Lars Othar Svaasand ELEKTRISITET OG MAGNETISME DEL II. MAGNETOSTATIKK OG ELEKTRODYNAMIKK 3. opplag sentret - .a-A sA-iwcrr x___ V-D N!H BIS TAPIR 1978 ISBN 82-519-0034-4 DEL II Innhold Kap^ 2r _LadningstransportJJdJcestrørn)____________________265 2.1. Ledere 265 Kap. _3.___Magnetostat.ikk___________________________________2 88 3.1. Innledning 288 3.2. Magnetostatiske potensialer 303 3.3. Magnetiske dipoler 315 3.4. Magnetisk kraftvirkning 322 3.5. Magnetiske materialer 337 3.6. Enkle magnetiske kretser 367 3.7. Resumée 374 Kap. 4. Tidsavhengige elektromagnetiske felter 377 4.1. Oversikt 377 Kap. 5. Elektromagnetisk induksjon; kvasistatisk ______________________________________ _ 5.1. Innledning 382 5.2. Selvinduktivitet og gjensidig induktivitet 396 5.3. Energi 412 5.4. Felt- og strømfortrengning 435 5.5. Induksjon i bevegelige systemer 454 Kap. 6. Oppladning av kondensatorer; kvasistatisk behandling 475 6.1. Oversikt 475 Kap. 7. Elektromagnetisk teori 481 7.1. Elektromagnetiske bølger i vacuum 481 7.2. Retarderte potensialer 489 7.3. Bølgeforplantning i kabler 493 Appendix 1. Maxwells spenningstensor 502 Appendix 2. Den spesielle relativitetsteori 527 Appendix 3. Målesystem 558 Index 562 Fremstillingen i denne del av boken er, med unntagelse av appendix 1 og 2, basert på den vektoranalyse som ble presentert i del. I. En forståelse av fremstillingen i appendix 1 og 2 krever litt kjennskap til tensoranalyse, og de nødvendige teorem i tensoranalyse er derfor presentert i appendixene. Analysen av det magnetiske felt er basert på B som den primære felt-vektor. I overensstemmelse med dette kalles B for det magnetiske felt. Det sekundære felt H kalles for H-felt. Eldre litteratur er gjerne basert på H som den primære felt- vektor, og i denne litteratur har H derfor ofte navnet magnetisk felt. Videre er fremstillingen basert på det generelt gyldige vektorpotensial for B . Potensialer av begrenset gyldighet som skalarpotensial for B og skalarpotensial for H , er ikke dis­ kutert fordi de, efter forfatterens mening, hverken forenkler beregningene eller bidrar til forståelsen. I tillegg til de medarbeidere som ble nevnt i forordet til del I, vil forfatteren også takke Marit Thorsrud for tegning av figurer. L.O. Svaasand 265 Kap.2. Ladningstransport(Likestrøm) 2.1. Ledere En del av ladningene i et ledende materiale er bevegelige, og transporten av disse ladningene kan karakteriseres ved en strømtetthetsvektor j . Fig. 2.1.1. Fig. 2.1.1. Den totale transport av ladning pr. tidsenhet gjennom flaten dA i fig. 2.1.1a er lik det totale kvantum av bevegelige ladninger innenfor volumet vdA . Dette kvantum er: qNvdA = qNvndA = jndA (2.1.1) hvor N er antall frie ladninger pr. volumenhet, q er verdien av hver ladning, v er den midlere hastighet, n er positiv flatenormal og Nqv er strømtettheten j . Dersom flatenormalen n danner vinkelen 4> med hastigheten v blir det transporterte kvantum av ladning pr. tidsenhet: (Fig. 2.1.1b). qNvdAcoscJ) = qNvndA = jndA. (2.1.2) Følgelig blir den totale utstrømning av ladning pr. tidsenhet gjennom en vilkårlig lukket flate gitt ved: jndA (2.1.3) 266 hvor n er den utadrettede flatenormal. Fra prinsippet om konservering av