--G logik (AL) 4·3-2= ~ II] Q 0--ITJ-{]-{] arithmetische und 4+3= logik (ARL) 4·3-2= ~ IT] Umgekehrte polnische oder IENTI 4+3= ~ Notation (UPN) keine G-Taste 4·3-2= ~