DOC. 108/96 Ma VICTORIA RODRÍGUEZ URÍA ELENA CONSUELO HERNÁNDEZ ELECCIÓN SOCIAL TEOREMA DE ARROW E L E C C I O N S O C I A L T E O R E M A D E A R R O W 2>m. 5bna W]a Uictoria $odri(fuez ti fia 2 >*. a na Ciouielo ^J4ernández 25 IN D IC E 1. INTRODUCCION ..................................................................................2 2. ELECCION SOCIAL: DEFINICION ............................................ 2 3. ANTECEDENTES HISTORICOS ................................................ 3 4. REGLAS DE ELECCION SOCIAL .............................................. 4 4.1.Relaciones ................................................................................... 5 4.2. Reglas de Elección Social ....................................... 6 5.CONDICIONES EXIGELES ....................................................... 8 6. EL TEOREMA DE IMPOSIBILIDAD DE ARROW 6.1. Modelo de Arrow ......................................................................12 6.2. La elección por mayoría simple y criterio de Condorcet ......... 13 6.3. Teorema de Imposibilidad de Arrow ....................................... 15 6.4. Demostración del teorema de Imposibilidad ................................15 7. CONCLUSION ....................................................................................22 8. BIBLIOGRAFIA..................................................................................24 1 l.INTRODUCCION Continuamente todos tomamos decisiones basándonos en nuestras experiencias anteriores, en nuestra formación, etc. Pero cuando nos enfrentamos con problemas de cierta complejidad en los que la decisión a tomar afecta a varios individuos el asunto se complica ya que no basta la experiencia, el sentido común o la intuición de los expertos. Cabe preguntarse si debemos continuar actuando y tomando decisiones basándonos únicamente en nuestra intuición o bien en la de aquellas personas que son consideradas expertas o si, por contra, debemos utilizar métodos que nos permitan añadir a la intuición una contribución de la lógica matemática. Es claro que no se puede reemplazar totalmente la intuición por mecanismos de lógica pura, pero aquellos que creemos en el estudio científico de las decisiones estamos convencidos de que los métodos matemáticos constituyen una herramienta indispensable en el desarrollo de estas teorías. Dentro de esta línea, aparecieron en 1944 los trabajos de von Neumann, con la idea de hacer compatible la racionalidad científica con la inevitable presencia de lo subjetivo. Estos estudios son considerados hoy en día como el punto de partida del tratamiento científico de los problemas de decisión individual. A partir de 1951 , los trabajos del premio Nobel profesor Arrow fueron, paralelamente, el origen del estudio de las decisiones colectivas. Expondremos los fundamentos de las principales líneas del desarrollo de los estudios realizados por Arrow, los cuales se consideran actualmente como uno de los pilares básicos de la Teoría de la Decisión. 2. ELECCION SOCIAL: DEFINICION La Elección Social es una parte de la Teoría de la Decisión que basándose en aspectos cuantitativos y estructurales, estudia la metodología y propiedades de las reglas que llevan a un individuo o colectivo a tomar una decisión. La idea fundamental de esta disciplina científica es buscar buenas decisiones en el sentido de que la elección "social" que se tome respete de algún modo las preferencias de cada individuo dentro del colectivo que haya tomado esa decisión "social". 2 El problema que se nos plantea es el siguiente. Dada una elección social, se nos ocurrirían seguramente una larga lista de restricciones para que las reglas a seguir en la toma de la decisión fuesen buenas, sin embargo sería muy difícil definir una regla de elección que respetase toda esa lista de restricciones. De hecho, puede incluso que no exista una regla para una lista de restricciones dada, de manera que toda decisión colectiva que se tome tendrá alguna imperfección. Esto nos lleva a replanteamos el problema, eliminando algunas de las restricciones de nuestra lista, o al menos sustituyéndolas por otras menos exigentes. Por otro lado, como sabemos que toda decisión colectiva que se tome tendrá algún defecto, lo que haremos será tratar de minimizar los defectos que una regla pueda tener. Aunque una elección colectiva tiene, seguro, algo de malo, puede aún tener bastante de bueno y esto es una motivación suficiente para su estudio. 