ladning vet vi at det totale kvantum av ladning Q innenfor flaten bare kan forandres ved transport av ladning gjennom flaten. Vi finner derfor: ffjAdA = - $ (2.1.4) Denne ligningen kalles kontinuitetsligningen for ladning. Ved hjelp av Gauss sats kan vi uttrykke ligningen på differensiell form: t , 9 [[ f , [[ 9p , divj dv = - rr pdv = - T7 dv i O L j j j j O L. eller (divj + -1^) dv = 0 0 u Siden integrasjonsgrensen er vilkårlig valgt, kan denne ligning Dare være generelt tilfredsstilt når integranden er lik null. Kontinuitetsligningen for ladning på differensiell form blir der­ for: divj +|f= 0 (2.1.5) 0 t hvor p er den totale ladningstetthet i mediet. Ved substitu- sjon av Maxwells ligning divD = p kan vi også uttrykke kon­ tinuitetsligningen på formen: div(] + -|-|) = 0 (2.1.6) 0 t ->■ Leddet 4r har samme dimensjon som strømtettheten j . Vanligvis OL K kalles dette leddet for forskyvningsstrømtettheten, mens j kalles ladningsstrømtettheten. Vi skal illustrere disse ligninger ved et enkelt eksempel. I fig. 2.1.2 antar vi at en plate- kondensator lades opp ved å koble en spenningskilde u til platene. 267 i den retning hvor de positive ladningbærere transporteres,og tallverdien av I er lik tallverdien av integralet av strømtettheten over tverrsnittet av lederne. Dersom vi velger integrasjonsflaten finner vi fra ligning (2.1.4): f f->-> 3Q _ A = jndA + jndA = -1 + 1- a0- - 0 B1 B2 (2.1.7) hvor Q er den totale ladning innenfor flaten a - Denne ladningen er nu lik summen av ladningene på begge kondensator- platene,og følgelig lik null. Dersom vi velger integrasjonsflaten 3 i fig. 2.1.2,finner lUndA = [hfidA = - I - -12 = (2.1.8) J OL. 268 hvor cj er overflateladningen på den ene kondensatorplaten og A er arealet av denne. Transporten av ladninger til platen gjennom lederen medfører at ladningen på platen øker (I = 81 Økningen i ladning pr. tidsenhet setter opp en total forskyvnings- strøm —A mellom platene. Når kondensatoren er fullt opp- ladet, er både strømmen I og forskyvningsstrømmen 22 A lik at null. Den totale ladning som er tilført den ene plate ved tids- punkt trblir iflg. lign. (2.1.8): hvor innkoblingstidspunktet er satt til t — 0 . Spenningen over platene blir nu: t U = | f Idt (2.1.9) t=o hvor vi har benyttet relasjonen C = ^ . Vi skal nu betrakte sammenhengen mellom strømtettheten j og det elektriske felt é . Når en ladning q i vacuum utsettes for et homogent elektrisk felt E , vil den påvirkes av en kraft ? = qÉ . Denne kraften forårsaker en akselerasjon a = ^2 m av ladningen. Hastigheten av ladningen blir nu: t t f c? v = adt = it- dt = t (2.1.10) J m m ' ' t=o t=o hvor m er massen av ladningen. Ladningens hastighet v er ikke en entydig funksjon av feltet É , men hastigheten er av­ hengig av hvor lang tid t partikkelen har vært under påvirkning av feltet. Situasjonen for en ladningsbærer i en leder er imidlertid en ganske annen. Ladningen vil nu bare akselereres en ganske kort tid t og kolliderer derefter med forurensninger, gitterfeil og termiske eksitasjoner av gitterstrukturen i materialet. Ladningen selv har en termisk eksitert hastighet som er vesentlig større enn det bidrag til hastigheten som kommer fra akselerasjonen i det