3.ANTECEDENTES HISTORICOS En 1870, Jevons, Menger y Walras dieron lugar a una revolución teórica dentro de la economía al afirmar que si prevalecía el equilibrio competitivo, entonces la suma de utilidades recibidas por los individuos sería máxima. Más tarde se vio que estaban equivocados. En 1931 salía a la luz el método axiomático de utilidad esperada propuesto por F. P. Ramsey donde se comparaban preferencias entre actos cuyos resultados eran inciertos. En definitiva, el propósito del estudio era demostrar cómo las creencias pueden ser medidas sobre la base del grado para el cual nosotros estamos preparados para actuar sobre ellas. En 1944 Von Neumann y Morgenstem incluyeron en su tratado sobre la Teoría de Juegos algunas ideas sobre la teoría de la utilidad, tema sobre el cual profundizaron más adelante tomando distribuciones de probabilidad como dadas, siendo conocido su enfoque como análisis de la decisión bajo riesgo. Influenciado por estas ideas y valiéndose a su vez de los trabajos de Ramsey, Savage elaboró una nueva teoría en tomo a la decisión, usando un enfoque estadístico, conocido como bayesiano. En 1954 aparece por primera vez en letra impresa la expresión "óptimo de Pareto". Para Pareto una configuración económica era óptima si no era realizable ninguna otra 3 configuración en la que todos los miembros de la sociedad tuviesen al menos el mismo nivel de utilidad y al menos uno tuviese un nivel mayor. Este criterio sólo nos da una ordenación parcial de las configuraciones económicas, discriminando muy poco entre ellas, es decir, nos proporciona un criterio de decisión muy débil pero teóricamente sólido. De hecho, la primera economía del Bienestar se basaba enteramente en éste. Fueron A.Bergson y P. Samuelson los que introdujeron el concepto de Regla de Elección Social o Función de Bienestar Social (FBS). Esta FBS asignaba a cada estado realizable un índice de utilidad que representaba las preferencias sociales sobre los estados, requiriéndose además que estas preferencias fuesen paretianas. La obra de K. Arrow empieza donde Bergson y Samuelson terminan, redefinió el concepto de Regla de Elección Social de manera que fuese una función que asignase a cada esquema de preferencias individuales sobre las alternativas abiertas a la sociedad unas preferencias sociales sobre las mismas. En base a esta definición Arrow trató de encontrar reglas de Elección Social que verificasen una serie de condiciones que nuestro sentido común impondría a cualquier FBS que se preciase de tener "buenas propiedades". De hecho, no exigió mucho, tan sólo cinco condiciones que respondían a las ideas intuitivas de lo exigible a una regla colectiva. Pues bien, Arrow demostró que lamentablemente, si hay al menos tres individuos en la sociedad y al menos tres alternativas, no existe ninguna regla de elección social que satisfaga conjuntamente las cinco condiciones impuestas intuitivamente. 4. REGLAS DE ELECCIÓN SOCIAL Daremos una serie de definiciones para el caso finito. Esto no impide pensar en generalizaciones a casos infinitos relativos al número de agentes o al de alternativas (o a ambos). Las definiciones para casos infinitos aparecen (en la mayoría de los casos) como generalizaciones o extrapolaciones de las que se dan para casos finitos. Supondremos, de momento, una Sociedad que consta de un número finito n de individuos a los que llamaremos Agentes {l,_,n}. Cada uno de estos individuos debe elegir acerca de un conjunto de Alternativas que también supondremos finito {b¡,_,bk}. El número k de alternativas puede o no coincidir con el de agentes n.. 4.1. Relaciones Las relaciones más importantes que tenemos son: I- Relación de preferencia Una relación de preferencia P definida sobre un conjunto X es una relación binaria que cumple: a) Irreflexividad: Para ningún a eX se cumple aPa b) Asimetría: Va, be X. nunca pueden darse aPb y bPa simultáneamente c) Transitividad: Va, b,c e X, si aPb y bPc entonces aPc d) Negatividad de la transitividad: Va, b, c e X, si no se da aPb ni bPc entonces tampoco ocurre aPc La notación que emplearemos para designar la relación de preferencia del agente i será P¡ i=l II- Relación de Indiferencia Asociada a la relación de preferencia P definimos una relación de indiferencia I (alb: a es indiferente a b ) cuando no se verifica ni aPb ni bPa. Esta es una relación de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva) La notación que emplearemos para designar la relación de indiferencia del agente i será/,, i=l,_«. El- Relación de Preorden Total Asociado Asociada a la relación de preferencia P definimos también una relación de preorden total asociado R (aRb: a es preferido/indiferente a b ) si se da aPb o alb R es una relación de preorden total (binaria, reflexiva, transitiva completa) definida sobre X. La notación que emplearemos para designar la relación de indiferencia del agente i será R¡, i=l ,_,n. 5 4.2.Reglas de elección social Vamos a definir en lo que sigue una serie de conceptos que son básicos para comprender la teoría de Elección Social. REPRESENTABILIDAD Una relación de preferencia P se dice que es representable por una función de utilidad si existe una función numérica f que aplica el conjunto X en los números reales, tal que: aPb si y sólo si f(a)>f(6), Va,b eX FUNCION DE UTILIDAD Cualquier función de utilidad que represente a P se llama función de utilidad para P. En el caso finito, toda relación de preferencia es representable por una función de utilidad. Si X es infinito, la relación de preferencia no necesariamente es representable. PERFIL DE PREFERENCIAS Un perfil de preferencia es una n-tupla u ={Pu_,P„} o en su caso {Ri,_,Rn}, siendo P¡ / R¡ respectivamente las relaciones de preferencia y preorden del agente z'{i=l,_,n} FUNCION DE ELECCION Sea Y el conjunto de alternativas, una función de elección es una aplicación de fíY) en sí mismo. (ftY) es el conjunto de todos los subconjuntos posibles de Y incluido el vacío) AGENDA Se llama agenda a un subconjunto del conjunto de alternativas Y (o elemento genérico de pCO) 6 COALICION Se llama coalición S a cualquier subconjunto del conjunto de agentes. REGLA DE ELECCION SOCIAL Una regla de elección social o función de bienestar social es una aplicación C del conjunto de perfiles en el conjunto de funciones de elección, de modo que a cada perfil u se le asocia una función de elección que se denota Cu. Son básicas los siguientes: REGLA ABSOLUTAMENTE DICTATORIAL Supondremos que los perfiles de los agentes son órdenes totales, es decir, no hay casos de indiferencia (salvo los triviales: todo elemento es indiferente a sí mismo) La regla absolutamente dictatorial C se define como una aplicación que a cada agenda le asigna el elemento más preferido de esa agenda por el primer agente. REGLA DE MAYORÍA SIMPLE PARA DOS CANDIDATOS Supondremos que hay dos alternativas {x,y} y un número finito n de agentes. Aquí las preferencias de cada agente pueden ser de tres tipos: x es preferido a y y es preferido a x x es indiferente a y Con el convenio numérico de asignar 1 al primer tipo de situación, -1 al segundo tipo de situación y 0 al tercer tipo, un perfil de preferencias puede interpretarse aquí como una aplicación de {1,_,«} en {-1,0,1}. En otras palabras, un perfil viene determinado por una secuencia de ceros, unos y menos unos . Llamaremos coordenadas de perfil a los números de esta secuencia en el orden que aparecen. Definimos la regla de la mayoría simple para dos candidatos C como aquella aplicación del conjunto de perfiles en el conjunto de las funciones de elección tal que dado un perfil u, Cu asigna: -a la agenda vacía la agenda vacía. -a la agenda {x} la agenda {x} 7 -a la agenda {y} la agenda {y} -a la agenda {x,y} le asigna: {x} si la suma de las coordenadas es positiva, {y} si la suma de las coordenadas es negativa {xj^si la suma de las coordenadas es cero. REGLA DE MAYORIA ABSOLUTA PARA DOS CANDIDATOS Supondremos que hay dos alternativas {x,y} y debe elegirse una sóla de ellas. Sea n el número de agentes, si consideramos la definición dada de coordenadas de perfil podemos definir la regla de la mayoría absoluta para dos candidatos C como aquella aplicación tal que dado un perfil u, C„ asigna: -a la agenda vacía la agenda vacía. -a la agenda {*} la agenda {*} -a la agenda (y} la agenda {y} -a la agenda {x,y} le asigna: {x} si la suma de las coordenadas positivas de u es mayor que n/2 {y} si la suma de las coordenadas negativas de u es.menor que n/2 La agenda vacía en otro caso. REGLA DE INDIFERENCIA TOTAL La regla de indiferencia total, para cualquier perfil, asigna a una agenda esa misma agenda de modo que las preferencias individuales (perfiles) no juegan absolutamente ningún papel. 5.CONDICIONES EXIGIBLES A LAS REGLAS DE ELECCION SOCIAL DOM INIO DE ELECCION Dada una regla de elección C y un perfil u, decimos que una agenda a está en el dominio de elección de Cu si se cumple que Cu(a) es un subconjunto no vacío de la agenda a. 8